命题、定理与证明

13.1命题、定理与证明
学习目标：了解什么是命题，能正确区分命题的题设和结论，能把命题改写成“如果…那么…”的形式。

了解公理和定理的概念及公理与定理的区别。

能认识真命题和假命题。

一、自主学习
1.试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（）
（2）两直线平行，同位角相等；（）
（3）同旁内角相等，两直线平行；（）
（4）平行四边形的对角线相等；（）
（5）直角都相等．（）
2.判断一件事情是_______或________的句子叫做命题，其中正确的命题叫做___________,错误的命题叫做_____________.
3.练习：下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
(1)、猪有四只脚； (2)、三角形两边之和大于第三边；
(3)、画一条线段； (4)、四边形都是菱形；
(5)、你的作业做完了吗？ (6)、多边形的外角和等于180度；
(7)、过点P做线段MN的垂线。

(8)、一个锐角与一个钝角的和等于一个平角。

4.命题由___________和_________两部分组成. 这样的命题常可写成__________________的形式.
二、合作探究
例如：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
“如果两个角是对顶角”是已知事项，就是命题的题设部分；“那么这两个角相等”是由已知事项推出的事项，就是命题的结论部分；
例1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论。

练习：把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论。

（1）全等三角形的对应边相等；
（2）平行四边形的对边相等；
（3）等腰三角形的两个底角相等
定理与公理的判别：___________需要证明，证明之后就可以直接加以运用，而__________则不需要证明，可以直接加以运用，也可以用来证明_____________. 例如下列的真命题作为公理：
1).一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
3)两点之间，线段最短．（阅读教材55-56页）
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

例2：证明：直角三角形的两个锐角互余。

已知：如图19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°求证：∠A＋∠B＝90°．
公理、定理、命题的关系：
真命题
公理（真确性由实践总结）
命题定理（真确性通过推理证实）
三、展示提升
1.下列语句中不是命题的是（）
A 延长线段A
B B 自然数也是整数
C 两个锐角的和一定是直角
D 同角的余角相等
2 下列四个命题中是真命题的有（）
（1）同位角相等；（2）相等的角是对顶角；
（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）三个内角相等的三角形是等边三角形
图19.1.1
Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个
3.把“对顶角相等”改成“如果…… ,那么……”的形式是
______________________________________________________________.
4.判断：
（1）所有的命题都是公理。

（2）所有的真命题都是定理。

（3）所有的定理是真命题。

（4）所有的公理是真命题。

5.在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C．•以其中两个作为条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，•写出一个你认为正确的命题．
四、练习
1.教材55页练习
2.“互补的两个角一定是一个钝角一个锐角”是_______命题,我们可举出反例
3. 已知四个命题：(1)如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；(2)一个数的倒数等于它本身，则这个数是１；(3)一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；(4)如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有 ( )
Ａ．１个Ｂ．２个
Ｃ．３个Ｄ．４个
4.试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.。