高中数学讲义微专题28 三角函数性质
高中数学三角函数的性质
高中数学三角函数的性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它们具有许多重要的性质和特点。
本文将探讨三角函数的性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、定义域、值域、周期性以及相关图像特点等方面。
一、正弦函数的性质正弦函数（Sine Function），用符号sin表示，是最基本的三角函数之一。
它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正弦函数的图像呈现周期性，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sinx。
正弦函数的图像特点为：偶函数，即sin(-x)=-sinx；关于原点对称，即sin(π-x)=sinx。
根据这个特点，正弦函数图像以原点为对称中心，形状也呈现出对称性。
二、余弦函数的性质余弦函数（Cosine Function）用符号cos表示，也是基本的三角函数之一。
它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像同样具有周期性，即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cosx。
余弦函数的图像特点为：偶函数，即cos(-x)=cosx；对称性，即cos(2π-x)=cosx。
余弦函数的图像以中点为对称中心。
三、正切函数的性质正切函数（Tangent Function）用符号tan表示，是三角函数中最常用的函数之一。
它的定义域为实数集合中所有不是π/2+πk（k为整数）的数，值域为全体实数。
正切函数的图像具有周期性，即对于任意实数x，有tan(x+π)=tanx。
正切函数的图像具有无穷多个渐近线，在每个渐近线上，它的值趋近于正无穷或负无穷。
四、三角函数的基本关系和恒等式三角函数之间存在着基本的关系和恒等式。
其中，正弦函数和余弦函数之间的关系可以用勾股定理来表示：对于任意角度x，有sin^2(x)+cos^2(x)=1。
此外，还有许多重要的三角函数恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式等。
这些恒等式是研究三角函数的重要工具，能够在解决实际问题中起到关键作用。
总结：高中数学中的三角函数有着重要的性质和特点，并且它们之间具有基本的关系和恒等式。
三角函数性质及公式总结
三角函数性质及公式总结三角函数是高中数学中重要的内容之一，其性质和公式的掌握程度直接影响到解决三角函数相关题目的能力。
下面我将对三角函数的性质和公式进行总结，帮助大家更好地掌握和应用三角函数知识。
一、正弦函数的性质和公式1. 定义：在单位圆上，角A的终边与x轴正半轴所成的弧长与单位圆半径1之比称为角A的正弦，记为sinA。
2. 基本性质：-1≤sinA≤1，对于同一角的不同终边，其正弦相等。
3. 周期性：sin(A+2πn)=sinA，其中n为整数。
4. 正弦函数的图像为一条连续变化的曲线，其最大值为1，最小值为-1，且在0、π、2π、3π等处取得转折点。
5. 正弦函数的基本公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
二、余弦函数的性质和公式1. 定义：在单位圆上，角A的终边与x轴正半轴所成的弧长与单位圆半径1之比称为角A的余弦，记为cosA。
2. 基本性质：-1≤cosA≤1，对于同一角的不同终边，其余弦相等。
3. 周期性：cos(A+2πn)=cosA，其中n为整数。
4. 余弦函数的图像为一条连续变化的曲线，其最大值为1，最小值为-1，且在π/2、3π/2、5π/2等处取得转折点。
5. 余弦函数的基本公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
三、正切函数的性质和公式1. 定义：在单位圆上，角A的正切等于角A的正弦除以角A 的余弦，记为tanA=sinA/cosA。
2. 正切函数的定义域为所有余弦不为零的实数，其图像在余弦函数的零点处有无穷间断。
3. 正切函数的性质：tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
4. 正切函数的周期性：tan(A+π)=tanA，其中n为整数。
5. 正切函数的图像在每一区间(-π/2+πn，π/2+πn)上是连续的，且在π/4、3π/4、5π/4等处取得转折点。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，广泛应用于几何和物理等领域。
在本文中，我们将详细解析三角函数的基本性质，并探讨其在实际问题中的应用。
首先，让我们回顾一下三角函数的定义。
在直角三角形中，假设一个锐角θ，定义正弦函数sin(θ)为对边与斜边之比，余弦函数cos(θ)为邻边与斜边之比，正切函数tan(θ)为对边与邻边之比。
根据这三个函数的定义，我们可以推导出它们的基本性质。
第一个性质是三角函数的周期性。
根据定义，sin(θ)和cos(θ)的取值范围在-1到1之间。
当θ增加到360度时，对应的sin(θ)和cos(θ)的值又回到了原点。
这意味着sin(θ)和cos(θ)的周期都是360度（或2π弧度）。
而tan(θ)的周期为180度（或π弧度）。
第二个性质是三角函数的奇偶性。
sin(θ)是一个奇函数，即sin(-θ)=-sin(θ)，而cos(θ)是一个偶函数，即cos(-θ)=cos(θ)。
这意味着sin(θ)关于原点对称，而cos(θ)关于y轴对称。
而tan(θ)既不是奇函数也不是偶函数。
第三个性质是三角函数的互余关系。
根据定义，sin(θ)与cos(θ)之比等于cos(θ)与sin(θ)之比的倒数（即1/tan(θ)），这就是三角函数的互余关系。
这个关系在解三角方程或证明恒等式时经常使用。
除了上述基本性质，三角函数还有一些其他重要的性质。
例如，sin(θ)和cos(θ)在整个定义域内都是连续函数，而tan(θ)在一些角度上会出现无穷大。
另外，三角函数之间还存在一些重要关系，例如sin^2(θ)+cos^2(θ)=1和tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)，这些关系在解三角方程或化简三角表达式时非常有用。
三角函数不仅仅是数学领域中的概念，它们在实际问题中也有很多应用。
例如，在三角测量中，我们可以利用三角函数来测量不可达到的高度或距离。
此外，在物理学中，三角函数也可以用于描述波动和周期现象，例如声波和电磁波。
高三数学(文)一轮复习方案课件 第28讲 三角函数的性质
第28讲 │ 知识梳理
知识梳理
三角函数的图象与性质
函数
y＝sinx
图象
y＝cosx
y＝tanx
定义域
值域 奇偶性 周期性
R
_[_－__1_,_1_] _ _____奇___函数
2π
R
__[_－__1_,1_]_ _____偶___函数
2π
x|x_∈__R__，__x_≠__k_π_＋_ π2 ___R_____
4．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同 一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．
第28讲 │ 三角函数的性质
第28讲 三角函数的性质
第28讲 │ 编读互动
编读互动
三角函数的性质一直是高考的热点，特别是它的周期性、奇偶性、 单调性和对称性等问题更是重中之重．在本讲中，通过复习，让学生 理解三角函数的定义域、值域和奇偶性、单调性与周期性．学会判断 简单的三角函数的奇偶性，会求简单的三角函数的定义域、值域、单 调区间及其周期．熟悉三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问 题．
第28讲 │ 要点探究
► 探究点4 三角函数的单调性
例 4 [2010·武汉调研] 已知函数 f(x)＝cosx＋k·cosx－π3(k 为常数)，将函数 y＝f(x)的图象向右平移23π个单位所得的函数图 象经过坐标原点 O.
(1)求 k 的值； (2)求 y＝f(x)的单调增区间．
例 2 [2010·茂名二模] 已知函数 f(x)＝4cosx·sinx＋π6＋a 的最大 值为 2.求 a 的值及 f(x)的最小正周期．
[解答] f(x)＝4cosx·sinx＋π6＋a
＝4cosx·
23sinx＋12cosx＋a
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是高中数学中的重要概念之一，它涉及到三角形的边长比例和角度的关系。
本文将从三角函数的定义、三角函数的性质以及三角函数在几何图形中的应用等方面进行探讨。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三角函数。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，其中一个锐角为θ。
根据定义，我们有以下三角函数：正弦函数（sinθ）：正弦函数定义为直角三角形中对边（b）与斜边（c）的比值，即sinθ = b/c。
余弦函数（cosθ）：余弦函数定义为直角三角形中邻边（a）与斜边（c）的比值，即cosθ = a/c。
正切函数（tanθ）：正切函数定义为直角三角形中对边（b）与邻边（a）的比值，即tanθ = b/a。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都是周期函数，周期为2π或π。
即对于任意实数θ，有sin(θ+2π) = sinθ，cos(θ+2π) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-θ) ≠ -tanθ。
3. 值域范围：正弦函数和余弦函数的值域范围是[-1, 1]，而正切函数的值域是整个实数集。
4. 互余关系：在直角三角形中，两个角的正弦值互为余弦值，两个角的余弦值互为正弦值，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
5. 基本关系：根据勾股定理，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这是三角函数的基本关系。
三、三角函数的应用三角函数在几何图形中有广泛的应用，下面介绍三角函数在直角三角形和单位圆中的应用：1. 直角三角形中的应用：- 利用三角函数可以求解直角三角形中的边长和角度。
- 利用正弦定理和余弦定理可以解决一般三角形中的边长和角度问题。
2. 单位圆中的应用：- 在单位圆中，角度θ对应的点坐标为(cosθ, sinθ)，这是三角函数与单位圆的重要关系。
三角函数的性质对称性与单调性
03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
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三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质在数学中，三角函数是一类重要的函数，涉及到角度和三角形的关系。
它们具有许多基本性质，理解这些性质对于解决三角函数相关的问题非常重要。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、范围、周期性等。
1. 正弦函数的基本性质正弦函数（sine function）是三角函数中最常见的一种。
它的定义如下：$$sin(x) = \frac{{opposite}}{{hypotenuse}}$$其中，\(x\) 为角度，\(opposite\) 表示对边的长度，\(hypotenuse\) 表示斜边的长度。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为 \([-1, 1]\)。
正弦函数具有以下基本性质：- 周期性：\(sin(x)\) 的周期为 \(2\pi\)，即当自变量 \(x\) 增加 \(2\pi\) 时，函数值重新回到原来的值。
这是由于三角函数是周期性函数的特性决定的。
- 对称性：正弦函数是奇函数，即满足关系式 \(sin(-x) = -sin(x)\)。
这表示对称轴为原点，对称性质在许多数学和物理问题中非常有用。
- 不等式性质：对于任何角度 \(x\)，有 \(-1 \leq sin(x) \leq 1\)。
这意味着正弦函数的值始终位于闭区间 \([-1, 1]\) 中。
2. 余弦函数的基本性质余弦函数（cosine function）是三角函数中另一个重要的函数。
它的定义如下：$$cos(x) = \frac{{adjacent}}{{hypotenuse}}$$其中，\(adjacent\) 表示临边的长度。
余弦函数的定义域为全体实数，值域也为 \([-1, 1]\)。
余弦函数具有以下基本性质：- 周期性：\(cos(x)\) 的周期同样为 \(2\pi\)，与正弦函数相同。
这意味着余弦函数的值在每个周期内重复。
- 对称性：余弦函数是偶函数，即满足关系式 \(cos(-x) = cos(x)\)。
三角函数的定义及基本性质
三角函数的定义及基本性质三角函数是解析几何与三角学中的重要概念，它们使用角度的概念来描述三角形的各种属性和关系。
本文将介绍三角函数的定义及其基本性质，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的定义如下：对于任意角度θ（单位为弧度或角度），正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。
正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的基本性质包括：1. 周期性：对于任意角度θ，sin(θ+2π) = sinθ。
正弦函数的周期为2π。
2. 对称性：sin(-θ) = -sinθ。
即正弦函数关于原点对称。
3. 奇偶性：sin(π-θ) = sinθ。
正弦函数为奇函数。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，它的定义如下：对于任意角度θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ =adjacent/hypotenuse。
余弦函数的定义域是整个实数集，值域也是[-1,1]。
余弦函数的基本性质包括：1. 周期性：对于任意角度θ，cos(θ+2π) = cosθ。
余弦函数的周期为2π。
2. 对称性：cos(-θ) = cosθ。
余弦函数关于y轴对称。
3. 奇偶性：cos(π-θ) = -cosθ。
余弦函数为偶函数。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，它的定义如下：对于任意角度θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = sinθ/cosθ。
正切函数的定义域是整个实数集，但是在一些特殊角度（例如90度的整数倍）处无定义。
正切函数的基本性质包括：1. 周期性：对于任意角度θ，tan(θ+π) = tanθ。
正切函数的周期为π。
2. 对称性：tan(-θ) = -tanθ。
正切函数关于原点对称。
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2
2
（2）求函数 f x 的最小正周期及单调递增区间
10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数
f
x
cos2
x
cos2
x
3
（
xR
）．
（1）求 f x 最小正周期和单调递增区间；
（2）求
f
x 在区间
3
, 6
上的最大值和最小值．
习题答案： 1、答案：B
解析：由最小正周期可得：
12
,
0
D.
最小正周期为 2
，一个对称中心是
6
,
0
思路：
y
sin
x
12
cos
x
12
1 2
sin
2
x
6
2
T 2 对称中心： 2x k x k k Z
6
12 2
k
0
时，一个对称中心是
12
,
0
答案：A
例
5：函数
f
x
ln
sin
2
x
6
微专题 28 三角函数及函数 y Asin x 性质
一、基础知识：
1、正弦函数 y sin x 的性质
（1）定义域： x R
（2）值域： y 1,1
（3）周期： T 2
（4）对称轴（最值点）：
x k k Z
2
（5）对称中心（零点）： k ,0k Z ，其中 0,0 是对称中心，故 y sin x 也是奇函数
sin
2x
6
单调递增区间： 2k 2x 2k k x k k Z
2
62
3
6
单调递减区间：
2k
2x
3
2k
k
x
2
k
k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D
答案：D
例
2：函数
y
2
cos2
x
4
1 的一个单调递减区间为（
）
A.
2
,
3 2
B.
4
,
3 4
C.
2
,
2
D.
4
,
4
思路：先变形解析式，
y
2
cos2
x
4
1
cos
2
x
4
sin
2x
，再求出单调区间：
2k 2x 2k k x k k Z ， k 0 时，D 选项符合要求
2
2
4
4
答案：D
例
3：
y
sin
3
2x
的递减区间为（
y
2
sin
4x
6
的图像的两条相邻对称轴间的距离为（
）
A.
8
B.
4
C.
2
D.
思路：根据 y Asin x 图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半
T 2 ，所以间距为： 1 T
2
24
答案：B
例 8：已知函数 f x sin 2x a cos 2x 的图像关于直线 x 对称，则 a 的值为_______
（6）单调增区间：
2
2k , 2
2k
,k
Z
单调减区间： 2
2k , 3 2
2k
, k
Z
2、余弦函数 y cos x 的性质
（1）定义域： x R
（2）值域： y 1,1
（3）周期： T 2
（4）对称轴（最值点）： x k k Z 其中 x 0 是对称轴，故 y cos x 也是偶函数
6、（2014，安徽）若将函数
f
x
sin
2
x
4
的图像向右平移
个单位，所得图像关于
y
轴对称，则 的最小正值是__________
7、（2014，北京）设函数 f x Asin x （ A,, 是常数， A 0, 0 ）若 f x
在
区间
6
,
2
上具有
单调性
，且
f
2
f
通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域： x R
（2）值域： y A, A
（3）周期： T 2
（ 4 ） 对 称 轴 （ 最 值 点 ）， 对 称 中 心 （ 零 点 ）， 单 调 区 间 需 通 过 换 元 计 算 所 求 。 通 常 设
t x ，其中 0 ，则函数变为 y Asin t ，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与
2
，向右平移
6
个单位后解析式为
y
sin
2
x
6
，
即
y
sin
2x
3
，
由
奇
函
数
可
知
3
，所以
f
x
sin
2x
3
， 对 称 轴 ：
2x k k Z x k k Z ，
32
12 2
对称中心： 2x
3
k
k Z
x
6
k 2
k
Z
，即
6
k 2
,
0
，配合选项可
得 B 正确 2、答案：D
C.
f
x
图像关于点
6
,
0
对称
D.
f
x 在区间
3
,
7 12
上是增函数
思路：先判断 f x 的周期，可结合图像进行判断，可得：T ；对于对称轴，对称中心，
2
单调区间，可考虑设 t 2x ，即 y sin t ，借助图像先写出 t 所符合的条件，再求出 x 的 3
值（或范围）即可。
k
, 2
（2）值域： y 0,1
（3）周期： T
（4）对称轴： x k k Z
2
（5）零点： x k k Z
（6）单调增区间：
k
, 2
k
,
k
Z
单调减区间：
2
k ,k
,k
Z
5、 y Asin x A 0 的性质：此类函数可视为正弦函数 y sin x 通过坐标变换所得，
上单调增，所以
2
2
，即 0
1 ；另一方面，
y sinx 的 对 称 轴 为 x k x k k Z ， 所 以 k 3 解 得 k ， 再 结 合
3
0 1 可得 1 , 2 ,1 33
答案：
1 3
,
2 3
,1
三、近年好题精选
1、函数
f
x
sin
x
0,
2
对称轴： t k 2x k x k k Z ，不是偶函数
2
32
12 2
对称中心： t
k
2x
3
k
x
6
k 2
k
Z
，关于点
6
,
0
对称
单调增区间：
2k t 2k 2k 2x 2k k x k k Z
2
32
6
12
答案：C
例
7：函数
f
x1 g x2
2 的 x1, x2 ，有
x1 x2 min
，则 3
（
）
5
A.
12
B.
3
C.
4
D.
6
3、（2016，重庆万州二中）若函数
y
cos
2
x
与函数
y
sin
2x
在
0,
4
上的单调性相
同，则 的一个值为（
）
A.
6
B.
4
3
C.
4
3
D.
2
4、将函数
f
x
2sin x
3
0 的图像向左平移
）
A.
12
2k
,
5 12
2k
,
k
Z
B.
5 3
4k ,11 3
4k
,
k
Z
C.
5 12
k
11 ,
12
k
,
k
Z
D.
12
k
,
5 12
k
,
k
Z
思路：在解函数性质之前首先把
x
的系数变正：
y
sin
3
2x
sin
2x
3
，再求其
单调区间： 2k 2x 2k k x 5 k k Z ，由于 k Z ，
（6）单调增区间：
2
k , 2
k
, k
Z
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的 x 的值
4、 y sin x 的性质：与正弦函数 y sin x 相比，其图像可以看做是由 y sin x 图像变换得
到（ x 轴上方图像不变，下方图像沿 x 轴向上翻折），其性质可根据图像得到： （1）定义域： x R
3
个单位，得到函数
y
g
x 的
图像，若
y
g
x
在
0,
4
上为增函数，则
的最大值为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5、（2015，天津）一直函数 f x sinx cosx 0, x R ，若函数 f x 在 ,
内单调递增，且函数 f x 的图像关于直线 x 对称，则 的值为_______