现代优化方法综述

1. 引言 优化设计英文名是optimization design，从多种方案中选择最佳方案的设计方法。它以数学中的最优化理论为基础，以计算机为手段，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，在满足给定的各种约束条件下，寻求最优的设计方案。 第二次世界大战期间，在军事上首先应用了优化技术。1967年，美国的R.L.福克斯等发表了第一篇机构最优化论文。1970年，C.S.贝特勒等用几何规划解决了液体动压轴承的优化设计问题后，优化设计在机械设计中得到应用和发展。随着数学理论和电子计算机技术的进一步发展，优化设计已逐步形成为一门新兴的独立的工程学科，并在生产实践中得到了广泛的应用。通常设计方案可以用一组参数来表示，这些参数有些已经给定，有些没有给定，需要在设计中优选，称为设计变量。如何找到一组最合适的设计变量，在允许的范围内，能使所设计的产品结构最合理、性能最好、质量最高、成本最低（即技术经济指标最佳），有市场竞争能力，同时设计的时间又不要太长，这就是优化设计所要解决的问题。一般来说，优化设计有以下几个步骤：①建立数学模型。②选择最优化算法。③程序设计。④制定目标要求。⑤计算机自动筛选最优设计方案等。

2. 数学模型 优化设计的数学模型是对优化设计工程问题的数学描述，它包含设计变量、目标函数和设计约束三个基本要素。

2.1设计变量 2.1.1基本参数 a、定义：在设计过程中进行选择变化并最终确定的各项独立参数称为设计变量。 b、说明：在设计选择过程中，这些设计变量是变量，但它们一旦被确定后，设计对象也就完全确定了。最优化设计是研究怎样合理地优选这些设计变量的一种现代设计方法。在设计过程中，凡根据设计要求事先给定的，不是设计变量而是设计常量。 2.1.2设计方案的表现形式 a、设计空间：由n个设计变量为坐标所组成的时空间称作设计空间。 b、设计变量的表示法 （1）坐标表示法：一维问题→一个设计变量→数轴上的一个点 二维问题→两个设计变量→平面直角坐标系上的向量 三维问题→三个设计变量→空间直角坐标系的向量 n维问题→n个设计变量→n维超越空间的向量 一个“设计”方案，可用设计空间中的一点表示，此点可看成是设计变量向量的端点（始点取在坐标原点），称作设计点。也即：在设计空间中的一个点，对应于一组设计变量的值，代表一个设计方案。设计空间包含了该项设计所有可能的设计方案。 （2）向量表示法：二维问题→二维向量TxxX],[21 三维问题→三维向量TxxxX],,[321 n维问题→n维向量TnxxxX],,,[21 2.1.3．设计变量的选取 a、维数：设计变量的数目称为最优化问题的维数。如有n个设计变量则称为n维问题。 b、常选用的设计变量 （1）结构的总体布置尺寸，如中心距。 （2）元件的几何尺寸：长度，截面尺寸，某些点的坐标值。 （3）材料的力学和物理特性：重量、惯性矩、力或力矩等。 通常选择的设计变量都是构件的几个尺寸，因为这不仅可使问题相对简单些，而且由于很多实际结构的几个关系和材料特性已决定的缘故。决定结构布置情况的设计变量的选取要复杂些。较困难的是选取表示材料特性的变量，因为通常所用材料的特性是离散值，选择这些变量时出现了设计变量不连续变化的这一特殊问题。 c、设计变量的选择原则 （1）对设计影响较大的参数选为设计变量 （2）尽量减少设计变量的个数

2.2设计约束 2.2.1设计约束的种类 a、定义： 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的（例如面积取负等）。如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行（或可接受）设计。反之则称为不可行（或不可接受）设计。 在设计过程中，为了得到可行的设计方案，必须根据实际要求，对设计变量的取值加以种种限制，这种限制条件称为约束条件。即：一个可行设计必须满足的限制条件称为约束条件。 b、分类 法一 性能约束：针对性能要求而提出的限制条件称为性能约束。 例如：强度条件、刚度或稳定性条件等等。 边界约束：对设计变量的取值范围加以限制的约束。 例如允许选择的尺寸范围。 法二 等式约束：h（x）=0要求设计点在n维设计空间的约束曲面上 不等式约束：g（x）≥0要求设计点在约束曲面一侧 2.2.2可行域与非可行域 设计可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。

2.3目标函数 2.3.1目标函数的定义： a、定义 在设计中，设计者总是希望所设计的产品或工程设施具有最好的使用性能，最小的质量或最紧凑的体积和最小的制造成本及最大的经济效益。在最优设计中，可将所追求的设计目标（最优指标）用设计变量的函数形式表达出来。  目标函数是设计中预期要达到的目标，表达为各设计变量的函数表达式： ),,,()(21nxxxfXf  在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数又叫评价函数。  优化设计中，通常对目标函数求极小值。 b、常用的目标函数 （1）以成本最低构造目标函数。 （2）按最小重量构造目标函数。 （3）按几何要求：如最小体积，最小尺寸构造目标函数。 （4）按机构的工作精度要求构造 （5）按机构的运动轨迹最准确 （6）满足应力要求（材料利用最好） （7）振动或噪声最小（齿轮振动，由侧隙产生，寻找一周期内啮合点加速度平方根值最小）。 （8）平均寿命最长（轴承的寿命计算）。 （9）冷却效果最好（轴承的热平衡计算）。 （10）可靠性最高。 2.4 优化设计数学模型的几何意义 2.4.1 优化设计数学模型的一般形式 a、模型形式 选取设计变量，列出目标函数，给定约束条件后，便可构造最优化设计的数学模型。任何一个最优化问题均可归结为如下描述： 在给定的约束条件下，选取适当的设计变量X，使其目标函数f（X）达到最优值，其数学表达式（数学模型）为： )x,,x,x(f)X(fminn21 TnxxxX],,,[21

)m,,2,1u(0)x(g.t.su )np,,2,1v(0)x(hv b、模型分类： （1）法一 有约束 无约束 （2）法二 线性：目标函数和约束函数都是线性的。 非线性：目标函数和约束函数至少有一个为非线性 2.4.2最优化问题的几何描述 a、约束条件与可行域 b、目标函数等值线 （1）定义：目标函数是n为变量的函数，它的图象只能在n+1维空间中描述出来。给定一组设计变量的值就相应有一个函数值（并相应在设计空间对应于一个设计点）， 具有相同函数值的点集在设计空间内形成一个曲线或曲面，就是目标函数的等值面或等值线。 （ c、无约束最优解和约束最优解 （1）无约束优化问题：在没有限制条件下，对设计变量求目标函数的极小点，即求等值面中心。 （2）约束优化问题：在设计可行域内寻求目标函数的极小点。 2.4.3局部最优解和全局最优解 一、单谷函数和多股函数 只有一个极值点的函数称为单谷函数；具有两个以上局部极值点的函数称为多谷函数。 二、局部最优解和全局最优解

2.5优化设计数学模型大小的分类: n＞50大型 10≤n≤50中型 n＜10小型

3. 经典优化算法小结： 3.1无约束优化方法 工程优化问题通常都是多维有约束优化问题，但需从一维无约束问题到多维无约束优化问题再到多维约束优化问题的由简单到复杂的循序渐进的研究过程。 无约束优化问题数学模型：nRXXf),(min 分类，从是否利用目标函数的导数信息，分直接法和间接法

3.1.1 坐标轮换法 直接法：坐标轮换法、共轭方向法、鲍威尔法(略)

间接法：梯度法、牛顿法(略)、变尺度法(略) 3.1.1.1 坐标轮换法基本原理 将多维无约束优化问题分解、转化为一系列一维优化问题，轮换沿各个坐标轴一维搜

索，直到求得最优点。 在每次迭代内部，要依次沿各坐标轴进行N次（N为优化问题的维数）一维搜索。这种一维搜索是固定其它N-1维变量，视为常量，然后进行一维搜索，),,2,1(,1NjeXXjkjkjkj，对于第k轮迭代，须重复N次该式的一维搜索，搜索的参

数为ajk（即要优化的参数是ajk），为相对第j维变量的搜索步长，搜索方向为第j维空间坐标的方向。当k轮迭代结束后，本轮搜索的重点作为下一轮的起点，即kNkXX10，然后投入下一轮迭代。 3.1.1.2 该方法特点 不考虑目标函数本身的变化情况（函数特点），简单、效率低、收敛速度慢。

3.1.2 共轭方向法 3.1.2.1 共轭方向

对于N维正定二次函数cXbXAXXfTT21)( (当N=2，为同心椭圆族)，[H]为函数f的黑塞矩阵(正定对称阵)。若存在两个方向向量1S，2S，满足021SHST，则称1S与2S为共轭方向。

如何构造共轭方向（二维）？对于某两点2010,XX，沿方向1S（12010,SXX不平行）一维搜索得到两个最优点21,XX，构成方向122XXS，则可以证明1S与2S为共轭方向，即021SHST

当然，这个结论可以从2维推广到N维。同样，说明对于N维函数，有N个共轭方向。对于二次函数，只要经过N个一维搜索即可到达最优点（即N维空间内完成一轮迭代）。对于大于二次的函数，则可能需要将上一轮迭代的终点作为新一轮迭代的起点。在构造迭代方程式时，可以用二次泰勒展开式来近似目标函数的等值面。 3.1.2.2 共轭方向法基本原理 第一轮迭代与坐标轮换法相同。将起点和N次一维搜索的末点组成一个新的方向，沿这个方向一维搜索，得到本轮迭代的终点。 从第二轮起，舍去前一轮的第一个一维搜索方向，将前一轮的后N个一维搜索方向作为本轮迭代的前N个方向，这N个方向的一维搜索终点与本轮搜索的起点构成第N+1个一维搜索方向，沿这个方向做一维搜索，得到本轮搜索的终点。 若不满足精度要求，则重复迭代。