平行四边形单元测试题

平行四边形单元测试题

一、解答题

1．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．

（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；

（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；

（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．

2．已知正方形ABCD ．

（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．

①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．

②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．

（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13

AE CF =时．请直接写出HC 的长________．

3．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ . ()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；

()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；

()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.

4．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．

（1）如图1，求证：//AC DE ；

（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；

（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．

5．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．

（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；

（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；

（3）联结AF ，求证：2DE =．

6．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．

（1）证明：AG BE =；

（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．

7．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；

拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．

8．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．

（1）求m ，n 的值；

（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______； （3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．

9．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.

（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，

求证：DM =ME ，DM ⊥.ME

简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.

（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结

论；若不成立，请说明理由.

（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .

10．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；

（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；

（3）当325

t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；

（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12

FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．

【详解】

明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠BAE ＝∠BCD ＝70°，AD ∥BC ，

∵∠DCE ＝20°，

∵AB ∥CD ，

∴∠CDE ＝180°﹣∠BAE ＝110°，

∴∠DEC ＝180°﹣∠DCE ﹣∠CDE ＝50°；

（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠BAE ＝∠BCD ，

∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，

∴BC 是△EFG 的中位线，