回溯法论文-回溯法的分析与应用

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回溯法简介回溯法(探索与回溯法)是⼀种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到⽬标。

但当探索到某⼀步时，发现原先选择并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个的点称为“回溯点”。

有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。

回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。

这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。

回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。

问题的解空间应⽤回溯法解问题时，⾸先应明确定义问题的解空间。

问题的解空间应⾄少包含问题的⼀个(最优)解。

问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式显约束：对分量xi的取值限定隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成状态空间树的动态搜索可能解----》可⾏解---》最优解可能解：解空间的⼀个⼦集。

可⾏解：满⾜约束条件的解最优解：使⽬标函数取极值的最优解。

在背包问题中，有2^n中可能解，其中有些是可⾏解，有些不是可⾏解。

在可⾏解中，也只有⼀个或⼏个是最优解。

有些问题不需要寻找最优解，例如后⾯的⼋后问题和图的着⾊问题，只要找出满⾜约束条件的可⾏解即可。

回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。

回溯法在建立测量标准核查控制极限中的应用

数据筛选的过程非常繁琐，利用回溯法可以比较简单地实现控制极限测量数据的筛选．
关键词：测量过程控制；标准核查；控制极限；回溯法
中图分类号：ＴＢ９文献标志码：Ａ文章编号：１０００—１５６５（２０１４）０１—００９４一Ｏ５
测量过程控制是通过监视和分析测量过程中获得的数据，采取必要的纠正措施，使测量过程的不确定
度连续保持在规定的技术要求之内［１］，测量过程控制通常采用测量标准的核查来实现．按随机选择的时间对
摘
要：标准核查是测量过程控制最常用的方法，建立测量标准核查控制极限是标准核查最重要的环

节，需要通过大量的测量并采用统计的方法获得．建立核查控制极限时，在完成ｍ组重复测量的基础上，根据控制极限计算公式从ｍ组测量数据中筛选出组（ｍ≥ ）受控的数据，并利用这组数据获得控制极限．
ＺＨＡＮＧＬｉｍｅｉ。ＺＨＡＮＧＬｉｌｉ
（Ｔｈｅ９６ＵｎｉｔｏｆＡｒｍｙ９１３８８，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ５２４０２２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｔａｎｄａｒｄｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｉＳａｃｏｍｍｏｎｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｐｒｏｃｅｓｓｃｏｎｔｒｏｌＴｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｉｍｉｔｉｓｔｈｅｋｅｙｌｉｎｅｏｆｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｔａｎｄａｒｄｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ｉｔｎｅｅｄｓｌａｒｇｅｎｕｍ— ｂｅｒｓｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔａｎｄｔｏｇａｉｎｔｈｅｄａｔａｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．Ｗｈｅｎｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｉｍｉｔｂａｓｅｄｏｎｔｈｅ“ｍ” ｇｒｏｕｐｒｅｐｅａｔｅｄｌｙｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｄａｔａ．ｗｅｍｕｓｔｓｉｆｔ“ ｎ’ ’ｇｒｏｕｐｄａｔａｆｒｏｍｔｈｅ“ｍ”ｇｒｏｕｐｄａｔａａｃ — ｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｔｏｇａｉｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｉｍｉｔ．Ｄａｔａｓｉｆｔｉｎｇｉｓａｖｅｒｙｃｏｃｋａｍａｍｉｅｗｏｒｋｔｒａ — ｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｗｅｃａｎｍａｋｅｉｔｓｉｍｐｌｅｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｂｙｔｈｅｂａｃｋｔｒａｃｋｉｎｇｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｉｆｔｉｎｇｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｉｍｉｔ ’ Ｓｄａｔａ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｐｒｏｃｅｓｓｃｏｎｔｒｏｌ；ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｔａｎｄａｒｄｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ；ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｍｉｔ；ｂａｃｋ — ｔｒａｃｋｉｎｇｍｅｔｈｏｄ

回溯法的实验报告

一、实验目的1. 理解回溯法的概念和原理；2. 掌握回溯法的基本算法设计思想；3. 通过实例验证回溯法的正确性和效率；4. 深入了解回溯法在实际问题中的应用。

二、实验内容1. 实验一：八皇后问题2. 实验二：0/1背包问题3. 实验三：数独游戏三、实验原理回溯法是一种在解空间树中搜索问题解的方法。

其基本思想是：从问题的起始状态开始，通过尝试增加约束条件，逐步增加问题的解的候选集，当候选集为空时，表示当前路径无解，则回溯到上一个状态，尝试其他的约束条件。

通过这种方法，可以找到问题的所有解，或者找到最优解。

四、实验步骤与过程1. 实验一：八皇后问题（1）问题描述：在一个8x8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列和同一斜线上。

（2）算法设计：- 定义一个数组，用于表示棋盘上皇后的位置；- 从第一行开始，尝试将皇后放置在第一行的每一列；- 检查当前放置的皇后是否与之前的皇后冲突；- 如果没有冲突，继续将皇后放置在下一行；- 如果冲突，回溯到上一行，尝试下一列；- 重复上述步骤，直到所有皇后都放置完毕。

（3）代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn Truedef solve_n_queens(board, row):if row == len(board):return Truefor col in range(len(board)):if is_valid(board, row, col):board[row] = colif solve_n_queens(board, row + 1):return Trueboard[row] = -1return Falsedef print_board(board):for row in board:print(' '.join(['Q' if col == row else '.' for col in range(len(board))]))board = [-1] 8if solve_n_queens(board, 0):print_board(board)2. 实验二：0/1背包问题（1）问题描述：给定一个背包容量为W，n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的前提下，如何选取物品，使得总价值最大。

回溯法

Cr=14 E V=45
Cr=C=30，V=0
C Cr=30，V=0
w2=15，v2=25 F Cr=15，V=25
Cr<w2 D 不可行解
J
Cr<w3 不可行解
H
I
Cr=14 25<50 M L K V=45 不是 x=(1,0,0) w3=15，v3=25 最优 Cr=0，V=50 解 50>45 x=(0,1,1)
（1）用约束条件剪去得不到可行解的子树；
（2）用目标函数剪去得不到最优解的子树。
这两类函数统称为剪枝函数（Pruning Function）。
需要注意的是，问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵真正的树结构，只需要存储从根结点到当前结点的路径。
算法设计与分析
6.1.3
回溯法的求解过程
例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4个等边三角形。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案
算法设计与分析对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的 0/1背包问题，其可能解的表示方式可以有以下两种：
算法设计与分析
6.1.4 回溯法的时间性能
一般情况下，在问题的解向量X=(x1, x2, …, xn) 中，分量 xi (1≤i≤n) 的取值范围为某个有限集合 Si={ai1, ai2, …, airi}，因此，问题的解空间由笛卡儿积 A=S1×S2×…×Sn 构成，并且第 1 层的根结点有 |S1| 棵子树，则第 2 层共有 |S1| 个结点，第 2 层的每个结点有|S2|棵子树，则第3层共有|S1|×|S2|个结点，依此类推，第 n+1 层共有 |S1|×|S2|×…×|Sn| 个结点，他们都是叶子结点，代表问题的所有可能解。

回溯法

回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。

而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。

问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。

2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

换句话说，这个结点不再是一个活结点。

此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i 是递归深度；n 是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。

回溯法方法简介

回溯法方法简介
回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，用于求解问题的所有解或任意解。

它通过递归探索所有可能的解路径，并在此过程中剪枝无效的解路径。

当遇到一个不满足约束条件的解时，回溯法会回溯到上一个状态，并尝试其他可能的解。

回溯法的基本思想是将问题的解空间转化成图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历。

在搜索过程中，记录和寻找所有可行解或者最优解。

回溯法的应用非常广泛，包括组合优化、人工智能、机器学习等领域。

它是一种通用解题法，可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。

回溯法的优点是可以找到所有可能的解，并且在某些情况下可以找到最优解。

但是，它的缺点是对于大规模问题可能会非常慢，因为它的时间复杂度是指数级的。

因此，在实际应用中，通常需要结合其他算法和优化技巧来提高回溯法的效率和可扩展性。

文献回溯法

文献回溯法
文献回溯法是一种研究方法，用于检索、整理和评估特定主题的相关文献。

它运用了文献检索技术，以确定特定课题的概念框架和研究有关的文献，能够帮助研究者获得更完善的研究结果。

文献回溯法分为4步：第一步是主题明确，研究者需要确定关注的问题，比如什么样的内容需要研究；第二步是文献检索，研究者根据确定的问题，在相关的数据库进行检索，选择出符合要求的文章；第三步是数据分析，将检索出来的文献进行分析，提取主题研究所需要的重要信息；第四步是结论性评述，对于提取出来的重要信息，进行一定的分析和总结，做出结论。

文献回溯法可以有效地检索、整理和分析文献，并使研究者能够更加轻松地获得有价值的研究结果。

它还可以帮助研究者发掘新的研究方向，从而让研究者更加轻松的实现学术成果。

回溯法方法简介

回溯法方法简介回溯法（backtracking）是一种常用于解决组合优化问题和搜索问题的算法。

它通过逐步建立解决方案的过程，并在某一步发现不满足条件时回溯到前一步，尝试其他可能的选择，直至找到满足条件的解决方案或者确定无解。

回溯法的思想类似于穷举搜索，但通过一些剪枝等优化策略，可以提高搜索效率。

回溯法是许多经典算法问题的核心思想，如八皇后问题、0-1背包问题、图的着色问题等。

回溯法的过程通常包括五个步骤：1. 选择解空间；2. 约束条件；3. 判断当前解是否满足约束条件；4. 如果满足条件则记录当前解，否则回溯到前一步；5. 继续遍历其他分支，直至找到最终解或确定无解。

回溯法通常使用递归的方式来实现，其中递归函数包括参数表示当前搜索深度、当前解决方案、约束条件等信息。

在递归函数中，根据约束条件和当前解决方案，判断是否需要继续搜索或者回溯。

通过不断调用递归函数，可以逐步构建解空间，并寻找满足条件的解决方案。

回溯法的优点在于可以找到问题的所有解（或满足条件的解），适用于许多组合优化问题和搜索问题。

回溯法的搜索过程中可以使用剪枝等策略来提高效率，避免不必要的搜索。

回溯法的缺点在于可能需要遍历整个解空间，并且在某些情况下可能会导致比较大的时间复杂度。

回溯法在实际应用中有许多经典问题的解决方案。

八皇后问题是回溯法的典型案例。

八皇后问题是一个经典的棋盘游戏问题，要求在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得彼此之间不能相互攻击。

通过回溯法逐步尝试不同的布局，可以找到所有满足条件的解决方案。

同样，回溯法在解决0-1背包问题、图的着色问题、旅行推销员问题等组合优化问题中也有广泛的应用。

除了组合优化问题，回溯法也常用于搜索问题的解决。

在图的遍历中，可以使用回溯法来寻找从起点到终点的路径。

在人工智能领域，回溯法也常用于解决逻辑推理、规划等问题。

通过对搜索空间进行回溯和剪枝，可以高效地找到问题的解决方案。

回溯法是一种重要的算法思想，适用于解决组合优化问题和搜索问题。

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算法创新与实践论文
I
沈阳理工大学

算法实践与创新论文
题目回溯法的分析与应用
学生姓名：学号：
学生姓名：学号：
学生姓名：学号：
算法创新与实践论文

1
摘要
对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，算法是一系列解决问题的清晰指
令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。为了更加的
了解算法，本篇论文中，我们先研究一个算法---回溯法。

回溯法是一种常用的重要的基本设计方法。它的基本做法是在可能的范围之内搜索，
适于解一些组合数相当大的问题。圆排列描述的是在给定n个大小不等的圆 C1,C2,„,Cn,
现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求
从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。图着色问题用数学定义就是给定一个
无向图G=（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜
色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的
K值。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含
的“+”和“-”的个数相同。
在本篇论文中，我们将运用回溯法来解决着图的着色问题，符号三角形问题，图排
列问题，将此三个问题进行深入的探讨。

关键词: 回溯法图的着色问题符号三角形问题图排列问
题

I
算法创新与实践论文

1
目录
第1章引言 ........................................................................................................................................... 1
第2章回溯法的背景 ......................................................................................................................... 2
第3章图的着色问题 ........................................................................................................................... 4
3.1 问题描述 ................................................................................................................................... 4
3.2 四色猜想 ................................................................................................................................... 4
3.3 算法设计 ................................................................................................................................... 5
3.4 源代码 ....................................................................................................................................... 6
3.5 运行结果图 ............................................................................................................................. 10
第4章符号三角形问题 ................................................................................................................... 11
4.1 问题描述 ................................................................................................................................. 11
4.2 算法设计 ................................................................................................................................. 11
4.3 源代码 ..................................................................................................................................... 12
4.4 运行结果图 ............................................................................................................................. 16
第5章圆的排列问题 ....................................................................................................................... 17
5.1 问题描述 ................................................................................................................................. 17
5.2 问题分析 ................................................................................................................................. 17
5.3 源代码 ..................................................................................................................................... 18
5.4 运行结果图 ............................................................................................................................. 22
结论 ....................................................................................................................................................... 23
参考文献 ............................................................................................................................................... 24

II
算法创新与实践论文

1
第1章引言
在现实世界中，有相当一类问题试求问题的全部解或求问题的最优解。最基本的方
法是通过枚举法搜索问题的解空间。但许多问题解空间的大小随问题规模n的增长呈指
数规律增长，这就使问题理论上可解而实际不可行。为了使搜索空间减少到尽可能小，
就需要采用良好的搜索技术。回溯法就是一种较好的搜索技术。
回溯法又称为试探法，它是一种有效的试探回溯搜索技术。即运用回溯法求解问题
不是基于某种确定的法则，而是通过大量反复的试探和回溯。它的基本做法是搜索，能
避免不必要搜素的穷举式搜索。回溯法在问题的解空间树中按深度优先策略，从根结点
出发搜索解空间树，算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该节点是否包含问题的
解，如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否
则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。简单地说，采用回溯法求解问题的整个过
程贯穿了搜索---试探—决定回溯或前进这三种基本运算。
通过运用回溯法，可以解决很多问题，譬如我们所熟知的“八皇后问题”，“0/1背
包问题”，这只是在教学阶段中的运用，在实际运用中也产生很大的作用在学习过程中，
我们会遇到这样的问题，让我们去寻找给定问题的解集或者让我们找出满足某些约束条
件的最优解，这时候我们就可以采用回溯法来解决这一类的问题。通过运用回溯法，可
以解决很多问题，譬如我们所熟知的“八皇后问题”，“0/1背包问题”，这只是在教学阶
段中的运用，在实际运用中也产生很大的作用回溯法的优点是容易理解，可行性比较强。
[1]