高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

第55炼 数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。

由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。

比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。

4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。

也可以考虑相邻项比较。

在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。

进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2nn n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=12121121411n n n n n n S S S S n n S S S S n n ----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L ()()()()12121326n n n n n n nS S ++++∴==⋅ 111S a ==Q ()()216n n n nS ++∴=2n ∴≥时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +∴=（2）思路：由（1）可得：221nn c n λ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n c c +<对n N *∀∈均成立，所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式4221n n λ>-++，即只需max 4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，构造函数或者数列求出4221n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的最大值即可 解：()2222112n nn n n n n c n n a n λλλ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c Q 是递减数列 n N *∴∀∈，1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++ ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭ ① 构造函数：设()()42121f x x x x =-≥++则()()()()()()()()()222'22222222414242212121x x x fx x x x x x x +-+-=-+==++++++(()()22221x x x x -+=-++所以()f x在(单调递增，在)∞单调递减()()111,233f f == n N *∴∈时，()()()max 1123f n f f ===即max421213n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭ 13λ∴> ② 构造数列：设数列{}n t 的通项公式4221n t n n =-++ ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<当2n =时，21t t = 所以{}n t 的最大项为2113t t ==13λ∴>例2：已知等差数列{}n a 中，359,17a a ==，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若()2110n n mS S m Z +-≤∈，对任意的n N *∈恒成立，则整数m 的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路：若2110n n m S S +-≤恒成立，()21max 10n n m S S +-≤，要找n S ，则需先确定n a 的通项公式得到1n a ：53453a a d -==-，所以()3443n a a n d n =+-=-，发现1143n a n =-无法直接求和，21n n S S +-很难变为简单的表达式，所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---()()()2322111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=+-=+-=<++-++-，进而{}21n n S S +-单调递减，()213132max 1445n n S S S S a a +-=-=+=，所以142810459m m ≥⇒≥，从而4m = 答案：B例3：已知数列{}{},n n a b满足()12nb n a a a n N *⋅⋅⋅=∈L ，若{}na 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求,n n a b （2）设()11n n nc n N a b *=-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S② 求正整数k ，使得对于n N *∀∈，均有k n S S ≥解：（1）3263b b b +=⇒=612312a a a a a ∴=⋅38a∴= 23142a q q a ∴==⇒=或2q =-（舍） 112n n n a a q -∴==12122nb n n a a a +++∴=⋅⋅⋅=L L()()122221n n n b n b n n +∴=⇒=+（2）① ()11111112121nnn n n c a b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111112222231nn S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L111221*********nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=- ⎪++⎝⎭- ② 思路：实质是求n S 取到最大值的项，考虑分析n S 的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。

对于n S 而言，{}n S 的增减受n c 符号的影响，所以将问题转化为判断n c 的符号。

()1121nn c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭可估计出当n 取得值较大时，n c 会由正项变为负项。

所以只要寻找到正负的分界点即可解：()()()111112112nn nn n c n n n n +⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭当4n ≤时，可验证()1102nn n +-≥，从而可得0n c ≥ 设()112n n n n d +=-，则()()()()()11112112222n n n n n n n n n n n d d +++++++--=-=- 当5n ≥时，{}1n n n d d d +<⇒递减5556102n d d ⋅∴≤=-< 5n ∴≥时，0n c < ()4max n S S ∴= 4k ∴=时，均有4n S S ≥例4：已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()()12211n n nS n S n n +-+=+，数列{}n b 满足：2120n n n b b b ++-+=，35b =，其前9项和为63 （1）求,n n a b （2）令n nn n nb ac a b =+，记{}n c 的前n 项和为n T ，对n N *∀∈，均有[]2,n T n a b -∈，求b a -的最小值解：（1）()()111221112n n n n S S nS n S n n n n ++-+=+⇒-=+ n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差是12的等差数列()1111122n S S n n n +∴=+-= ()12n n n S +∴=2n ∴≥时，()()11122n n n n n n na S S n -+-=-=-=11a =Q 符合上式 n a n ∴=2121202n n n n n n b b b b b b ++++-+=⇒+= {}n b ∴为等差数列设{}n b 前n 项和为n P 95963P b ∴== 57b ∴= 35b =Q53153b b d -∴==- 2n b n ∴=+（2）思路：依题意可得：2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭，可求出1123212n T n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，从而1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，若b a -最小，则,a b 应最接近2n T n -的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求113212n n ⎛⎫-+⎪++⎝⎭的范围，可分析其单调性。

()113212f n n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭单调递增。

所以最小值为()413f =，而当n →+∞时，()3f n →，所以()f n 无限接近3，故2n T n -的取值范围为4,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭中的离散点，从而求出b a -的最小值 解：222211122222n n n n c n n n n n n ++-⎛⎫=+=++=+- ⎪+++⎝⎭111112213242n T n n n ⎛⎫∴=+-+-++- ⎪+⎝⎭L1111122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1123212n T n n n ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭Q设()113212f n n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭，可知()f n 递增 ()()413f n f ∴≥=，当n →∞时，()3f n →()f n ∴4,33⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]4,3,3a b ⎡⎫∴⊆⎪⎢⎣⎭若b a -最小，则4,33a b == ()min 53b a ∴-= 例5（2014，黄州区校级模拟）数列{}n a 的前n 项和24n n S =，数列{}n b 满足()132,n n b b n n n N *--=≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求证：当114b ≠时，数列{}n n b a -为等比数列 （3）在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 中只有3T 最小，求1b 的取值范围解：（1）()()()22111212444n n n n n a S S n n --=-=-=-≥1114a S ==符合上式 ()1214n a n ∴=- （2）()1214n n n b a b n -=-- 考虑()()1111332123044n n n n b b n b n b n --⎡⎤⎡⎤-=⇔-----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()()1130n n n n b a b a -----= ()1113n n n n b a b a --∴-=- ∴ 数列{}n n b a -为等比数列（3）思路：由（2）可求得{}n b 通项公式()1111121434n n b b n -⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小1b 的取值范围。