p3_10宇宙速度和飞船的运动轨迹要点

再根据角动量守恒定律，可推导飞船的轨道方程。
不过，推导轨道方程的过程比较冗长， 而用微分方程的数值解比较简便。
长度取地球半径为单位，速 度以第二宇宙速度为单位。
当飞船的初速度小于 第二宇宙速度时，飞 船的轨迹是椭圆。 当飞船的初速度等于第 二宇宙速度时，飞船轨 迹是不闭合的抛物线。 当飞船的初速度大于第 二宇宙速度时，飞船轨 迹是不闭合的双曲线。
物体在地球表面所受的重力是万有引力 产生的，不考虑地球自转的影响，可得 即GME = gRE2。 脱离速度为 vII 2 gRE
mg G
M Em 2 RE
= 11180m/s。
脱离速度又称为第二宇宙速度，飞船轨迹是抛物线。
*{范例3.10} 宇宙速度和飞船的运动轨迹
如果将地球质量ME改为太阳质量MS = 1.98×1030kg，将地 球半径RE改为地球到太阳的初始距离rS = 1.5×1011m，则
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第三章结束 湖南大学物电院 周群益老师谢谢您的使用!
vI2 mg m RE
gRE 9.8 6378 1000
=7906m/s
环绕速度又称为第一宇宙速度。
*{范例3.10} 宇宙速度和飞船的运动轨迹
当飞船从地球表面发射时，不计空气阻力，计算飞船的三个宇宙 速度。对于不同的切向发射速度，飞船运动的轨迹有什么差别？
如果飞船能够摆脱地球引力运动到无限远处， 设地球质量为Me，飞船在地球表面的脱离速 1 mv2 G M E m 0 II 2 RE 度为vII，根据机械能守恒定律可列方程 由此可得 vII 2GM E / RE
2GM S / rS vII
由于T = TE + TS，所以 飞船脱离太阳引力所 T 1 mv 2 S 2 vIII vII v 2 具有的最小动能是 2 这就是飞船脱离太阳系的最小速度， =1.66×104m/s 称为逃逸速度或第三宇宙速度。
*{范例3.10} 宇宙速度和飞船的运动轨迹
当飞船从地球表面发射时，不计空气阻力，计算飞船的三个宇宙 速度。对于不同的切向发射速度，飞船运动的轨迹有什么差别？
根据牛顿第二定律，飞船运动的动力学方程为 2 d 2 dr d M Em gRE m d2r ] G
r
2

r
2
,
r
dt
2
2
dt dt
0
= 4.2×104m/s 这就是地球到太阳这个距离的飞船脱离太阳的速度。 当飞船以这一速度相对太阳运动时其轨迹相对太阳是抛物线。 vII / 2 = 2.97×104m/s 地球绕太阳公转的速度为 vI 如果飞船沿着地球公转的方向运动，只需要获得速度 Δv = v'II - v'II = 1.23×104m/s 就能达到太阳的脱离速度。 2 在地球表面，飞船脱离地球 1 2 飞船具有的最 T 1 mvIII TE mvII 2 小总动能为 引力所具有的最小动能是 2
*{范例3.10} 宇宙速度和飞船的运动轨迹
当飞船从地球表面发射时，不计空气阻力，计算飞船的三个宇宙 速度。对于不同的切向发射速度，飞船运动的轨迹有什么差别？
[解析]如果飞船绕地球表面做圆周运动，其 向心力来源于重力，设飞船质量为m，可得 g为地球表面的重力加速度，Re是地球半径。 环绕速度为 vI