上海市七宝中学2020届高三高考押题卷数学试题 PDF版含答案
2020-2021学年上海市高考数学押题密卷含答案解析6套
M、N、O 共线时，等号成立)，于是有1 | MN | 5 ．)
(3)证明 因 A、B 是曲线 C 上满足 OA OB 的两个动点，由曲线 C 关于原点对称，可知直线 AB 也关于原点对
称．若直线 AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线 AB 的距离( d )是定值即可．
为圆
N
:x
32
y2
1 的任意一条直径，求
MG
MH
的取值范围；
（3）已知点 A, B 是曲线 C 上的两个动点，若 OA OB （ O 是坐标原点），试证明：直线 AB 与某个定圆
恒相切，并写出定圆的方程．
一、填空题 1. (－1，3) 2. 4 3. 2 4. 1 5. 0
3
6.
5 20
21.（本题满分 18 分，第一小题满分 4 分，第二小题满分 6 分，第三小题满分 8 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.对任意的点 P(x, y) ，定义 || OP ||| x | | y | .
任取点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，记 A '(x1, y2 ), B '(x2 , y1) ，若此时 || OA ||2 || OB ||2 || OA' ||2 || OB ' ||2 成立，则称点 A, B 相关. （Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
，方程
4
f
x
m
有四个不相等的实根
xi
i
1, 2,3, 4
，则
x12
x22
x32
x42
的取值范围为__________．
二、选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，共 20 分）
【解析版】2020年上海市高考数学(文科)预测押题试卷
由全国各地一线教师精心编制《高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把我命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！上海市高考数学（文科）预测押题试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（•上海）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．3804980专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．2．（4分）（•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则tanθ=﹣．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．3804980专题：三角函数的求值．分析：由条件求得cosθ＜0，可得cosθ=﹣以及tanθ=的值．解答：解：∵，且sin2θ=2sinθcosθ＜0，∴cosθ＜0，故cosθ=﹣=﹣，∴tanθ==﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式的应用，属于基础题．3．（4分）（•普陀区二模）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=x2（x≥0）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数．3804980专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可．解答：解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x≥0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）点评：本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用．4．（4分）（•普陀区二模）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．3804980专题：计算题．分析：根据且==为纯虚数，可得a+2=0，且2﹣a≠0，由此解得a的值．解答：解：∵z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且===为纯虚数，故有a+2=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．5．（4分）（•普陀区二模）若，则=﹣243．考点：二项式定理的应用．3804980专题：计算题．分析：给x赋值1，﹣1，要求的式子用平方差公式分解，把赋值后的结果代入求出最后结果．解答：解：因为，令x=1得到35=a0+a1+a2+a3+a4+a5，令x=﹣1得到﹣1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，又（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=﹣（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）=﹣35=﹣243．故答案为：﹣243点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是理解赋值法的应用，观察要求的式子的结构特点，本题是一个中档题目．6．（4分）（•普陀区二模）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为2．考点：二次函数的性质；函数奇偶性的性质．3804980专题：计算题；函数的性质及应用．分析：依题意，可求得a=0，从而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值．解答：解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴a=0．∴f（x）=x2+1，∴y==|x|+≥2（当且仅当x=±1时取“=”）．∴函数y=的最小值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题．7．（4分）（•普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为．考点：双曲线的简单性质．3804980专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b 的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）（•普陀区二模）若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．3804980专题：计算题．分析：利用列举法列举出从4名男生、2名女生中选出3人的所有方法，然后找出至少有两名男生的方法种数，直接利用古典概型的概率计算公式计算．解答：解：设4名男生分别记为1，2，3，4．两名女生分别记为a，b．则从4名男生、2名女生中选出3人的选法共有：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b），（1ab），（2ab），（3ab），（4ab）共20种．其中至少含有2名男生的是：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b）共16种．所以从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．故答案为．点评：本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解答此题的关键是列举时做到不重不漏，是基础题．9．（4分）（•普陀区二模）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6．考点：简单线性规划．3804980专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．10．（4分）（•普陀区二模）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0．考点：三阶矩阵；两条直线的交点坐标．3804980专题：直线与圆．分析：先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．解答：解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．点评：本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．11．（4分）（•普陀区二模）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．考点：余弦定理．3804980专题：解三角形．分析：利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cosC=，可得角C的值．解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得a2=b2+﹣2b••cos=b2，∴a=b．再根据cosC===，故有C=，故答案为．点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．12．（4分）（•普陀区二模）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为3．考点：向量在几何中的应用．3804980专题：计算题；平面向量及应用．分析：设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解解答：解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13．（4分）（•普陀区二模）已知函数，若f（1﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是．考点：指、对数不等式的解法．3804980专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的单调性，转化不等式组求解即可．解答：解：函数，x＜0时是常函数，x≥0时是增函数，由f（1﹣a2）＞f（2a），所以，解得：，故答案为：．点评：本题考查函数单调性的应用，不等式的解法，考查计算能力．14．（4分）（•普陀区二模）若ai，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，3，…，n﹣1），则=．考点：高阶矩阵．3804980专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n．最后利用极限公式即可得出答案．解答：解：依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…∴a3，2﹣a3，1=5﹣3=2，（1）a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2+n﹣1，∴a3，n=n2+n﹣1+3=n2+n+2．则==．故答案为：．点评：本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（•普陀区二模）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．3804980专题：不等式的解法及应用．分析：由y∈R，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算．解答：解：由y2=4x，y∈R，所以x≥0，所以A={x|y2=4x，y∈R}={x|x≥0}；再由，得，解得﹣2＜x≤1．所以={x|﹣2＜x≤1}，则A∩B={x|x≥0}∩{x|﹣2＜x≤1}=[0，1]．故选A．点评：本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题．16．（5分）（•普陀区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1考点：球的体积和表面积．3804980专题：计算题．分析：根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．解答：解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．点评：本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．17．（5分）（•普陀区二模）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．既非充分又非必要条件．考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．3804980分析：一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．解答：解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选B．点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．18．（5分）（•普陀区二模）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个．B．当a=1时，满足条件的点P有三个．C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个．D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个．考点：平面向量的综合题．3804980专题：计算题；平面向量及应用．分析：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y﹣）2=（a﹣1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．解答：解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（﹣，0），B（，0），C（0，），设P（x，y），可得=x2+（y﹣）2，=（x+）2+y2，=（x﹣）2+y2∵∴x2+（y﹣）2+（x+）2+y2+（x﹣）2+y2=a化简得：3x2+3y2﹣y+﹣a=0，即x2+y2﹣y+﹣=0配方，得x2+（y﹣）2=（a﹣1） (1)当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C点评：本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（•普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y 轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．3804980专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出ω，利用函数经过（0，1）结合ϕ的范围求出ϕ的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角θ满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2θ）的值．解答：解：（1）由题意可得A=2…（1分）即T=4π，…（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且θ为锐角，所以f（2θ）===点评：本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．20．（14分）（•普陀区二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点．（1）求三棱锥E﹣FCC1的体积．（2）求异面直线D1F与A1E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．3804980专题：空间角．分析：（1）根据给出的多面体是正方体，所以三角形ECC1的面积易求，且F点到面ECC1的高可求，把三棱锥E﹣FCC1的体积转化为三棱锥F﹣ECC1的体积，直接利用体积公式求解；（2）取AB的中点G，连接A1G，则∠EA1G即为两异面直线D1F与A1E所成角，在△A1GE中直接利用余弦定理即可求解．解答：解：（1）由=因给出的多面体为正方体，所以FC⊥平面ECC1，且FC=1，又△ECC1的底CC1=2，高为E到CC1的距离等于2，所以==．（2）如上图，取AB的中点为G，连接A1G，GE由于A1G∥D1F，所以直线A1G与A1E所成的锐角或直角即为异面直线A1E与D1F所成的角．在△A1GE中，，，由余弦定理得，＞0所以即异面直线A1E与D1F所成的角的大小为．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中档题．21．（14分）（•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．考点：函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．3804980专题：函数的性质及应用．分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x 的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，ymin=5，所以am≥1①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．22．（16分）（•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面积；（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程．3804980专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和a2=b2+c2，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l 的方程；（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用即可得到面积；（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC 和BC的斜率，令其和为0解出x0即可．解答：解：（1）由题意a2=18，b2=9得c=3，∴F（3，0），∵且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=﹣1，．直线l：，即直线l的方程为x+y﹣3=0（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k=1时，直线l：y=x﹣3将直线与椭圆方程联立，消去x得，y2+2y﹣3=0，解得y1=﹣3，y2=1，|y1﹣y2|=4，∴．（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，直线l：y=k（x﹣3）（k≠0），消去y得，（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0△＞0恒成立，，=∴2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，．解得x0=6，所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．点评：熟练掌握椭圆的标准方程和a2=b2+c2、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键．23．（18分）（•普陀区二模）对于任意的n∈N*，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得an≤M成立．（1）数列{an}、{bn}中，an=n、（n=1，2，3，4，5），判断{an}、{bn}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且，，求证：数列{Sn}具有“性质m”；（3）数列{dn}的通项公式（n∈N*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，求实数t的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．3804980专题：综合题；新定义．分析：（1）在数列{an}中，令n=1可验证不满足条件①；在数列{bn}中，按“性质m”的定义验证条件①②即可；（2）将代入S3=可求得q，从而求得cn，Sn，利用放缩法可验证数列{Sn}满足及Sn＜2；（3）写出dn+1，dn+2，数列{dn}具有“性质m”，由条件①得dn+dn+2＜2dn+1恒成立，代入后化简分离出t，转化为最值问题可得t的范围，在该范围下可判断数列{dn}为递增数列，从而可知{dn}最大项的值为d100，由此知存在M满足条件②，从而得知t的范围；解答：（1）解：在数列{an}中，取n=1，则，不满足条件①，所以数列{an}不具有“m性质”；在数列{bn}中，b1=1，，b3=2，，b5=1，则，，，所以满足条件①；（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{bn}具有“性质m”．（2）证明：由于数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将代入S3=，得6q2﹣q﹣1=0，解得或（舍去），所以c1=1，，，对于任意的n∈N*，，且Sn＜2，所以数列{Sn}满足条件①和②，所以数列{Sn}具有“m性质”；（3）由于dn=，则，，由于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，所以dn+dn+2＜2dn+1，即，化简得，t（n﹣2）＞1，即对于任意n∈[3，100]且n∈N*恒成立，所以t＞1①，=，由于n∈[3，100]及①，所以dn+1＞dn，即n∈[3，100]时，数列{dn}是单调递增数列，所以{dn}最大项的值为，满足条件②只需即可，所以这样的M存在②，所以t＞1即可．点评：本题考查等差数列、等比数列的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力，考查学生对题目的阅读理解能力，对能力要求较高．。
2020届上海市高三押题卷二数学试题(解析版)
③若f（x+3）＝f（3﹣x），且f（x+4）＝f（4﹣x），
则f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+6）＝f（x+8）即有f（x+2）＝f（x），
则f（x）的一个周期为2，故③对；
④令x+3＝t，则x＝t﹣3，则y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的图象关于t＝3对称，
【详解】
因为抛物线方程为 ，所以焦点在 轴上，且焦点为 .
故答案为
【点睛】
本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
7．在锐角△ 中，角 所对应的边分别为 ，若 ，则角 等于________.
【答案】
【解析】试题分析：利用正弦定理化简 ，得 ，因为 ，所以 ，因为 为锐角，所以 ．
【考点】正弦定理的应用．
即
解得： （舍）或 ，
，
所以 的面积是 .
【点睛】
本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.
20．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长 ．记 2016 年为第 1 年， 为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
④令x+3＝t，则x＝t﹣3，则y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的图象关于t＝3对称，即可判断．
【详解】
①若f（x）是偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，
2020届上海市高三押题卷二数学试题
2020届上海市高三押题卷二数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{|21}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，则AB =________ 2．抛物线24x y =的焦点坐标是__________．3．在锐角△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于________.4．方程9360x x --=的解x =________5．二项展开式622()x x +中第三项的系数是________ 6．若122log (42)0ax x a -+-<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种8．已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为________ 9．已知数列{}n a 首项11a =，13n n a S +=*()n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =________10．如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB ，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是 .11．已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________．12．定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题：①若()f x 是偶函数，则(1)f x +的图像关于直线1x =对称；②若(3)(3)f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(3,0)对称；③若(3)(3)f x f x +=-，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2；④(3)y f x =+与(3)y f x =-的图像关于直线3x =对称；其中正确命题的序号为________13．{}n a 为等差数列，则使等式12n a a a +++12111n a a a =++++++1233a a =+++++1235552019n n a a a a +=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值是_________.14．若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b < B ．22a b > C ．2211a b c c >++ D ．||||a c b c >15．无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 16．对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅，若()()f x f y x y ⋅=⋅对任意向量,x y 恒成立，则a 的坐标可能是（ ）A ．1(,)22-B ．,44C ．31(,)44 D ．1(,22- 17．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是（ ）A ．1BC ．3D 18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =.（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.19．已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积．20．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0050．记 2016 年为第 1 年，()f n 为第 1 年至此后第 ()N n n *∈年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 ()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 ()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．21．已知过椭圆方程2212x y +=右焦点F 、斜率为k 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(),0M m ，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.22．我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a ，T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图像关于直线1x =对称．求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解析式为()()1f x x x =-，求函数()y f x =，[),1,x n n n Z ∈+∈的解析式；（3）对于确定的0T >且0x T <≤时，()31f x x =+，试研究似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．参考答案1．{1,0)-【解析】【分析】根据交集的定义，写出A ∩B ．【详解】集合A ＝{x |﹣2＜x ≤1}，B ＝{﹣2，﹣1，0}，则A ∩B ＝{﹣1，0}．故答案为{﹣1，0}．【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．()0,1【解析】【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为24x y =，所以焦点在y 轴上，且焦点为()0,1. 故答案为()0,1【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.3．6π 【解析】试题分析：利用正弦定理化简2sin b a B =，得sin 2sin sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以1sin 2A =，因为A 为锐角，所以6A π=． 考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．4．1【解析】【分析】因式分解（3x ﹣3）（3x +2）＝0，从而求得x ＝1．【详解】∵9x ﹣3x ﹣6＝0，∴（3x ﹣3）（3x +2）＝0，∴3x ＝3，∴x ＝1，故答案为1．【点睛】本题考查了因式分解的应用及指数运算的应用，属于基础题．5．60【解析】【分析】利用通项公式写出展开式的第三项，求出系数即可．【详解】 ∵二项式622()x x +展开式的通项公式为T r+166r r C x -=⋅ 22r x ⋅（）， 所以第三项的系数为2262C ⋅＝60，∴第三项的系数为：60．故答案为60．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题．6．4a >.【解析】 由已知得不等式21122log (42)log 1ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，所以不等式2421ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，即不等式2430ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，当0a =时，则不等式430x -->对任意x R ∈不恒成立，所以0a ≠．所以20(4)4(3)0a a a >⎧⎨∆=---<⎩ ，即20340a a a >⎧⎨-->⎩ ，所以014a a a >⎧⎨-⎩或．解得4a >． 【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小．不等式212log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，可转化为不等式2430ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，分0a =与0a ≠两种情况讨论．0a ≠时结合二次函数的图像得结论．7．3【解析】【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可．【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ．所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题． 8．【解析】因为0,0x y >>，所以10y +>，1212111()(1)111x y x yx y x y x y +=∴+=++-=+++-++121212122211y x y x x y x y ++=+++-=++≥+=+++．当且仅当1211121x y y xxy ⎧+=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩ 即1x y ==+“=”号，此时，x y +的最小值为2+．9．*1,134,2,16n n n n N =⎧⎪⎨⋅≥∈⎪⎩ 【解析】【分析】当2n ≥时，13n n a S -=，和已知的式子相减，变形可得14n na a += ()2n ≥，再求2a ，判断数列的形式，求通项公式.【详解】当2n ≥时，13n n a S -=，两式相减得：()113n n n n a a S S +--=-得：1134n n n n n a a a a a ++-=⇒=， 即14n na a += ()2n ≥ 2133a S ==，2134a a =≠， ∴数列{}n a 是从第二项起的等比数列，当2n ≥时，222343416nn n n a a q --⋅==⨯=. ∴数列{}n a 的通项公式是13416n n a ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩ *12,n n n N =≥∈ 故答案为：13416n n a ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩ *12,n n n N =≥∈ 【点睛】本题考查数列已知n S 求n a ，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型，本题的易错点是忽略n 的取值，从而认为数列{}n a 是等比数列.10．5+【解析】试题分析：要求周长的最小值，因边为定值，只要求另两边之和的最小值，因两点直线线段最短，所以的最小值为因此△APC 1周长的最小值是521+． 考点：棱柱的相关知识.11．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合y 的范围，求出m 的范围即可．【详解】解：曲线:C y =，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分），并且[3P y ∈-，0]，对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的纵坐标2y =，21[,1]22py m +∴=∈-． 故答案为：1[,1]2-． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．12．②③【解析】【分析】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，即可判断；②由f （x +a ）+f （a ﹣x ）＝2b ，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）对称，即可判断；③由函数的对称性得f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +2）＝f （x ），即可判断；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称，即可判断．【详解】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，故图象关于直线x ＝﹣1对称，故①错；②若f （x +3）＝﹣f （3﹣x ），即f （3+x ）+f （3﹣x ）＝0，则f （x ）的图象关于点（3，0）对称，故②对；③若f （x +3）＝f （3﹣x ），且f （x +4）＝f （4﹣x ），则f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +6）＝f （x +8）即有f （x +2）＝f （x ）， 则f （x ）的一个周期为2，故③对；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称，则y ＝f （x +3）与y ＝f （3﹣x ）的图象关于直线x ＝0对称，故④错．故答案为②③．【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的对称性和周期性及应用，属于中档题．13．40【解析】【分析】易得{}n a 中有正有负,再设1,k k a a -分别为由正变负或由负变正的临界两项,再去绝对值分析即可.【详解】易得{}n a 中有正有负,则数列{}n a 中的项一定满足100k k a a +>⎧⎨<⎩或100k ka a +>⎧⎨<⎩,且项数为偶数. 不妨设100k k a a +>⎧⎨<⎩,设公差为d ,则此时10,0a d <>,且2n k =.k Z ∈ 又12n a a a +++12111n a a a =++++++1233a a =+++++1235552019n n a a a a +=++++++=.故5d >. 故122019n a a a +++=有123122......k k k k a a a a a a a ++-----++++()()1231232122......k k k a a a a a a a a a -=-++++++++211(1)2(21)22201922k k k k ka d ka d k d --⎛⎫⎛⎫=-+++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为5d >,故222201920195403.85k d k k =>⇒<=.因为k Z ∈ 故20k ≤,40n ≤ 故答案为：40 【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质的分析,需要根据题意分析出公差满足的条件,再根据条件列出对应的表达式求范围即可.属于难题. 14．C 【解析】 【分析】由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的． 【详解】若1,2a b =-=，则A 、B 均错，若0c ，则D 错，∵2110,c a b +≥>>，∴2211a bc c >++，C 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错． 15．C 【解析】无穷等比数列，111lim ,112n n a a S q q →∞=∴=--，112.11,0q a q q ∴=--<<≠．111121,120a a ∴-<-<-≠ ．11101,2a a ∴<<≠．所以选C ． 16．D2()()[2()][2()]4()()4()()f x f y x x a a y y a a x y y a a x x a y a a ⋅=-⋅-⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅．因为()()f x f y x y ⋅=⋅，所以21||=1a a =∴．只有选项D 的向量的模等于1．所以选D ．【点睛】根据()()2f x x x a a =-⋅写出2()()[2()][2()]4()()4()()f x f y x x a a y y a a x y y a a x x a y a a ⋅=-⋅-⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅，因为()()f x f y x y ⋅=⋅对任意向量,x y 恒成立，所以两式右边相等，可得21||=1a a =∴，验证四个选项即可． 17．A 【解析】 【分析】取AC 的中点D ，连接,BD OD ，根据数形结合分析可知BO BD DO ≤+，根据,,B O D 的位置关系求BO 的最大值. 【详解】取AC 的中点D ，连接,BD OD ，90ACB ∠=，112OD AC ∴==，BD ==由图象可知1BO BD DO ≤+=，当,,B O D 三点共线时，等号成立，所以点B 到原点O 的最大距离是1. 故选：A.本题考查动点和定点距离的最大值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是分析,,B D O 三点的位置关系.18．（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法，即可证得PBC ∆为直角三角形；（2）求出平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值. 【详解】（1）由题意，取AC 的中点F ，以点F 为坐标原点，以,FB FC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则(0,2,0),(0,B C P -， 于是(2,1,3),(2,2,0)BP BC =--=-,因为((2,0)2200BP BC ⋅=--⋅=-+=， 所以BP BC ⊥，即BP BC ⊥，所以PBC ∆为直角三角形. （2）由（1）可得(0,2,0)A -,于是(0,1,3),(2,1,3),(0,3,AP PB PC ==-=， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030y y +=-=⎪⎩，取1y =，则z z ==，所以平面PBC的法向量为(2,1,n =， 所以46sin cos cos ,n326AP n AP AP nθθ，所以直线AP 与平面PBC .【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（1）等腰三角形；（2. 【解析】 【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状； （2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】 （1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=， 解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形.（2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=， 解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-， 即()22243a b ab a b ab =+-=+-， 即()2340ab ab --=()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=所以ABC ∆【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.20．(1)3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023. 【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第()N n n *∈年的累计投入为()821n +-（千万元），第1年至此后第()N n n *∈年的累计净收入为1211131313...2222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用等比数列数列的求和公式可得()f n ；（2）由()()131422nf n f n ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n+6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n+1）﹣f （n ）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f （n+1）﹣f （n ）＜0，故当n≤4时，f （n ）递减； 当n≥4时，f （n+1）﹣f （n ）＞0，故当n≥4时，f （n ）递增．又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利； 方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减； 当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利． 21．（1）2；（2）23；（3）存在，102m <<. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的方程，求得,b c 的值，代入菱形面积公式得到答案；（2）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题设条件知，1211,3y y =-=，由此可求出POQ △的面积；（3）假设在线段OF 上是否存在点(),0(01)M m m <<，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由题意知2222)202142(-=+-+x k x k k ，将PQ 中点D 坐标用k 表示，利用MD PQ ⊥，建立关于k 方程，再由方程有解，即可求出m 的范围. 【详解】（1）由椭圆方程2212x y +=得222,1a b ==，则2221c a b =-=，所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积112222222S b c =⨯⨯=⨯⨯=；（2）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得23210y y +-=， 解得1211,3y y =-=， 所以121112=12233POQ S OF y y ⋅-=--=△； （3）假设在线段OF 上是否存在点(),0(01)M m m <<， 使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 所以22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， 设PQ 中点为00(,)D x y ，则MD PQ ⊥，212000222,(1)21212x x k kx y k x k k +===-=-++， 即2222(,)1212k kD k k -++，222211222(1)12MDk k k k k k m m kmk --+===----+，整理得2(12)k m m -=，关于k 的方程有解，所以(12)0m m ->，102m <<. 所以满足条件的点M 存在，且m 的取值范围是102m <<. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系设而不求是解决相交点坐标常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.22．（1）证明见解析；（2）()2()(1)n f x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈；（3）a 的取值范围为31a T ≥+，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可；（2）由01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，结合函数的周期求解即可； （3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解. 【详解】（1）因为函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，则()1(1)f x f x -=+，又函数()y f x =满足1T =，则(1)()f x af x +=，用x -替换x 得(1)()f x af x -+=-， 则()()af x af x -=，又1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=， 故函数()f x 是偶函数；（2）似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-， 当[,1),()x n n n z ∈+∈时，[0,1)x n -∈，()22(1)2(2)...2()n f x f x f x f x n =-=-==-=2()(1)n x n n x -+-，故()2()(1)nf x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈； （3）当(1)nT x n T <≤+时，0x nT T <-≤，()()...()[3()1]n n f x af x T a f x nT a x nT =-==-=-+，显然当0a <时，函数()y f x =在区间()0,∞+上不是单调函数， 又当0a >时，()[3()1]nf x a x nT =-+，(],(1)x nT n T ∈+是增函数，此时()(,(31)nnf x a a T ⎤∈+⎦，若似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是单调函数，则只能是增函数， 即1(31)n n aa T +≥+，即31a T ≥+，故a 的取值范围为31a T ≥+. 【点睛】本题考查了对新定义函数的理解及分段函数的解析式的求法，重点考查了阅读能力及计算能力，属中档题.。
上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题(wd无答案)
上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则________(★★) 2. 若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________ (★) 3. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．(★★) 4. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________(★★) 5. 函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，则实数________(★★) 6. 直角坐标系内有点，将四边形 ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____(★★) 7. 在中，，，为的中点，则___________. (★★) 8. 通过手机验证码登录哈喽单车 App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________(★★★) 9. 已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________(★★) 10. 欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________(★★★★)11. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则 a的最大值为________．(★★★) 12. 已知数列的首项为，且满足，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________二、单选题(★★) 13. 设、分别是直线、的方向向量，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 14. 某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（）A．B．C．D．(★★★) 16. 已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（）A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个三、解答题(★★★) 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.(★★) 18. 设、、分别是△ 内角、、所对的边，. （1）求角的大小；（2）若，且△ 的面积为，求△ 的周长.(★★★) 19. 受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.（1）解不等式：，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？(★★★★) 20. 已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值；（3）当△ 面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.(★★★★) 21. 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.（1）对于数列：，求，；（2）求证：；（3）求的最大值.。
上海市2020届高三高考压轴卷数学试题(含答案解析)
绝密★启封前2020上海市高考压轴卷数 学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{}|A x y x R==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.2．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 3．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________7．已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.8．计算：13(2)lim 32n nn n n +→∞--=+_________. 9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________12．已知数列{}n a 的通项公式为52nn a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ，设,(),()n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A ．2πB ．113π C ．4π D ．223π 15．若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．12C ．3D ．616．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，6PO =，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ．（1）在图中作出截面EFGHL ，并写出作图过程； （2）求该截面面积的最大值．18．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c .（1）若2,3c C π==，且ABC V 的面积S =,a b 的值；（2）若()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，试判断ABC V 的形状.19．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）20．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>经过定点2E⎛⎝⎭，其左右集点分别为1F，2F且12EF EF+=2F且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程：（2）若O为坐标原点，在线段2OF上是否存在点(,0)M m，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足()13a a a=≠，13nn na S+=+，设3nn nb S=-，*n∈N.（Ⅰ）求证：数列{}n b是等比数列；（Ⅱ）若1n na a+≥，*n∈N，求实数a的最小值；（Ⅲ）当4a=时，给出一个新数列{}n e，其中3,1,2nnneb n=⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n项和为n C，若nC可以写成p t（t，*p∈N且1t>，1p>）的形式，则称nC为“指数型和”.问{}n C中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.参考答案及解析1．【答案】{}1【解析】 由A中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．2．【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦U U 【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦U U 3．【答案】1【解析】因为11zi z-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==. 故答案为：1.4．【答案】1-【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。
2020年高考数学押题密卷(含解析)
2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。
【精准解析】上海市2020届高三高考压轴卷数学试题
| z | 02 (1)2 1.
故答案为：1.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．
an 0 1 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ，都有 0 1 1 0 ，则 a1 ___
1 2n Sn
【答案】 1
【解析】
【分析】
利用行列式定义，得到 an 与 Sn 的关系，赋值 n 1 ，即可求出结果．
根据双曲线的渐进线方程为
y
1 2
x ，设双曲线
x2 4b2
y2 b2
1，计算椭圆焦点为
10, 0
，
根据双曲线焦点公式得到答案.
【详解】 x2 y2 1的焦点为： 10, 0 16 6
双曲线的渐进线方程为
y
1 2
x ，则设双曲线方程为： x2 4b2
y2 b2
1，焦点为
10, 0
26 13 . 63
故答案为： 13 3
【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.
6.已知双曲线与椭圆 x2 y2 1有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为 y 1 x ，则此双
16 6
2
曲线方程为_________ 【答案】 x2 y2 1
82 【解析】
【分析】
an 【详解】由 0
1
0 1 2n
1
1
an
1 2n
Sn
1 0 Sn 1
1 2n
an( Sn
2n) 1 0
，令 n
1，
得 a1(a1 2) 1 0 ，解得 a1 1．
-2-
【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．
5.从总体中抽取 6 个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.