第一讲 集合的概念与运算

第一讲 集合的概念与运算一．知识要点：1、集合与元素⑴集合中元素的三特征：确定性、互异性与无序性⑵元素与集合的关系：⑶常见集合的符号表示：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记 作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ；复数集，记作C .⑷集合的表示法：列举法：描述法：图象法等.2．集合间的基本关系：子集、，真子集、相等3．集合的基本运算：⑴全集与补集：①包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；②若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；③简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S =Φ，ΦS C =S .⑵交集与并集：}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且；{|}A B x x A x B ⋃=∈∈或.注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

4、集合的简单性质：⑴;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ ⑵;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃⑶);()(B A B A ⋃⊆⋂ ⑷B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;； ⑸S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.考试形式多以一道选择题为主，分值5分. 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立.具体题型估计为：⑴题型是1个选择题或1个填空题；⑵热点是集合的基本概念、运算和工具作用三、典例分析：变式4：(2009湖北卷理)已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈v v v v 是两个向量集合，则P Q =I （ ）A ．｛〔1，1〕｝B . ｛〔-1，1〕｝C . ｛〔1，0〕｝D . ｛〔0，1〕｝分析与解：因为(1,) (1,1)a m b n n ==-+ 代入选项可得(){}1,1P Q ⋂=故选A .变式4：（2008年福建）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b ，a -b ， ab ， ab ∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{},F a b Q =+∈也是数 域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个 数域. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）提示：①对除法如12Z ∉不满足，所以排除，②取{},M a b Q =+∈,M =, ③④的正确性容易推得.变式5（2009北京文）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那 么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.分析与解：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.故应填6.四、变式训练：1.设P =｛x ︱x <4｝,Q =｛x ︱2x <4｝，则（ ）（A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R p Q C ⊆ （D ）RQ P C ⊆ 解析：{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题4. (2007广东)设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ）A ．()**a b a a =B ．[()]()****a b a a b a =C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =5、非空集合G 关于运算⊕满足：⑴对任意的,,a b G ∈都有,a b G ⊕∈(2)存在,e G ∈都有,a b b a a ⊕=⊕=则称G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算：① G ＝｛非负整数｝，⊕为整数的加法.② G ＝｛偶数｝，⊕为整数的乘法.③ G ＝｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法.④ G ＝｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法.⑤ G ＝｛虚数｝，⊕为复数的乘法.其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________.（写出所有“融洽集”的序号）五、2012试题再现1．(北京)已知集合A ={x ∈R |3x +2＞0} B ={x ∈R |（x +1）(x -3)＞0} 则A ∩B =A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3） D (3,+∞)解析：和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法. 因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．2. (广东)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246解析：选C U C M ={,,}3563.（湖南）设集合M ={-1,0,1}，N ={x |x 2≤x }，则M ∩N =（ ）A .{0}B .{0,1}C .{-1,1}D .{-1,0,0}解析：{}0,1N = M ={-1,0,1} ∴M ∩N ={0,1}.点评：本题考查集合的基本运算，简单，易得分.先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N . 答案B4.（江苏）（2012年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ．分析：由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B =5．（江西）若集合A =｛-1，1｝，B =｛0，2｝，则集合｛z ︱z =x +y ,x ∈A ,y ∈B ｝中的元素的个数为（ ）A ．5B .4C .3D .2解析:本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.点评：集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn 图的考查等.6、（辽宁）已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=U U C A C BA ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6解析：()()(){}=C =7,9U U U C A C B A B ,故选B .6. （山东）已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A ={1,2,3,}，B ={2,4} ，则（CuA ） B 为（ ）A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。

答案选C7.（陕西）集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 解析：{}1>=x x M ，{}22≤≤-=x x N ，则{}21≤<=⋂x x N M ，故选C8．（上海）若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解析】根据集合A 210x +>，解得12x >-，由12,,13x x --<< 得到，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3,21B A . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.9.（四川）设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则=）（）（B C A C U U _______。

解析：∵d}{c,=）（A C U ；}{a B C U =）（ ∴=）（）（B C A C U U {a ,c ，d }本题难度较，稍注意就不会错.10.（天津） 已知集合={||+2|<3}A x R x ∈，集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n - ，则=m ,=n .【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.解析：∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n - ，画数轴可知=1m -，=1n .11.（新课标）集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10解析：选D ，5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个12．（浙江）设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝（ ）A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)解析：A ＝(1，4)，B ＝[－1，3]，则A ∩(C R B )＝(3，4)．答案：B。