复习题1

复习题1
一、填空题（每小题4分，共20分）
1. 设{}2,1,3=a ，{}1,0,2=b ，则⨯=a b ． 2．点)0,2,1(到平面2250+++=x y z 的距离=d ．
3. 极限=-+→→x xy y x sin 1
1lim
20 ． 4. 设函数32=z x y ，则全微分(1,1)
=dz
.
5. 设区域22:1+≤D x y ，则二重积分 (342)-+=⎰⎰D
x y dxdy .
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设{}3,6,2=a ，则与a
方向相同的单位向量a =（ ）.
A . ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧113,116,112; B.
⎭⎬⎫⎩⎨⎧73,76,72; C. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-73,76,72; D. ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧±73,76,72.
2. 下列方程中，表示柱面的是（ ）.
A . 122=+y x ; B. 22y x z +=;
C. 12
2
2
=++z y x ; D. 2
2
1=--z x y .
3. 二元函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy
y x f 在点)0,0(处( ).
A. 无定义; B . 连续; C. 偏导数存在; D. 可微.
4. 函数=xy
z e 在点(1,0)P 处沿方向{}3,2=l
的方向导数为（ ）.
A . 2;
B . 3;
C .
13
2; D .
13
3．
5. 设一平面薄板所占有的区域由直线y x =，1=x 与0=y 所围成，面密度为
(,)2=x y y ρ，则该薄板的质量M =（ ）.
A.
16； B . 13； C. 1
2
； D. 56. 6. 设区域Ω由圆锥面22=+z x y 和平面1=z 所围成，则
⎰⎰⎰Ω=dv z f )(（ ）.
A .
211
00
()⎰
⎰⎰d d f z dz πρ
θρρ; B.
221
1
00()⎰
⎰⎰
d d f z dz πρθρρ;
C. 221
()⎰⎰⎰
d d f z dz πρθρρ; D. 21
()⎰⎰⎰d d f z dz πρ
θρρ.
三、（5分）设直线a
z y x 1
141+==-平行于平面632=++z y x ，求a 的值.
四、（5分）直线L 过点)5,0,3(M 且与平面π：043=++-z y x 垂直，求直 线L 与平面π的交点N ．
五、（5分）设v u
z =，y e u x sin =，y e v x cos -=，求y
z x z ∂∂∂∂,．
六、（5分）设函数(,)z z x y =由方程22ln y x z z ++=所确定，试证0=∂∂-∂∂y
z
x x z y
.
七、（5分）求二重积分σ⎰⎰d e D
x 2
，其中区域D 由直线x y 2=，0=y ，1=x 所围
成.
八、（5分）计算三重积分2Ω
=⎰⎰⎰I z dxdydz ，其中区域Ω由旋转抛物面22=+z x y 和
平面1=z 所围成.
九、（9分）设函数1943232+--++=y x y y x z ，求：（1）函数的驻点；（2）判断驻点是否为极值点；（3）如果是极值点，求出极值.
十、(8分 ) 求位于两圆2cos ,4cos ==ρθρθ之间的均匀薄片的质心坐标.
十一、（10分） 设旋转抛物面∑由yoz 面上的抛物线21=-z y 绕z 轴旋转所成，
（1）求曲面∑的方程；（2）求曲面∑在点M 111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切平面方程； (3) 求该切
平面与三个坐标面所围成的四面体的体积.
十二、（5分）设函数(,),(,)P x y Q x y 在区域D 上有连续一阶偏导数，若存在某个二元函数(,)=z f x y 使得(,)(,)=+dz P x y dx Q x y dy ，问函数(,),(,)P x y Q x y 应该满足什么关系？为什么？。