高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第三节 圆的方程课件 文 新人教A版
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高考数学总复习 第8章 第3讲 圆的方程课件 理 新人教A版
核心要点研究
例1
[2011· 辽宁高考 ] 已知圆 C 经过 A(5,1) ， B(1,3) 两点，
圆心在x轴上，则C的方程为________．
[解析] 依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2，把 所给两点坐标代入方程得
2 2 5－a ＋1＝r ， 2 2 1 － a ＋ 9 ＝ r ，
y－2 (2)设 k＝ ，则直线 kx－y－k＋2＝0 与圆(x＋2)2＋y2 x－1 ＝1 有公共点， |－3k＋2| 3－ 3 3＋ 3 ∴ ≤1.∴ 4 ≤k≤ 4 . 2 k ＋1 3＋ 3 3－ 3 ∴kmax＝ 4 ，kmin＝ 4 .
例3
[2013·淮北模拟]已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足
(3)方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心到2x＋y－1＝0的距
离________．
2．点与圆的位置关系 (1)理论依据：________与________的距离与半径的大小关 系．
(2)三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) ①____________⇔点在圆上； ②____________⇔点在圆外； ③____________⇔点在圆内．
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距， 当直线 y＝x＋b 与圆相切时， 纵截距 b 取得最大值或最小值， |2－0＋b| 此时 ＝ 3， 2 解得 b＝－2＋ 6或 b＝－2－ 6. 所以 y－x 的最大值为－2＋ 6， 最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几 何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值 和最小值． 又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3， x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何
1234
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
1234
②求△APQ面积的最大值.
1234
则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
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②求△APQ面积的最大值.
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则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
新教材高考数学一轮复习第八章8-3圆的方程课件新人教A版
过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.②
= 3,
联立①②,解得
= 0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径 r= (4-3)2 + (1-0)2 = 2,
所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2.
(方法 2)设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为点 A(4,1),B(2,1)都在圆 C
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 =
r2⇔点M在圆上;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2 >
r2⇔点M在圆外;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2 <
r2⇔点M在圆内.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C
的标准方程是(
)
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A
解析 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( × )
2
2
2
(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0
= 3,
联立①②,解得
= 0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径 r= (4-3)2 + (1-0)2 = 2,
所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2.
(方法 2)设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为点 A(4,1),B(2,1)都在圆 C
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 =
r2⇔点M在圆上;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2 >
r2⇔点M在圆外;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2 <
r2⇔点M在圆内.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C
的标准方程是(
)
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A
解析 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( × )
2
2
2
(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0
新人教版2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第3节圆与方程课件理新人教A版
(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0Байду номын сангаасx－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即|2a－2|＝|2a＋2|，解得
2
2
a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆
M
的半径为|2a－2|＝ 2
2，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
解析 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F
则F1＋＝10＋，D＋E＋F＝0，解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 4＋2D＋F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 法二 设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA＝1，kAB＝－1，所以 即 OA⊥AB，所以△OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 B
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实
() A.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 因为点(1，1)在圆的内部，
B.(0，1) D.a＝±1
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案 A
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，
径，则圆心为 C(1，0)，半径 r＝12|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2 2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径 r＝2|a2|＝ 2|a|.
又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到
高三数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程课件 理 新人教A版
第十七页，共36页。
若本例中的条件不变． (1)求xy＋＋21的最大值和最小值； (2)求 x－2y 的最大值和最小值． 【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆． xy＋＋21的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， 设xy＋＋21＝k，即 y＋2＝k(x＋1)．
∴半径 r＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
第十一页，共36页。
用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆 心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方 程组求解．②若已知条件没有明确(míngquè)给出圆的圆心 或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组 求解．
第四页，共36页。
1．(人教 A 版教材习题改编)圆的方程为 x2＋y2＋2by－ 2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)， 3b
B．(0，b)， 3|b|
C．(0，－b)， 3b
D．(0，－b)， 3|b|
【解析】 圆的标准方程为 x2＋(y＋b)2＝3b2， 从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为 3|b|.
第二十七页，共36页。
从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高 考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空 题的形式考查(kǎochá)圆的定义及标准方程的求法，另一类 是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及 圆的几何性质的考查(kǎochá)，在求解与圆有关的解答题 时，应注意解题的规范化．
第二十二页，共36页。
1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在 点M、O、N三点共线(ɡònɡ xiàn)时，点P是不存在的，故所 求的轨迹中应除去两点．
若本例中的条件不变． (1)求xy＋＋21的最大值和最小值； (2)求 x－2y 的最大值和最小值． 【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆． xy＋＋21的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， 设xy＋＋21＝k，即 y＋2＝k(x＋1)．
∴半径 r＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
第十一页，共36页。
用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆 心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方 程组求解．②若已知条件没有明确(míngquè)给出圆的圆心 或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组 求解．
第四页，共36页。
1．(人教 A 版教材习题改编)圆的方程为 x2＋y2＋2by－ 2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)， 3b
B．(0，b)， 3|b|
C．(0，－b)， 3b
D．(0，－b)， 3|b|
【解析】 圆的标准方程为 x2＋(y＋b)2＝3b2， 从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为 3|b|.
第二十七页，共36页。
从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高 考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空 题的形式考查(kǎochá)圆的定义及标准方程的求法，另一类 是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及 圆的几何性质的考查(kǎochá)，在求解与圆有关的解答题 时，应注意解题的规范化．
第二十二页，共36页。
1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在 点M、O、N三点共线(ɡònɡ xiàn)时，点P是不存在的，故所 求的轨迹中应除去两点．
2024届新高考一轮复习人教A版 第8章 第3讲 圆的方程 课件(62张)
第八章 解析几何
第三讲 圆的方程
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理 · 双基自测
知识点一 圆的定义及方程
定义 平面内到__定__点____的距离等于__定__长___的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝ 圆心 C：_(a_，__b_)__
A＝C≠0，
B＝0， D2＋E2－4F>0.
题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( × ) (3)若A(2,0)，B(0，－4)，则AB以为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋ 2)2＝5.( √ )
5．(2020·高考全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到
直线 2x－y－3＝0 的距离为( B )
5 A. 5
B．2
5 5
35 C. 5
D．4 5 5
[解析] 设圆心为 P(x0，y0)，半径为 r，∵圆与 x 轴，y 轴都相切， ∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r 且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2， ∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得 r＝1 或 r＝5.①r＝1 时，圆心 P(1,1)，则圆 心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝ |222－＋1－－31|2＝255；②r＝5 时，圆心 P(5,5)，则圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝ |1202－＋5－－13|2＝255.故选 B.
_(y_－__1_)_2＝__1_26_59_或__(_x_－__2_)_2＋__(_y_－__1_)_2＝__5___. (4)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在
第三讲 圆的方程
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理 · 双基自测
知识点一 圆的定义及方程
定义 平面内到__定__点____的距离等于__定__长___的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝ 圆心 C：_(a_，__b_)__
A＝C≠0，
B＝0， D2＋E2－4F>0.
题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( × ) (3)若A(2,0)，B(0，－4)，则AB以为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋ 2)2＝5.( √ )
5．(2020·高考全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到
直线 2x－y－3＝0 的距离为( B )
5 A. 5
B．2
5 5
35 C. 5
D．4 5 5
[解析] 设圆心为 P(x0，y0)，半径为 r，∵圆与 x 轴，y 轴都相切， ∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r 且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2， ∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得 r＝1 或 r＝5.①r＝1 时，圆心 P(1,1)，则圆 心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝ |222－＋1－－31|2＝255；②r＝5 时，圆心 P(5,5)，则圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝ |1202－＋5－－13|2＝255.故选 B.
_(y_－__1_)_2＝__1_26_59_或__(_x_－__2_)_2＋__(_y_－__1_)_2＝__5___. (4)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在
高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程课件
√ √
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2， －2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的 轨迹方程．
【教师备用】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边 形MONP，求点P的轨迹．
位置关系
几何法
判断方法 代数法
点M(x0，y0)在圆A内 |MA|<r
<
<
点M(x0，y0)在圆A上 |MA|＝r
＝
＝
点M(x0，y0)在圆A外 |MA|>r
>
>
点拨 求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC， AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐 标和半径．
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下 题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题 中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结 论．
【教师备用】 拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称 之为阿波罗尼斯圆．
第八章 解析几何 第3课时 圆的方程
考点一 圆的方程 1．圆的定义及方程
定义 标准方程
平面定上点到____的距离等于_定___长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第3节 圆的方程课件 文
12/11/2021
第七页，共四十五页。
栏目导航
2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方 程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 a，b 为定值， r 是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 r 为 定值，a，b 是参数．
12/11/2021
第十九页，共四十五页。
栏目导航
与圆有关(yǒuguān)的最值问题
►考法 1 斜率型最值问题 【例 1】 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，则xy的最 大值为________，最小值为________．
12/11/2021
第二十页，共四十五页。
解析答案
栏目导航
12/11/2021
第十八页，共四十五页。
栏目导航
[规律方法] 求圆的方程的方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程， 求出 a，b，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程 组，进而求出 D，E，F 的值．
径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝ 2
C．x2＋y2＝1
D．x2＋y2＝4
A [AB 的中点坐标为(0,0)，|AB|＝ [1－－1]2＋－1－12 ＝2 2，所以圆的方程为 x2＋y2＝2.]
12/11/2021
第十页，共四十五页。
解析答案
栏目导航
3．点(m2,5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( )
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程课件
解析 因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5 的圆心 (－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径 为 5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
12/11/2021
第二十二页，共四十七页。
命题角度 2 圆自身对称 例 3 若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9 上的相异两点 P，Q 关 于直线 kx＋2y－4＝0 对称，则 k 的值为___2_____． 解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称 轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线 kx＋2y－4＝ 0 过圆心，则 k×(－1)＋2×3－4＝0，解得 k＝2.
(2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然 后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利 用基本不等式求最值是比较常用的.
12/11/2021
第三十一页，共四十七页。
考向 与圆有关的轨迹问题
例 6 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内 一点，P，Q 为圆上的动点．
12/11/2021
第十六页，共四十七页。
(2)[2016·天津高考]已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 455，则圆 C 的方程为____(_x_－__2_)_2＋__y_2_＝__9_______．
解析 设圆 C 的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可
径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋2ax＋y2＝0 一定表示圆．( × ) (4)方程 x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条
件是 B＝0，D2＋E2－4F>0.( √ ) (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
12/11/2021
第二十二页，共四十七页。
命题角度 2 圆自身对称 例 3 若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9 上的相异两点 P，Q 关 于直线 kx＋2y－4＝0 对称，则 k 的值为___2_____． 解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称 轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线 kx＋2y－4＝ 0 过圆心，则 k×(－1)＋2×3－4＝0，解得 k＝2.
(2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然 后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利 用基本不等式求最值是比较常用的.
12/11/2021
第三十一页，共四十七页。
考向 与圆有关的轨迹问题
例 6 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内 一点，P，Q 为圆上的动点．
12/11/2021
第十六页，共四十七页。
(2)[2016·天津高考]已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 455，则圆 C 的方程为____(_x_－__2_)_2＋__y_2_＝__9_______．
解析 设圆 C 的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可
径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋2ax＋y2＝0 一定表示圆．( × ) (4)方程 x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条
件是 B＝0，D2＋E2－4F>0.( √ ) (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
高考数学总复习 第8章 第3节 圆的方程课件 新人教A版
2．与圆有关的最值问题的应用．
【典例剖析】 (1)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y
－14＝0 的最大距离与最小距离的差是 A．30 C ．6 2 B．18 D．5 2
(2)已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y ①求 的最大值和最小值； x ②求 y－x 的最大值和最小值； ③求 x2＋y2 的最大值和最小值．
方程为________．
解析：设圆心坐标为 C(a,0)， 由|CA|＝|CB|得 a－52＋－12＝ a－12＋－32，解得 a＝2， ∴圆心为(2,0)，半径为 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
【考向探寻】 1．求圆的标准方程和一般方程．
【典例剖析】
(1)动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上 移 动 时 ， 它 与 定 点 B(3,0)的连线的中点的轨迹方程是 A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3) ＋4y ＝1
2 2
B．(x－3)2＋y2＝1
32 2 1 D.x＋2 ＋y ＝ 2
(2)(2013· 沧州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 x2 ＋y2＝4 上有且只有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是________． (3)(12 分)(2013· 江门模拟)在直角坐标系 xOy 中， 以O为 圆心的圆与直线 x－ 3y＝4 相切． ①求圆 O 的方程； ②圆 O 与 x 轴交于 A、 B 两点， 圆内的动点 P 使|PA|， |PO|， → → |PB|成等比数列，求PA· PB的取值范围．
2．从圆的标准方程和一般方程中得出相关信息(如圆心、半
径等)．
【典例剖析】 (1)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y
－14＝0 的最大距离与最小距离的差是 A．30 C ．6 2 B．18 D．5 2
(2)已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y ①求 的最大值和最小值； x ②求 y－x 的最大值和最小值； ③求 x2＋y2 的最大值和最小值．
方程为________．
解析：设圆心坐标为 C(a,0)， 由|CA|＝|CB|得 a－52＋－12＝ a－12＋－32，解得 a＝2， ∴圆心为(2,0)，半径为 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
【考向探寻】 1．求圆的标准方程和一般方程．
【典例剖析】
(1)动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上 移 动 时 ， 它 与 定 点 B(3,0)的连线的中点的轨迹方程是 A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3) ＋4y ＝1
2 2
B．(x－3)2＋y2＝1
32 2 1 D.x＋2 ＋y ＝ 2
(2)(2013· 沧州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 x2 ＋y2＝4 上有且只有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是________． (3)(12 分)(2013· 江门模拟)在直角坐标系 xOy 中， 以O为 圆心的圆与直线 x－ 3y＝4 相切． ①求圆 O 的方程； ②圆 O 与 x 轴交于 A、 B 两点， 圆内的动点 P 使|PA|， |PO|， → → |PB|成等比数列，求PA· PB的取值范围．
2．从圆的标准方程和一般方程中得出相关信息(如圆心、半
径等)．
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解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，所以 (1－a)2＋(1＋a)2＜4. 即 a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1)
对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆时易忽视 D2
＋E2－4F＞0 这一成立条件． [小题纠偏]
方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件是 ( )
2．确定圆心位置的 3 种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练 透”第 1 题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分 运用圆的几何性质．
考点二 与圆有关的最值问题 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
＝0，求xy的最大值和最小值．
解析
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴
上的截距，如图所示，当直线y＝x
＋b与圆相切时，纵截距b取得最大
值或最小值，此时 |2－0＋b| ＝ 2
3，
解得b＝－2± 6 .所以y－x的最大值
为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
第三节
圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定__点__的距离等于定__长__的点的集合(轨迹)
标准方程 (_x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2_＝__r_2(_r_＞__0_) 圆心：(_a_，__b_)，半径：_r
x__2＋__y_2_＋__D_x_＋___E_y_＋__F_＝__0_， 圆心：_－__D2_，__－__E_2__，
()
A．.53
B．
21 3
C．2 3 5
D．43
解析
[谨记通法] 1．求圆的方程的 2 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半 径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一 般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求 出 D，E，F 的值．
A．14＜m＜1
B．m＜14或 m＞1
解C析．：m＜由14(4m)2＋4－4×5m＞0D，．得m＞m1＜14或 m＞1.
答案：B
考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与
y 轴相切，则圆 C 的方程为
[小题体验]
1．(教材习题改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：D
2．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方
程是
一般方程
(D2＋E2－4F＞0)
半径：_12__D__2＋___E_2_－__4_F_
2．点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－__a_)_2＋__(_y_0－__b_)_2_＞__r2_. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
()
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3
B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4
D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析
2．(2016·石家庄一检)若圆 C 的半径为 1，点 C 与点(2,0)关于
点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为
()
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标 公式可得 C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2＋y2＝1. 答案：A
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，
则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为
()
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
解：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r＝|b|，
∴圆的方程为 x2＋(y－b)2＝b2.
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得 b＝5.
∴圆的方程为 x2＋y2－10y＝0.
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查 数形结合与转化思想．
常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．
[题点全练] 角度一：斜率型最值问题 1．(2016·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1
角度四：建立目标函数求最值问题
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0), B(m,0)
(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的
最大值为
()
A．7
B．6
C．5
D．4
答案：B
3．(教材习题改编)已知圆心为 C 的圆过点 A(1,1)，B(2，－2) 且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上，则圆的标准方程为 ________________________．
答案：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取 值范围是________．
角度三：距离型最值问题 3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．
解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一 点与原点距离的平方，由平面几何 知识知，在原点和圆心连线与圆的 两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为
2－02＋0－02＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2的最小 值是(2－ 3)2＝7－4 3.
对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆时易忽视 D2
＋E2－4F＞0 这一成立条件． [小题纠偏]
方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件是 ( )
2．确定圆心位置的 3 种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练 透”第 1 题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分 运用圆的几何性质．
考点二 与圆有关的最值问题 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
＝0，求xy的最大值和最小值．
解析
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴
上的截距，如图所示，当直线y＝x
＋b与圆相切时，纵截距b取得最大
值或最小值，此时 |2－0＋b| ＝ 2
3，
解得b＝－2± 6 .所以y－x的最大值
为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
第三节
圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定__点__的距离等于定__长__的点的集合(轨迹)
标准方程 (_x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2_＝__r_2(_r_＞__0_) 圆心：(_a_，__b_)，半径：_r
x__2＋__y_2_＋__D_x_＋___E_y_＋__F_＝__0_， 圆心：_－__D2_，__－__E_2__，
()
A．.53
B．
21 3
C．2 3 5
D．43
解析
[谨记通法] 1．求圆的方程的 2 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半 径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一 般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求 出 D，E，F 的值．
A．14＜m＜1
B．m＜14或 m＞1
解C析．：m＜由14(4m)2＋4－4×5m＞0D，．得m＞m1＜14或 m＞1.
答案：B
考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与
y 轴相切，则圆 C 的方程为
[小题体验]
1．(教材习题改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：D
2．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方
程是
一般方程
(D2＋E2－4F＞0)
半径：_12__D__2＋___E_2_－__4_F_
2．点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－__a_)_2＋__(_y_0－__b_)_2_＞__r2_. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
()
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3
B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4
D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析
2．(2016·石家庄一检)若圆 C 的半径为 1，点 C 与点(2,0)关于
点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为
()
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标 公式可得 C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2＋y2＝1. 答案：A
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，
则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为
()
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
解：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r＝|b|，
∴圆的方程为 x2＋(y－b)2＝b2.
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得 b＝5.
∴圆的方程为 x2＋y2－10y＝0.
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查 数形结合与转化思想．
常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．
[题点全练] 角度一：斜率型最值问题 1．(2016·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1
角度四：建立目标函数求最值问题
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0), B(m,0)
(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的
最大值为
()
A．7
B．6
C．5
D．4
答案：B
3．(教材习题改编)已知圆心为 C 的圆过点 A(1,1)，B(2，－2) 且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上，则圆的标准方程为 ________________________．
答案：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取 值范围是________．
角度三：距离型最值问题 3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．
解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一 点与原点距离的平方，由平面几何 知识知，在原点和圆心连线与圆的 两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为
2－02＋0－02＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2的最小 值是(2－ 3)2＝7－4 3.