北京市北师特学校2012～2013年度高三第一学期第二次月考理科数学

北师特学校2012～2013年度第一学期第二次月考
理科数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设集合{}U =1,2,3,4，{}
25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．6 2、函数21y x =
-的定义域是(,1)[2,5)-∞ ，则其值域是 （ ） A 、1(,0)(,2]2
-∞ B 、(,2]-∞ C 、1(,)[2,)2
-∞+∞ D 、(0,)+∞
3
、设函数1()7,02()0
x x f x x ⎧-<⎪
=≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是 （ ）
A 、(,3)-∞-
B 、(1,)+∞
C 、(3,1)-
D 、(,3)(1,)-∞-+∞
4、已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是 （ ）
A B C D
5、把函数sin y x =的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移4
π个单位，这时对应于这个图像的解析式是 （ ）
A 、cos 2y x =
B 、sin 2y x =-
C 、sin(2)4y x π=-
D 、sin(2)4
y x π=+
6
、函数2
1sin 22
y x x =+的最小正周期等于 （ ） A 、π B 、2π C 、4π D 、4
π
7、若2αβπ+=，则函数cos 6sin y βα=-的最大值和最小值为 （ ） A 、最大值为2，最小值为12
； B 、最大值为2，最小值为0；
C 、最大值为2，最小值不存在；
D 、最大值不存在，最小值为0； 8、若
,*,(1)(2)(1)n
x x R n N E x x x x n ∈∈=+++- 定义，例如
4
4(4)(3)(2)(1)24E -=-⋅-⋅
-⋅-=则5
2()x f x x E -=⋅的奇偶性为 （ ）
A ．偶函数不是奇函数；
B ．奇函数不是偶函数；
C ．既是奇函数又是偶函数；
D ．非奇非偶函数；
二、填空题：本大题共6小题，每小題5分，共30分.
9．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题为________________
10、若锐角,αβ满足(1)(1)4αβ=，则αβ+=_______________
11、已知α为第二象限角，则cos sin =____________ 12、已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =_______________
13、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是_______________
14、 把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6
π
个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断：
①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π
+=； ②该函数图象关于点)0,3
(π对称； ③该函数
在]6
,0[π上是增函数；④函数a x f y +=)(在]2,0[π
上的最小值为3,则32=a ．
其中，正确判断的序号是________________________
三、解答题：本大题共6小題，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分） 在锐角ABC ∆中，
a ，
b ，
c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足
2sin b A =．
（Ⅰ）求角B 的大小；
16. (本小题共13分)
(I)求()f x 的最小正周期； (I I )求()f x 在区间[0,
]4
π
上的取值范围.
17、(本小题共13分)在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得=++,试判断P 点的位置.
18、(本小题共13分)已知函数sin cos sin cos y x x x x =++，求[0,]3
x π∈时函数y 的
最值。

19、（本大题满分14分） 已知,,当为何值时，与平行？平行时它们是同向
还是反向？
20. （本小题满分14分）
已知函数2
(1)
()a x f x x -=
，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；
（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）
(1,2)a =
)2,3(-=b k ka + 3a -
北师特学校2012—2013年度第一学期第二次月考
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、填空题（每题5分，共30分）
91≥,则2
1x ≥；10、3
π；11、0；12、2-；13、6m >或3m <-；14、②④；
三、解答题
15、解：(1)2sin b A =
2sin sin A B A = 所以sin B = 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3
B π∠=
（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得22
7a c ac +-=
5a c += 所以 6ac =
所以1sin ABC S ac B ==
16、解：11()sin 2sin 22f x x x x ==
sin(2)x π=+-
（1）T π=
（2）[0,]4x π∈ 52[,]336
x πππ∴+∈
max ()()1f x f π∴==，min 1()()f x f π==
17、解：PA PB PC AB ++= PA PC AB PB AB BP AP ∴+=-=+=
2PC AP PA AP ∴=-= 所以AP 与PC
共线，即点A,P,C 共线
且点P 位线段AP 的三等分点
18、解：令sin cos x x t +=，则21sin cos 2
t x x -=，
22111t y t t t -∴=+=+- [0,]3x π∈
sin cos )4
t x x x π∴=+=+∈
max 12
y ∴=min 1y = 19、解：因为3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-
；
(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+
又()//(3)ka b a b +-
4(3)10(22)k k ∴--=+ 13
k ∴=-
这时104(,)33ka b +=- ，所以当13k =-时，ka b + 与3a b - 平行，并且是反向的。

20、解：①243
2(1)2'()ax ax x ax a
f x x x ---+==（0a >）
令'()0f x =，则2x =，又()f x 的定义域是0x ≠
②设切点为00(,)x y 则0
0002
003
01
(1)
(2)
1y x a x y x a x x ⎧
⎪=-⎪⎪-=⎨⎪
⎪-=⎪⎩
解得011x a =⎧⎨=⎩ ③()ln (1)g x x x a x =-- '()ln 1g x x a =+-
令'()0g x =，则ln 1x a =-，1
a x e -=
（Ⅰ）当01a <≤时，()g x 在[1,]e 单调增加
max ()()g x g e e ae a ==-+ （Ⅱ）当12a <≤时，()g x 在1[1,)a e
-单调减少，在1(,]a e e -单调增加；
若11
e a e <≤-时，max ()()g x g e e ae a ==-+；
若21
e a e <≤-时，max ()(0)0g x g ==；
（Ⅲ）当2a >时，()g x 在[1,]e 上单调递减，max ()(0)0g x g ==；
综上所述，01
e a e <≤-时，max ()()g x g e e ae a ==-+；
1
e a e >-时，max ()(0)0g x g ==。

北师特学校2012～2013年度第一学期第二次月考
理科数学答题纸
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、填空题（每题5分，共30分）
9、____________；10、______________；11、_______________；12、_________________；
13、______________；14、________________；
三、解答题
15、解：
17解：
19、解：。