大学物理8-6磁场对载流导线的作用。
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§8-6安培定律
2
v qvB m R
粒子圆周运动的半径 粒子运动的周期
2
T
mv R qB 2R 2 π m
v qB
粒子单位时间内圆周运动的圈数（共振频率）
1 qB f T 2π m
2）螺旋运动 如果粒子的速度不垂直于外磁场的方向，设粒 子的初速度为 v ，与外磁场的夹角为θ
v v // v
令
d 1m I1 I 2
df1 df 2 2 107 I 2 dl1 dl2
安培的定义：在真空中两平行长直导线相距1m ， 通有大小相等、方向相同的电流，当两导线每单位 长度上的吸引力为 2 107 N m1 时，规定这时的 电流为 1 A （安培）. 因电流比电荷易测，在SI制中，把安培定为 基本单位。 问题 若两直导线电流方向相反二者之间的 作用力如何？
y
I
L
B
P
o
L
x
f I ( dl ) B
L
dl op Li
f ILi B ILBj
例2 半径为R的四分之一圆弧通有电流I，如图 放置在均匀磁场中，求安培力的大小和方向。
解：由电流起点向电流终点做有向线段 安培力的方向垂直纸面向外 由
M NBIS sin
3 或 时 线圈所受的磁力矩最大 2 2
即磁场与线圈平面平行时所受的磁力矩最大
M NBIS 50 0.05 2 (0.2)2 N m
M 0.2 N m
问题：对于任意平面载流线圈以下结论成立吗?
f 0,
M Pm B
二、磁场作用于载流线圈的作用力矩 如图,均匀磁场中有一矩形载流线圈ABCD,边长 分别为l1和l2，线圈 o 可以绕垂直轴oo´自 d 由转动，载流线圈的 a 法线矢量与磁场夹角 I c 为 。 闭合载流导线在均匀磁 场中所受的安培力为零， 分别讨论各受力。
磁场与电流的作用
磁场与电流的作用
磁场和电流之间有着紧密的关系。
磁场是由电流产生的，并且电流
在存在磁场的情况下也会受到磁场的影响。
1. 电流产生磁场：当电流通过导线时，会形成一个有方向的磁场环
绕着导线。
这个磁场的方向与电流的方向有关，在导线周围形成一个
闭合的磁场线圈。
这个现象被称为“安培环路定理”。
2. 磁场对电流的作用：磁场可以对通过其的电流施加力。
根据洛伦
兹力定律，当电流通过一个磁场时，会受到与电流方向垂直的力，即
洛伦兹力。
这个力的大小与电流强度和磁场强度有关。
3. 磁场对电流的方向有影响：根据右手定则，当电流通过一个磁场时，磁场会对电流的方向施加一个力矩，使得电流在磁场中发生偏转。
这个定则可以用来确定电流受到磁场力的方向。
4. 电流产生磁场并产生相互作用：当多个导线中有电流通过时，它
们各自产生的磁场会相互作用。
这种相互作用可以导致导线之间的吸
引或排斥，这是基于电磁感应原理的基础。
总的来说，磁场和电流之间的作用是相互的。
电流可以产生磁场并
受到磁场力的作用，而磁场则可以对电流施加力并改变电流的方向。
这些相互作用是电磁学和电动力学的基础，并在电磁装置和电路中得
到广泛应用。
大学物理8-6(2)
载流线圈在磁场内转动时磁力所作的功
d A I d( BS cos )
d( BS cos )表示线圈转 过 d 后磁通量的增量 d 。
d
d A I d
当上述载流线圈从1转到 2时，按上式积分后的 磁力矩所作的总功为：
A 1 I d I ( 2 1 ) I
载流导线在磁场中运动时磁力所作的功
A I
上式说明当载流导线在磁场中运动时，如 果电流保持不变，磁力所作的功等于电流乘 以通过回路所环绕的面积内磁通量的增量， 也即磁力所作的功等于电流乘以载流导线在 移动中所切割的磁感应线数。
载流导线在磁场中运动时磁力所作的功
2.载流线圈在磁场内转动时磁力所作的功
B
四、磁力的功 1. 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功
D
A
A
F
I
C
I
B
B
面向外，磁场中有一载流的闭合电路 ABCD ，电路中 的导线 AB长度为 l ，可以沿着 DA和CB 滑动。假定 当 AB滑动时，电路中电流 I 保持不变，按安培定律， AB 载流导线 在磁场中所受的安培力 在纸面上，指 F F 向如图所示， 的大小 F BIl
P I Q x ɑ R
z
O
设线圈转过极小的角度d 使 en 与 B 之间的夹角从 增为 d ， 磁力矩 M BIS sin 所以磁力矩所作的功为:
d
d A Md BIS sin d BIS d(cos ) I d( BS cos )
减小。 负号“-”表示磁力矩作正功时将使
1与 2分别表示线圈在 1 和 2 时通过线圈的磁通量。
电子 磁场对载流导体的作用
b
a c
d
思考
▪ 线圈为什么会在磁场里发生转动？ ▪ 线圈为什么停止在与磁场方向垂直的位置
不动？
▪ 通电线圈在磁场中受到力的作用。 ▪ ab段电流方向由a向b，用左手定则判断；受力方向向
上，cd段电流方向由c向d，受力方向向下，而构成一 对力偶；
▪ 这样就使得线圈abcd绕轴线顺时针转动。
通电线圈abcd转动到与磁场方向垂直的位置时，上 下两根导体的力大小相等，方向相反，受力平衡，在 这个位置停下。
例：Ｐ84页第8题
I
α
磁力线与线圈平 面的夹角
应用实例：
磁电式仪表表头工作原理
1. 结构
(1) 固定部分
马蹄形永久磁
铁、极掌NS及圆
柱形铁心等。
指针
(2) 可动部分 铝框及线圈，两
I
根半轴O和O，螺
旋弹簧及指针。
O' 线圈
N
S
永久磁铁 O
螺旋弹簧
I
圆柱形 铁心
极掌与铁心之间的空气隙的长度是均匀的，其中 产生均匀的辐射方向的磁场。
若导体与磁场的夹角为90度，相互垂直。即sinα=1， 则有：
F BIl
显然最大
当平行时， F=0
例1：在磁场中某一点,放入一根通电 导线,导线与磁场方向垂直,导线长 1cm,电流为5A,所受安培力为5×102N,问
这点的磁感应强度为多大?
解：
B
F Il
510 2 5110 2
1(T )
2、电磁力的方向
平衡时，可动部分停止转动，此时有
Ｍ = ＭC
当弹簧阻转矩与转动转矩达到平衡即MC= M时， 可转动部分便停止转动， M= k1I ， MC= k2 。
a c
d
思考
▪ 线圈为什么会在磁场里发生转动？ ▪ 线圈为什么停止在与磁场方向垂直的位置
不动？
▪ 通电线圈在磁场中受到力的作用。 ▪ ab段电流方向由a向b，用左手定则判断；受力方向向
上，cd段电流方向由c向d，受力方向向下，而构成一 对力偶；
▪ 这样就使得线圈abcd绕轴线顺时针转动。
通电线圈abcd转动到与磁场方向垂直的位置时，上 下两根导体的力大小相等，方向相反，受力平衡，在 这个位置停下。
例：Ｐ84页第8题
I
α
磁力线与线圈平 面的夹角
应用实例：
磁电式仪表表头工作原理
1. 结构
(1) 固定部分
马蹄形永久磁
铁、极掌NS及圆
柱形铁心等。
指针
(2) 可动部分 铝框及线圈，两
I
根半轴O和O，螺
旋弹簧及指针。
O' 线圈
N
S
永久磁铁 O
螺旋弹簧
I
圆柱形 铁心
极掌与铁心之间的空气隙的长度是均匀的，其中 产生均匀的辐射方向的磁场。
若导体与磁场的夹角为90度，相互垂直。即sinα=1， 则有：
F BIl
显然最大
当平行时， F=0
例1：在磁场中某一点,放入一根通电 导线,导线与磁场方向垂直,导线长 1cm,电流为5A,所受安培力为5×102N,问
这点的磁感应强度为多大?
解：
B
F Il
510 2 5110 2
1(T )
2、电磁力的方向
平衡时，可动部分停止转动，此时有
Ｍ = ＭC
当弹簧阻转矩与转动转矩达到平衡即MC= M时， 可转动部分便停止转动， M= k1I ， MC= k2 。
安培定律及应用
θ
v F v B .
l2
v I F2
考虑左右两线段受力情况, 考虑左右两线段受力情况 为方便,画俯视图 如图 为方便 画俯视图,如图 画俯视图
v F′ v v F = F′ = BIl2 v v F + F′ = 0
二、磁场对载流线圈的作用
v F 1
r B
l1
d
l1
θ
v F v B .
l2
v I F2 M = F ⋅ d = BIl2 ⋅ l1 sinθ
2、 “安培”的定义： 安培”的定义：
r D dF21
r B 21
r I 2 d l2
a
A
I1
C
I2
µ0 I1 B21 = 2π a
真空中 真空中，若两根相距 1m 、通有相等电流的长直导线 通有相等电流 相等电流的长直导线 上单位（1m） 上单位（1m）长度的相互作用力正好于 2×10-7 N，则 × ， 导线中的电流定义为1 导线中的电流定义为1A。
N = n(dl ⋅ S)
r r r r dF = N ⋅ fm = (ndlS) ⋅ (qv × B)
r r r r dF = N ⋅ fm = (ndlS) ⋅ (qv × B)
考虑到
I = nqvS r r r dF = (nSqv) ⋅ dl × B r r = Idl × B
r I r B r Idl ⊗dF
磁场力的功
A = I ⋅ ∆Φm
2.载流线圈在磁场中转动时 磁力矩的功 载流线圈在磁场中转动时,磁力矩的功 载流线圈在磁场中转动时
A = ∫ I ⋅ dΦm
作 业
习题
8.35,8.42,8.43
a
b
v F v B .
l2
v I F2
考虑左右两线段受力情况, 考虑左右两线段受力情况 为方便,画俯视图 如图 为方便 画俯视图,如图 画俯视图
v F′ v v F = F′ = BIl2 v v F + F′ = 0
二、磁场对载流线圈的作用
v F 1
r B
l1
d
l1
θ
v F v B .
l2
v I F2 M = F ⋅ d = BIl2 ⋅ l1 sinθ
2、 “安培”的定义： 安培”的定义：
r D dF21
r B 21
r I 2 d l2
a
A
I1
C
I2
µ0 I1 B21 = 2π a
真空中 真空中，若两根相距 1m 、通有相等电流的长直导线 通有相等电流 相等电流的长直导线 上单位（1m） 上单位（1m）长度的相互作用力正好于 2×10-7 N，则 × ， 导线中的电流定义为1 导线中的电流定义为1A。
N = n(dl ⋅ S)
r r r r dF = N ⋅ fm = (ndlS) ⋅ (qv × B)
r r r r dF = N ⋅ fm = (ndlS) ⋅ (qv × B)
考虑到
I = nqvS r r r dF = (nSqv) ⋅ dl × B r r = Idl × B
r I r B r Idl ⊗dF
磁场力的功
A = I ⋅ ∆Φm
2.载流线圈在磁场中转动时 磁力矩的功 载流线圈在磁场中转动时,磁力矩的功 载流线圈在磁场中转动时
A = ∫ I ⋅ dΦm
作 业
习题
8.35,8.42,8.43
a
b
大学物理8-6磁场对载流导线的作用
d F21 0 I1 I 2 d l2 2π a
载流导线CD所受的力方向指向AB。 载流导线CD单位长度所受的力
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同理可以证明载流导线 AB 单 位 长度 所 受的 力的 方向指向导线 CD ，大小 为 0 I1 I 2 2 πa
B
a
D
B12 d l1
d F12
“安培”的定义
因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安 培力的大小
0 I1 I 2 7 I1 I 2 f 2 10 2 a a
规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有 相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线 每一米长度受力2×10-7牛顿时，每根导线上的电流 为一安培。即
B
ab
en
F1
d
1 转 当上述载流线圈从 到 2 时，按上式积分后的 磁力矩所作的总功为：
d A I dΦ
A I d Φ I (Φ2 Φ1 ) IΦ
Φ1
Φ2
Φ1与 Φ2 分别表示线圈在 1和 2时通过线圈的磁通量。
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注意： 一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形 状时，如果保持回路中电流不变，则磁场力或磁力矩 所作的功都可按A=IΔΦ 计算。 恒定磁场不是保守力场，磁力的功不等于磁场能 的减少，而且，洛伦兹力是不作功的，磁力所作的功 是消耗电源的能量来完成的。
所以
Φt BlD A
Φ Φt Φ0 BlD A BlDA BlA A
则磁力所作的功为
A I Φ
上式说明当载流导线在磁场中运动时，如果电流 保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环 绕的面积内磁通量的增量，也即磁力所作的功等于电 流乘以载流导线在移动中所切割的磁感应线数。
载流导线CD所受的力方向指向AB。 载流导线CD单位长度所受的力
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同理可以证明载流导线 AB 单 位 长度 所 受的 力的 方向指向导线 CD ，大小 为 0 I1 I 2 2 πa
B
a
D
B12 d l1
d F12
“安培”的定义
因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安 培力的大小
0 I1 I 2 7 I1 I 2 f 2 10 2 a a
规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有 相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线 每一米长度受力2×10-7牛顿时，每根导线上的电流 为一安培。即
B
ab
en
F1
d
1 转 当上述载流线圈从 到 2 时，按上式积分后的 磁力矩所作的总功为：
d A I dΦ
A I d Φ I (Φ2 Φ1 ) IΦ
Φ1
Φ2
Φ1与 Φ2 分别表示线圈在 1和 2时通过线圈的磁通量。
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注意： 一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形 状时，如果保持回路中电流不变，则磁场力或磁力矩 所作的功都可按A=IΔΦ 计算。 恒定磁场不是保守力场，磁力的功不等于磁场能 的减少，而且，洛伦兹力是不作功的，磁力所作的功 是消耗电源的能量来完成的。
所以
Φt BlD A
Φ Φt Φ0 BlD A BlDA BlA A
则磁力所作的功为
A I Φ
上式说明当载流导线在磁场中运动时，如果电流 保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环 绕的面积内磁通量的增量，也即磁力所作的功等于电 流乘以载流导线在移动中所切割的磁感应线数。
磁场对载流导线的作用
F L Idl B
【例8-9】有一长为L通以电流为I的直导线，放在磁感应强 度为B的匀强磁场中，导线与B间的夹角为θ，如下图所示。求 该导线所受的安培力。
【解】在载流导线上任取一电流元 Idl，它与B之间的夹角为θ ，该电流元所 受的安培力大小为
dF Iห้องสมุดไป่ตู้sindl
该力的方向垂直纸面向里。因为导线上各电流元受力方向 都相同，所以整个载流导线受到的安培力的大小为
合力矩M的方向为垂直纸面向上。若线圈有N匝，则磁力矩
的大小为
M NIBS sin
这里引入线圈磁矩概念，定义载流线圈磁矩m的大小为
m＝NIS
取m的方向与线圈平面的法向一致。若用en表示线圈法向的
单位矢量，en与线圈中电流的流向遵循右手螺旋法则，则载流线
圈的磁矩为
m NISen
由此得到载流线圈所受的磁力矩大小为
物理学
用矢量表示为
M mBsin
M mB
磁力矩的方向与m×B的方向一致。
由上式可知 （1）当m与B的方向一致时，即θ＝0，sinθ＝0，线圈所受 的磁力矩为零，这时线圈处于稳定平衡位置。 （2）当m与B的方向垂直时，即θ＝π/2，sinθ＝1，线圈所 受的磁力矩最大，这时Mmax＝mB 。 （3）当m与B的方向相反时，即θ＝π，sinθ＝0，线圈所受 的磁力矩也为零，但这一平衡位置是不稳定的。
物理学
磁场对载流导线的作用
1.1 安培定律
如下图所示，在磁场中有一电流元Idl，电流元所在处的磁 感应强度为B。电流元中电子以速度v定向运动，其方向与电流 的流向相反。
由洛伦兹力公式可知，一个电子受到的洛伦兹力为F＝ qv×B＝-ev×B，方向沿x轴正向。设电流元中自由电子个数为 dN，这dN个自由电子所受洛伦兹力的总和即为电流元所受的安 培力，即 dF＝dN（-ev×B）
【例8-9】有一长为L通以电流为I的直导线，放在磁感应强 度为B的匀强磁场中，导线与B间的夹角为θ，如下图所示。求 该导线所受的安培力。
【解】在载流导线上任取一电流元 Idl，它与B之间的夹角为θ ，该电流元所 受的安培力大小为
dF Iห้องสมุดไป่ตู้sindl
该力的方向垂直纸面向里。因为导线上各电流元受力方向 都相同，所以整个载流导线受到的安培力的大小为
合力矩M的方向为垂直纸面向上。若线圈有N匝，则磁力矩
的大小为
M NIBS sin
这里引入线圈磁矩概念，定义载流线圈磁矩m的大小为
m＝NIS
取m的方向与线圈平面的法向一致。若用en表示线圈法向的
单位矢量，en与线圈中电流的流向遵循右手螺旋法则，则载流线
圈的磁矩为
m NISen
由此得到载流线圈所受的磁力矩大小为
物理学
用矢量表示为
M mBsin
M mB
磁力矩的方向与m×B的方向一致。
由上式可知 （1）当m与B的方向一致时，即θ＝0，sinθ＝0，线圈所受 的磁力矩为零，这时线圈处于稳定平衡位置。 （2）当m与B的方向垂直时，即θ＝π/2，sinθ＝1，线圈所 受的磁力矩最大，这时Mmax＝mB 。 （3）当m与B的方向相反时，即θ＝π，sinθ＝0，线圈所受 的磁力矩也为零，但这一平衡位置是不稳定的。
物理学
磁场对载流导线的作用
1.1 安培定律
如下图所示，在磁场中有一电流元Idl，电流元所在处的磁 感应强度为B。电流元中电子以速度v定向运动，其方向与电流 的流向相反。
由洛伦兹力公式可知，一个电子受到的洛伦兹力为F＝ qv×B＝-ev×B，方向沿x轴正向。设电流元中自由电子个数为 dN，这dN个自由电子所受洛伦兹力的总和即为电流元所受的安 培力，即 dF＝dN（-ev×B）
磁场对载流导线和载流线圈的作用
不在同一条直线上
M
F1
P O
I N
F4
F3 BIl1 sin (π ) F3 F4 在同一条直线上 F F1 F2 F3 F4 0
F2
B
en
O,P
F2
M F1l1 sin BIl2l1 sin M,N M BIS sin F1 M ISen B m B 线圈有N匝时 M NISen B
22
大学物理 （下）
例 3 求两平行无限长直导线之间的相互作用力？
解
电流 2 中单位长度上受的安培力
0 I1 电流 2 处于电流 1 的磁场中 B1 2a
0 I1 I 2 f12 I 2 B1 2a
I1
f 21 f12
I2
同时，电流 1 处于电流 2 的磁场中， 电流 1 中单位长度上受的安培力
第十章 稳恒电流的磁场
B
en
29
大学物理 （下）
e （1） n 与 B
稳定平衡
× × ×I × × × × × × × × × × ×
讨论
0 I1 I 2 f 21 I1 B2 2a
电流单位安培的定义:
B1
真空中通有同值电流的两无限长平行直导线，若相距 1 米，
a
单位长度受力2×10-7N，则电流为1 安培。
第十章 稳恒电流的磁场
23
大学物理 （下）
例4 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动 0 I1 1 f1 I 2bB1 I 2b I1 解 2a 2 方向向左 0 I1 3 f3 I 2bB3 I 2b I2 4a 方向向右 1 3 b 2a 2 f 2 I 2dlB1 sin a 2 2a I a 0 I1I 2 0 1 I 2dx ln 2 a a 2x 2 4 f4 f2 x 4 o
M
F1
P O
I N
F4
F3 BIl1 sin (π ) F3 F4 在同一条直线上 F F1 F2 F3 F4 0
F2
B
en
O,P
F2
M F1l1 sin BIl2l1 sin M,N M BIS sin F1 M ISen B m B 线圈有N匝时 M NISen B
22
大学物理 （下）
例 3 求两平行无限长直导线之间的相互作用力？
解
电流 2 中单位长度上受的安培力
0 I1 电流 2 处于电流 1 的磁场中 B1 2a
0 I1 I 2 f12 I 2 B1 2a
I1
f 21 f12
I2
同时，电流 1 处于电流 2 的磁场中， 电流 1 中单位长度上受的安培力
第十章 稳恒电流的磁场
B
en
29
大学物理 （下）
e （1） n 与 B
稳定平衡
× × ×I × × × × × × × × × × ×
讨论
0 I1 I 2 f 21 I1 B2 2a
电流单位安培的定义:
B1
真空中通有同值电流的两无限长平行直导线，若相距 1 米，
a
单位长度受力2×10-7N，则电流为1 安培。
第十章 稳恒电流的磁场
23
大学物理 （下）
例4 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动 0 I1 1 f1 I 2bB1 I 2b I1 解 2a 2 方向向左 0 I1 3 f3 I 2bB3 I 2b I2 4a 方向向右 1 3 b 2a 2 f 2 I 2dlB1 sin a 2 2a I a 0 I1I 2 0 1 I 2dx ln 2 a a 2x 2 4 f4 f2 x 4 o
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载流导线受到的安培力的微观实质是载流导线中大
量载流子受到洛伦兹力的结果。简单证明如下：
在载流导线上任取一电流元 Idl 其中电荷dq沿导线速度为 v
电流元长
dl
vdt
则
dq Idt
在电流元所在的微小空间区域，磁场可看作匀强的，
按照洛伦兹力公式，可得电流元所受磁场力
dF
dqv B
在ＣＤ上任取一电流元 I2dl2
B21为载流导线AB在 I2dl2 激发的磁感应强度
为二者之间夹角
π
2
B21
0
2π
I1 a
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a
计算CD受到的力，CD上所
B
D
任取电流元受力：
B12
d l1
d F21
d F21 B21I2 d l2 sin
d F12
d l2 B21
所以，安培力的大小为
F BlI sin
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如 段果受载力流dF导可线分所解处为为d非Fx 均d匀Fy 磁dF场z ，可取电流元，每
Fx dFx
Fy dFy
Fz dFz
然后，求出合力即可。
例题8-6 在磁感强度为B 的均匀磁场中，通过一 半径为R的半圆导线中的 电流为I。若导线所在平 面与B垂直，求该导线所 受的安培力。
§8-6 磁场对载流导线的作用
一、 安培定律
安培力：载流导线在磁场中受到的磁场力
大小 dF IdlB sin
是电流元与磁感应强度的夹角。
dF方向判断
右手螺旋
安培定律矢量式
dF Idl B
一段任意形状载流导线受到的安培力
F LdF LIdl B
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电磁驱动力原理图
中国第一辆载人磁悬浮列车
上页 下页 返回 退出
上海磁悬浮列车
上页 下页 返回 退出
二、磁场对载流线 圈的作用
F1' D
A
F2'
I
l2
B A(B)
C
F2 B
F1
F2
l1
F2'
D(C) B
en
如上图，矩形线圈处于匀强磁场中，AB、CD
边与磁场垂直，线圈平面与磁场方向夹角为 。
Idt
dl
B
dt
Idl B
这就是电流元在磁场中受到的安培力。
上页 下页 返回 退出
载流长直导线在均匀磁场中所受安培力
取电流元 Idl
受力大小
dF BIdl sin
Idl
B
dF
方向：垂直纸面向里
I
积分 F BIdl sin BIl sin L
综上所述，任意形状不变的平面载流线圈作为整
体在均匀外磁场中，受到的合力为零，合力矩使线圈
的磁矩转到磁感应强度的方向。
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三、电流单位“安培”的定义 a B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
B12 d l1
d F12
d F21
d l2
B21
A
I1
C
I2
平行载流直导线间距为a，两者电流方向相同，间
距远小于导线长，可将两导线视做无限长导线。
由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方 向相反。
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AD与BC边受力大小为 F1 BIl1 sin
F2'
AD与BC边受力在同一直线
上，相互抵消。 AB与CD边受力大小为
A(B)
D(C) B
这两个F2边受B力Il不2 在在同一直线上F2
en ，形成一力偶，力
臂为 l1 cos ，它们在线圈上形成的力偶矩为
M F2l1 cos BIl1l2 cos BIS cos
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S
l1l2
为线圈面积，图中为线圈平面正法向与磁
场方向的夹角，与为互余的关系
F2'
π 2
用代替 ，可得到力矩
A(B)
M BIS sin
dFy y dF
dFy dF
结果 表 明： 半 圆形载 dFx I
dFx
流导线上所受的力与
其两个端点相连的直
导线所受到的力相等.
x
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由本题结果可推论：一个任意弯曲载流导线上所受 的磁场力等效于弯曲导线始、终两点间直导线通以 等大电流时在同样磁场中所受磁场力。
安培力应用
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讨论：
（1）=/2，线圈平面与磁场方向相互平行，力矩 最大，这一力矩有使减小的趋势。
（2） =0，线圈平面与磁场方向垂直，力矩为零，
线圈处于平衡状态。
（3） =，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩 为零，但为不稳定平衡， B与 m 反向，微小扰动，
磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。
磁悬浮列车车厢下部 装有电磁铁，当电磁铁通 电被钢轨吸引时就悬浮。 列车上还安装一系列极性 不变的电磁铁，钢轨内侧 装有两排推进线圈，线圈 通有交变电流，总使前方 线圈对列车磁体产生吸引 力，后方线圈对列车产生
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排斥力，这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。强 大的磁力可使列车悬浮1～10cm，与轨道脱离接触， 消除了列车运行时与轨道的摩擦阻力，使列车速度可 达400km/h。
在x方向分力的总和为零， 只有y方向分力对合力有 贡献。
x
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F dFy
由安培定律 dFy dF sin BIdl sin
由几何关系 dl Rd
π
上两式代入 F
dFy
BIR
0
sind
2BIR
合力F的方向：y轴正 方向。
F2
D(C) B
en
若线圈为N匝，则线圈所受力偶为
M NBISsin
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实际上m=NIS为线圈磁矩
的大小，力矩的方向为线圈
磁矩与磁感应强度的矢量积；
用矢量式表示磁场对线圈的
力矩：
A(B)
M
m
B
F2
F2'
D(C) B
en
可以证明，上式不仅对矩形线圈成立，对于均 匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立，对于带电 粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所 具有的磁矩，在磁场中受到的力矩都适用。
I
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解：坐标Oxy 如图所示
各段电流元受到的安培力数值上都等于
dF BIdl
方向沿各自半径离开圆心向外，整个半圆导线受安
培力为
F dF
各电流元受力可分解为x 方向和y方向，由电流分 布的对称性，电流元各段
dF
dFx
dFy y
I
dFy
dF
dFx