高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式训练理新人教版
优化探究高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式
【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋49－aa＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当49－aa＝a9－a时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x＝b y＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a＝2a b ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12.答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x－1＝1－x x ＝y ＋z x >2yzx，①1y－1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，②1z－1＝1－z z＝x ＋y z>2xy z，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p解析：∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y＝2yx，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.答案： 2。
高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式课件理新人教版
所以 a+b=(a+b)( 1 + 1 )=2+ a + b ≥2+2 a b =4(当且仅当 a=b=2 时取等号),故选 C.
ab
ba
ba
3.点(m,n)在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+log2n的最大
值是
.
解析:由条件知,m>0,n>0,m+n=1, 所以 mn≤ ( m n)2 = 1 ,
4 a
+
3 b
)=7+
4b a
+
3a b
≥7+2 4b 3a =7+4 3 ,当且仅当 4b = 3a 时取等号,故选 D.
ab
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
答案:(1)D
(2)函数 y= (x 5)(x 2) (x>-1)的值域为
.
x 1
解析:(2)因为 x>-1,所以 x+1>0,令 m=x+1,则 m>0,且 y= (m 4)(m 1) =m+ 4 +5≥
第4节 基本不等式
考纲展示 1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的 最大(小)值问题.
知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析
知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】
1.不等式 a2+b2≥2ab 与 a+b≥2 ab 的应用条件是什么?
提示:在 a2+b2≥2ab 中,a,b∈R,而在 a+b≥2 ab 中要求 a>0,b>0.
24
当且仅当 m=n= 1 时上式取等号, 2
高考数学一轮复习 6.4 基本不等式精品课件 理 新人教A版
2 即a＝b时等号成立，又因为 ＋ab≥2 ab
2 1 1 2 ＝ab时等号成立，所以 2 ＋ 2 ＋ab≥ ＋ab≥2 2 ，当且仅当 ab a b ab
12＝ 12 a b 2 ＝ab ab
，即a＝b＝ 2时取等号．
4
即时训练
已知x>0，y>0，z>0.
y z x z x y 求证：( ＋ )( ＋ )( ＋ )≥8. x x y y z z
a＋b 1．“a>0且b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
)
a＋b a＋b 解析：∵a>0，b>0，显然有 ≥ ab ，而 ≥ ab 时， 2 2 a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时．
答案：A
2．下列不等式证明正确的是(
＋
)
A．若a，b∈R ，则lga＋lgb≥2 lgalgb b a B．若a，b∈R，则 ＋ ≥2 a b
＋
ab ·＝2 ba
－b － a b a C．若a∈R ，ab<0，则 ＋ ＝－( ＋ ) a b a b ≤－2 D. ab> －a －b · ＝－2 b a 2ab a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
证明：x>0，y>0，z>0， y z 2 yz ∴ ＋ ≥ >0， x x x x z 2 xz ＋ ≥ >0， y y y x y 2 xy ＋ ≥ >0. z z z
y z x z x y ( ＋ )( ＋ )( ＋ ) x x y y z z 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．
高考数学一轮复习 6-4基本不等式及其应用课件 理 新人教A版
[变式探究3]
设a，b，c都是正数，求证：
bc a
＋
ac b
＋
acb≥a＋b＋c. 证明：(1)∵a，b，c都是正数，
∴bac，cba，acb都是正数．
∴bac＋cba≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
cba＋acb≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
acb＋bac≥2b，当且仅当a＝c时等号成立． 三式相加，得2(bac＋cba＋acb)≥2(a＋b＋c)， 即bac＋cba＋acb≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时等号成立.
(2)依题意并由(1)可得 60x，0≤x<20，
f(x)＝13x（200－x），20≤x≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最 大值为60×20＝1200； 当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤ 13[x＋（2200－x）]2＝100300，
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
2．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：“积定和最小”)．
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立． 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大 值100300. 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大 值100300≈3333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最 大，最大值约为3333辆/小时．
2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式学案理(含解析)新人教A版
第四节 基本不等式2019考纲考题考情1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)。
2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0。
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立。
(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。
3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P 。
(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值S 24。
(简记：“和定积最大”)4．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)。
(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )。
(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )。
(4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。
忽略某个条件，就会出错。
2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系。
3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。
若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。
一、走进教材1．(必修5P 99例1(2)改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析 因为x >0，y >0，所以x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81。
高考数学一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课件 新人教A版
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【解析】 应用基本不等式：x，y∈R＋，x＋2 y≥ xy(当且仅 当 x＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等 号的条件．
当 x>0 时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以 lgx2＋14≥lg x(x>0)，故选 项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 x≠kπ，k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不
D 不正确，∵x＜0，∴－x＞0
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∴y＝2－3x－4x＝2＋－3x＋－4x≥2＋4 3.
当且仅当－3x＝－4x，即 x＝－233时等号成立．
(2)由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)53x＋51y
＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5，
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3
由公式 a2＋b2≥2ab 和 ab≤a＋2 b可以引申出的常用结论
(1)ba＋ab≥2(a，b 同号)；
(2)ba＋ab≤－2(a，b 异号)；
(3)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)(或 ab≤a＋2 b
2≤a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
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)
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(2)(2014·贵阳模拟)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y
的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．6
【思路点拨】 (1)借助均值不等式的使用条件“一正、二定、
三相等”逐一判断．(2)将条件变形53x＋51y＝1，然后注意“1”的代
2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.4基本不等式课件理新人教版
考向三 基本不等式与函数的综合应用 【例 3】 (1)对函数 f(x)，如果存在 x0≠0 使得 f(x0)＝－f(－x0)，则 称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若 f(x)＝ex－
a(e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是( B )
某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/ 次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之
和最小，则 x 的值是 30 .
解析：一年购买60x0次，则总运费与总存储费用之和为 f(x) ＝60x0×6＋4x＝490x0＋x≥8 90x0·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值是 30.
A．40
B．10
C．4
D．2
(2)(2019·南昌摸底调研)已知函数 y＝x＋x－m 2(x>2)的最小值为 6，
则正数 m 的值为 4 .
解析：(1)因为 x＋4y＝40，且 x>0，y>0， 所以 x＋4y≥2 x·4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝”)所 以 4 xy≤40.所以 xy≤100.所以 lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.所以 lgx＋lgy 的最大值为 2. (2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋x－m 2＋2≥ 2 x－2·x－m 2＋2＝2 m＋2，当 x＝2＋ m时取等号，又函 数 y＝x＋x－m 2(x>2)的最小值为 6，∴2 m＋2＝6，解得 m＝4.
【点评】 本题解答的关键是将变量 a 拆解为 a－b＋b，以及拆项 后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式适用的 条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意等号成立的条件．
2019届高考理科数学(人教版)一轮复习练习第六篇 第4节 基本不等式 Word版含解析
()若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过米,试设计污水处理池
的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
解:()设污水处理池的宽为米,则长为米. 总造价()×()××
() ≥ × , 当且仅当(>), 即时取等号. 所以当污水处理池的长为米,宽为米时总造价最低,总造价最低为 元. ()由限制条件知 所以≤≤. 设()(≤≤), ()在[]上是增函数, 所以当时(此时), ()有最小值,即()有最小值, 即() × () . 所以当污水处理池的长为米,宽为米时总造价最低,总造价最低为 元.
() ≥ 解析:由,可得, 因为≤,当且仅当时取等号. 所以≥,
则≥ . 当异号时,不妨取,易知都不正确. 故选.
.导学号 (·枣庄一模)若正数满足 ,则的最小值是( ) () () () ()
解析:因为正数满足 ,
则()( ) ≥×
,
当且仅当时取等号.
所以的最小值是.
故选.
.导学号 (·山东平度二模)若直线 (>>)过点(),则 最小值( ) () () () () 解析:因为直线(>>)过点(), 所以,即,
当且仅当 时,等号成立.
即 的最小值为. 答案
能力提升(时间分钟)
.若对于任意的>,不等式 () ()[ ∞) ()( ∞) ()( ∞, )()(∞, ]
≤恒成立,则实数的取值范围为
解析:由>
,
令 ,则≥ ,
当且仅当时取得最小值.此时
取得最大值 ,
所以对于任意的>,不等式
≤恒成立,则≥ .故选.
则 的最小值为( ) () () () () 解析()(), 因为三点共线,所以()(),化为.
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第4节基本不等式
知识点、方法题号
利用基本不等式比较大小、证明2,3
利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13
基本不等式的实际应用6,12,14
基本不等式的综合应用5,8,10
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知f(x)=x2(x<0),则f(x)有( C )
(A)最大值0 (B)最小值0
(C)最大值4 (D)最小值4
解析:因为x<0,所以f(x)=(x)2≤=4,当且仅当x=,即x=1时取等号.
选C.
2.下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg(x2)>lg x(x>0)
(B)sin x≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x21≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:当x>0时,x2≥2·=x,所以lg(x2)≥lg x(x>0),故选项A不正确当2kππ<x<2k π,k∈Z时,sin x<0,sin x<0,故选项B不正确由基本不等式可知,选项C正确当x=0时,
有=1,故选项D不正确.
故选C.
3.若a,b∈R,ab≠0,且ab=1,则下列不等式中,恒成立的是( B )
(A)a2b2≤
(B)a2b2≥
(C)(1)(1)≥9
(D) ≥4
解析:由ab=1,可得a2bab=1,
因为2ab≤a2b2,当且仅当a=b时取等号.
所以2ab2≥1,
则a2b2≥.
当a,b异号时,不妨取a=1,b=2,易知A,C,D都不正确.
故选B.
4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x4y的最小值是( C )
(A)24 (B)28 (C)25 (D)26
解析:因为正数x,y满足=1,
则3x4y=(3x4y)( )=13≥133×2=25,
当且仅当x=2y=5时取等号.
所以3x4y的最小值是25.
故选C.
5.导学号 38486113(2017·平度二模)若直线2mxny2=0 (m>0,n>0)过点(1,2),则最小值
( D )
(A)2 (B)6
(C)12 (D)32
解析:因为直线2mxny2=0(m>0,n>0)过点(1,2),
所以2m2n2=0,即mn=1,
因为=()(mn)=3≥32,
当且仅当=,即n=m时取等号,
所以的最小值为32,
故选D.
6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB
上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则的最小值为( C )
(A) (B)4 (C) (D)5
解析:由题意可得, a·S△BCD bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.
h==2,
所以ab=2.
所以= (ab)( )= (5)≥ (52)=,
当且仅当a=2b=时取等号.
故选C.
7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2)(4y2)的最小值为.
解析:(x2)(4y2)=54x2y2≥52=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.
答案:9
8.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则的最小值为.
解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,
则有3a2b=3,则有a2b=1
则=(a2b)( )=4()≥42=8,
当且仅当a=2b=时,等号成立.
即的最小值为8.
答案:8
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9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( A )
(A)[,∞) (B)(,∞)
(C)( ∞,) (D)(∞,]
解析:由x>0,=,
令t=x,则t≥2=2,
当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,
所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.
10.导学号 38486114(2017·揭阳一模)已知抛物线y=axxa1(a∈R),恒过第三象限上一定点
A,且点A在直线3mxny1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为( B )
(A)4 (B)12
(C)24 (D)36
解析:抛物线y=axxa1(a∈R),
即y3=(x1)(axa2),
所以A(1,3),所以mn=,
又==63()≥66=12,
当且仅当m=n时等号成立.
故选B.
11.(2017·淄博一模)设向量=(1,2),=(a,1),=(b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为( C )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9
解析:=(a1,1),=(b1,2),
因为A,B,C三点共线,所以2(a1)(b1)=0,化为2ab=1.
又a>0,b>0,则=(2ab)( )=4≥42=8,当且仅当b=2a=时取等号.
故选C.
12.(2017·江苏卷)某一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.
解析:一年的总运费为6×=(万元).
一年的总存储费用为4x万元.
总运费与总存储费用的和为(4x)万元.
因为4x≥2=240,
当且仅当=4x,
即x=30时取得等号,
所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案:30
13.已知x>0,y>0,且2x5y=20.
(1)求u=lg xlg y的最大值
(2)求的最小值.
解:(1)因为x>0,y>0,
所以由基本不等式,
得2x5y=20≥2.
即xy≤10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2,
所以u=lg xlg y=lg(xy)≤lg 10=1.
所以当x=5,y=2时,u=lg xlg y有最大值1.
(2)因为x>0,y>0,所以=()·=(7)≥(72)
=,当且仅当=时等号成立.
所以的最小值为.
14.某造纸拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价解:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米.
总造价f(x)=400×(2x)248×2x80×162
=1 296x12 960=1 296(x)12 960≥1 296×212 960=38 880,
当且仅当x=(x>0),
即x=10时取等号.
所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知
所以≤x≤16.
设g(x)=x(≤x≤16),
g(x)在[,16]上是增函数,
所以当x=时(此时=16),
g(x)有最小值,即f(x)有最小值,
即f(x)min=1 296× ()12 960=38 882.
所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.。