高中数学讲义微专题17 函数的极值
微专题17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。
但要注意检验零点能否成为极值点。
8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点（2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe -=的极值.解：()()'1x x x f x e xe x e ---=-=-令()'0fx >解得：1x < ()f x ∴的单调区间为：()f x ∴的极大值为()1f e=，无极小值 小炼有话说：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在 例2：求函数1)1()(32+-=x x f 的极值。
解：()()2'2312fx x x =-⋅，令()'0f x >解得：0x >()f x ∴的单调区间为：()f x ∴的极小值为()00f =，无极大值小炼有话说：本题若使用()'0fx =解极值点，则1x =±也满足()'0f x =，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故1x =±均不是极值点。
对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间 例3：求函数()f x =R 上的极值思路：利用()'f x 求出()f x 的单调区间，进而判断极值情况解：()'fx =令()'0fx >解得：()()2,02,x ∈-+∞()f x ∴的单调区间为：()f x ∴的极小值为()()220f f -==，极大值为()0f ==小炼有话说：在本题中如果仅令()'0f x =，则仅能解得0x =这一个极值点，进而丢解。
对于2x =-与2x =，实质上()f x 在这两点处没有导数，所以在()'0f x =中才无法体现出来，由此我们可以得到以下几点经验 （1）利用()'0fx =来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。
例如：24y x =-中的2,2x x =-=，是极值点却不存在导数（2）在寻找极值点时，若能求出()f x 的单调区间，则利用单调区间求极值点是可靠的 例4：已知函数bx ax x x f 23)(23+-=，在点1=x 处有极小值1-，试确定b a ,的值，并求出)(x f 的单调区间。
思路：()'2362f x x ax b =-+，由极值点()1,1-条件可得：()()'1110f f =-⎧⎪⎨=⎪⎩，两个条件可解出,a b ，进而求出单调区间解：()'2362fx x ax b =-+在点1=x 取得极小值72-()()'11113+21336201102a f ab a b f b ⎧==-⎧⎪-=-⎧⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨-+==⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩()()()'2321311f x x x x x =--=+-，令()'0f x >，解得13x <-或1x >()f x ∴的单调区间为：小炼有话说：关注“在点1=x 处有极小值1-”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数等于零，作为曲线上的点，函数值为1，进而一句话两用，得到关于,a b 的两个方程。
例5：若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a b +=_________思路：()'232f x x ax b =++，依题意可得：()()2'11101320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，可解得：411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，但是当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2'236331f x x x x =-+=- 所以尽管()'10f =但1x =不是极值点，所以舍去。
经检验：411a b =⎧⎨=-⎩符合，7a b +=- 答案：7a b +=-小炼有话说：对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验，看导数值为0的点是否是极值点例6：2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值，则实数c 为 . 思路：()'2234fx x cx c =-+,1x =为极小值点，()'21340f c c ∴=-+=，解得：1c =或3c =，考虑代入结果进行检验：1c =时，()()()'2341311fx x x x x =-+=--，可得()f x 在()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
进而1x =为极小值点符合题意，而当3c =时，()()()'23129313fx x x x x =-+=--，可得()f x 在()(),13,-∞+∞单调递增，在()1,3单调递减。
进而1x =为极大值点，故不符合题意舍去 1c ∴= 答案：1c =小炼有话说：在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件，但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方：① 已知极值点是否仍为函数的极值点 ② 参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。
例7：（1）已知函数()3234f x x ax x =-+-有两个极值点，则a 的取值范围是___________（2）已知函数()3234f x x ax x =-+-存在极值点，则a 的取值范围是_________（1）思路：()'2323fx x ax =-+，若()f x 有两个极值点，则方程23230x ax -+=有两个不等实根，从而只需0∆>，即243603a a ∆=->⇒<-或3a > 答案：3a <-或3a >（2）思路：()f x 存在极值点即()'23230f x x ax =-+=有实数根，0∆≥，但是当0∆=即3a =±时, ()()2'2363310f x x x x =+=≥，不存在极值点，所以方程依然要有两个不等实数根，a 的范围为3a <-或3a > 答案：3a <-或3a >小炼有话说：本题有以下几个亮点（1）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通过导数转化成为方程的根的问题，使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系 （2）方程()'0fx =根的个数并不一定等于极值点的个数，所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化（3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程，其0∆=时，其根不能作为极值点所致。
例8：设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点；思路：()()2'2221b x x bf x x x x-+=-+=，定义域为()0,+∞，若函数()f x 的有极值点，则()'0fx =有正根且无重根，进而转化为二次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定b 的范围解：（1）()()2'2221b x x b f x x x x-+=-+=，令()'0f x =即2220x x b -+=()f x 有极值点 ∴2220x x b -+=有正的实数根，设方程的根为12,x x ① 有两个极值点，即12,0x x >,1212480110202b x x b bx x ⎧⎪∆=->⎪∴+=⇒<<⎨⎪⎪=>⎩② 有一个极值点，即12=002bx x b ≤⇒≤∴综上所述：1,2b ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭（2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论方程2220x x b -+=的两根为：212x ±==±① 当102b <<时，1211x x ==()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极大值点为1x =-1x =+② 当0b ≤时，1210,1x x =<=()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极小值点为1x =+综上所述：当102b <<时，()f x 的极大值点为1x =-1x =+当0b ≤时，()f x 的极小值点为1x =+ 小炼有话说：（1）导函数含有参数时，其极值点的个数与参数的取值有关，一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于0时存在方程的解，另一方面体现在当方程的解与参数有关时，参数会影响到解是否在定义域内。
高考数学讲义微专题17函数的极值(含详细解析)
微专题17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
《函数极值》课件
三、求函数极值的步骤
y
o
x0
极值点
y
xo
x0
x
极值点
y
y
o
xo
极值点
x0
x
不是极值点
三、求函数极值的步骤
y
y
y
y
o
x0
xo
x0
xo
xo
x0
x
（1）求函数f(x)的定义域
(2) 求导数f/(x)，找出f(x)的所有驻点及导数不存在的点；
（3）用驻点及导数不存在的点划分定义域区间成若干子区间
判定导数f/(x)在每个区间的符号及函数在每个区间的单调性；
函数的极值及求法
问题引入：
在连绵群山之中，各个山峰 的顶端，虽然不一定是群山的最 高处，但它却是其附近所有点的 最高点．同样，各个谷底虽然不 一定是群山之中的最低处，但它 却是附近所有点的最低点．
一、函数的极值定义
y
我在这里哦！
ao
()
x0 b x
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点，如果 对x0附近的所有点x(x≠x0)，都有
（4）根据定理，判定驻点和导数不存在的点是否为极值点，从而 求出函数的极值。
练习题
函数y=1 +3x－x3有( D ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3
1.极值的定义： 2.y=f(x)在x0处有极值的判定： 3.求极值的步骤:
函数的极大值与极小值统称为极值， 极大值点与极小值点统称为极值点
思考
极大值一定大于极小值吗？
极值是对某一点附近的小区间而言的 极大值与极小值没有必然关系，极大 值可能比极小值小，如图所示。
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
《函数的极值》 讲义
《函数的极值》讲义在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念，而函数的极值问题则是其中一个关键且富有魅力的部分。
一、函数极值的定义首先，咱们得搞清楚啥是函数的极值。
简单来说，对于一个给定的函数，如果在某个点的附近，函数值比这个点的函数值都大（或者都小），那这个点对应的函数值就是函数的一个极值。
极大值就是在这点附近函数值最大，极小值就是在这点附近函数值最小。
比如说，有个函数 f(x)，在 x ＝ a 这点，它左边的函数值都比 f(a) 小，右边的函数值也都比 f(a) 小，那 f(a) 就是一个极小值。
要是左边右边的函数值都比 f(a) 大，那 f(a) 就是极大值。
二、如何判断函数的极值那怎么知道一个函数在某个点是不是有极值呢？这就得靠导数啦。
如果函数在某点的导数为 0，并且在这点的左侧导数为正，右侧导数为负，那这点就是极大值点；反过来，如果左侧导数为负，右侧导数为正，那这点就是极小值点。
为啥是这样呢？咱们可以这么想，导数为正的时候，函数是上升的；导数为负的时候，函数是下降的。
所以从上升到下降的转折点就是极大值点，从下降到上升的转折点就是极小值点。
举个例子，函数 f(x) ＝ x²，它的导数是 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＝ 0 时，导数为 0。
在 x ＜ 0 时，导数为负，函数下降；在 x ＞ 0 时，导数为正，函数上升。
所以 x ＝ 0 就是极小值点，极小值是 f(0) ＝ 0。
但是要注意哦，导数为 0 的点不一定都是极值点。
比如说函数 f(x)＝ x³，它的导数 f'（x) ＝ 3x²，当 x ＝ 0 时，导数为 0，但是在 x ＝ 0的两侧，导数的符号是一样的，都是正的，所以 x ＝ 0 不是极值点。
三、函数极值的求法知道了怎么判断极值，那咱们来看看怎么求函数的极值。
第一步，先求出函数的导数。
第二步，令导数等于 0，解出这些方程的根。
第三步，根据上面说的判断方法，判断这些根是不是极值点。
函数的极值-课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
高二数学函数的极值课件
仅当x=-1,x=1时取得极值，且 极大值比极小值大4，求a、b的 值。 Y极大值＝f(1/4)=27/256 -1,-2
孕，这可应该是咱们府里天大の喜事，怎么爷不但不高兴，反而不相信您呢？这种事情，哪里是撒谎就能骗得过去の啊！”“可能，爷是怕婉然姐姐伤心吧。”话壹出口，水清也 被自己刚刚脱口而出の这句话而震惊咯！他怕婉然伤心，她就不怕姐姐伤心吗？假设姐姐晓得咯这件事情，那边才被迫嫁入二十三贝子府，这边姐姐最亲厚の妹妹就跟她の心上人 上咯床，婉然姐姐の心还不是更要被伤碎咯？以前家人总是恨婉然抢咯她の夫君，可是实际上，明明是她水清“抢咯”姐姐の心上人。姐姐嫁给二十三小格已经是生不如死の悲惨 生活，王爷是她继续活在这各世上の勇气与力量，假设听到妹妹怀有身孕这各“噩耗”，她还有啥啊理由继续活下去？第壹卷 第450章 保胎刚刚在朗吟阁大义凛然、义正言辞地 与王爷立下誓言，可是回到怡然居の水清，却深深地陷入咯两难の境地。原本这各小小格就是他强加给她の奇耻大辱，她打心眼儿里根本就不愿接受这各结果，假设刚才他将她叫 到朗吟阁是为咯跟她说，他不想要她生下小小格，请张太医赶快进府来解决掉这各“麻烦”，她可是求之不得の事情。结果却事与愿违，因为他の失口否认，才惹得她斗志昂扬地 发誓要打赢这场战斗。现在，她又多么地痛恨刚刚の那各赌约，她甚至不想再证明啥啊，只要婉然姐姐不被她伤害，她做啥啊都愿意。月影跟咯水清这么多年，对她の脾气禀性早 就有咯很深の咯解，刚刚水清の那句话壹出口，月影立即猜测到她现在如此痛苦，壹定是为咯婉然而伤神。可是水清能怀咯身孕简直就是天大喜讯，是老天有眼，是菩萨开恩，不 管仆役如何不得爷の心，但是只要平平安安地生下这各小小格，仆役の这壹辈子就算没有白活。于是她赶快开口劝道：“仆役，您别再多想咯，大姑奶奶已经嫁给二十三爷，她の 心思应该都在二十三爷の身上才对，不管是咱们爷，还是您，再操好些心也是没有用の，难道您们还要不停地去提醒大姑奶奶，咱们爷还惦记着她？那不是更要让大姑奶奶难过 吗？假设大仆役晓得咱们爷早就已经把她忘在咯脑后头，她才会壹心壹意地跟二十三爷好好过日子。而且您现在有咯身子，您可得多为您肚子里の小小格着想才是。”月影の这壹 番话真是句句在理，字字珠玑，连壹各丫环都能看得清楚、想得透彻の事情，她这各念咯这么多年书の大家闺秀竟然不能释然，她可真是越活越缩抽回去咯。月影说得对，婉然已 经开始咯新の生活，所有の这壹切都是永远の过去，只有忘掉，才是他们所有人の唯壹の选择。想明白咯道理，水清终于不再纠结“抢夺”咯姐姐心上人这各令她悔恨交加の问题 上，而是赶快打起精神，全力以赴对付与王爷の那各“财约”。因为她们要确保平平安安地将小小格生下来，最起码，她们必须坚持到水清“显怀”の时候，才能证明水清の清白。 在没有“显怀”之前，万壹被人动咯手脚而没有保住小小格，王爷那里可不会“天真”地认为她这是没有保住小小格结果，而是更会认为那是她使出の奸诈诡计，是她自己动の手 脚，妄图以月信不调来蒙混过关，真若那样，水清可真就是跳进黄河也洗不清咯。她在王府里没有同盟军，没有好姐妹，到时候，不会有任何人替她说好话。所有人对她の遭遇只 会是看笑话，看热闹，不去落井下石已经算是最好の结果，更不要说出手相助咯。因此从这壹刻开始，水清和月影主仆两人开始咯胆战心惊の保胎生活。第壹卷 第451章 小心首 先是从吃食开始。除咯怡然居厨房の食物，水清从来不会碰壹口。月影の脚仿佛是在厨房里生咯根，所有の食物，她都要亲自检验咯原材料，都要从头到尾地监督制作过程，再亲 自端给仆役，从不假她人之手。然后是行动。好在水清の院子足够大，好在她不喜欢四处乱转，她の活动范围只局限于怡然居和霞光苑两点壹线之间，除此之外，她哪儿都不会去。 最后是身体。她分外注意冷暖，切不可感冒发烧，否则就要请太医，就要吃药治病，谁晓得那些药方子开得对与不对。两各人如此小心谨慎，防来防去，其实最核心の，她们是在 防着王爷。水清哪里晓得他对那壹晚の情况确确实实是毫不知情，她想当然地认为，他这是“始乱终弃”，只是没有想到就那么壹次就能令她怀咯身孕，毕竟他の子嗣壹贯稀薄， 六各诸人用咯二十多年时间，才只生咯七各子女。他对她当然是抱着侥幸心理。而现在她怀咯身孕，面对这各他根本就不想要の结果，更是担心婉然姐姐得到这各消息而被深深地 伤害，于是他“处心积虑”地首先反咬她壹口，诬陷她撒下弥天大谎，然后再打算趁她不备，暗下黑手。除咯这各理由，水清就是想出大天去，也想不明白他为啥啊会翻脸不认账。 对此，水清真是觉得好笑，这世上竟然还真就有这种人，千真万确发生の事实，都能面不改色心不跳地矢口否认，贵为皇子小格の品行竟是如此の龌龊不堪，还不如平民百姓，实 在是担当得起“道貌岸然”这四各字！打输咯这场战斗是小事，毁咯她の名节、清白可是天大の事情，水清就是拼尽咯身家性命也壹定要打赢这场官司，为自己讨得公道，为年家 人挣得尊严。她们最怕の就是他在汤药上动手脚，这是水清最薄弱の环节。毕竟蔬菜瓜果之类の食物她们都还认得，只要是保证绝不吃怡然居以外の食物，同时保证所有食品全都 是在怡然居加工制成の，就能有效地杜绝这各危险源头。但是很糟糕，水清样样都会壹些，独独
高考数学复习考点知识专题讲解课件第17讲 导数与函数的极值、最值
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故选D.
课堂考点探究
例3 (1)[2021·全国乙卷]
A.a<b
B.a>b
2
设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a) (x-b)的极大值点,则(
2
C.ab<a
D)
2
D.ab>a
方法二:因为x=a为函数f(x)的极大值点,且f(a)=0,f(b)=0,所以结合三次函数的图
图3-17-1
课堂考点探究
[思路点拨] 由g(x)=(x-1)f'(x)的图像可以得出f'(x)在各区间上的正负情况,从而
可得f(x)在各区间上的单调性,进而可得极值.
[解析] 根据函数g(x)=(x-1)f'(x)的图像可知,当x>2时,g(x)>0,即(x-1)f'(x)>0⇒
f'(x)>0,因此当x>2时,函数f(x)单调递增;当1<x<2时,g(x)<0,即(x-1)f'(x)<0⇒f'(x)
高考数学复习考点知识专题讲解课件
第17讲
课前基础巩固
导数与函数的极值、最值
课堂考点探究
教师备用习题 作业手册
课标要求
1.借助函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的
多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
1. 函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;
函数的极值与导数 课件
知识点二 函数的极值的求法
思考1 极大值一定比极小值大吗？ 答 极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可 能大于另一点的极大值，如图所示.
f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d).
思考2 函数的极值与单调性有什么联系？
答 极值点两则单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函
解析 f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实
数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0 在原点处相切，函数的极小值为－4. ①求a，b，c的值；
②求函数的递减区间. 解 由(1)知f(x)＝x3－3x2且f′(x)＝3x(x－2)， 由f′(x)<0得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0,2).
(2)函数 f(x)＝13x3－4x＋4 的极大值与极小值之和为(
)
26
A.8
B. 3
C.10
D.12
类型二 已知函数极值求参数 例2 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝
________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝1 x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为(_－__∞__，__1_). 3
5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.
跟踪训练3 若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实 数根，求实数b的取值范围.
(3)已知函数 f(x)＝13x3＋12(a－1)x2＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极 小值，求实数 a 的取值范围.
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
《高二数学函数极值》课件
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详细描述
这类题目通常涉及利用函数极值 性质研究数列的性质，或者通过 数列的性质判断函数极值点。需 要学生熟练掌握函数极值的定义 、性质和求解方法，以及数列的 性质和求解技巧。
举例
已知数列 {an} 满足 a1 = 1, an+1 = an + 1/n(n+1)，求数列 {an} 的通项公式，并判断是否存 在某个 n，使得 a_n > a_n+1。
总结词
学生常常误判导数不存在的点为极值点。
详细描述
导数不存在的点可能是极值点，也可能是拐点或不可导点。学生需要结合函数图像和一阶、二阶导数的符号变化 来判断，不能仅凭导数是否存在来判断是否为极值点。
多重根导致的极值判断错误
总结词
在处理含有多个根的函数时，学生容易因多重根的存在而判断失误。
详细描述
当函数的一阶导数存在多个根时，学生需要特别注意这些根的位置和一阶、二阶导数的符号变化，以 准确判断是否为极值点。此外，学生还需要注意区分极大值和极小值，避免混淆。
详细描述
这类题目通常涉及利用函数极值 性质求解不等式，或者通过不等 式性质判断函数极值点。需要学 生熟练掌握函数极值的定义、性 质和求解方法，以及不等式的性 质和求解技巧。
举例
求函数 f(x) = x^3 - 3x 在区间 [2,2] 上的最小值，并判断该最小 值是否大于 0。
极值与数列
总结词
函数极值与数列结合，考察学生 的逻辑思维和推理能力。
3
单调性判定
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区 间单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间 单调递减。
单调性与极值
单调性与极值的关