小学数学解题策略(45)——整数的拆分
组合数学幻灯片44整数的拆分课件
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
由上面的讨论和定理4.2即可得
,1
x2
1 1
x4 x2
1
x3
1 1
x6 x3
,1
x4
1 1
x8 x4
,
(1
x)(1
x2
)(1
x3
)(1
x4
)
1 x2 1 x
1 1
x4 x2
1 1
x6 x3
1 1
x8 x4
上式的左端正好是Pd(n)的普通母函数(由定理4.3 的推论1)，而上式的右端，可将分子分母的所有偶 次幂约去就得到
1 22
1 32
1
1
1 x2 dx
2
故有log f ( x) 2x 1 x
而f ( x) p(n)xn p(n)xn n0
故有log p(n) log f ( x) n log x 2x n log x 1 x
而对于w>1时，有 log w w 1
• 于是有 log x log 1 1 1 1 x
1 (1 x )(1 x3 )(1 x5 )(1 x7 )
这正好是P0(n)的普通母函数(由推论4)。
∴Po(n)=Pd(n)
以上我们证明了把n拆分成奇整数的和的方 式数等于把n拆分成不相同的整数的和的 方式数。
• 7=5+1+1
7=6+1
7=3+3+1
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
小学三年级奥数 第44讲：整数的分拆
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分： 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想： 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：多3，少2，无1
2．不相同：
2
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积 最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它 们的和最小？ 最小为多少？这两个数分别为多时， 它们的和最大，最大是多 少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数 的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
整数的分拆
整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是 把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便 是这个自然数的一个分拆。 核心思想：有序、全面
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆 方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？
小学数学奥数解题技巧-三到六年级 整数的拆分
【连续加数拆分】
【例】 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？
讲析：
因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。 所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。
【连续加数拆分】
【例】 几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不 同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。
讲析：
1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。 所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。 由1991=1×1991得： 1991=995＋996。 由1991=11×181得：
…+（80+101） =80＋81＋……＋100＋101。
【不连续加数拆分】
【例】 将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最 大，这些自然数是______。
讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这
个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数 的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。
所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。 但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而 3×3=9。 所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。 而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。
【不连续加数拆分】
【例】 把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以 2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。
小学数学奥数解题技巧
第四十五讲 整数的拆分
整数拆分题目
整数拆分题目（最新版）目录1.整数拆分题目的概念与意义2.整数拆分题目的解题思路与方法3.整数拆分题目的实际应用案例4.整数拆分题目的拓展与提高正文一、整数拆分题目的概念与意义整数拆分题目是数学领域中的一类问题，主要涉及到如何将一个整数拆分成若干个整数的和。
这类题目在各种数学竞赛、考试中都有出现，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
二、整数拆分题目的解题思路与方法1.穷举法：对于一些简单的整数拆分题目，可以通过穷举法找到答案。
即尝试将整数拆分成若干个整数的和，直到找到符合条件的拆分方法为止。
2.递推法：对于一些较复杂的整数拆分题目，可以通过递推法求解。
即先找到一个初始的拆分方法，然后根据题目的条件，递推找到更优的拆分方法。
3.构造法：对于一些特殊的整数拆分题目，可以通过构造法求解。
即通过创造一些新的数或者式子，使得问题得以简化，从而找到拆分方法。
4.利用数学定理和性质：在解决整数拆分题目时，还可以运用一些数学定理和性质，如抽屉原理、裴蜀定理等，以提高解题效率。
三、整数拆分题目的实际应用案例例如，有一个整数 100，需要拆分成若干个整数的和，使得这些整数都是 1 到 10 之间的数，问如何拆分？通过穷举法、递推法或构造法，可以找到一个符合条件的拆分方法，即 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9 + 10。
四、整数拆分题目的拓展与提高1.拓展到有理数拆分问题：在整数拆分题目的基础上，可以将问题拓展到有理数领域，即如何将一个有理数拆分成若干个有理数的和。
2.限制条件：在整数拆分题目中，可以增加一些限制条件，如拆分后的整数必须满足一定的顺序、不能重复使用等，以提高题目的难度。
小升初数学之整数的分拆
小六数学资料（教师用卷）第十一讲整数的分拆知识要点：整数的拆分，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一种分拆。
1、要求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆的过程按一定的顺序进行。
2、特殊要求的分拆有特殊的解题方法。
比如分成两个自然数的和，然后要使乘积最大，就必须使这两个数的差最小。
如果分成若干个自然数的和并使其积最大，就要充分考虑分成3或2，并且2的个数不多于2个。
（因为3个2相乘小于2个3相乘）这也是著名的哥德巴赫猜想。
例题1、两个小朋友用玩具枪打靶。
他们每人打了两发子弹，靶子上有1到6环。
甲一共打中6环，乙一共打中5环。
如果没有哪两发子弹是打在同一个环带内，并且弹无虚发，你知道他们俩打中的分别是哪几环吗？解析：已知汤姆两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求吉米每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。
由于题意得，没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：甲打中的是1和5环，乙打中的是2和3环。
例题2、小明用身上的1分、2分、5分的硬币各4枚，想买2角3分的一件商品，他应该如何付款？共有多少种不同的支付方法？解析：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分。
因为全部1分和2分都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分。
当使用3枚5分时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分最多4枚，最少2枚，可有23=15+(2+2+2+2) 23=15+（2+2+2+1+1）23=15+（2+2+1+1+1+1）共3种支付方法。
当使用4枚5分时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分，或者不使用。
从而有23=20+(2+1) 23=20+（1+1+1）共2种支付方法。
所以一共有3+2=5种支付方法。
例题3、试把1999分拆成8个自然数的和，使其乘积最大。
解析：要使分拆的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1.因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
整数拆分
数学知识点总结：数的拆分
整数拆分要点及解题技巧
整数拆分是小学数学数论模块的重要知识点，所谓整数拆分就是把把一个自然数（0 除外）拆成几个大于0 的自然数相加的形式，下面来为大家详细讲解有关整数拆分的要点和解题技巧。
一、概念：把一个自然数（0 除外）拆成几个大于 0 的自然数相加的形式。
二、类型----方法
1、基本型
2、造数型
3、求加数最多
方法：1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止，再补差
4、两数型
（1）和不变：差小积大，差大积小
（2）积不变：差大和大，差小和小
5、拆数型
积最大（1）允许相同：多 3 少 2 没有 1
（2）不允许相同：从 2 连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止
1)超几就去几
2）多 1 去 2，差 1 补尾
数学题及解析：裂项与拆分
有 40 枚棋子分别放入 8 个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子？
考点：整数的裂项与拆分．
分析：要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有 1 个球，即
40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有 33 个球．
解答：解：因为要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有 1 个球，而要使其中的一个盒子的球最多，则另外的 7 个盒子里面的球分别为 1，
即 40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有 33 个
球．答：其中的一个盒子里，最多能有 33 枚棋子．
点评：关键是理解题意得出 7 个盒子里面的球分别为 1，求出最多的盒子里面球的个数．
小学数学题型与解题思路：连续加数拆分
小学数学题型与解题思路：不连续加数拆分。
整数的分拆
整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题。
把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆。
对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究。
1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果。
下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识。
一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1。
因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和。
解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式。
说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k 种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法。
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小学数学解题策略（45）——整数的拆分
45、整数的拆分
【不连续加数拆分】
例1 将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？
（1992年“我爱数学”邀请赛试题）
讲析：做成的长方形，长与宽的和是
144÷2=72（厘米）。
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，
所以，一共有36种不同的做法。
比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。
例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。
（1992年武汉市小学数学竞赛试题）
讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个
2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。
又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。
所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。
但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。
因为2×2×2=8，而3×3=9。
所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。
而1992÷3=664。
故，这些自然数是664个3。
例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。
（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。
因为a×2=b÷2，则b=4a。
所以a、b之和必是5的倍数。
那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。
又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。
所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。
则c、d可取的数组有：
（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。
由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，
得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。
同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。
所以，最多有4种分法。
【连续加数拆分】
例1 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？
（第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。
所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。
例2 几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。
（全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。
所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。
由1991=1×1991得：
1991=995＋996。
由1991=11×181得：
…+（80+101）
=80＋81＋……＋100＋101。