61 三视图——几何体的体积问题 高中数学讲义微专题Word版
高中数学《空间几何体的三视图、表面积和体积》课件
A.158 C.182
B.162 D.324
27
(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该 圆柱的体积为________. 解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱 的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个 上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高 为3.
6
所以 PA⊥PC，即 PA，PB，PC 两两垂直，以 PA，PB，PC 为从同一顶点出发的三条棱 补成正方体.因为 AB＝2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6， 故三棱锥 P－ABC 的外接球的半径 R＝ 26，所以球 O 的体积 V＝43πR3＝43π 263＝ 6π， 故选 D.
答案
(1)40
1 (2)3
34
热点三 多面体与球的切、接问题
【例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，
BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π
B.92π
C.6π
D.323π
(2)(多填题)(2019·湖南师大附中调研)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与
(2)因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故 该几何体为三棱锥.故选A. 答案 (1)C (2)A
三视图——求几何体的表面积和体积优质课件PPT
视图确定每顶帐篷的表面积(图中尺寸单位：cm).
解：S锥侧＝π·150·240＝36 000π(cm2),
S柱侧＝2π·150·200＝60 000π(cm2)，
∴S表＝S锥侧＋S柱侧＝36 000π＋60 000π
2021/02/17
＝96 000π(cm2)＝9.6π m2.
16
知2－练
2 【中考·随州】如图是某工件的三视图，则此工件 的表面积为( D ) A．15π cm2 B．51π cm2 C．66π cm2 D．24π cm2
2021/02/17
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知2－练
3 某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所 示，则该几何体的体积为( A ) A．3π B．2π C．π D．12
2021/02/17
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知2－练
4 【中考·湖州】如图是按1：10的比例画出的一个几 何体的三视图，则该几何体的侧面积是( D ) A．200 cm2 B．600 cm2 C．100π cm2 D．200π cm2
物体形状
3
知识点 1 几何体的展开图
知1－讲
一个物体根据三视图描述几何体还原实物，然 后再由实物来想象该几何体的展开图.
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4
知1－讲
例1 〈广州〉如图是一个几何体的三视图，则这个几 何体的展开图可以是图中的( A )
2021/02/17
5
知1－讲
导引：由三视图可知该几何体是圆柱，它的侧面展开 图是矩形，两个底面的展开图是圆，故选择A.
2 如图是一个几何体的展开图，下面哪个平面图形 不是它的三视图中 D 的一个视图( )
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积(讲解部分)
考点清单
考点一 简单几何体的结构特征、三视图和直观图
考向基础
1.多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
结构 特征
侧棱
侧面形状
有两个面平行且全等,其余各个 有一个面(底面)是多边
面都是四边形;每相邻两个四边 形,其余各面是有一个
形的公共边都互相平行
公共顶点的三角形
有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形
栏目索引
例2 (2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),3)如图所示,半径为2,圆心角 为 2π 的扇形是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的体积是 ( )
3
A.16 2 π
27
解题导引
B.16 2 π
81
C. 4 π
3
D. 4 2 π
3
栏目索引
解析 圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长 4π ,所以圆锥的底面半径为 2 ,高
柱体 锥体
台体
球
V柱体=Sh,V圆柱=πr2h
1
V锥体= 3Sh,V圆锥= 1πr2h
3
1
V台体= 3(S+
SS'
+S')h,V圆台=
1π(r2+rr'+r'2)h
3
4
V球= 3πR3(R为球半径)
注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已 知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.
例1 (2019浙江高考信息优化卷(四),11)某四棱锥的三视图如图所示,在此
四棱锥的四个侧面中,直角三角形的个数为
,体积是
.
高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题五 立体几何刺 第1讲 空间几何体的三视图表面积和体积课件 文
图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图
的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体.
典型例题
(1)(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的 最长棱的长度为 ( )
第 1讲
空间几何体的三视图、表面 积和体积
考情分析
总纲目录
考点一 考点二 考点三 考点四 空间几何体的三视图 空间几何体的表面积与体积(高频考点) 与球有关的切、接问题 立体几何中的数学文化
考点一
空间几何体的三视图
1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视
答案 (1)B (2)B 解析 (1)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所 示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为
22 22 22 =2 3 .故选B. PD,PD=
(2)由多面体的三视图还原直观图如图.
该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中
面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2× B. 方法归纳 由三视图还原直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整 实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.
(2 4) 2 =12.故选 2
跟踪集训
1.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图 ( )
A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π
高中数学复习课件-复习 空间几何体的三视图、表面积及体积
[典例] (1)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被
一个平面截去一部分后与半球(半径为r)
组成一个几何体，该几何体三视图中的
正视图和俯视图如图所示．若该几何体
的表面积为16＋20π，则r＝ ( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[解析] 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组 合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表 面积 S＝12×4πr2＋πr2＋4r2 ＋πr·2r＝(5π＋4)r2.
令y′＝0，解得h＝2 3 ，易知当h＝2 3 时，y取最大值，
正六棱柱的体积最大．
答案：D
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正棱柱的体积取最大值时，其高的值为
()
A．3 3
B. 3
C．2 6
D．2 3
解析：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋
h2 4
＝9，即a2＝9－
h2 4
，那么正六棱柱的体积V＝
6×
43a2 ×h
＝32 39－h42h＝323－h43＋9h，令y＝－h43＋9h， 则y′＝－34h2＋9，
16 2
∴V新工件＝ V原工件 2
272π＝98π.故选A.
3
[答案] A
变式：某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中侧视 图是一个边长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是 () A．2 cm3
B. 3 cm3
C．3 3 cm3 D．3 cm3
答案：B [解析] 该几何体的直观图如图，其体积 V＝1×1× 32
(2)柱体、锥体、台体的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 台＝13(S＋ SS′＋S′)h(不要求记忆)； (3)球的表面积和体积公式： ①S 球表＝4πR2(R 为球的半径)；
高中数学复习精讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
空间几何体的三视图、表面积和体积1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．例1 (1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 D解析 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧(左)视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧(左)视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选D.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________． 答案 2＋22解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图所示．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′， ∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′ ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．跟踪演练1 (1)(2017·河北省武邑中学模拟)已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图，则该锥体的俯视图不可能是( )答案 D解析 A 项，该锥体是底面边长为2，高为3的正四棱锥． B 项，该锥体为底面半径为1，高为3的圆锥．C 项，该锥体是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥．D 项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等”，所以不可能是该锥体的俯视图，故D 项不符合题意． 故选D.(2)(2017·衡阳联考)如图所示，三棱锥V －ABC 的底面是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC 与底面ABC 垂直，若以垂直于平面VAC 的方向作为正(主)视图的方向，垂直于平面ABC 的方向为俯视图的方向，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积是( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．3 答案 B解析 设三棱锥的高为h ，AB ＝BC ＝2a ，则AC ＝2a ，S 正(主)视图＝12×2a ×h ＝23⇒h ＝23a ，S 侧(左)视图＝12ah ＝a 2×23a ＝ 3.故选B.热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)下图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．48－πB ．96－πC ．48－2πD ．96－2π 答案 D解析 由已知中的三视图可知，该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体，所以几何体的体积为4×4×6－2×13×π×12×3＝96－2π，故选D.(2)(2017·山东)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．答案 2＋π2解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的14圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪演练2 (1)(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，所以几何体的体积V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C.(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，是某组合体的三视图，则外部几何体的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．24πD ．36π答案 D解析 组合体为轴截面为等边三角形的圆锥和它的内切球，球的半径为r ＝2，圆锥的高为3r ＝6，圆锥底面半径为3r ＝23，圆锥母线长为23r ＝43，所以S 圆锥表＝π()232＋12()2π·23·43＝36π，故选D.热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3 (1)一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为( )A ．1 0002πB ．1252πC.1 0002π3D.1252π3答案 D解析 由三视图可知该三棱锥为棱长为5,4,3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，∴该三棱锥的外接球和长方体的外接球相同． 设该三棱锥的外接球半径为R ， ∴2R ＝52＋42＋32＝5 2.∴R ＝522，∴外接球的体积为V ＝43πR 3＝1252π3，故选D.(2)(2017届咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为____________． 答案354π解析 由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示． AE ＝AB ·sin60°＝62，AO ＝23AE ＝63， DO ＝AD 2－AO 2＝233，三棱锥的体积V D －ABC ＝13S △ABC ·DO ＝13，设内切球的半径为r ，则V D －ABC ＝13r ()S △ABC ＋S △ABD ＋S △BCD ＋S △ACD ＝13，r ＝36，V 内切球＝43πr 3＝354π.思维升华 三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A ，B ，C 可作为下底面的三个顶点． (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 (1)若在三棱锥P －ABC 中， AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABC ，且直线P A 与平面PBC 所成角的正切值为12，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π答案 A解析 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，PD, ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，又∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ，又P A ，AD ⊂平面P AD ，P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，过A 作AH ⊥PD 于点H ，易知AH ⊥平面PBC ， ∴∠APD 是直线P A 与平面PBC 所成的角，∴tan ∠APD ＝AD AP ＝12，∵AD ＝12BC ＝22，∴AP ＝2，∵AB ，AC ，AP 相互垂直， ∴以AB ，AC ，AP 为棱的长方体的外接球就是三棱锥P －ABC 的外接球，∴三棱锥P －ABC 的外接球的半径为12＋12＋()222＝1，三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4π，故选A.(2)(2017届石家庄质检)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( ) A ．6 B ．5 C.92 D.94答案 D解析 由题意知，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，G 为球面与侧面的切点．设PH ＝h ，易知Rt △PGO ∽Rt △PHF ，所以OG FH ＝POPF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D.真题体验1．(2017·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________．答案 10解析 由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知，底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P ACD ＝13×12×3×5×4＝10.2．(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________． 答案 14π解析 ∵长方体的顶点都在球O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为R ， 则2R ＝32＋22＋12＝14. ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π. 3．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S —ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π解析 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径知，OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC 知，OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积 V ＝13×12×SC ×OB ×OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.4．(2017·江苏)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R . ∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 押题预测1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．82＋8C ．22＋26＋8D ．42＋46＋8押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积． 答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD ＝2的四棱锥P －ABCD ，因为PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形， 易得BC ⊥PC ，BA ⊥P A ，又PC ＝PD 2＋CD 2＝22＋(22)2＝23， 所以S △PCD ＝S △P AD ＝12×2×22＝22，S △P AB ＝S △PBC ＝12×22×23＝2 6.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．32πD ．36π押题依据 灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点． 答案 B解析 因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注． 答案423解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋(1－r 2)2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝⎛⎭⎫222×2＝423.A组专题通关1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案 B解析由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组合而成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接着两个三角形．2．(2017届太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为()A．3 3 B．2 6C.21 D．2 5答案 B解析如图所示，在长、宽、高分别为3,4,2的长方体中，三视图表示的是如图所示的四棱锥P－ABCD，其最长的棱为BP＝22＋22＋42＝2 6 .故选B.3．(2017·日照模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π答案 A解析 根据三视图可知，原几何体表示上部为底面圆半径为1，高为3的圆锥的12，下部为底面圆半径为1，高为2的圆柱的34，故该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝12×13πr 2h 1＋34×πr 2h 2＝3π6＋3π2＝3＋96π.4．(2017届四川省泸州市四诊)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是A ′B ′C ′，如图(2)所示，其中O ′A ′＝O ′B ′＝2，O ′C ′＝3，则该几何体的表面积为( )A ．36＋12 3B ．24＋8 3C ．24＋12 3D ．36＋8 3 答案 C解析 由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P －ABC ，且S △P AB ＝S △PBC ＝12×4×6＝12, S △ABC ＝12×4×23＝43，△P AC 是腰长为52，底面边长为4的等腰三角形， S △P AC ＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.5．(2017届玉林、贵港质检)网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程．某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12 cm ，体积为96π cm 3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是( ) A ．36π cm 3B ．12π cm 3C ．9π cm 3D ．72π cm 3 答案 A解析 由题可令圆锥的高为x cm ，可得13π·62·x ＝96π，则x ＝8，由底面直径为12，得母线长为10，可设轴截面的内切圆半径为r ，由12×12×8＝12×()10＋10＋12r ，可得r ＝3.那么珠子的体积最大值为43π·33＝36π(cm)3.故选A.6．(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足BA ＝BC ＝6， ∠ABC ＝π2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )A ．8πB ．16π C.16π3 D.32π3 答案 D解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是r ＝12×12＝3，设外接球的半径是R ，球心O 到该底面的距离为d ，如图，则S △ABC ＝12×6＝3，BD ＝3，由题设V ＝13S △ABC ·h ＝13×3h ＝3，最大体积对应的高为PD ＝h ＝3，故R 2＝d 2＋3，即R 2＝()3－R 2＋3，解得R ＝2，所以外接球的体积是43πR 3＝32π3，故选D.7．(2017届石家庄模拟)三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC, AB ＝5, BC ＝8, ∠B ＝60°， SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.643π B.2563π C.4363π D .2 048327π 答案 B解析 由题意知，侧棱SA ⊥底面ABC, AB ＝5，BC ＝8，∠B ＝60°，则根据余弦定理可得 AC ＝52＋82－2×5×8×12＝7,△ABC 的外接圆圆心2r ＝AC sin B ＝732∴r ＝73，三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫732＋()52＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π. 8．如图所示，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为________．答案140π3解析 由题意知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为V ＝13×(π×22＋π×22×π×52＋π×52)×4＝156π3，半球的体积V ＝12×43×π×23＝16π3，则所求体积为156π3－16π3＝140π3.9．体积为163的正四棱锥S —ABCD 的底面中心为O ，SO 与侧面所成角的正切值为22，那么过S —ABCD的各顶点的球的表面积为________． 答案 16π解析 如图，取AB 的中点为F ，连接SF ，过点O 作OG ⊥SF ，则∠OSG 为SO 与侧面所成的角，且tan ∠OSG ＝OF SO ＝22.设AB ＝2a ，则SO ＝2a ，所以13×4a 2×2a ＝163，得a ＝ 2.延长SO 交外接球于E ，则EB ⊥SB ，由OB 2＝SO ·OE ，得4＝2·(2R －2)， 所以R ＝2，S ＝4π×22＝16π.10．(2017·天津市第一中学月考)某几何体的三视图如图所示(单位： cm)，则该几何体的体积为________ cm 3.答案 6＋32π解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边为2，高为3. 所以V ＝12×2×2×3＋12×π×12×3＝6＋32π.11.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E －FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正(主)视图的面积是________． 答案 2解析 由题意知，E 点在底面的射影E ′为AB 的中点，F 点在底面的射影F ′在AD 上，G 点在底面的射影G ′在BC 上，三棱锥E －FGC 的俯视图的面积是以E ′C 为底边，F ′，G ′到E ′C 的距离和为高的三角形的面积，又E ′C 为定值，所以当F 点与D 点重合，G 点与B 点重合时面积最大，此时正(主)视图的面积为12×2×2＝2.12．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且AB ＝5，BC ＝7，AC ＝2，则此三棱锥外接球的表面积是______． 答案 8π解析 如图P A, PB, PC 两两垂直，设PC ＝h ， 则PB ＝BC 2－PC 2 ＝7－h 2，P A ＝AC 2－PC 2＝4－h 2， ∵P A 2＋PB 2＝AB 2， ∴4－h 2＋7－h 2＝5，解得h ＝3，在三棱锥P －ABC 中， P A, PB, PC 两两垂直，且P A ＝1, PB ＝2，PC ＝3， ∴以P A, PB, PC 为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥P －ABC 的外接球， ∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为R ＝1＋4＋32＝2， ∴外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×()22＝8π.B 组 能力提高13．四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.81π5B.81π20C.101π5 D .101π20答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，由于△P AD 为等腰三角形，P A ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△P AD 的外心F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，O 为四棱锥外接球的球心，在三角形P AD 中，cos ∠APD ＝32＋32－422×3×3＝19，则sin ∠APD ＝459 ,2PF ＝AD sin ∠APD ＝4459＝955 ，PF ＝9510 ，PE ＝9－4＝ 5 ，OH ＝EF ＝5－9510＝510， BH ＝1216＋4＝5，OB ＝OH 2＋BH 2＝5100＋5＝50510， S ＝4π×505100＝101π5.故选C.14．如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为( )A.52()2－1π B.254()3－22π C ．25()3－22π D.1256()52－7π 答案 D解析 内部几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径，由等面积法易得r ＝ab a ＋b ＋5，且a 2＋b 2＝25.由基本不等式，知r ＝ab a ＋b ＋5≤ab 2ab ＋5， 0<ab ≤a 2＋b 22＝252，即0<ab ≤522，当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立．令t ＝ab ，则r ≤t 22t ＋5， f ()t ＝t 22t ＋5＝15t 2＋2t ＝15⎝⎛⎭⎫1t ＋152－15⎝⎛⎭⎫0<t ≤522是增函数，或f ′(t )＝2t ()t ＋5()2t ＋52>0, 0<t ≤522，所以f ()t ＝t 22t ＋5在⎝⎛⎦⎤0，522上是增函数，所以r max ＝f ()t max ＝f ⎝⎛⎭⎫522＝52()2－1，所以内切球的体积的最大值为43π()r max 3＝1256()52－7π，故选D.15．(2017·上海市黄浦区模拟)三棱锥P －ABC 满足： AB ⊥AC, AB ⊥AP , AB ＝2, AP ＋AC ＝4，则该三棱锥的体积V 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，43 解析 由于AB ⊥AP ，AB ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面APC, V ＝13S △APC ·AB ＝23S △APC ，在△APC 中，AP ＋AC ＝4，所以AP ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AP ＋AC 22＝4，所以S △APC ＝12·AP ·AC ·sin ∠P AC ≤2sin ∠P AC ，要使△APC 面积最大，只需AP ＝AC ，∠P AC ＝90°， S △APC 的最大值为12×2×2＝2, V 的最大值为13×2×2＝43，该三棱锥的体积V 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，43. 16.如图所示，三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形， D 是线＝32，PB ＝段AB 的中点， DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°，P A 332，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________． 答案 13π解析 在三棱锥P －ABC 中， △ABC 是边长为3的等边三角形，设△ABC 的外心为O 1，外接圆的半径O 1A ＝32sin60°＝3，在△P AB 中， P A ＝32，PB ＝332，AB ＝3，满足P A 2＋PB 2＝AB 2，所以△P AB 为直角三角形，△P AB 的外接圆的圆心为D ，由于CD ⊥AB ，ED ⊥AB, ∠EDC ＝120°为二面角P －AB －C 的平面角，分别过两个三角形的外心O 1，D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P －ABC 的外接球的球心， 在Rt △OO 1D 中， ∠ODO 1＝30°，DO 1＝32， 则cos30°＝O 1D OD ＝32OD ，OD ＝1，连接OA ，设OA ＝R ，则R 2＝AD 2＋OD 2＝⎝⎛⎭⎫322＋12＝134， S 球＝4πR 2＝4π×134＝13π.空间几何体的三视图、表面积与体积A组基础题组1.如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( )2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图是( )3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( )A.2B.C.D.34.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )5.(2017新疆第二次适应性检测)球的体积为4π,平面α截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面α的距离为( )A.1B.C.D.6.(2017合肥第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π7.(2017石家庄教学质量检测(二))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.16B.20C.52D.608.(2016贵州贵阳监测考试)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同,俯视图不同,如图所示,记甲的体积为V甲,乙的体积为V乙,则( )A.V甲<V乙B.V甲=V乙C.V甲>V乙D.V甲、V乙大小不能确定9.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.+1B.+3C.+1D.+310.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且=,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC 的体积为( )A.1B.C. D.与M点的位置有关11.若正三棱锥A-BCD中,AB⊥AC,且BC=1,则三棱锥A-BCD的高为( )A. B. C. D.12.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )A. B. C.4π D.π13.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB=AC,四边形BCDE为矩形),则该组合体的俯视图可以是(把正确的图的序号都填上).14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.15.(2017广西三市第一次联考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点,OA⊥平面BDE,则球O的表面积为.16.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.B组提升题组1.(2017郑州第一次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )A.207B.216-C.216-36πD.216-18π2.某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1),则该几何体的表面积为( )A.48B.54C.64D.603.(2017石家庄第一次模拟)祖暅是南北朝时期的伟大数学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④4.(2017郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱的最大体积为( )A. B. C. D.5.(2017兰州高考实战模拟)某几何体的三视图如图所示,则下列说法正确的是( )①该几何体的体积为;②该几何体为正三棱锥;③该几何体的表面积为+;④该几何体外接球的表面积为3π.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.(2017洛阳第一次统一考试)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,△ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥P-ABC的体积为,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示,当xy取得最大值时,该几何体的体积是.8.(2017合肥第二次教学质量检测)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为1的等边三角形,则此几何体的体积为.9.(2017长春普通高中质量检测(二))已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,平面PBC⊥平面ABCD,PE⊥BC于点E,EC=1,AB=,BC=3,PE=2,则四棱锥P-ABCD的外接球半径为.10.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案精解精析A组基础题组1.D 先观察俯视图,由俯视图可知选项B和D中的一个正确,再由正视图和侧视图可知选项D正确,故选D.2.D 由几何体可以看出,侧视图应为一个矩形外加一条从右上到左下的对角线,故选D.3.D 由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是一个直角梯形,底面积为×(1+2)×2=3,四棱锥的高为x,因为该几何体的体积为3,所以×3x=3,解得x=3,故选D.4.B 根据直观图以及题图中的辅助四边形分析可知,当正视图和侧视图完全相同时,俯视图为B,故选B.5.B 依题意,设该球的半径为R,则有R3=4π,解得R=,因此球心O到平面α的距离d==,选B.6.A 由三视图知,该几何体由一个正方体的四分之三与一个圆柱的四分之一组合而成(如图所示),表面积为16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π,故选A.7.B 由三视图知,该几何体由直三棱柱(底面是直角边长分别为3,4的直角三角形,高为6)截去两个相同的四棱锥所得,且四棱锥的底面是长、宽分别为4,2的矩形,高是3,所以该几何体的体积V=×3×4×6-2××2×4×3=20,故选B.8.C 由三视图知,甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角,即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥,所以V甲>V乙,故选C.9.A 由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3,底面△ABC中,AB=2,OC=1,AB⊥OC.故其体积V=××π×12×3+××2×1×3=+1.故选A.10.B ∵=,∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的,即为=1.∵M为线段B1C1上的点,∴S△MBC=×3×3=,∴V M-PBC=V P-MBC=××1=.11.A 设三棱锥A-BCD的高为h,依题意得AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=AD=BC=,△BCD的面积为×12=.由V A-BCD=V B-ACD得S△BCD·h=S△ACD·AB,即××h=×××,解得h=,即三棱锥A-BCD的高h=,故选A.12.A 由三视图可知,该几何体为一个三棱锥,设其为三棱锥A-BCD,由俯视图可知,底面BCD是一个等腰直角三角形,∠BCD为直角,平面ABD⊥平面BCD,易知外接球的球心O为△ABD的中心,则球O的半径R=,外接球的表面积等于4πR2=4π×=.13.答案①②③④解析该组合体由四棱锥与四棱柱组成时,得①正确;该组合体由四棱锥与圆柱组成时,得②正确;该组合体由圆锥与圆柱组成时,得③正确;该组合体由圆锥与四棱柱组成时,得④正确.14.答案解析=,=,点F到平面D1ED的距离为1,∴==××1=.15.答案16π解析取BD的中点为O1,连接OO1,OE,O1E,O1A,则四边形OO1AE为矩形,∵OA⊥平面BDE,∴OA⊥EO1,即四边形OO1AE为正方形,则球O的半径R=OA=2,∴球O的表面积S=4π×22=16π.16.答案2+解析由三视图得该几何体的直观图(如图).其中,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱体的底面半径为1,高为1.所以该几何体的体积V=2×1×1+×π×12×1=2+.B组提升题组1.B 由三视图知,该几何体是由一个棱长为6的正方体挖去一个底面半径为3,高为6的圆锥而得到的,所以该几何体的体积V=63-××π×32×6=216-,故选B.2.D 根据三视图还原直观图,如图所示,则该几何体的表面积S=6×3+×6×4+2××3×5+×6×5=60,故选D.3.D 设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆的半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);。
高中数学《三视图、表面积、体积的综合应用》精品课件
D
例 6． （湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则 该几何体的俯视图不可能 是( ．．． )
✔
例 7． （陕西卷）将正方体(如图①所示)截去两 个三棱锥，得到图②所示的几何体， 则该几何体的 左视图为( )
解析： AD1 的投影是左上到右下的实线， B1C 的投影是左下到右上的虚线.
✔
投射面.投射到这个平面内的图形叫做 主视图 .
3.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧
立投射面.投射到这个平面内的图形叫做 左视图 .
4．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个
投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形
叫做空间图形的 三视图 .
探究2
三视图
直立投射面 侧立投射面
正 面
故S侧=6ah=3×2ah=3S.
三视图与直观图的转换
例1．如图所示的是一个零件的直观图，画出这个
几何体的三视图.
解答：这个几何体的三视图如图所示，
在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用
细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注
明时按mm计.
2. （2012·福建高考）一个几何体的三视图形状都相
方向上是对正的，称长对正.
主视图与左视图都体现形体的高度，且高度在水平 方向上是平齐的，称高平齐. 左视图与俯视图都体现形体的宽度，且同一形体的 宽度是相等的，称宽相等.
总之，三视图之间的关系是：
长对正 高平齐 宽相等
俯
左
主视图
左视图
球体
主
俯视图
四棱锥的三视图
主视图
左视图
俯视图
在画图时,能看见部 分的轮廓线通常画成 实线,看不见部分的轮 廓线通常画成虚线.
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
答案:(2)118.8
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧
(1)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的所有面的面积之和,计 算时要正确区分空间几何体中哪些面暴露在外,哪些面成为空间几何体 内部的面; (2)体积计算的关键是求空间几何体的高,常常依靠面面垂直的性质定理, 即两个面垂直时,在一个面内垂直交线的直线垂直另一个平面; (3)常用割补法计算空间几何体的体积.
(A)4 3
(B)6
(C)2 5
(D)4
解析:(1)三视图还原成如图所示的几何体:三棱锥 S-ABC,则 SB=BC=4, SC=4 2 , AC=AB=2 5 , SA=6, 故选 B.
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此 几何体的各个面中是直角三角形的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:(2)三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD: 由正方体的性质得△ABC,△BCD,△ACD为直角三角形,△ABD为正三角形. 故选C.
︱高中总复习︱二轮·理数
热点二 空间几何体的表面积和体积 例2:(1)(2019·河北示范高中4月联考)若某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为( )
答案:(1) 10 11
3
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·宁夏石嘴山三中数学能力测试)已知圆锥的顶点为 S,底面圆周上的两点 A,B 满足
△SAB 为等边三角形,且面积为 4 3 ,又知圆锥轴截面的面积为 8,则圆锥的表面积
2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档 理
§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 因此V ＝43πR 3＝500π3. 4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5． 假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特点 例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发 从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点． 答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等． 思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点． 易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形． 题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发 先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好． 标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同， 故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4． 如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5． 某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7． 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π 解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解 那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2． 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等， 得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。
文科数学专题空间几何体的三视图、表面积及体积(教学案)高考二轮复习资料含答案
1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；一、空间几何体1．柱体、锥体、台体、球的结构特征一个球心和一条半径长2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积圆3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【误区警示】1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．考点一空间几何体的结构1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3【答案】C【解析】当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.【变式探究】已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．【答案】3 3【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且PF⊥平面ABC.设正方体棱长为a，则考点二三视图、直观图例2．【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【变式探究】【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【变式探究】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5【答案】C【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD ＝1，ED＝2，考点三几何体的表面积例3．【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R====【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428V R833ππ=⨯=,解得R2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784Sπππ⨯⨯⨯⨯故选A．【变式探究】(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋4【答案】D考点四几何体的体积例4．【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径2r==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛==⨯⨯=⎝⎭，故选B.【变式探究】【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C【变式探究】(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.【答案】A1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B2.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径r==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π4V r h==⨯⨯=⎝⎭，故选B.3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30（C）20 （D）10【答案】D4.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π5.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2====R S R24π14π.6.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.【2017山东，文13】由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.【答案】π22+1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428V R833ππ=⨯=,解得R2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784Sπππ⨯⨯⨯⨯故选A．2.【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C3.【2016年高考北京文数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.4.【2016高考新课标3文数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B5.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C1．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2. 2．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】83π【解析】由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π m 3. 3．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】D【解析】如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部5．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3πD.12（2－1）3π 【答案】A【解析】易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，则a ＝b .由截面图的相似关系知，c ＋a 2＋b 2＝2，即c ＋2a ＝2，大为1627，∴V 长方体V 1＝16272π3＝89π.故选A.1.【2014高考安徽卷文第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.18 【答案】A【解析】由题意，该多面体的直观图是一个正方体''''ABCD A B C D -挖去左下角三棱锥A EFG -和右上角三棱锥''''C E F G -，如下图，则多面体的表面积11226116221222S =⨯⨯-⨯⨯⨯+=+故选A.【考点定位】多面体的三视图、表面积.2. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱【答案】A【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A. 【考点定位】三视图.3. 【2014高考广东卷文第7题】若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定【答案】D【解析】 如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为【考点定位】空间中直线的位置关系4. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱5. 【2014高考江苏卷第8题】 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S ，则12VV 的值是 .【答案】32【考点定位】圆柱的侧面积与体积．6. 【2014江西高考文第5题】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】俯视图为几何体在底面上的投影，应为B 中图形. 【考点定位】三视图8. 【2014辽宁高考文第7题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-A BCD【答案】B9. 【2014全国1高考文第12题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A）（B）6（C）（D）4【答案】B10. 【2014全国2高考文第6题】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 13【答案】C11. 【2014山东高考文第13题】 三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________. 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==。
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微专题61 三视图——几何体的体积问题
一、基础知识：
1、常见几何体的体积公式：（:S 底面积，:h 高） （1）柱体：V S h =⋅
（2）锥体：1
3V S h =
⋅
（3）台体：(121
3V S S h =++⋅，其中1S 为上底面面积，2S 为下底面面积
（4）球：3
43
V R π=
2、求几何体体积要注意的几点
（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地。
对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。
（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分。
然后再寻找相关要素
（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等。
二、典型例题：
例1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
_________
思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖儿），从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组合体（一半圆锥+ 三棱锥），所以1
2
V V V =
+圆锥棱锥，锥体的高计算可
得h =6，三角形底边为12，高为6（俯视图看
出），所以1126362S =
⋅⋅=三角形，2636S ππ=⋅=圆，则1
3
V S h =⋅=三角形棱锥1
3V S h =⋅⋅=圆圆锥
，所以1
2
V V V =+=+圆锥棱锥
答案：+
例2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 .
思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以
()1
424122
S =
⋅+⋅=底，
而棱锥的高为侧视图的左右间距，即4h =，所以1
163V S h =⋅=底
答案：16
例3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．
思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均为4（俯视图得到），其中一个四棱柱底面为正方形，边长
为2（正视图得到），所以2112416V S h =⋅=⋅=，另一个
四棱柱底面为梯形，上下底分别为2,6，所以
()21
26282
S =
+⋅=，
228432V S h =⋅=⋅=。
故几何体的体积为1248V V V =+= 答案：48
例4：如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是___________
思路：从三视图中观察可得该组合体是由一个圆柱与一个躺倒的三棱锥拼接而成，对于圆柱可得其底面半径为4（正视图），高为8（正视图），所以
248128V S h ππ=⋅=⋅⋅=圆柱，而棱柱底面为底是3（俯视
图），高为4（正视图）的三角形，棱柱的高为6 （俯视图），所以可得1
=346362
V S h ⋅=
⋅⋅⋅=棱柱，所以组合体的体积为12836V V V π=+=+圆柱棱柱
答案：12836π+
例5：某几何体三视图如图所示（正方形边长为2），则该几何体的体积为 . 思路：由正视图与侧视图可得该几何体的轮廓为一个棱柱，从俯
视图中可确定该组合体为正方体截掉了两部分，且这两部分刚好都是
14个圆柱，可拼成1
2
个圆柱。
所以先计算出正方体的体积328V ==正方体，而圆柱
的底面半径为1，高为2，所以11
222
V V ππ=
=⋅=截圆柱，所以组合体的体积为=8V V V π=--正方体截 答案：8π-
例6：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A ．4
B ．
C ．
D ．8 答案：D
思路：由于长方体被平面所截，所以很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，因为长方体由两个完全一样的几何体拼成，所以所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为2，长方体的高为314+=，所以2
2416V =⋅=长方体，所以1
82
V V ==长方体
例7：一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__________
思路：由主视图观察下方有圆弧形，所以判断有旋转体，结合侧视图与俯视图可判断出几何体下部为一个圆柱（圆柱体的一半），且圆柱的上方摞着一个长方体。
所以1
2
V V V =+长方体圆柱，长方体的长宽高分别为2,2,4，则22416V =⨯⨯=长方体，圆柱体的高为4（侧视图看出），底面半径为2（由主视图看出），则
22416V ππ=⋅⋅=圆柱，所以1
1682
V V V π=+=+长方体圆柱
答案：168π+
例8：已知四棱锥P ABCD -的直观图和三视图如图所示，则三棱锥C PBD -的体积为__________
思路：要求三棱锥C PBD -的体积，则要确定棱锥的高（P 到底面BCD 的距离）和BCD 的面积，从主视图中可判断出棱锥的高2h = ，俯视图体现出四边形
ABCD 为矩形，所以BCD 的面积为11212BCD
S
=
⋅⋅=，所以112
213
33
BCD
V h S =⋅=⋅⋅= 答案：
2
3
例9：一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为_______2
cm 思路：从俯视图可判断出该几何体的基础应为直三棱柱，但从侧视图与正视图可以看出几何体是直三棱柱切掉了一部分，其中侧视图体现出三棱柱从上底面一直切到下底面，而正视图中的线恰好是截面与侧面形成的棱（切痕），进而可作出直观图，从图中可看出剩余的几何体为一个四棱锥（顶点为B ，所以
1
3
ACDE B ACDE V d S -=⋅⋅平面，棱锥的高是4（侧视图的左右间距），四
边形ACDE 是边长为6的正方形（由正视图看出），所以
2636ACDE S ==
，所以
()211
4364833
ACDE B ACDE V d S cm -=⋅⋅=⋅⋅=平面
答案：48
例10：如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( ) A.
83 B. 4
3
C.
D.
思路：本题很难直接看出棱锥的底面积与高，但通过观察可看出此棱锥可能由正方体1111ABCD A B C D - （棱长为2）通过切割而成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如何切割，正视图中可看出正方体用前后面的对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看出正方体的右侧面（虚线）有切痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕。
进而可得所求棱锥为一个四棱锥，底面是矩形11A B CD ，宽2CD =
，长1B C =为CD ⊥平面11ADD A ，所以平面11A B CD ⊥平面11ADD A ，过
1D 作1A D 的垂线1D E ，则有1D E ⊥平面11A B CD
，即高1D E =
，所以棱锥的体积为
1111182333A B CD V S D E =⋅=⋅⋅=
答案：83
B
1。