《圆的基本性质》复习
圆的基本性质复习(一)
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设计说明
一、教学地位：
垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。本节课是一节复习课，是对新课的延伸和补充。
二、教学方法与教材处理：
让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---变式--证明”的活动，最后得出一般方法，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
三、设计思路：
为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。通过变式探究，让每个学生都有所得，我注意前后知识的链接，为学生提供了广阔的思考空间，同时让学生利用所学知识解决实际问题，感受理论联系实际的思想方法。
浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
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资料来源于网络 仅供免费交流使用 《圆的基本性质》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.
2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.
3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.
4. 理解圆内接四边形的性质.
5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.
6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.点与圆的位置关系
判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 4．与圆有关的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2020年浙教版九上数学期末复习卷《圆的基本性质》(含答案)
浙教版期末复习卷《圆的基本性质》
一、选择题1.下列命题中，正确的是（ ）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
2.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是
（ ） A.2 B.
C.1 D.
3.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是（ ）
A.100° B.110° C.120° D.130°
5.如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B度数是（ ）
A.15° B.25° C.30° D.75°
6.如图，点C在弧AB上，点D在半径OA上，则下列结论正确的是（ ）
A.∠DCB+0.5∠O=180° B.∠ACB+0.5∠O=180°
C.∠ACB+∠O=180° D.∠CAO+∠CBO=180°
7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别
为（ ）
A.2
， B.2，π C.
， D.2
，
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）
A.2π B.π
C.
D.
9.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如
图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部
分的面积是（ ）
．
（π﹣4）
cm2B
．（π﹣8）
cm2C
．（π﹣4）cm2D
．（π﹣2）cm2
10.如图，AB为半圆O的直径，点C是半圆O的三等分点，CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折
得到△ACE，AE与半圆O交于点F，若OD=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
《圆基础与提优》复习
1 《圆》复习
圆的基本性质
1、圆的有关概念：
（1） 圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另一个端点Ａ随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点Ｏ叫做 。线段ＯＡ叫做 。 （b）圆是所有点到定点Ｏ的距离 定长ｒ的点的集合。
(2) 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦. （弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
(3) 弧：圆上任意两点间的部分叫 （弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） (4) 等弧：在同圆与等圆中，能够 的弧叫等弧.
(5) 等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆..
2． 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为 。
3．垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径 。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径 。
（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且 。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 。
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别 。
5、圆周角： （1）定理：一条弧所对的圆周角 。
（2）推论： ①圆周角的度数等于它所对弧的度数的 。
连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质
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基础知识
知识点一、圆的有关概念
1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.
②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；
2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．
3.确定圆的条件
确定一个圆有两个基本条件
①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．
经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念
1. 弦与直径：
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．
②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.
2. 弧与半圆
①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，
②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．
③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．
④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.
知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系
1. 圆的旋转不变性 - 2 - / 14 把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
知识点四、垂径定理
1. 圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
圆的基本性质
1 第六单元 圆
第23讲 圆的基本性质 命题点 近8年的命题形式 考查方向
垂径定理 2016(T25解)，2014(T25解)，
2013(T14选)，2012(T5选)，
2011(T25解) 高频考点垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，它可以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持.
圆周角定理 2011(T16填) 考查的频率较低，常与其他有关“角”的知识内容串联，作为圆大题的补充．题型多以选择题和填空题为主.
命题点1 垂径定理
1．(2012·河北T5·2分)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)
A．AE>BE
B.AD︵＝BC︵
C．∠D＝12∠AEC
D．△ADE∽△CBE
命题点2 圆周角定理
2．(2011·河北T16·3分)如图，点O为优弧AB︵所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D＝27°．
重难点1 垂径定理及其应用
已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.
(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝8；
图1 图2 图3 图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝5；
2 (2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝91；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝82．
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】 (2018·襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(D)
A．4 B．22 C.3 D．23
圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课
宁波东海实验学校 丁燕波
教学目标：
1． 在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性；
2． 在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；
3． 通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。
4． 通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。
教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性
教学难点：相关性质的应用
一、引入：
师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？
生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。
师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？
生：折痕是直径。圆具有轴对称性。
师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？
生：因为它们所对的圆心角相等。
师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。
二、圆的基本性质复习：
例1、 （1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证：CD=BD
师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。
（学生分组交流，一会后学生汇报成果。）
组一：连接OC，ODAC// CODACOBODA,
圆的基本性质复习
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圆的基本性质基础知识复习
【学习目标：】
1. 复习巩固圆的基本概念
2. 熟练掌握圆的基本性质
3. 掌握垂径定理的内容，并熟练应用垂径定理解决有关问题
【基本知识点：】
一、圆的定义
1.一个圆形水池的直径为10米，则它的面积为
平方米．
2．到点O的距离等于8的点的集合是
____________________．
3． 已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆心角是 ．
4．过圆内的一点（非圆心）有 条直径．
5.已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A． 4 B．8 C．10 D．12
二、垂径定理：
1．⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为 cm．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为______
题2 题4 题5 题6
3．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为_________cm．
4．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为 ．
5．如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝ ．
6．如图，在⊙O中，OA、OB为半径，连接AB，已知AB＝6，∠AOB＝120°，那么圆心O到AB的距离为 ．
7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为 ． 2
题7 题8 题9
圆的基本性质复习 2
第三章 圆的基本性质复习(三)
【知识要点】
1．在半径为R的圆上，n0的圆心角所对的弧长l的的计算公式为180nRl
2．由弧长公式可推出：180lnR，180lRn
3．如果扇形的半径为R，圆心角为n0，扇形的弧长为l，那么扇形面积的计算公式为：213602nRSlR
(注意：要根据已知条件选择适当的公式来求扇形面积)。
4．如果弓形的面积是S，弓形所在扇形的面积是S1，圆心角是n0，扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是S2，则（1）当n＝1800时，S=S1；（等于半圆）
（2）当n＜1800时，S=S1-S2；（小于半圆）（3）当n > 1800时，S=S1+S2 （大于半圆）
5．圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫做面锥的侧面．无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h，地面半径为r，母线长为l，则h2+r2=2l.
6．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l，弧长是圆锥的
底面周长C =2лr，侧面积S侧=лrl。
7．圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积（或表面积）．S全=2rlr。
【基本题型】
1. 己知扇形的圆心角为1200，半径为6，则扇形的弧长是（ ）
A. 3π B. 4π C . 5π D . 6π
2. 已知1000的圆心角所对弧长为5π cm，则这条弧所在圆的半径为（ ）
A. 7cm B 8cm C. 9cm D. 10cm
3. 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（ )
A.0360 B. 0180 C. 090 D.600
4. 在⊙O中，300的圆心角所对的弧长是圆周长的 ；
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
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专题30 圆的基本性质
【知识要点】
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以𝐴、𝐵为端点的弧记作𝐴𝐵⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造𝑅𝑇△，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 2 / 27
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑷ 圆心；
⑸ 半径，
⑹ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．