排列组合知识梳理
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一1.公式：1.2.(1)(2) ；(3)三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：①；②；③；④若四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
（5）、顺序一定，除法处理。
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= (21)种不同的方法。
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。
（3）特点：分成几类，就有几项相加。
2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。
（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。
（3）特点：分成几步，就有几项相乘。
二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。
（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。
（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。
（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。
（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n mn尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。
排列组合知识点汇集
排列组合知识点汇集引言排列组合是组合数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍排列组合的基本概念和常见问题，并提供一些解题的思路和步骤。
一、排列与组合的定义排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式，而组合是指从一组元素中选取若干个元素按照任意的顺序组合的方式。
排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n代表元素的总数，m代表选取的元素个数，“!”表示阶乘运算。
二、排列组合的应用1.抽奖问题：某活动中有n个奖品，参与者共有m人，每人只能获得一个奖品，求参与者获奖的可能性。
解题思路：将n个奖品看作是n个不同的元素，参与者的获奖情况可以看作是从n个元素中选取m个元素进行排列的方式。
使用排列的计算公式即可求解。
2.二项式展开：将一个二项式的幂展开成多项式。
解题思路：二项式展开可以看作是从n个元素中选取m个元素进行组合的方式。
使用组合的计算公式即可求解。
3.球的排列问题：某篮球队有10名队员，其中5名队员为前锋，5名队员为后卫。
现要求从中选出5名队员组成一支球队，其中至少有1名前锋和1名后卫。
解题思路：将前锋和后卫分别看作是两组不同的元素，求解的问题可以看作是从前锋中选取至少1名队员，从后卫中选取至少1名队员，然后将两个组合起来进行排列的方式。
使用组合和排列的计算公式即可求解。
三、排列组合问题的解题步骤解决排列组合问题的一般步骤如下：1.确定问题的条件：明确已知条件和需要求解的结果。
2.确定使用的计算公式：根据问题的条件和求解的结果，确定应该使用排列还是组合的计算公式。
3.进行计算：根据所选定的计算公式，将已知条件代入公式中进行计算。
4.得出结果：根据计算的结果，得出问题的答案。
四、常见排列组合问题举例1.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，请问他们可以排成多少种不同的顺序？解题思路：根据问题的条件，需要求解的是五个元素的全排列问题。
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
(完整版)排列组合知识点总结
排列组合 二项式定理1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同3，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素的所有组合个数 mn Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n m n C - 11m m m n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。
在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
排列组合知识点
排列组合知识点排列组合的相关知识点什么是排列组合•排列组合是数学中的一个重要概念，用于描述从指定元素集合中选择和排列元素的方法和规律。
排列•排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m个元素，且每个元素只能取一次，所能得到的不同的有序数列的个数。
•使用排列的公式可以计算出排列的数量：–全排列：P(n) = n!，表示将n个元素全部进行排列的情况。
–部分排列：P(n,m) = n! / (n-m)!，表示从n个元素中取出m个元素进行排列的情况。
组合•组合是指从n个不同元素中，选择出m个元素，且不考虑元素之间的顺序，所能得到的不同的无序数列的个数。
•使用组合的公式可以计算出组合的数量：–C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，表示从n个元素中取出m 个元素进行组合的情况。
排列与组合的区别•在排列中，元素的顺序是重要的，而在组合中，元素的顺序是不重要的。
•例如从字母A、B、C中取出两个字母进行排列，可以得到AB、AC、BA、BC、CA、CB等6种情况。
而从A、B、C中取出两个字母进行组合，则只有AB、AC、BC三种情况。
应用场景•排列组合在许多领域都具有广泛的应用，如数学、计算机科学、概率与统计等。
•在数学中，排列组合是组合数学的分支之一，常用于解决计数问题。
•在计算机科学中，排列组合常被用于算法设计、数据压缩和密码学等领域。
•在概率与统计中，排列组合用于计算事件的可能性和统计分析。
总结•排列组合是数学中的重要概念，用于描述选择和排列元素的方法和规律。
•排列是有序的选择和排列元素的方式，而组合是无序的选择和排列元素的方式。
•排列组合在许多领域都有广泛的应用，如数学、计算机科学、概率与统计等。
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排列组合知识梳理
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一、选择题
1．下面问题中，是排列问题的是( )
A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B ．从40人中选5人组成篮球队
C ．从100人中选2人抽样调查
D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 2．乘积m (m ＋1)(m ＋2)(m ＋3)…(m ＋20)可表示为( )
A ．A 2
m B ．A 21m C ．A 20m ＋20
D ．A 21m ＋20
3．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( )
A ．5
B ．7
C ．10
D ．14
4．给出下列4个等式：①n ！＝
(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m
n ＝n ！(n －m )！
；④A m －
1n －1＝
(n －1)！
(m －n )！
，其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5.A 67－A 5
6
A 45
＝( )
A ．12
B ．24
C ．30
D ．36
6．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A ．24个
B ．30个
C ．40个
D ．60个
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练习题:1.种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
练习题:
1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
2.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()
A．1 440种B．960种
C．720种D．480种
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
练习题：
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
2．三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为()
A．720 B．144
C．36 D．12
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
练习题:
1.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346
例2.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有
522 522480
A A A 种不同的排法
乙
甲丁
丙
例3.解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5
5
A种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4
6
A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同
顺序共有54
56
A A种
例4
例5.解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6
7种不同的排法
例6.解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4
4A 并
从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！
H
F
D C A
A B C D E A
B E G
H G F
例7
前 排后 排
一
班二班三班四班五班六班七班
例11。