整合-人教A版高中数学选择性必修第二册课件
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高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的概念 课件
5.在等比数列an 中， a2 ， a18 是方程 x2 6x 4 0 的两根，则 a4a16 a10 ( )
A.6
B.2
C.2 或 6
D. 2
答案：B
解析：等比数列an 中， a2 ， a18 是方程 x2 6x 4 0 的两根，a2a18 4 ，
且 a2 a18 6 ，a2 0 ，且 a18 0 ，a10 0 ，a4a16 a2a18 4 ， a102 a2a18 4 ， a10 2 ，a4a16 a10 4 2 2 .
，
因此 ba22
a1 d 6 ，所以 b1q 6
a2 b2
1. 故选 B.
7.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1 天它飞出去带回了五个伙伴，第 2 天六只蜜蜂
飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第 6 天所有的蜜蜂归
巢后蜂巢中共有蜜蜂( )
A. 56 只
B. 65 只
C. 55 只
所以只要设法证明当 n 6 时，anbn 递减，且 a13b13 100 即可.
由
an1bn1 anbn
1.05n1 [104 4(n 1)] 1.05n (104 4n)
1 ，得 n
5
，
所以当 n 6 时，anbn 递减.
又 a13b13 98 100 ，所以当13 n 24 时， anbn a13b3 100 .
例 2 已知等比数列an 的公比为 q，试用an 的第 m 项 am 表示 an .
解：由题意得 am a1qm1 ①， an a1qn1 ②，
②的两边分别除以①的两边，得
an am
qnm
，
所以 an amqnm .
例 3 数列an 共有 5 项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第 3 项
高中数学人教A版选择性必修第二册函数的极值与最大(小)值 完整版课件
小试牛刀
1．函数 f (x)的定义域为 R，导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
C [设 y＝f ′(x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2， x3，x4，则 f (x)在 x＝x1，x＝x3 处取得极大值， 在 x＝x2，x＝x4 处取得极小值．]
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什 么规律？
以a，b为例进行说明.
概念解析
1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他
典例解析
问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？
归纳总结
一般地，求函数 y＝fx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数 f′x； 2解方程 f′x＝0，得方程的根 x0可能不止一个； 3用方程 f′x＝0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间， 可将 x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， ∵函数 f (x)既有极大值又有极小值， ∴方程 f ′(x)＝0 有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0， 即 a2－a－2＞0，解得 a＞2 或 a＜－1.]
4．已知函数 f (x)＝2ef ′(e)ln x－xe，则函数 f (x)的极大值为______．
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式 课件
由题意，得 an＋1＝45an.
因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．
热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
4
a111－－qqn＝25×1－1－4
5
n
＝125×
1－
4 5
n
<125.
5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
例题解析
1
1
例 8．已知在等比数列{an}中，a2＝9，a3a4＝2 187.
例题解析
解析：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1，n∈N* ∴an＋1＝a，
an ∴数列{an}是等比数列． 答案：B
例题解析
S6
S9
例 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S3＝4，则S6＝( A )
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.
新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册精品教学课件
都可确定 一个数列，
可根据第一项(或前几项)的值，通过 也 都 可 求
一次(或多次)赋值，逐项求出数列的 出 数 列 的
项，直至求出所需的an，也可通过变 任意一项
形转化，直接求出an
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
___3_____.
－1n an－1
(n≥2)，则a5＝
解析：a1＝1，a2＝1＋a11＝2，a3＝1－a12＝12， a4＝1＋a13＝3，a5＝1－a14＝23. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝__4_n_－__1__. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1) ＝4n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.
首项，
1 2
为公差的等差数列．所以
1 an
＝
1 a1
＋(n－1)×
1 2
＝
n 2
＋
1 2
.
所以an＝n＋2 1.
形如an＋1＝
Aan Ban＋C
A，B，C为常数的数列，将其变形
为
1 an＋1
＝
C A
1 ·an
＋
B A
.①若A＝C，则
1 an
是等差数列，且公差为
B A
，可直接用公式求通项；②若A≠C，则采用待定系数法，
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
高中数学人教A版 选择性必修第二册 导数的概念及其几何意义 课件
答案：B 解析：由导数的定义，知函数 f (x) 在 x x0 处的导数与 x0 有关，与 h 无关.故选 B.
3.已知函数 y f (x) 2 ，且 f (m) 1 ，则 m 的值为( )
x
2
A.-4
B.2
C.-2
D. 2
答案：D
解析：
y
f (m x)
f (m)
2 2 m x m
9.已知函数 f (x) 在 x x0 处的导数为 12，则 lim f x0 x f x0 的值为( )
x0
3x
A.-4
B.4
C.-36
D.36
答案：A
解析：因为函数 f (x) 在 x x0 处的导数为 12，
所以 lim f x0 x f x0 1 lim f x0 f x0 x 12 4 .故选 A.
A. (2,6)
B. (1,2)
C. (2,2)
D. (2,6) 或(2, 2)
答案：C
解析：由题意，得切线斜率 k 3 ，设切点为 x0, x02 x0 ，
则 lim x0 x2 x0 x x02 x0
x0
x
2x0 1，所以 2x0 1 3 ，
所以 x0 2 ，则切点为 (2,2) .故选 C.
lim(Δx 3) 3 . Δx0
同理可得 f (6) 5 .
在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3C / h 与5C / h .
说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3C / h 的速率下降；在第 6 h 附近，
原油温度大约以 5C / h 的速率上升. 一般地， f (x0 )(0 x0 8) 反映了原 油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】5.2第1课时基本初等函数导数课件
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4.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 (1，e) ，切线的斜率为 e .
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为 y'|x=x0 ＝ex0 ，
则 ex0 ＝yx00－ －00，
①
又y0＝ex0 ，
②
由①②可得x0＝1，
∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
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5.求过曲线y＝sin x上一点P π6，12 且与在该点处的切线垂直的直线方程.
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
,
∴y′＝(
3
x2
)′＝
3
x
1 2
2
＝32
x.
(5)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x，
类型二 利用导数公式研究切线问题
命题角度1 求切线方程或切线斜率 例 2 已知曲线 y＝f(x)＝ x，y＝g(x)＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的 切线，求两切线与 x 轴所围成的三角形面积.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数 是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
4.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 (1，e) ，切线的斜率为 e .
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为 y'|x=x0 ＝ex0 ，
则 ex0 ＝yx00－ －00，
①
又y0＝ex0 ，
②
由①②可得x0＝1，
∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
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5.求过曲线y＝sin x上一点P π6，12 且与在该点处的切线垂直的直线方程.
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
,
∴y′＝(
3
x2
)′＝
3
x
1 2
2
＝32
x.
(5)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x，
类型二 利用导数公式研究切线问题
命题角度1 求切线方程或切线斜率 例 2 已知曲线 y＝f(x)＝ x，y＝g(x)＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的 切线，求两切线与 x 轴所围成的三角形面积.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数 是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】5.3.2函数的极值课件
－∞，23 ＋
g(x)
↗
2 3
0
极大值
23，4 － ↘
4 (4，＋∞)
0
＋
极小值
↗
则函数 g(x)的极大值为 g23＝6287－m，极小值为 g(4)＝－16－m.由 y＝f(x) 的图象与 y＝13 f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同交点，
得g32＝6287－m>0， g4＝－16－m<0，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2) －2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当 x＝－2 时，函数取得极大值 f(－2)＝238； 当 x＝2 时，函数取得极小值 f(2)＝－43. 且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单 调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如 图所示， 结合图象知－43<a<238.
跟踪训练 1
已知函数
1＋ln f(x)＝ x
x，若函数在区间a，a＋12(其中
a>0)
上存在极值，求实数 a 的取值范围.
解
∵f(x)＝1＋xln
x ，x>0，则
f′(x)＝－lnx2x.
当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
5.3.2 函数的极值与导数(二)
学习目标
人教A版高中数学选择性必修第二册《等比数列---概念和通项公式》名师课件
+
当＝时,
=
=
−
=
= ；
.
+
故当＝ − 时,数列{}成等比数列,
其首项为,公比为 ；
当 ≠ −时,数列{}不是等比数列.
典例变型
1.(变条件,变结论)将例题中的条件“＝＋”变为“ = ,
∗
＋ = －＋, ( ∈ )”.
这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , ⋯.⑤
4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利
和分别是
+ , + , + , + , + .⑥
, , …;
（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
1
1
= , =
不是等比数列
（3） , − , , − , … ;
= , = −
（4） 4 , 00 , 4 , 00 , ….
不是等比数列
思考：有既是等差数列又是等比数列的数列吗？
学科核心素养：
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用,体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明,培养逻辑推理素养.
探究新知
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
, , , ⋯ , ;
①
, , , ⋯ , ； ②
∴ − ＝, ＝.
(2)∵ ＝ · − ＝, ＝, ＝,
人教A版高中数学选择性必修第二册4.1第1课时数列的概念及简单表示法课件
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象 有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象 是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1 图象上的离散的点，如 图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前 两项为正数项，从第 3 项往后各项为负数项．
21
数列的概念与分类
【例 1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，12，31，14，… B．sin7π，sin27π，sin37π，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， 21
22
(2)(一题多空)已知下列数列： ①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…； ④1，0，－1，…，sinn2π，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.
42
【例 3】 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第 4 项和第 6 项； (2)－49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是 该数列的一项呢？ [思路探究] (1)将 n＝4，n＝6 分别代入 an 求出数值即可； (2)令 3n2－28n＝－49 和 3n2－28n＝68，求得 n 是否为正整数并 判断．
36
2．复杂数列的通项公式的归纳方法 ①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察 “变”的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．
37
[跟进训练] 2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)9，99，999，9 999，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)3，5，9，17，33，….
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象 是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1 图象上的离散的点，如 图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前 两项为正数项，从第 3 项往后各项为负数项．
21
数列的概念与分类
【例 1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，12，31，14，… B．sin7π，sin27π，sin37π，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， 21
22
(2)(一题多空)已知下列数列： ①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…； ④1，0，－1，…，sinn2π，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.
42
【例 3】 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第 4 项和第 6 项； (2)－49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是 该数列的一项呢？ [思路探究] (1)将 n＝4，n＝6 分别代入 an 求出数值即可； (2)令 3n2－28n＝－49 和 3n2－28n＝68，求得 n 是否为正整数并 判断．
36
2．复杂数列的通项公式的归纳方法 ①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察 “变”的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．
37
[跟进训练] 2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)9，99，999，9 999，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)3，5，9，17，33，….
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】4.3.1_等比数列的概念1
推
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．