《圆的基本性质》复习宝典
第26讲：圆的有关概念和性质
第26讲：圆的有关概念和性质
九年级（ ）班 姓名：
【学习目标】
1．圆、圆的对称性、不在同一直线上的三点确定一个圆
2.
垂径定理及逆定理、圆周角定理．
3．三角形的外接圆和内切圆
【巩固练习】
一、选择题：
1．如图， A、B、C是⊙O上的三点，且A是优弧BAC上与点B、点C不同的一点，若BOC是直角三角形，则BAC必是( ) .
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.有一个角是30的三角形 D.有一个角是45的三角形
2．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ）
A．23 B．1 C．2 D． 32
3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
E是BC延长线上的一点，已知100BODo，则DCE的度数为（ ）
A．40° B．60°
C．50° D．80°
4. 如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿»OAABBO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）
二、填空题：
5．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为_______．
6．如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）则点B的坐标为 ．
7．已知⊙O是ABC△的内切圆，且50BAC°，则BOC为 度．
CBAO（第5题图） A
O
B C
A
D O
B C E
B C A
O
（第7题） P
A O B s
t O s
O t O s
t O s
t A． B． C． D．
圆的基本性质复习(一)
1 / 1
设计说明
一、教学地位：
垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。本节课是一节复习课，是对新课的延伸和补充。
二、教学方法与教材处理：
让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---变式--证明”的活动，最后得出一般方法，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
三、设计思路：
为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。通过变式探究，让每个学生都有所得，我注意前后知识的链接，为学生提供了广阔的思考空间，同时让学生利用所学知识解决实际问题，感受理论联系实际的思想方法。
圆的基本性质
1 第六单元 圆
第23讲 圆的基本性质 命题点 近8年的命题形式 考查方向
垂径定理 2016(T25解)，2014(T25解)，
2013(T14选)，2012(T5选)，
2011(T25解) 高频考点垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，它可以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持.
圆周角定理 2011(T16填) 考查的频率较低，常与其他有关“角”的知识内容串联，作为圆大题的补充．题型多以选择题和填空题为主.
命题点1 垂径定理
1．(2012·河北T5·2分)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)
A．AE>BE
B.AD︵＝BC︵
C．∠D＝12∠AEC
D．△ADE∽△CBE
命题点2 圆周角定理
2．(2011·河北T16·3分)如图，点O为优弧AB︵所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D＝27°．
重难点1 垂径定理及其应用
已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.
(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝8；
图1 图2 图3 图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝5；
2 (2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝91；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝82．
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】 (2018·襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(D)
A．4 B．22 C.3 D．23
圆的基本概念和性质
圆的基本概念和性质 教学设计
教学设计思想
圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。
数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。
教学目标
圆的基本概念和性质总目标：
1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系；
2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用；
3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。
第一课时教学目标
知识与技能：
1、经历圆的形成过程，理解圆的概念，
2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；
3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
过程与方法：
1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；
2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
情感态度价值观：
经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。
教学重难点
重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。
难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。
圆的基本性质复习
1 圆的基本性质
1、 点与圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
d＜r 点P在圆 ；
d r 点P在圆上；
d＞r 点P在圆 ；
2、（1）经过一个．．已知点能作 个圆；
（2）经过两个已知点A,B 能作 个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？
（3）不在同一条直线上的三个点 一个圆
经过三角形各个顶点的圆叫做 ，这个外接圆的圆心叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 ；
三角形的外心是 的交点。
锐角三角形的外心在 ；
直角三角形的外心在 ；
钝角三角形的外心在 。
2、圆是 图形，它的对称轴是 。
如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD是直径，CD⊥AB
∴
（文字描述）垂径定理： 。
3、顶点在圆心的角叫做 。
圆心角定理：
在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。
在 中，相等的圆心角所对两条弦的 相等
符号语言
在⊙O中：∵∠AOB=∠COD
∴ (弦相等)
圆的基本性质知识点及经典例题总复习
- 1 - 圆的基本性质总复习（一）
【知识理解】
知识点一：圆的定义及相关概念
1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径．记作“⊙O”.
第二种定义：到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦；直径；
注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径．
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示.
半圆；优弧；劣弧；等弧
2. 等圆：半径相等的圆.
同圆：同一个圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的圆.
知识点二：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，平面内任一点P到圆心的距离为d，则：
点在圆外
点在圆上
点在圆内
知识点三：确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
知识点四：三角形的外接圆
1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点
注：一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形
知识点五：圆的对称性
1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称轴
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心
- 2 - 知识点六：图形的旋转
由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点
都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做旋转中心．
（1）旋转的三要素
旋转中心、旋转方向、旋转角度
（2）图形旋转的性质
圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课
宁波东海实验学校 丁燕波
教学目标：
1． 在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性；
2． 在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；
3． 通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。
4． 通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。
教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性
教学难点：相关性质的应用
一、引入：
师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？
生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。
师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？
生：折痕是直径。圆具有轴对称性。
师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？
生：因为它们所对的圆心角相等。
师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。
二、圆的基本性质复习：
例1、 （1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证：CD=BD
师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。
（学生分组交流，一会后学生汇报成果。）
组一：连接OC，ODAC// CODACOBODA,
《圆的基本性质复习》说课稿
《圆的基本性质复习》说课稿
各位老师:
大家好!首先非常感谢各位老师的到来。首先要感谢×老师给予我的宝贵意见，有了专家的指引,我会更明确今后教学的方向;还要感谢初三备课组所有数学老师的帮助,让我拓宽了视野,同时也认识到了自身努力的方向,在开课准备的过程中是我不断成长的过程。
下面我将谈谈我对这堂课的设计感想：
一、教材分析
圆的基本性质是在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，积累了一定数学经验的基础上，从圆的确定，圆本身的性质，圆中的量之间的关系，进行系统的梳理。圆的基本性质是《圆与正多边形》这一章的重要内容，也是本章的基础。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系和垂径定理及其推论是圆的旋转不变性和轴对称性的的具体化，是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，垂径定理及其推论同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值。
二、目标分析
依照数学学科基本要求和中考数学试题考点——5-1、5-42、5-43、5-44，结合我所教学生的特点，确定了本节课的教学目标如下：
知识与技能：进一步理解圆的有关概念，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，掌握垂径定理及其推论；能够灵活运用圆的有关性质解决问题。
过程和方法：在自主探究中，培养观察、分析、比较、归纳概括的能力，感悟数学思想方法。
情感态度与价值观：通过合作学习，培养团结合作精神，体验成功的乐趣。
三、教法和学法
根据教学内容的特点和学生实际，这节课我采用以学生自学为主，探究法、讨论法、练习法等多种教学方法并用，调动学生积极参与学习。整堂课从学生回忆整理，构建知识网络，然后让学生充分自主探索，合作讨论寻求解决问题的思路和方法，通过典型例题的练习，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用圆的有关性质解决一些实际问题和相关证明，通过有层次的题组训练，提高学生的思维能力。
《圆的基本性质复习》教案
《圆的基本性质复习》教案
教学目标:
熟悉本章所有的定理。
教学重点：圆中有关的定理
教学难点: 圆中有关的定理的应用
教学方法：谈话法
教学辅助：多媒体
教学过程：
1、
圆的
定义有关概念
圆的基本性质圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距
等圆、同心圆
圆心角、圆周角
三角形外接圆、圆的内接三角形、
四边形的外接圆、圆的内接四边形
点和圆的位置关系
不在同一直线上的
三点确定一个圆
圆的中心对称性和旋转不变性圆的轴对称性垂径定理
圆心角定理圆周角定理圆内接四边形的性质
2、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转
所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆
O
3、篮球是圆吗？
–圆必须在一个平面内
?以3cm为半径画圆，能画多少个？?以点O为圆心画圆，能画多少个？
?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？–半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
?圆是“圆周”还是“圆面”？–圆是一条封闭曲线
?圆周上的点与圆心有什么关系？4、点与圆的位置关系
?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？
5、圆的有关性质
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？
6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
7、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
?如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。8、（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
第5讲 圆的基本性质
第4讲 圆的基本性质
考点1 圆的有关概念
圆的定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做 .
定义2：圆是到定点的距离① 定长的所有点组成的图形.
弦 连接圆上任意两点的② 叫做弦.
直径 直径是经过圆心的③ ，是圆内最④ 的弦.
弧 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤ 之分，能够完全重合的弧叫做⑥ .
等圆 能够 的两个圆叫做等圆.
同心圆 相同的圆叫做同心圆.
考点2 圆的对称性
圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦ 的直线.
圆是中心对称图形，对称中心为⑧ .
垂径定理 定理 垂直于弦的直径⑨ 弦，并且平分弦所对的两条⑩ .
推论 平分弦(不是直径)的直径⑪ 弦，并且⑫ 弦所对的两条弧.
圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量⑬ ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
考点3 圆周角
圆周角的定义 顶点在圆上，并且⑭ 都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮ .
推论1 同弧或等弧所对的圆周角⑯ .
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是○17 ；90°的圆周角所对的弦是○18 .
推论3 圆内接四边形的对角○19 .
命题点1 圆的有关概念
例1 下列说法中，正确的是( )
A.直径是弦 B.弧是半圆