现代控制理论1-8三习题库

信息工程学院现代控制理论课程习题清单正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。

重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。

要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。

难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。

预习题1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？2.状态、状态空间的概念？3.状态方程规形式有何特点？4.状态变量和状态矢量的定义？5.怎样建立状态空间模型？6.怎样从状态空间表达式求传递函数？复习题1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？3.求下列矩阵的特征矢量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2510221-1A4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。

5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。

6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输出关系的系统，表达为状态空间描述。

7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用.8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为模态阵。

9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集合。

这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要的。

10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。

如果这些元素中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系统。

11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。

12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。

13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对角阵，雅可比阵）。

14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。

15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性）空间，称之为______（传递函数，状态空间）。

2⎣⎦2 301 312x x⎡=⎥⎢⎥⎢-⎦⎣试将下列状态方程化为约当标准形。

2 31 1x x=⎥⎢⎥⎢⎦⎣已知系统的状态空间表达式为[]12y=x)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b25. 某机械位移系统，物体在外力作用下产生位移,当位移微小变动时，系统的动态方程为：其中为物体质量,为弹性系数,为外力。

1) 求取以、为状态变量，以=为输入，为输出的状态方程和传递函数；2) 判断参数，对系统能控性和能观性有何影响。

26. 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。

27. 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++ 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。

28. 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。

29. 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。

30. 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A 试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。

再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P31. 试建立图示电路的状态空间表达式。

32. 试建立图示电路的状态空间表达式。

33. 试建立图示系统的状态空间表达式。

34. 已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。

u y y y=++ 42 35. 已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。

3u 35y +=++u y y36. 已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。

3u35y =++y y37. 设系统的微分方程为u y y y 3685y ......=+++,求系统的状态空间表达式。

38. 设系统的状态空间表达式为u x x x X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100235100010321.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=32121123x x x y求系统的传递函数。

39. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

)3s )(1s (s 43s )s (G +++=40. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

132)s (G 32+++=s s s 41. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

14s 5s 10)s (G 23+++=s 42. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

)3s ()2s (s 1s )s (G 2+++=43. 试求图示机械系统的传递函数矩阵。

44. 已知系统的状态空间表达式为试求系统的传递函数矩阵。

u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21103201x x []x 11=y第三章（单元）：控制系统状态空间表达式的解本章节（单元）教学目标：正确理解线性定常系统的自由运动和受控运动概念，熟练掌握矩阵指数的计算方法，掌握离散时间系统状态方程求解方法。

重点容：状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，状态方程的求解公式；线性定常系统状态方程的求解方法预习题1.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为运动2.线性定常续系统状态方程的解由哪两个部分组成？3.线性变换的基本性质包括哪两个不变性？复习题1.写出线性定常连续系统齐次状态方程解的矩阵指数表达式2.写出线性定常连续系统非齐次状态方程解的矩阵指数表达式3.系统的状态变量与输入之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型称之为__________。

4.线定定常连续系统状态方程的解由两部分相加组成，一部分是________________________，第二部分是____________________。

5.对于任意时刻t，系统的输出不仅和t有关，而且与t时刻以前的累积有关，这类系统称为__________。

练习题1.试求下列矩阵对应的状态转移矩阵。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11A2.试求下列矩阵对应的状态转移矩阵。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41A3.已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解。

u⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1321xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1)0(x4.已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解和输出响应。

u⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=12651xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)0(x[]xy21=(1,0 y=01⎣22(t te ---⎦2⎣⎣[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211xxqy16.试证明如下系统ucbaxxxxxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132118612164120不论a,b,c取何值都不能控。

17.已知两个系统1S和2S的状态方程和输出方程分别为1S：1111431uxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[]1112xy=2S：2222uxx+-=22xy=若两个系统按如图P3.6所示的方法串联，设串联后的系统为S。

1) 求图示串联系统S的状态方程和输出方程。

2) 分析系统1S，2S和串联后系统S的可控性、可观测性。

18.确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数iiβα和[]11,11,1)1(21-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CbAαα19.已知传递矩阵为()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=5442132ssssssG试求该系统的最小实现。

20.将下列状态方程化为能控标准形uxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11432121.设系统的传递函数是182710)()(23++++=sssassusy（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？21用雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

21x x =--利用雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大围渐近稳定：21(1x x =--试用雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大围渐近稳定的。

212x x x =-试用雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。

试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统212x x x =-第二法确定下列系统原点的稳定性。

试确定系统在平衡状态处大围渐进稳定的条件。

22(1x a=-+试确定平衡状态的稳定性。

01⎢⎣01⎢⎣2331x x x x ==--试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是⎢⎣00⎢⎣1⎢⎣1[]=10y x[] y=1010⎣，使下列性能指标22试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。

t 使下列指标取极值，并求出最优轨线。

,x u = 2(1)(1)x +212T u dt =⎰2ft f t u =+⎰试确定最优控制()u t ，使下列性能指标2⎣⎦2⎣⎦20u ⎡⎤+⎣⎦ 试分别研究有无最优控制使下列性能指标。