高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

第55炼 数列中的不等关系

一、基础知识：

1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点

2、如何判断数列的单调性：

（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N *

∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *

∈得到数列的单调性

（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）

3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的

{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识

来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题

例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n

n n n c a λ??

=-

???

，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113

30n n n n S n nS n S S n

+++-+=?

=

12121121411

n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++∴

????=???-L L ()()()()12121326

n n n n n n n

S S ++++∴

==

? 111S a ==Q ()()216

n n n n

S ++∴=

2n ∴≥时，()()

()()

()1121116

6

2

n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=

-

=

当1n =时，11a =符合上式

()12

n n n a +∴=

（2）思路：由（1）可得：221n

n c n λ??

=-

?+??

，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对

n N *?∈均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式42

21

n n λ>

-

++，即只需max 4221n n λ??>-

?++??，构造函数或者数列求出4221n n ??- ?++??

的最大值即可 解：()2222112n n

n n n n n c n n a n λλλ??

?????=-=-=- ?

? ?++?? ??? ?

??

{}n c Q 是递减数列 n N *∴?∈，1n n c c +<

即+1

222

221n n n n λλ????-<- ? ?++????

424222121

n n n n λλλ?

-<-?>-++++ ∴ 只需max

4

221n n λ??>- ?++?? ① 构造函数：设()()42

121

f x x x x =

-≥++

则()()

()

()()

()()

()()

22

2

'

2

2

22

22

22414

2

42212121x x x f

x x x x x x x +-+-=-

+

=

=

++++++

(

()()

22

221x x x x -+=-

++

所以()f x

在(

单调递增，在

)

∞单调递减

()()111,233f f == n N *∴∈时，()()()max 1123

f n f f ===

即max

421213n n ??-=

?++?? 13λ∴> ② 构造数列：设数列{}n t 的通项公式42

21

n t n n =

-

++ ()1424

2462221121n n t t n n n n n n n n

-??∴-=

---=-+≥ ?+++++?? ()()()()

()()

()()

4162212421212n n n n n n n

n n n n n n +-++++-=

=

++++

2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<

当2n =时，21t t = 所以{}n t 的最大项为2113

t t ==

13

λ∴>

例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ??

?

???

的前n 项和为n S ，若()2110

n n m

S S m Z +-≤

∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路：若2110n n m S S +-≤恒成立，()21max 10

n n m S S +-≤，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到

1n a ：53

453

a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =

-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---

()()()

23

22

111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=

+

-

=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=

，所以142810459

m m ≥?≥，从而4m = 答案：B

例3：已知数列{}{},n n a b

满足()12n

b n a a a n N *

???=

∈L ，若{}n

a 为等比数列，且

1322,6a b b ==+

（1）求,n n a b （2）设()11

n n n

c n N a b *=-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S

② 求正整数k ，使得对于n N *

?∈，均有k n S S ≥

解：（1

）

3

2

63b b b +=?

=

6

12312a a a a a ∴=?

3

8a

∴= 23

1

42a q q a ∴=

=?=或2q =-（舍） 112n n n a a q -∴==

12122n

b n n a a a +++∴

=???=L L

()()12

2

22

1n n n b n b n n +∴=?=+

（2）① ()11111112121n

n

n n n c a b n n n n ??????=-=-=-- ? ? ?++??????

2111111

1112222231n

n S n n ????????∴=+++--+-++-?? ? ? ?+?????????

?L L

111221*********

n

n n n ????-?? ???????

??=

-+=- ?++??- ② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的

单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于n S 而言，{}n S 的增减受n c 符号的影响，所以将问题

转化为判断n c 的符号。()

1121n

n c n n ??

=- ?+??可估计出当n 取得值较大时，n c 会由正项变为负

项。所以只要寻找到正负的分界点即可

解：()()()111112112n

n n

n n c n n n n +????

=-=- ? ?++????

当4n ≤时，可验证

()

1102n

n n +-≥，从而可得0n c ≥ 设()112n n n n d +=

-，则()()()()()111

12112222

n n n n n n n n n n n d d +++++++--=-=- 当5n ≥时，{}1n n n d d d +

5556

102

n d d ?∴≤=

-< 5n ∴≥时，0n c < ()4max n S S ∴= 4k ∴=时，均有4n S S ≥

例4：已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()()12211n n nS n S n n +-+=+，数列{}n b 满足：2120n n n b b b ++-+=，35b =，其前9项和为63 （1）求,n n a b （2）令n n

n n n

b a

c a b =+，记{}n c 的前n 项和为n T ，对n N *?∈，均有[]2,n T n a b -∈，求b a -的最小值

解：（1）()()111

221112

n n n n S S nS n S n n n n ++-+=+?

-=+ n S n ??

∴????

为公差是12的等差数列

()111

1122

n S S n n n +∴

=+-= ()12n n n S +∴=

2n ∴≥时，()()11122

n n n n n n n

a S S n -+-=-=

-=

11a =Q 符合上式 n a n ∴=

2121202n n n n n n b b b b b b ++++-+=?+= {}n b ∴为等差数列

设{}n b 前n 项和为n P 95963P b ∴== 57b ∴= 35b =Q

53

153

b b d -∴=

=- 2n b n ∴=+

（2）思路：依题意可得：2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +??=

+=+=+- ?++??

，可求出1123212n T n n n ??=+-+ ?++??，从而1

123212n T n n n ??-=-+ ?++??

，

若b a -最小，则,a b 应最接近2n T n -的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求1

13212n n ??-+

?++??

的范围，可分析其单调性。()1

13212f n n n ??=-+

?++??

单调递增。所以最小值为()413f =，而当n →+∞时，()3f n →，所以()f n 无限接近3，故2n T n -的取值范围为4

,33

??????

中的离散点，从而求出b a -的最小值 解：22221

1122222n n n n c n n n n n n ++-??=

+=++=+- ?+++??

111

112213242n T n n n ??∴=+-+-++- ?+??

L

1111

122123221212n n n n n n ????=++--=+-+ ? ?++++????

1

123212n T n n n ??-=-+ ?++??

Q

设()113212f n n n ??=-+

?++??

，可知()f n 递增 ()()4

13

f n f ∴≥=

，当n →∞时，()3f n →

()f n ∴4,33??∈????

[]4,3,3a b ??

∴?????

若b a -最小，则4,33a b =

= ()min 53

b a ∴-= 例5（2014，黄州区校级模拟）数列{}n a 的前n 项和2

4

n n S =，数列{}n b 满足

()132,n n b b n n n N *--=≥∈

（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求证：当11

4

b ≠

时，数列{}n n b a -为等比数列 （3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 中只有3T 最小，求1b 的取值范围

解：（1）()()

()2

2111

212444n n n n n a S S n n --=-=-=-≥

111

4

a S ==符合上式 ()1

214

n a n ∴=

- （2）()1

214

n n n b a b n -=-

- 考虑()()111

1

332123044n n n n b b n b n b n --?

??

?

-=?-----=????????

即()()1130n n n n b a b a -----= ()111

3

n n n n b a b a --∴-=

- ∴ 数列{}n n b a -为等比数列

（3）思路：由（2）可求得{}n b 通项公式()1

1111

21434

n n b b n -?

???=-+

- ???

?

???，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小1b 的取值范围。若要3T 最小，则最起码要比24,T T 小，从而先求出1b 满足的必要条件14711b -<<-（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定

{}n b 为递增数列，从而能保证3T 最小

由（2）可得：()1214n b n ??-

-???

?

是公比为13的等比数列 ()1

111121443n n b n b -?

???∴--=- ???

????

()1

1111

21434

n n b b n -?

???∴=-+

- ???

?

??? 若要3T 最小，则必然要3232344300T T T T T T T T <-

?

<->??即340

b b ? 2

3113

1411150

11434471170434b b b b b b ??

???=-+

???∴???>-??????

=-+< ?????????

14711b ∴-<<-

则1111120243n

n n b b b -?

???-=--> ????

???，所以{}n b 为递增数列

123140,0n n b b b b b b -∴<<<>>>>L ，符合3T 最小的条件

所以14711b -<<-

小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口

例6：（2014，文登市二模）各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足

()11

21n n

n n a a n N a a *++-=∈ ，且562S a += （1）求数列{}n a 的通项公式

（2）若n N *

∈，令2n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较

1124n n T T ++与46

41

n n +-的大小 解：（1）

22

1111

2120n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=?--=

()()1120n n n n a a a a ++∴+-=

1n n a a +∴=-（舍）或12n n a a +=

{}n a ∴是公比为2的等比数列 ()5155612122221

a S a a -+=?

+=-，解得：12a =

1122n n n a a -∴==

（2）思路：由（1）可得4n

n b =，进而可求出()4413

n

n T =

-，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得()()()

1

14317412464414141n n n

n n T n T n n -++-?++-=---。利用函数或构造数列判断出13174n n -+-?的符号即可

解：24n

n n b a == ()()44144141

3

n n

n T -∴=

=

-- ()()1

11144112

12483

314444414413

n n n n n

n n T T ++++-+++∴===+--?- 467

14141

n n n +=+

-- ()()()

11431741246373711441414141414141n n n n

n n n T n T n n n n -++-?++????∴-=+-+=-= ? ?-------????设()()1

3174

1x f x x x -=+-?≥ ()'174ln43x f x -∴=-?+，可得()'0f x <

()f x ∴为减函数 ()()130f x f ∴≤=-<

131740n n -∴+-?< 11246

441

n n T n T n +++∴

<-

例7：（2014，湖南模拟）已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的n N *

∈，

都有2

2n n n pS a pa =+（其中0p >，且p 为常数），记数列1n S ??

?

???

的前n 项和为n H

（1） 求数列{}n a 的通项公式及n H （2）当2p =时，将数列1n a ??

?

???

的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在m N *

∈，使得对任意n N *

∈，总有

m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围

解：（1）2

2n n n pS a pa =+ ①

()211122n n n pS a pa n ---∴=+≥ ②

①-②可得：

22112n n n n n pa a a pa pa --=-+- 22110n n n n a a pa pa -----=

()()110n n n n a a a a p --∴+--=

0n a >Q 10n n a a p -∴--=即1n n a a p --=

{}n a ∴为公差是p 的等差数列

在22n n n pS a pa =+令1n =得：2

1112pS a pa =+解得：1a p =

()11n a a n p np ∴=+-=

()()1122

n n n p

S p n +∴=+++=

L

()12121111n S p n n p n n ??∴

=?=?- ?++??

1211121111112231n n H S S S p n n ????????∴=

+++=-+-++- ? ? ???+????????

L L 212111

n p n p n ??=

-=? ?++?? （2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求,m n T H 的表达式。由已知可得：2p =时，1

n n

H n =

+，要解决n T ，首先要解出等比数列{}n b 的通项公式。2p =时，

2n a n =，进而

123411111111,,,,2468a a a a ==== 显然抽去的应为3

1a ，所以123111,,248b b b ===，得到12q =，112m

m T ??

=- ???

，所以要处理的恒成立不等式为：

1121m

n n λ??-<+ ?+??

。 再利用最值逐步消元即可

解：2p =时，2n a n =，进而

123411111111

,,,,2468

a a a a ==== 124111,,a a a ∴

成公比为12的等比数列，即{}n b 的公比为1

2

，且11112b a == 12n

n b ??∴= ??? 11122111212

m

m

m T ??

??

-?? ?????????∴=

=-

???

- 而由（1），当2p =时，1

n n

H n =

+，所以恒成立的不等式为： 1121m

n n λ??

-<+ ?+??，所以

min 1112m n n λ????+>-?? ?+?????

? 设()112m

f m ??

=- ??? 可得()f m 为递增函数

()()min 112

f m f ∴==

所以

1

12

n n λ+>+对任意的n N *∈均成立 即max

1

21n n λ??>-

?+?? 设()1112121

n g n n n =

-=-+++ ()g n 为减函数 ()()max 10g n g ∴== 0λ∴>

小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在m ，也就是说只要有m 满足不等式即可，所以只要最小值比右

边小，就意味着已经存在这样的m ；第二阶段是对任意的n ，不等式均要成立，所以只要()g n 最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。

例8：已知数列{}n a 的前n 项和()1

122n n n S a n N -*??=--+∈ ?

??

，数列{}n b 满足2n n n b a =

（1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式 2n n

n a = （2）设数列{}n c 满足(

)()

1

3

1n n

n n a c n λ--=-（λ为非零整数，n N *∈）

，问是否存在整数λ，使得对任意n N *∈，都有1n n c c +>

解：（1）1

122n n n S a -??

=--+ ?

??

2

11122n n n S a ---??

∴=--+ ?

??

1

1

1111222n n n n n n n a a a a a ----??

??

∴=-++?=+ ?

?

????

11221n n n n a a --∴=+即11n n b b -=+

{}n b ∴是公差为1的等差数列 在1

122n n n S a -??

=--+ ?

??令1n =得：

1111

122

S a a =--+?=

1121b a ∴== ()11n b b n d n ∴=+-= 2n n n

a ∴=

（2）思路：由（1）可得：

()()

()()()1

1131311232

n n n n n

n n n n n n n n a c n c n c λλλ----=-?

-=-?=-+，所以 1n n c c +>等同于()()1

11123123n

n n n n n λλ-++-+>-+，化简可得：()

1

1

312n n λ--??-< ?

??

，而

n 的奇偶将决定()

1

1n --的符号，所以要进行分类讨论

解：由（1）可得：2n n

n a =

()()

()()()1

1131311232

n n n n n

n n n n n n n n a c n c n c λλλ---∴-=-?

-=-?=-+ 则1n n c c +>等价于：

()

()

1

11123123n

n n n n n λλ-++-+>-+

()()12233123n

n

n n n n λλ?-?+?>--+ ()()1

1123312321n

n n n n n λλ---??>-?-??>?-

()

1

1

312n n λ--??∴-< ?

??

当n 为奇数时，恒成立不等式为：1

32n λ-??

< ?

??

所以只需1min

312n λ-??

??<=?? ???????

当n 为偶数时，恒成立不等式为：1

32n λ-??

>- ?

??

所以只需1max 33

22n λ-????>-=-??

??????? 3,12λ??

∴∈- ???

,0Z λλ∈≠Q

1λ∴=-

例9：已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n

++== （1）求{}n a 的通项公式

（2）设()2,n n b n S n N *

=-∈，若集合{}

|,n M n b n N λ*=≥∈恰有4个元素，则实数λ的

取值范围 解：（1）1111

22n n n n n a n a a n a n

++++=

?= 1

121211122121n n n n n a a a n n a a a n n -----??

∴???=???= ?--??L L 1

1

11111222n n n

n n a n a na n a --????

??∴=?== ? ?

???

??

??

（2）思路：由（1）所得通项公式可利用错位相减法求n S ，进而得到()122n

n b n n ??

=+ ???

，

要读懂集合M 恰有4个元素的含义，根据M 描述的特点可知：M 集合中的元素应该为{}n b 从大到小排前4项的序数，所以只需判断出{}n b 的单调性，并结合单调性选出较大的前4项，便可确定λ的取值。

解：21112222n

n S n ????

=+?++ ? ?????

L

()2

3

1

111112122222n

n n S n n +????????

∴=+?++-+ ? ? ? ?????????

L 两式相减可得：

21111112211111111112222222212

n

n n n n n n S n n n +++????-?? ?????????????????

??=+++-=-=-- ? ? ? ? ? ?

????????????-L ()1222n

n S n ??

∴=-+ ???

()122n

n b n n ??

∴=+ ???

下面考虑{}n b 的单调性

()()()()()()1

11112112211222n n n

n n b b n n n n n n n n --????

??

-=+--+=+--+?? ? ?

???

??????

()21222n

n n ??

=-++ ???

2n ∴=时，2220n n -++>，即21b b >

2n >时，2220n n -++<，所以234n b b b b >>>>L

而12345315335,2,,,28232

b b b b b =

==== {}n b ∴从大到小排的前4项为：2341b b b b >>=

353,322λ??∴∈ ???

例10：（2015，天元区校级模拟）已知数列{}n a 满足143n n a a n ++=+ （1）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S

（2）若对任意n N *

∈，都有22

1

1

4n n n n a a a a +++≥+成立，求1a 的取值范围

解：（1）143n n a a n ++=+ ①

()1413n n a a n -∴+=-+ ②

①-②可得： 114n n a a +--=

{}n a ∴中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4

1225a a =?=

当2n k =时，()221441k a a k k =+-?=+

21n a n ∴=+

当n 为奇数时，()143432112n n a n a n n n +=+-=+-++=????

21,2,n n n a n n +?∴=??为偶数为奇数

所以当n 为偶数时

()()13124n n n S a a a a a a -=+++++++L L

()()1121221521222244n n a a n a a n n

n n n -++=

?+?=+-+++???? 2

32

n n =+

n 为奇数时

()()2

21331112222

n n n S S a n n n n n -=+=-+

-+=+- （2）思路：考虑将不等式转化为1a 的不等式，由（1）可得{}n a 的奇数项，偶数项各为等差数列，所以只要通过分类讨论确定n 的奇偶，即可把1,n n a a +均用1a 表示，再求出1a 范围即可 解：由（1）可得：{}n a 的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4

当n 为奇数时，1114222n n a a a n -??

=+?=+-

???

()11143432225n n a n a n a n n a +=+-=+-+-=+-

()()()()

2

2

22

111

11122+25442225n n n n a n n a a a a a a n n a +++-+-+∴≥?≥++-++- ()()

()22

1122+25443a n n a n +-+-≥+

()()()()()2

2

2211112222222525443a n a n a n a n n ∴+-+-+-+++≥+

化简后可得：22

112148417a a n n -≥-+-

所以只需(

)

2

2

11max

2148417

a a n n -≥-+-

设()2

21338417842f n n n n ?

?=-+-=--- ???

()()max 121f n f ∴==- 21121421a a ∴-≥-

解得：172a +≥

或172

a -≤ 当n 为偶数时，同理：111422

n n

a a a n +=+

?=+，114323n n a n a n a +=+-=+- ()()2

2

22

111

123+24443

n n n n a n n a a a a a n ++-++++∴≥?≥++ 化简可得：221126843a a n n -≥-++即()

22

11max

26843

a a n n -≥-++

设()2

843g x n n =-++可得：()()max 221g x g ==-

2211111262126210a a a a a R -≥-?-+≥?∈

综上所述：172a +≥

或172

a -≤ 三、历年好题精选

1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()10,4n

n n n a a S n N *??

>=∈ ???

（1）若21log n n n b a S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T （2）若0,2tan 2

n n n n a π

θθ<<

=，求证：数列{}n θ是等比数列，并求其通项公式

（3）记12111

222

n n c a a a =-+-++-L ，若对任意的,n n N c m *∈≥恒成立，求实数m 的最大值

2、已知数列{}n a 是首项11

4

a =

的等比数列，其前n 项和n S 中342,,S S S 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设12

log n n b a =，若12231111n n n T b b b b b b +=

+++L ，求证：1162

n T ≤< 3、已知数列{}n a 满足：121,3a a ==，且212cos

sin ,2

2n n

n n a a n N π

π*+??=++∈ ??

?

（1）证明：数列{}()

2k a k N *∈为等比数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 （3）设()21

1

212k k a k k b a λ--=+-?（λ为非零整数）

，试确定λ的值，使得对任意k N *

∈，都有1k k b b +>成立

4、已知数列{}n a 中，2a a =（a 为非零常数），其前n 项和n S 满足()()12

n n n a a S n N *

-=∈

（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若2a =，且

2

1114

m n a S -=，求,m n 的值 （3）是否存在实数,a b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第

32p -项？若存在，分别求出,a b 的取值范围；若不存在，请说明理由

5、（2016，无锡联考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有2

1

2

n n S n a =+

． （1）求证：142n n a a n ++=+ （2）求数列{}n a 的通项公式

（3）是否存在实数a ，

使得不等式212111111n a a a ??????

---<

? ?????????L

对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由

6、已知函数()233x f x x +=

，数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *

+??==∈ ???

（1）求{}n a 的通项公式 （2）令()112n n n

b n a a -=

≥，1123,n n b S b b b ==+++L ，若20042

n m S -<

对一切n N *

∈成立，求最小正整数m

7、（2016，贵阳一中四月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()

12n n na S n N *+=∈，

数列{}n b 满足1211

,24

b b =

=，对任意n N *∈，都有212n n n b b b ++= （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式

（2）令1122n n n T a b a b a b =+++L ，若对任意的n N *

∈，不等式()

223n n n n nT b S n b λλ+>+恒成立，试求实数λ的取值范围

8、设数列n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1

22,1,2,3,n n n S a n +=-=L

（1）求{}n a 的通项公式

（2）设1

log 2n n a n b +=，数列{}n b 的前n 项和n B ，若存在整数m ，使得对任意的2,n n N

*

≥∈都有320

n n m

B B ->成立，求m 的最大值

习题答案：

1、解析：（1）2211log 1log 124n

n n n b a S n ??=+=+=- ???

()()2121222

n n n T n n n n +∴=-+++=-?

=-L

（2）由2tan n

n n a θ=可知tan 2n n n a θ=，代入14n

n n a S ??= ???

可得：

1

2tan n n n

S θ=

2n ∴≥时，111

11

2tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-=

-

代入tan 2n

n n

a θ=

可得：11

tan 1122tan 2tan n n n n n n θθθ--=- 211tan tan tan 2tan n n n n θθθθ--∴=-

()122tan tan tan 21tan n

n n n

θθθθ-∴=

=-

112n n θθ-∴=，即{}n θ是公比为1

2

的等比数列

在()10,4n

n n n a a S n N *??

>=∈ ???

中，令1n =可得：112a =

111tan 214

a π

θθ∴==?=

1

1

11122n n n θθπ-+??

??∴=?= ?

?

??

??

1tan 22n n n

a π+?? ???∴=

（3）可知1tan 22n n n

a π+?? ?

??=

为递减数列

112n a a ∴≤=

102

n a ∴-≤

()121211122222

n n n n n n

c a a a a a a S ∴=-

+-++-=-+++=-L L 11111

0222

n n n n n n n c c S S a ++++??-=

---=-≥ ??? {}n c ∴为递增数列

()11min 1

02

n m c c a ∴≤==-

=即m 的最大值为0 2、解析：（1）342,,S S S Q 成等差数列

4324434S S S S a a a ∴-=-?=--

431122

a a q ∴=-?=-

1

1

11111422n n n n a a q -+-??

??∴==?-=- ?

???

??

（2）由（1）可得：12

log 1n n b a n ==+

()()11111

1212

n n b b n n n n +∴

==-++++ 11111

11123341222n T n n n ??????∴=-+-++-=- ? ? ?

+++??????

L 1

2

n T ∴< {}n T Q 为递增数列

1111

236n T T ∴≥=-=

综上所述：11

62

n T ≤<

3、解：（1）2222212cos

sin 2

2k k

k k a a π

π

+??=++ ??

?

23k a =

{}2k a ∴是公比为3的等比数列

（2）当2n k =时，1

223

3k k

k a a -=?=，即2

3n n a =