(数学分析教案)第八章
第八章 反常积分
∫ ∫ b
t =1/(b− x) +∞
1) 设函数 f (x) 连续, b 为奇点, 有 f (x)dx =
f (b − 1) dt .
a
1 /( b − a )
t t2
∫ ∫ 2) 设 a > 0 , 有
+∞
t =1/ x
f (x)dx =
1/ a f (1) dt 把无穷区间反常积分化成了无界函数的反常积分.
定义 1 假设函数 f (x) 定义在无限区间 [a,+∞) 上并且在任意有限区间 [a,b] ⊂ [a,+∞) 上可积. 如果极限
b
+∞
b
∫ ∫ ∫ lim f (x)dx = I 存在, 则称 I 为函数 f (x) 在 [a,+∞) 上的反常积分,记作 f (x)dx = lim f (x)dx. 同时,
b
∫ ∫ ∫ 显然, 无界函数的反常积分 f (x)dx 收敛的充分必要条件是无界函数的反常积分 f (x)dx 和 f (x)dx 同
a
a
c
时收敛.
∫ 例 3 计算无界函数的反常积分
1
1/
1 − x 2 dx .
−1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
解
1
0
dx =
1
1
dx +
1
0
dx = lim
1
1− β
dx + lim
h
桶里水面降低的高度为 ∆x ，则有下面关系：π R2∆x = vπ r2∆t ,由此得
∆t =
R2
∆x , x ∈[0, h]
r2 2g(h − x)
1
《数学分析》教案 ---- 反常积分
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念与性质引入极限的概念，讨论极限的存在性与不存在的条件。
探讨极限的性质，如保号性、保不等式性等。
1.3 极限的计算方法介绍常见极限的计算方法，如直接计算、有理化、代数法、三角法等。
1.4 无穷小与无穷大定义无穷小的概念，讨论无穷小的性质与比较。
引入无穷大的概念，讨论无穷大的性质与比较。
第二章：微分学2.1 导数的概念与性质引入导数的定义，讨论导数的性质，如导数的单调性、连续性等。
2.2 导数的计算方法介绍常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数等。
探讨高阶导数的计算方法。
2.3 微分学的基本定理介绍微分学的基本定理，如费马定理、链式法则、乘积法则等。
2.4 微分学的应用探讨微分学在实际问题中的应用，如最优化问题、曲线的切线与法线等。
第三章：积分学3.1 不定积分的基本概念与性质引入不定积分的概念，讨论不定积分的性质，如线性性质、保号性等。
3.2 不定积分的计算方法介绍常见的不定积分计算方法，如基本积分表、换元积分、分部积分等。
3.3 定积分的基本概念与性质引入定积分的概念，讨论定积分的性质，如可积性、保号性等。
3.4 定积分的计算方法介绍常见的定积分计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等。
第四章：级数4.1 级数的基本概念与性质引入级数的概念，讨论级数收敛与发散的条件。
4.2 幂级数的基本概念与性质介绍幂级数的概念，讨论幂级数的收敛半径与收敛区间。
4.3 幂级数的展开与应用探讨幂级数的泰勒展开与麦克劳林展开，讨论级数展开的实际应用。
4.4 傅里叶级数的基本概念与性质引入傅里叶级数的概念，讨论傅里叶级数的收敛条件与应用。
第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念与性质引入微分方程的概念，讨论微分方程的解的存在性与唯一性。
5.2 常微分方程的解法介绍常见的常微分方程解法，如分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
经济学中的数学分析方法——8_不完全竞争市场——垄断
max p( y) ⋅ y − c ⋅ y y
（8.5）
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
一阶必要条件： p( y) + p'( y) ⋅ y − c = 0
Q dp = dp dy , dy < 0 , dp < 0 , ∴ dp > 0 。
c = c( y) ，市场的需求函数 x = D( p) ，该厂商的生产量都能销售出去，即 y = x = D( p) ，
则他的最优行为还是追求利润极大化，即
max p ⋅ y − c( y)
s.t.
y = D( p)
（8.1）
其中，约束条件是需求函数，反映他的生产和销售受市场需求曲线的制约。将约束条件解出
厂商的收益为 R＝p ⋅ y ，其中 y 为产出品， p 为产出品的价格；成本函数为 C＝r ⋅ x ，
则厂商的最大化利润：
max π＝p ⋅ y( x) − g( x)⋅ x
（8.19）
一阶必要条件：
dπ＝p ⋅ y′( x) − ( g( x)+g′( x)⋅ x)=0 g′( x)>0 dx
∴
图 8.2
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
当逆时针转动时，消费者剩余会减少；当顺时针转动时，消费者剩余会增加。
∂2 p > 0 ⇒ ∂W < 0 （Q ∂(CS ) < 0, ∂π＝0）
∂x∂q
∂q
∂q
∂q
∂2 p < 0 ⇒ ∂W > 0 （Q ∂(CS ) > 0, ∂π＝0）
∂x
∂x
《数学分析》第八章_不定积分
则有换元公式
f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
其 中 (x)是 x(t)的 反 函 数 .
证 设 (t)为f[(t) ](t)的原函数,
1six n1si5n xC. 2 10
.
例13 求cscxdx.
解（一）
cscxdx
1 dx sinx
1 2sinxcosx
dx
22
1 tan2xcos2x2
d
2x
1 tanx
2
d
tanx 2
lntanxC lnx (c c x o )s C t c . 2
（使用了三角函数恒等变形）
.
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
.
例12 求co3sxco2sxd.x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3xc so 2x s1(cxo cso 5x )s, 2
c3 o x cs2 o xs d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d sx
§2 换元积分法和分部积分法
.
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
.
在一般情况下：
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
.
例3
求
1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
《数学分析1》知识点总结：第八章-不定积分
第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。
②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。
·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。
④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。
·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。
⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。
数学分析第八章 不定积分
或 df (x) f (x) C.
精品文档
3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
精品文档
(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
精品文档
8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
精品文档
我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
精品文档
数学分析第八章不定积分
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 不定积分(14学时)§1 不定积分概念与基本积分公式教学目的要求： 掌握不定积分的概念和性质，会用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分.教学重点、难点：重点不定积分的定义，用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分.难点不定积分定义的理解. 学时安排: (2学时) 教学方法: 讲授法. 教学过程:微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。
一 原函数与不定积分 （一） 原函数定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。
若)()(x f x F ='， I x ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
如：331x 是2x 在R 上的一个原函数；x 2cos 21-， 12cos 21+x ，x 2sin ，x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。
问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ 问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。
定理1 若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。
证明：在第九章中进行。
说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。
（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。
定理2 设)(x F 是)(x f 在在区间I 上的一个原函数，则（1）设C x F +)(是)(x f 在在区间I 上的原函数，其中C 为任意常量（若)(x f 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。
（2）)(x f 在I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。
证明：由定义即可得。
（二） 不定积分定义2 函数)(x f 在区间I 上的原函数的全体称为)(x f 在I 上的不定积分，记作：⎰dx x f )(其中⎰--积分号；--)(x f 被积函数；--dx x f )(被积表达式；--x 积分变量。
注1 ⎰dxx f )(是一个整体记号；注2 不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的不定积分是一个函数族{}C x F +)(，其中C 是任意常数，于是，记为：⎰dx x f )(=C x F +)(。
此时称C 为积分常数，它可取任意实数。
故有⎰=')(])([x f dx x f ——先积后导正好还原；或 ⎰=dxx f dx x f d )()(。
⎰+='C x f dx x f )()(——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。
或 ⎰+=Cx f x df )()(。
如： C x dx x +=⎰332， C x xdx +-=⎰2cos 212sin 。
不定积分的几何意义： 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x F y =的图象为)(x f 的一条积分曲线。
于是，)(x f 的不定积分在几何上表示)(x f 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图。
结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件00)(y x F =（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点),(00y x 的那条积分曲线。
如：见P179.二 基本积分表由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探。
首先，我们把基本导数公式注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不定积分。
另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分。
定理3 若函数)(x f 与)(x g 在区间I 上都存在原函数，21,k k 为两个任意常数，则)()(21x g k x f k +也存在原函数，且⎰⎰⎰+=+dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121（积分的线性）。
证明：由定义即得。
注：线性法则的一般形式为：⎰∑∑⎰===ni ni i i i idxx f k dx x f k 11)()(。
例 1nn n n a x a x a x a x p ++++=--1110)( ,则C x a x ax n a x n a dx x p n n n n ++++++=-+⎰2111021)( 。
例2 C x x x dx x x dx x x ++-=++-=++⎰⎰arctan 23)121(1132224。
例3 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x xx x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222C x x ++-=tan cot 。
例4 C x x dx x x xdx x ++-=-=⋅⎰⎰)2cos 214cos 41(21)2sin 4(sin 21sin 3cosCx x +--=)2cos 4(cos 81。
例5⎰⎰⎰-+=-+=----dx dx dx xx x x x x ]2)10()10[()21010()1010(22222C x x +--=-22)1010(10ln 2122。
课后记1．根据以往对本节教学的经验、教训，经反复强掉总有一些学生在求不定积分时忘记加任意常数C ，因此，在再一次组织对本节的教学时，我在整个教学流程中惯穿原函数与不定积分的区别，有一定的效果.2．让同学们自己总结出以下两种方法,加深记忆,提高学习效率:验证所求不定积分是否正确的方法.对所求结果求导,已知一个函数的导数求这个函数,对其导数求不定积分,任意常数由初始条件确定.§2 换元积分法与分部积分法教学目的要求: 能熟练的用换元积分法与分部积分法计算不定积分. 教学重点难点: 换元积分法、分部积分法学时安排: 4学时 教学过程:一 换元积分法定理4 （1）（换元积分法）设)(u g 在],[βα上有定义，)(x u ϕ=在],[b a 上可导，且βϕα≤≤)(x ，],[b a x ∈，记)())(()(x x g x f ϕϕ'=， ],[b a x ∈。
（1）（第一换元积分法）若)(u g 在],[βα上存在原函数)(x G ，则)(x f 在],[b a 上也存在原函数)(x F ，且有C x G x F +=))(()(ϕ，即⎰⎰⎰+=+=='=C x G C u G du u g dx x x g dx x f ))(()()()())(()(ϕϕϕ。
也可写为：=='⎰⎰)())(()())((x d x g dx x x g ϕϕϕϕ（令))(u x =ϕ⎰+==C u G du u g )()(=（代回)(x u ϕ=）C x G +))((ϕ。
（2）（第二换元积分法）又若0)(≠'x ϕ，],[b a x ∈，则上述命题（1）可逆，即当)(x f 在],[b a 存在原函数)(x F 时，)(u g 在],[βα上也存在原函数)(u G ，且)(u G C u F +=-))((1ϕ，即⎰du u g )(（令))(x u ϕ=⎰⎰+=='=C x F dx x f dx x x g )()()())((ϕϕ（代回))(1u x -=ϕC u F +-))((1ϕ。
证明：由不定积分的定义及求导法则即得。
注：在第一换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量；在第二换元积分法中是用某一函数来代替其积分变量。
例1 求 ⎰xdx tan 。
解⎰xdx tan C x x d x dx x x +-=-==⎰⎰cos ln cos cos 1cos sin 。
例2 求 ⎰+22x a dx)0(>a 。
【分析】 若令a x u =（第一换元法），或令au x =（第二换元法）均可将积分化为：⎰+21u du；同时也可令u a x tan =（第二换元法），可将积分化为：⎰du 。
例3 求⎰-22x a dx。
【分析】 若令a x u =（第一换元法），或令au x =（第二换元法）均可将积分化为：⎰-21u du ；同时也可令ua x sin =，或u a x cos =（第二换元法）将积分化为：⎰du 。
例4 求 ⎰-22a x dx。
【分析】 因)11(21122a x a x a a x +--=-，故可分别令a x u -=，a x u +=（第一换元法），可将积分化为：⎰u du 。
同时也可令u a x sec =或u a x csc =（第二换元法）将积分化为： du u u ⎰2cos sin 或du u u⎰2sin cos 。
（但此时计算不如前一方法简单！！）例5 求⎰xdx sec 。
解：（方法一）C x xx x d dx x x xdx +-+=-==⎰⎰⎰sin 1sin 1ln 21sin 1sin cos cos sec 22。
（方法二）⎰xdx sec ⎰⎰++=++=x x x x d dx x x x x x tan sec )tan (sec tan sec )tan (sec sec=Cx x ++tan sec ln 。
使用第一换元积分法的关键：在于把被积表达式dx x f )(凑成)())(()())((x d x g dx x x g ϕϕϕϕ='形式，从而作变换)(x u ϕ=，化积分为：⎰du u g )(。
但要注意的是最后要换回原积分变量。
第二换元积分法的目的同第一换元法一样，也是被积函数化为容易求得原函数的形式，但最终同样不要忘记变量还原。
例6 求⎰+3u u du 。
【分析】 为了去掉被积函数中的根号，取根次数2和3的最小公倍数6，并令6x u =，则可化简积分。
例7 求dx x a ⎰-22)0(>a 。
【分析】 为了去掉被积函数中的根号，可令t a x sin =，也可令t a x cos =。
例8 求 )0(22>-⎰a a x dx。
【分析】 为了去掉被积函数中的根号，可令t a x sec =，也可令t a x csc =。
例9 求 ⎰+222)(a x dx)0(>a 。