趣味数学157：《九章算术》中的应用题
九章算术典型例题
九章算术典型例题
《九章算术》是中国古代的数学著作，其中包含了大量的问题和解答，下面是一些典型的例题及其解答。
例题1：今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。
欲以钱数多少衰出之，问各几何？
答曰：甲出五十五钱，乙出八十五钱，丙出一钱。
例题2：今有北乡算（算：西汉的人头税）八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六。
凡三乡，发徭三百七十八人。
欲以算数多少衰出之，问各几何？
答曰：北乡遣一百三十三人，西乡遣一百一十二人，南乡遣一百二十七人。
例题3：今有女子不善织布，逐日减损，月一成一匹，四月不满匹半。
问日织几何？
答曰：一日中分五分匹之，又减半两分两之。
《九章算术》中的数学问题
《九章算术》中的数学问题《九章算术》是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。
作者不详，写作的年代也无法确定。
虽然它比《周髀算经》更为完善和先进，但人们推定《九章算术》的年代却比《周髀算经》更早。
这真是有点奇怪。
《周礼保氏》中就说王子们必须学习“九数”，东汉末年的经学家郑玄作注，其内容与《九章算术》的篇名几乎完全相同。
郑玄虽然是经学家，但他的算学水平绝对是一流的，当时就是因为他曾帮助老师经学大师马融解决了一道数学难题，马融才将所有的学问传给了他。
至于《九章算术》是否就是“九数”，尚须进一步讨论。
《九章算术》其实就是研究九个问题的习题集。
每道题有问有答有术（解决方法），有的是一题一术，有的是多题一术，有的则是一题多术，全书九章，涉及的都是现实生活中的实际应用问题。
第一章，讲“方田”，38个问题21种解决方法，主要论述了各种平面图形的地亩面计算法及分数的运算法则。
其中平面图形有方田（长方形田地）、圭田（等腰三角形田地）、邪田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（球冠行田地）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田采用近似计算法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的。
其中分数运算法则包括约分术（约分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（分数比较大小）、平分术（求分数的平均值）、经分术（分数除法）、乘分术（分数乘法）及大广田术（带分数乘法）。
第二章，讲“粟米”，46问33术，主要论述了二十种谷物、米或饭的兑换比率及四项比例算法。
其四项比例算法当时称为“今有术”。
前31问都是用四项比例算法计算的谷物兑换问题，后15问则是以钱买物的问题，再后15问中共列四术，即经率术、经术术、其率术和反其率术，这四术都是四项比例算法的特殊情况。
这很有点像经济学的雏形。
第三章衰分，20问22术，主要论述比例分配，包括质量不一的货物的税收问题，还有算术级数和几何级数方面的其他问题。
九章算术方程题目解析
九章算术方程题目解析
在九章算术中，方程题目是数学中的重要部分。
方程题目要求我们找到一个或
多个未知数的值，使得方程两边相等。
下面将对九章算术中一些常见的方程题目进行解析。
1. 一元一次方程
一元一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解
这类方程可以采用平衡法，移项得到x = (c - b) / a。
注意，当a等于0时，方程没
有解或有无数解。
2. 一元二次方程
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解这类方程可以利用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
注意，当判别式(b^2 - 4ac)小于0时，方程无解。
3. 分式方程
分式方程是含有分式的方程。
解这类方程的关键是化简分式，将分母消去或通分，使得方程化为整式方程。
然后按照一元一次方程或一元二次方程的方法解。
4. 线性方程组
线性方程组是包含多个方程的方程组，每个方程中包含相同的未知数。
解线性
方程组可以通过消元法、代入法或矩阵法等方法。
目标是找到使得所有方程都成立的未知数的值。
总结来说，九章算术中的方程题目可分为一元一次方程、一元二次方程、分式
方程和线性方程组。
解这些方程题目的关键是灵活应用解方程的方法，将问题转化为求解未知数的表达式。
掌握这些解题方法有助于我们更好地理解和应用数学知识。
数学史趣味题
《九章算术》篇《九章算术》全书收集了实际的数学问题共246个，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等9章，所以定名为《九章算术》。
1．《九章算术》章约成书于东汉之初，共有（）个问题的解法。
如联立议程分数四则运算正负数运算，几何图形的体积面积计算等5612323246（对）2．下列哪个选项不属于《九章算术》的章节方田衰分粟米筑房（对）3．下列哪个选项不属于《九章算术》的章节商功均衡积多（对）少广4．“杨辉三角”出现在下列哪部古代数学著作中《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》《乘除变通运算宝》《详解九章算法》（对）沈括篇1. 下列哪个选项不是我国著名科学家沈括的作品《续笔谈》《补笔谈》《梦溪笔谈》《九章算术》（对）2.下列与中国古代数学家沈括相关的表叙中不正确的是?沈括解决了球体体积的计算问题(对)沈括绘制了一套中国地图集《天下州县图》沈括利用组合思想计算了一切可能的棋局布局数沈括创立了“隙积术”，解决了累积、层坛。
字数问题有这样一段文字“我爱梦幻西游我爱梦幻西游我爱梦幻西游。
”请问这段文字的中的第3547个字是什么？游爱我（对）西解题方法:用总字数除6,然后取余数.点与点的计算1．在X轴Y轴平面上，有以91。
65为圆心直径为68的圆，以下哪点不上该圆内（89．57）（91．81）（81．85）（169．136）(对)圆内的点,其X或Y值都应该在圆心坐标+-半径的范围内2在X轴与Y轴平面上，以下哪个点与点（21。
32）的距离紧近（122．-12）（对）（295，107）（12．213）（209．248）点到点的距离的计算公式:根号下（X2-X1）平方+（Y2-Y1）平方纯数学计算1，请问82。
49。
33。
15中较大的两个数之积与余下的两个数之积的差是多少？3523（对）3619361215822．请问67。
85。
51中最大数的平方与余下的两个数之积的差是多少？3808（对）383938553848以上两种算尾数即可3.1+2+3+。
九章算术分数的通分计算例题讲解
九章算术分数的通分计算例题讲解1. 了解九章算术分数的基本概念九章算术分数是我国古代数学著作《九章算术》中所涉及的一种分数运算。
在九章算术中，分数的概念被广泛地运用于实际问题的求解中，其中包括了通分、异分、化简等运算。
而通分作为分数运算中的一种重要技巧，对于解决实际问题和深入理解分数的运算规律具有重要意义。
2. 通分的概念和意义通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的操作。
在实际运用中，通分可以使得分数之间的比较变得更加方便，同时也便于分数的加减乘除运算。
通分是分数运算中一个基础且重要的技巧，对于深入理解分数运算规律具有不可或缺的作用。
3. 通分的计算方法通分的计算方法主要包括以下几种情况：a. 确定需要通分的分数，并列出各个分数的分母；b. 将各个分数的分母之间进行比较，并找到它们的最小公倍数；c. 根据最小公倍数，分别将每个分数的分子进行等比例的乘法变换，使得分数的分母一致；d. 对于通分后的分数，即可便于进行进一步的运算和比较。
4. 九章算术分数的通分计算例题讲解接下来，我们通过具体的例题来进行九章算术分数的通分计算讲解，以帮助大家更好地理解和掌握通分的技巧和方法。
例题1：计算分数1/2、2/3、3/4的通分分数。
解题思路：a. 确定需要通分的分数：1/2、2/3、3/4；b. 分别列出各个分数的分母：2、3、4；c. 找到它们的最小公倍数：最小公倍数为12；d. 对于1/2分数，分子乘以6得到通分后的分数6/12；e. 对于2/3分数，分子乘以4得到通分后的分数8/12；f. 对于3/4分数，分子乘以3得到通分后的分数9/12。
分数1/2、2/3、3/4的通分分数为6/12、8/12、9/12。
5. 总结及个人观点通过以上例题的讲解，我们不仅了解了九章算术分数的通分计算方法，同时也对分数运算中的通分技巧有了更深入的理解。
通分作为分数运算中的一个基础技巧，对于解决实际问题和提高数学运算能力具有重要作用。
九章算术中的十大经典问题
九章算术中的十大经典问题九章算术是中国古代数学的重要著作之一，其内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域，对中国古代数学的发展产生了深远的影响。
其中，九章算术中的十大经典问题是中国古代数学中的经典之作，这些问题不仅在古代有着广泛的应用，而且在现代数学中也有着重要的地位。
本文将对九章算术中的十大经典问题进行详细的介绍和分析。
一、两舍弃一“两舍弃一”是九章算术中的第一大问题，其内容为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。
问雉兔各几何？”这个问题的解法是：设雉有x只，兔有y只，则有两个方程式：x+y=35，2x+4y=94。
通过解这两个方程式，可以得出雉有15只，兔有20只。
二、百钱买百鸡“百钱买百鸡”是九章算术中的第二大问题，其内容为：“鸡犬同笼，上有百头，下有百足。
问鸡几何？”这个问题的解法是：设鸡有x只，狗有y只，则有两个方程式：x+y=100，2x+4y=200。
通过解这两个方程式，可以得出鸡有50只，狗有50只。
三、五家渠“五家渠”是九章算术中的第三大问题，其内容为：“五家渠，田方百亩，一夫二亩，各自耕戍，相望而不相害，问可耕几何？”这个问题的解法是：设有x个人耕种，则有一个方程式：2x=100，解得x=50。
因此，五家渠可耕50亩。
四、举铁砣以十为斤，问几何？”这个问题的解法是：设铁砣重x斤，则有一个方程式：x/10=1，解得x=10。
因此，铁砣重10斤。
五、买麻布“买麻布”是九章算术中的第五大问题，其内容为：“买麻布，五丈余，割去一丈五尺，问剩几何？”这个问题的解法很简单，直接用五丈减去一丈五尺即可，即五丈减一丈五尺等于三丈五尺。
六、三斗鸡“三斗鸡”是九章算术中的第六大问题，其内容为：“三斗鸡，五方雉，七十二子，问鸡、雉、子各几何？”这个问题的解法是：设鸡有x只，雉有y只，子有z个，则有三个方程式：3x+5y+0.5z=72，x+y=8，z=72。
通过解这三个方程式，可以得出鸡有21只，雉有3只，子有72个。
九章算术经典题目及解析
九章算术经典题目及解析
《九章算术》是中国古代数学专著，其经典题目包括：
1. 鸡兔同笼问题：已知一笼子里有鸡和兔子，已知头数和脚数，求鸡和兔子各多少只。
这个问题可以用简单的代数方法解决。
2. 雨淋原谷仓的面积问题：原谷仓的上部呈三角形，下部呈矩形，已知矩形的长和宽，以及三角形的高和底，求雨淋原谷仓的面积。
这个问题需要用到三角形的面积公式和矩形的面积公式。
3. 汉诺塔问题：有三根柱子，第一根柱子上从小到大叠放着一些圆盘。
要求将第一根柱子上的圆盘移动到第三根柱子上，每次只能移动一个圆盘。
这个问题可以用递归的方法解决。
4. 引葭赴岸问题：有一水池，形状是正方形，边长为1丈，池中生有一棵芦苇，露出水面1尺。
将芦苇拉到岸边，则芦苇和岸边恰好重合。
求水深和芦苇长度。
这个问题可以用勾股定理来解决。
5. 二人同耘问题：二人同时从两头耕作，甲耕了一亩三分四厘，乙耕了一亩三分六厘。
各人所耕的长度虽然不等，但是耕了半个时辰便完成了。
问田长多少里？这个问题可以用比例的方法解决。
6. 女子三日归家问题：一家有三个女儿都已出嫁。
大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家。
某个日子三个女儿同时回到娘家，问三个女儿下一次何时能再次同时回娘家？这个问题可以用最小公倍数来解决。
7. 百羊问题：牧场上有100只羊，牧羊人要从中选出10只羊来放牧。
问题是：选出的羊中至少有几只羊是同一性别？这个问题可以用抽屉原理来解决。
以上是《九章算术》中的一些经典题目及解析。
趣味数学157：《九章算术》中的应用题
《九章算术》中一些常见的应用题下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。
从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，力卩深对传统文化的认识，都有一定好处。
原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
译述：“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么” 的意思是“这样就得到什么数”。
“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。
“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问：本持米几何？” 一一有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收税，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。
问：这个人本来带了多少米？3“答曰：十斗九升八分升之三。
”一一答案是：10斗9-升。
8“术曰：置米五斗以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
”一一解法是：用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数，以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。
这样就得到斗数。
5X 3X 5X 7-[(3 —1) X (5 —1) X (7—1)] = 10.9375(斗)，10.9 斗= 10斗9 升, 0.0375升二3升，所以，这个人本来带了10斗9-升米。
8 81 1 1 6 4 2现在的解法是：5- (1 —-) - (1—-) - (1 —-) = 5- - - - - - = 57 5 3 7 53X 7X 5X 3= 5X 7X 5X 3* 6* 4* 2= ，与上式基本相同。
-42原题2:今有凫(f 0起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。
今凫雁俱起，问：何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法， 日数相乘为实。
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《九章算术》中一些常见的应用题
下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。
从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，加深对传统文化的认识，都有一定好处。
原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
译述：
“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么”的意思是“这样就得到什么数”。
“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。
“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问：本持米几何？”——有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收税，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。
问：这个人本来带了多少米？
“答曰：十斗九升八分升之三。
”——答案是：10斗98
3升。
“术曰：置米五斗以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
”——解法是：用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数，以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。
这样就得到斗数。
5×3×5×7÷[(3－1)×(5－1)×(7－1)]＝10.9375(斗)，10.9斗＝
10斗9升，0.0375升＝83升，所以，这个人本来带了10斗98
3升米。
现在的解法是：5÷(1－71)÷(1－51)÷(1－31)＝5÷76÷54÷3
2＝5×67×45×2
3＝5×7×5×3÷6÷4÷2＝……，与上式基本相同。
原题2：今有凫(f ú)起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。
今凫
雁俱起，问：何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实。
实如法得一日。
“凫”就是野鸭。
译述：
“今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。
今凫雁俱起，问：何日相逢？”——野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天。
野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？
“答曰：三日十六分日之十五”——答案是：316
15日。
“术曰：并日数为法，日数相乘为实。
实如法得一日。
”——解法是：以各自需要的天数的和为除数，以各自需要的天数的积为被除数。
这样就得到日数。
(7×9)÷(7＋9)＝
1663＝316
15(日) 现在的解法是：1÷(71＋91)＝1÷9779⨯+＝(7×9)÷(7＋9)＝316
15(日)，与上式基本相同。
原题3：今有善行者一百步，不善行者六十步。
今不善行者先行一百步，善行者追之。
问：几何步及之？答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。
以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。
实如法得一步。
译述：
“今有善行者一百步，不善行者六十步。
今不善行者先行一百步，善行者追之。
问：几何步及之？”——有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。
善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步。
现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？
“答曰：二百五十步。
”——答案是：250步。
“术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。
以善
行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。
实如法得一步。
”——解法是：用善于走路的人的100步，减不善于走路的人的60步，所得的差40步为除数，用善于走路的人的100步，乘不善于走路的人先走的100步，所得的积为被除数。
这样就得到步数。
100×100÷(100－60)＝250(步)
现在的解法是：100÷(100－60)×100＝250(步)，与上式基本相同。
原题4：今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。
今载太仓粟输上林五日三返。
问：太仓去上林几何？答曰：四十八里十八分里之十
一。
术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。
实如法得一里。
译述：
“乘传”的意思是驾马车在驿站间行驶。
“委输”的意思是把货物放在车上运到别处。
“今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。
今载太仓粟输上林五日三返。
问：太仓去上林几何？”——驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里。
现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次。
问：太仓距上林多少里？
“答曰：四十八里十八分里之十一。
”——答案是：4818
11里。
“术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。
实如法得一里。
”——解法是：空车与重车所行里数的和乘3作为除数，空车与重车所行里数相乘的积乘5作为被除数。
这样就得到里数。
70×50×5÷[(70＋50)×3]＝4818
11(里) 现在的解法是：5÷[(701＋501)×3]＝5÷50
703)7050(⨯⨯+＝3)7050(50705⨯+⨯⨯＝4818
11(里)，与上式基本相同。
原题5：今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。
今皆决之，问：几何日满也？答
曰：七十四分日之十五。
术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。
(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。
并之，得四满十五分满之十四也。
)以一日为实。
实如法得一日。
译述：
“今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。
今皆决之，问：几何日满也？”——一个水池有五条进水渠。
单开第一条水渠3
1日注满，单开第二条水渠1日注满，单开第三条水渠22
1日注满，单开第四条渠3日注满，单开第五条水渠5日注满。
五条水渠一齐开，问：几日注满水池？
“答曰：七十四分日之十五。
”——答案是：74
15日。
“术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。
(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。
并之，得四满十五分满之十四也。
)以一日为实。
实如法得一日。
”——解法是：把各渠一日注满水池的次数相加作为除数。
(按照这个方法：第一条水渠1日注满3次，第二条水渠1日注满1次，第三条水渠1日注满水池的52，第四条水渠1日注满水池的3
1，第五条水渠1日注满水池的51。
加在一起，得415
14。
)以1日为被除数。
这样就得到日数。
1÷(3＋1＋52＋31＋51)＝74
15(日) 现在的解法是：1÷(311＋1＋2
121＋31＋51)＝1÷(3＋1＋52＋31＋51)＝74
15(日)，与上式基本相同。
从以上各题可以看出：《九章算术》所提供的解题方法的确很便捷，非常有利于数学知识的普及，不足之处是缺少对对算理的阐述，好在这个缺憾在刘徽的注释中有所弥补，这是值得庆幸的。