高中数学例题：对数函数性质的综合应用

高中数学例题：对数函数性质的综合应用
例．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
（2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2
，求实数a 的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题.
()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数，
即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0∆≥.
【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3）
132
． 【解析】 （1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，
∴220x x a ++>恒成立，∴440a ∆=-<，∴1a >．
（2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ，
∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ∆=-≥，∴1a ≤．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只
需2C 过点1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211
log ()22a =即可，解得132
a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ⊆．
举一反三：
【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++.
(1)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）a>1；（2）0≤a ≤1．
【解析】(1) ()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2210ax x ++>的解集为R ，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ；
当a ≠0时，有⎩⎨⎧<-=∆>0
440a a ⇔ a>1.∴ a 的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数⇔ a=0或⎩
⎨⎧≥-=∆>0440a a ⇔0≤a ≤1， ∴ a 的取值范围为0≤a ≤1.
例9．已知函数()()lg x x f x a b =-（常数10a b >>>）．
（1）求()y f x =的定义域；
（2）在函数()y f x =的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴；
（3）当a ，b 满足什么关系时，()f x 在()1,+∞上恒取正值．
【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的真数为正，再利用指数运算性质求出定义域．（2）中证明是否存在要由单调性来确定，若单调递增或递减，就不存在两点两线平行于x 轴．
【答案】（1）()0,+∞（2）不存在（3）1a b ≥+
【解析】
（1）由0x x a b ->，得1x
a b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由10a b >>>，得1a b >，故0x >，即函数()f x 的定义域为()0,+∞．
（2）设120,10x x a b >>>>>，
1221
0,x x x x a a b b ∴>>>> 故1122
0,x x x x a b a b ∴->-> ()()1122lg lg ,x x x x a b a b ∴->-
即12()()f x f x >，
∴()f x 在()0,+∞上为增函数．
假设函数()y f x =的图象上存在不同的两点()11,A x y ，
()22,B x y ，使直线AB 平行于x 轴，即1212,x x y y ≠=，这与()f x 是增函数矛盾．
故函数()y f x =的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴．
（3）由（2）知()f x 在()0,+∞上是增函数
∴()f x 在()1,+∞上也是增函数
∴当()1,x ∈+∞时，()(1)f x f >
∴只需(1)0f ≥，即lg()0,1a b a b -≥-≥
∴当1a b ≥+时，()f x 在()1,+∞上恒取正值．
【总结升华】此题综合性较强，综合考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式1】已知()23()log ,0,x ax b f x x x
++=∈+∞，是否存在实数a 、b ，使()f x 同时满足下列两个条件：①在(]0,1上是减函数，[)1,+∞上是增函数；②()f x 的最小值是1．若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由．
【答案】1,1a b ==
【解析】设存在满足条件的a 、b
()f x 在(]0,1上是减函数，[)1,+∞上是增函数，
∴当1x =时，()f x 最小，从而31log 12,1
a b a b ++=⇒+= 设1201x x <<≤，则12()()f x f x >，
22112212
x ax b x ax b x x ++++∴>恒成立，
即()()1212120x x x x b x x -->恒成立， 又12120,0,x x x x -<>因此120x x b -<恒成立，从而1b ≥． 设341x x <<，则34()()f x f x <恒成立，化简得 ()()
343434
0x x x x b x x --<恒成立， 又34340,0,x x x x -<>所以34x x b >恒成立，故1b ≤． 综上，1,1a b ==．。