圆的基本性质复习
•O
A
PB
•O A C ED B
考点检测
6、点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为AC的中点，以线段BA、BC
为邻边做菱形ABCD,顶点D在该圆直径的三等分点上，则该菱形边长为
（C
）
A 6或 2 2 C
C
B 6或 2 3
∴∠EBC＝∠EAC＝40°.
典例精析 例1 如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB ＝ AC，延长 BC 至点 D，使 CD ＝ CA，连接 AD交⊙O 于点 E. 连接 BE、CE.
(2)若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长；
(2)解：如解图①，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF， F
作业
5. (2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝ 45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 2 .
作业
6. 如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D， 连接OB、OC、BD、CD. (1)求证：四边形OBDC是菱形； (2)若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长.
D
A
B
O
C 点拨:在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等或互补
典例精析
例1 如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB ＝ AC，延长 BC 至点 D， 使 CD ＝ CA，连接 AD交⊙O 于点 E. 连接 BE、CE. (1)若∠D＝40°，求∠EBC的度数；
(1)解：
∵AC＝CD，
∴∠EAC＝∠D＝40°，
考点检测
3．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论 中不成立的是( C ) A．∠COE＝∠DOB B．CE＝DE C．OE＝BE D. BD＝BC
考点检测
4、半径为5cm的圆内有一点P，且OP=3cm,则过点P的最 长的弦=_1_0__cm__最短的弦长=__8_c_m__
证明：∵AB＝AC，CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD. ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠EAB， ∴∠CED＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB， ∴△ABE≌△CDE(AAS)；
典例精析 例1 如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB ＝ AC，延长 BC 至点 D，使 CD ＝ CA，连接 AD交⊙O 于点 E. 连接 BE、CE.
∴＝∠1∴2A0△°ODE，C＝E由∽∠圆△C周DOAE角B＝，定6∴理0°可DD，AC得∴，= ∠∠CAAEBAOBC，C＝＝即∠∠DAE2AO+OE2C＋＝3∠6C0°OE；
＝
2
3 2
，解得DE＝
53 3
.
课堂练习 1.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上,∠C= 30° 。
课堂练习
考பைடு நூலகம்检测
7．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝ 70°，则∠B等于( C ) A．30° B．35° C．40° D．50°
300 700
考点检测
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆 上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( B )
考点三 圆周角定理及其推论和圆内接四边形的性质 1．定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ___相_等____，都等于这条弧所对的圆心角的___一_半____. 2．推论：半圆(或直径)所对的__圆_周__角___是直角，90°的圆 周角所对的弦是__直__径____. 3．圆内接四边形对角互补，它的任意一个外角等于这个角 的对角．
2、求与平行弦有关的题目往往过圆心作一条 弦的垂线在延长相交，这样避免说明三点共线 的问题。
3、线段的和常用的辅助线是延长或截取。
作业
1. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝
40°，则∠ABD的大小为( B )
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 20°
作业
2. (2020原创)如图，AB是⊙O的弦，直径CD交AB于点E，若AE ＝EB＝3，∠C＝15°，则OE的长为( D )
(4)填空：
①当∠ABC＝ 60° 时，四边形AOCE是菱形；
5 ②若AE＝ 3 ，AB＝2 2，则DE的长为 3
3.
【解法提示】
3
22
①②解∵，△连A接BEA≌O、△OCDCE、，O∴EA，E＝CE＝ 3 ，AB＝
假∵O设CDA四＝＝边2O形E2＝A，OO∵CCE∠，是D∴C菱E△＝形A∠，OED可A和B得，△：∠COODAE＝＝是∠A等DE，边＝三EC角＝形O，C，
∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
G
∴∠ABC＝60°，
∵∠AFC和∠ABC是弦AC所对的圆周角，
∴∠AFC＝∠ABC＝60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FAC＝90°，CF＝4，
∴AC＝CF·sin∠AFC＝2 3 .
典例精析 例1 如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB ＝ AC，延长 BC 至点 D，使 CD ＝ CA，连接 AD交⊙O 于点 E. 连接 BE、CE. (3)求证：△ABE≌△CDE；
A．15° B．28° C．29° D．34°
860
D
O
E
考点检测
9．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°， 则∠BOD的度数是___1_00_0___．
【解析】∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝50°，∴∠DOB ＝2∠A＝2×50°＝100°.
考点检测
10. 在⊙O中，弦AB所对的圆心∠AOB=100°，则弦AB所对的圆 周角为_5_0_0_或__1_3_0_0___.
(5)圆既是中心对称图形(__圆_心___是对称中心)，也是轴对称 图形(___直_径__所__在__的___每一条直线都是它的对称轴)，还是旋转 对称图形(绕圆心旋转__任__意__度__数___都与原图形重合)．
考点检测
2．如图，∠AOB＝90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、 F.求证：AE＝BF＝CD.
3
22
D
B E1 O
C 5或 2 2
53
B
2
EO
D
D 5或2 3 A
A
【点拨】 解答题目中没有给出几何图形的题目，一般 都要考虑分类讨论，本题只给出了三等分点，故应考虑 BD 等于13直径还是23直径两种情况．
【温馨提示】“圆的有关性质”常作的辅助线：(1)有弦 时，过圆心作弦的垂线段、过弦的一个端点作半径，这样由 “弦的一半，表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三 角形；(2)有直径时，做出这条直径对的圆周角，这个圆周角是 直角；如果有圆周角是直角，作出它对的弦，这条弦就是直 径．
A．35° C．110°
B.70° D.140°
课堂练习
4.如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°, AC= 2 ,BC=1,若
以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝( 3 )
∠C=90°, AC= 2 ,BC=1,
3
AB= 3
3
cosB= 3
3
BD= 3
BP=
23 3
3
AP= 3
2
1
A.3 B. 4 C. 6 D. 3 3
33
作业 ︵ ︵︵
3.如图所示，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，
则∠AEO的度数是( A )
A. 51°
B. 56°
C. 68°
D. 78°
作业
4、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，∠ABC＝ 120°，CD＝3，则弦AC＝ 3 3 .
考点检测
1、如图，在 5×5 的正方形网格中，一 条圆弧经过 A、B、C 三点，那么这条圆弧所 在圆的圆心是( B )
A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 M
(3)弦：连接圆上两点间的__线__段___叫做弦；直径是圆中最 长的弦；
(4)圆心角：顶点在__圆_心____的角叫做圆心角； (5)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆还有另外一个交点的 角叫做__圆__周__角___； (6)等圆：半径__相_等____的圆叫做等圆； (7) 等 弧 ： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 能 够完__全__重__合____ 的 弧 叫 做 等 弧； (8)弦心距：圆心到___弦____的距离，叫做弦心距．
考点一 圆的有关概念及性质
1．圆的有关概念 (1)圆：圆是到定点的距离等于__定__长__的点的集合；这个定 点叫做圆心，这个定长叫做半径；圆心确定了圆的_位__置___，半 径确定了圆的__大_小___； (2)弧：圆上两点间的部分叫做__弧____；小于半圆的弧叫做 __劣__弧__，大于半圆的弧叫做_优__弧___；
所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹的弧___相_等____
过圆心；平分弦；垂直于弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所 推论3 对的优弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另
外三项
【温馨提示】(1)推论3中，由前两个得后三个时，被平分 的弦不是直径；(2)等弧指能完全重合的弧，其度数一定相同， 但度数相同的弧不一定是等弧；(3)在与垂径定理有关的计算 中，一般是将半径、半弦、弦心距结合构造直角三角形，利用 勾股定理求解．
D
课堂练习
3
5A．C＝如2图，，则⊙siOn是B的△值AB是C的( 2外接)圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为 2 ，
3
2 3
课堂练习
6．(中考变式题)如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC. (1)求证：AC平分∠OAB； (2)过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P.若AB＝2，∠AOE＝30°， 求PE的长． (1)证明：∵OA＝OC，∴∠C=∠OAC.∵AB∥OC，
《圆的基本性质》复习宝典
5.有关定理及推论 (1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)垂径定理及其推论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧.
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧.
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧.
推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧.
(3)圆心角、弧、弦、弦心距.
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
(4)圆周角
定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径.
平行弦与圆心的位置
例5.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC 的长分别为 3和 2 ，则∠BAC的度数 是____________。
圆心与角的位置
例6.如图，在平面直角坐标系中，P是经过 O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆 上的一个动点（P与O、B不重合），则 ∠OAB＝_________度，∠OPB＝ _________度。
nπR 弧长计算公式： l= 180°
nπR2 扇形面积计算公式：S= 360°
或 S=l R?
基础知识G----弧、扇形
下图是由直径分别为4cm，6cm和10cm的三个半圆 所组成的图形，求图中阴影部分的周长和面积。
17、已知扇形OAB的圆心角为直角，OA＝4cm，以 AB为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积。
C A
B O
➢在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或 两条弦的弦心距，这四组量中有一组量相等，那么它们所 对应的其余三组量也分别相等。
圆的基本性质复习教案
圆的基本性质复习教案第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：一个平面内，到定点距离等于定长的点的集合。
1.2 圆的性质：1.2.1 圆心到圆上任意一点的距离相等。
1.2.2 圆上任意两点间的弧长相等。
1.2.3 圆的半径与直径互为一半。
1.2.4 圆的周长与直径的比值为圆周率π。
第二章：圆的方程2.1 圆的标准方程：(x-a)²+ (y-b)²= r²，其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。
2.2 圆的一般方程：x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0，其中D²+ E²4F > 0。
第三章：圆的弧与弦3.1 弧：圆上两点间的部分。
3.2 弦：圆上任意两点间的线段。
3.3 弦心距：弦与圆心的连线。
3.4 圆的劣弧与优弧：劣弧为圆心角小于180°的弧，优弧为圆心角大于180°的弧。
第四章：圆的相交弦与切线4.1 相交弦：两条相交的弦。
4.2 直径所对的圆周角为直角。
4.3 切线：与圆只有一个交点的直线。
4.4 切线的性质：切线与半径垂直，切线长度等于半径。
第五章：圆的面积与周长5.1 圆的面积公式：S = πr²。
5.2 圆的周长公式：C = 2πr。
5.3 圆的直径与半径的关系：d = 2r。
5.4 圆的周长与直径的关系：C = πd。
第六章：圆的复合性质6.1 圆的相交弦定理：圆内接于四边形时，对角互补，即任意一对对角的和为180°。
6.2 圆的内接四边形对角互补定理：圆内接四边形的对角互补。
6.3 圆的内接多边形内角和定理：圆内接多边形的内角和为(n-2)×180°，其中n 为多边形的边数。
第七章：圆与直线的位置关系7.1 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
7.2 直线与圆相切：直线与圆有一个交点，且交点为切点。
7.3 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
7.4 直线与圆的交点性质：交点与圆心的连线与直线垂直。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
九年级数学《圆的基本性质复习课》评课稿
九年级数学《圆的基本性质复习课》评课稿
池老师展示的是《圆的基本性质复习课》，课上，池老师以“转”和“折”两个角度引出圆的旋转不变性和轴对称性。
并以圆的旋转性为出发点将弦与圆周角的问题抛出，让学生思考多种求解方法，从而简单的复习圆心角、弧、弦心距、圆周角、弦等知识点的联系以及垂径定理的运用。
在老师的引导下，进一步加深了对圆的基本性质的了解和认识。
本节课，池老师设计的综合型较强的圆与动点问题，是本节课的亮点所在，在给定的条件下，老师先让学生尝试性的出题，然后学生自己解决，课堂效果较好，学生乐学其中。
最后老师出手，将难题抛出，学生独立思考并分析解决。
整堂课，思路清晰，内容循序渐进，符合学生的认知水平。
另外，池老师的将圆的知识结构化，问题设计又充分体现着综合性，结合富有新意的板书，使人印象深刻。
最新版：圆的基本性质复习
3.同圆或等圆中：圆心角、弧、弦三者关系定理
在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧 、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等． 知“一”得“二”，用来
D O
证明：
∵ ∠COD =∠AOB 等角 ∴
︵ =︵ AB CD
AB=CD
等弧 等弦
C A
B
4.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．
F
G
C B2
●
A
B1
D
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。5
B “垂线段OC”看做直径：
构造Rt△，运用 “勾股 定理及垂径定理”解题。
C半弦长4 A
弦心距3 半径
O
【例 2】
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修
人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径。如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水 管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度
AB为直径
∠C= 900
3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 E
F
A
●
O
∵AB=CD ∴∠E=∠F ∵∠E=∠F ∴AB=CD
C
B D 圆周角相等
弧相等
6.圆内接四边形性质定理
圆内接四边形对角和互为补角（1800）； 一个外角等于它的内对角。 C D
内对角
●
外角 E
O
A
B
∵四边形ABCD内接于圆O ∴∠A+∠C=∠B+∠D=1800
为4 cm，求这个圆形截面的半径．
圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课教案seek； pursue； go/search/hanker after； crave； court； woo； go/run after第三章圆的性质1班级__________ 姓名___________复习内容：圆、圆的对称性、圆周角、确定圆的条件.复习要求：1.进一步理解圆及有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系；2.探索圆的性质,了解圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征.复习重点：圆的有关性质的应用复习过程：一.梳理有关知识点：基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：对称性：基本性质垂径定理：圆圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：1同弧或等弧所的圆周角290°的圆周角所对弦是 ,二.基础练习训练：1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞,其中三角形两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于 .2.⊙O的半径为6㎝,OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝,则点A、B、C 与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____,点B在⊙O_______.OACB3. 如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠ACB=40°,则∠AOB=____,∠OAB=_____.4. 如图,方格纸上一圆经过2,5、-2,2、2,-3、6,2四点,则该圆圆心的坐标为A ．2,-1B ．2,2C ．2,1D ．3,1 三、典型例：例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C, 1用尺规作图法,找出弧ABC 所在圆的圆心O 保留作图痕迹,不写作法； 2设△ABC 是等腰三角形,底边BC = 10cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R 结果保留根号；3若在2题中的R 的值满足n 〈R 〈mm 、n 为正整数,试估算m 和n 的值.例2 、1如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm,则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________. 2如图,在⊙O 中,弦AB ＝60,弓高CD ＝9,求圆的半径.3已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点,且PO=4,则过点P 的OA D BCOA D BCABC所有弦中,弦长可取到的整数值共有的条数是 . 例3 、如图所示,AB 是⊙O 的弦,半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F,•且AE=BF,请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系,并给予证明．例4：如图,在⊙O 中,直径AB=10,弦AC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求BC 和AD 的长.例5 、如图,ABC △是⊙O 的内接三角形,AC BC =,D 为⊙O 弧AB 上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =．1求证：AE BD =；2若AC BC ⊥,求证：2AD BD CD +=．O ACＥＡＯＤ Ｂ四、达标检：1．如图,BD 为⊙O 的直径,∠A=30°,则∠CBD 的度数为A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°2．如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD 等于 A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°3．如图,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF 等于 A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°4、如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=40°,则∠OBC 的度数是________5．如图,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 等于____________º.OAC BAB O COBACO BA CE D6.在半径为2的⊙O 中,弦AB 的长为22,则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________7．如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,且AB=6,BC=3． 1求∠BAC 的度数；2如果OE ⊥AC,垂足为E,求OE 的长；3求∠ADC 的度数．课后作业： 一、选择题：1、半径为6的圆中,圆心角α为60°,则角α所对弦长等于• A ．42 B ．10 C ．8 D ．62、若一个直角三角形的两边分别为6和8,则这个直角三角形外接圆直径是B.10或4或83．在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB 与CD 关系是 A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 4．如图,⊙O 中,如果AB =2AC ,那么 ．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 5．如图,AB 和DE 是⊙O 的直径,弦AC ∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________．二、填空1．⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一动点,那么OP 长的取值范围是____.第四题第五题2．如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,O 为圆心,OD ⊥AB,垂足为D,OE ⊥AC,•垂足为E,•若DE=3,则BC=________．3．如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF=_______cm ．4．如图,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,AC=3,则△ABC 的周长为________． 5．在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是2、3,则∠BAC 的度数为_______________.6. 如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM ＝120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 的反向延长线与△ABC 的外接圆交于点F ,连接FB 、FC ,且FC 与AB 交于E , 1判断△FBC 的形状,并说明理由；2请探索线段AB 、AC 与AF 之间满足条件的关系式并说明理由.7.已知：⊿ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,交AC 于E,1如图1,当∠A 为锐角时,连接BE,试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并证明你的结论；2如图1中的边AB 不动,边AC 绕点A 按逆时针旋转,当∠BAC 为钝角时,如图2CA 的延长线与⊙O 相交于E,请问：∠BAC 与∠CBE 的关系是否与1中你所得出的关系相同 若相同加以证明；若不同,请说明理由.FBCDMA E(2)(1)C。
圆的基本性质复习
圆的基本性质1、点与圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜点P在圆；d r 点P在圆上；d＞点P在圆；2、（1）经过一个．．已知点能作个圆；（2）经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？（3）不在同一条直线上的三个点一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；三角形的外心是的交点。
锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在。
2、圆是图形，它的对称轴是。
如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD是直径，CD⊥AB∴（文字描述）垂径定理：。
3、顶点在圆心的角叫做。
圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。
在中，相等的圆心角所对两条弦的相等符号语言在⊙O中：∵∠AOB=∠COD∴(弦相等)(弧相等)(弦心距相等)4、圆心角定理的逆定理：在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。
5、顶点在，角的两边都和圆的角叫做圆周角圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的度数的一半。
已知一条弧所对的圆周角等于70°，则这条弧所对的圆心角是°。
一条50°的弧所对的圆心角是°，圆周角是°。
一条弧所对的圆心角的度数为95°，则这条弧是°，它所对的圆周角是°。
一条弧的度数是180°，则它所对的圆心角是°，圆周角是°。
推论：半圆（或）所对的圆周角是。
推论：90°的圆周角所对的弦是。
5、如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。
性质：圆内接四边形的对角。
圆内接四边形的外角等于它的。
6、在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：公式变形：半径R= 圆心角的度数n=公式运用：（1）半径为3的圆弧的度数为100°，则这条弧长为；（2）半径为5的圆弧长为5π，则这条弧所对的圆心角的度数为；（3）已知圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆的半径为。
圆的基本性质复习(正稿)
③垂直平分弦的直线必定经过圆心。 B D
2.已知⊿ABC内接于半径为1cm的⊙O中，
BC= 3 ，求∠A的度数。
A
60°
A'
O2
60°
1
B
3
C
3.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的
最大距离为a，最小距离为b(a<b),则此
圆的半径为
ab 2
。
O
P
平行的弦 问题1: 已知圆中，弦AB ∥CD，求证：A⌒C=B⌒D。
—圆的基本性质复习错题辨析 Nhomakorabea“同弧”具备“同圆”的条件
1.下列说法正确的“是等弧④”具。备“等圆”的条件
①圆心角相等，所对的弦相等。
②等弧所对的弦相等。 ③弦相等，所对的圆心角相等。 ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 2.下列说法不正确的是 ③ 。 A
C
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
②平分弦的直径平分弦所对的弧。 O
思考：请说出问题1的逆命题，并判断其 真假。
练习：在半径为13的⊙o中，弦AB ∥CD， 且AB=24，CD=10，求AB与CD之间的距离。
F
E
解：过点O作OE⊥CD，延 长EO交AB于点F，连结 OA,OC.
相交的弦 问题1:已知圆中，弦AB 、CD相交于点P， A⌒C=80 °，⌒BD=42 °，求∠APC的度数。
课堂小结
2014年10月13日
思考：在一片弓形的暗礁区域中，A、B表示 两个灯塔，弧AB=100°，要使轮船在航行过 程中不会进入暗礁区，轮船应该沿怎样的路 线航行？如何确定暗礁区的边沿线？
在弦的同侧：圆内角>圆周角>圆外角
尽显才华 已知⊙o中AB是直径，OD是半径，且弦OC∥OD ，连结CD，BD。求证：CD=BD。
圆的基本性质复习精选教学PPT课件
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A O
A O
C
A
D
E
O
B
C A
D O
BHale Waihona Puke 武原中学多媒体电教室制作C D
B
C D B
下一题
17
例3、建于1400年前的河北省赵县的赵州桥，是一座圆弧石拱桥，其设计与工艺 是中外桥梁史上的卓越典范，它的跨径（弧所对的弦长）约为37.0m，拱圈的高 （弧的中点到弦的距离）为7.2m,求桥拱圈的半径 (精确到0.1m).
3、有关按钮说明如下
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没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
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5
A
经过三角形各个顶点的圆
叫做三角形的外接圆.
B
.O
外接圆的圆心叫做三角形 C 的外心.
这个三角形叫做圆的内接
三角形. D
C 如果一个圆经过四边形的各顶点，这 个圆叫做四边形的外接圆。
O 这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
B A
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6
B E A
O
例图
圆的中心对称性和旋转不变性：
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21
例5、 如图， ABC内接于⊙ O，弦CM AB，CN是
直径，F 是AB的中点。
求证：（1）CF平分 NCM
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3
C 30° O
如图,已知∠ACD＝30°， BD是直径,则 ∠AOB=__1_20_°
B
D
C
F
A
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2
O
变式：已知AB 是直径，C，A
B
P，F 是⊙O 上的点，则
∠1+∠2=____
转化思想
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P
4
在 AC半如:B圆图CC弧：=3AA:4BB,上O则为运s⊙in动O∠的(A不B直P与C径=A，如B、DA图B是C重,直、已合径B知)C，,∠则为A弦C∠D，A＝点O3BP0=1°_2，_0_°_
D
C
F
A
变式一：在问题1的条件下，
12
2
O
若C变P关A，式于BF=：直1是已0径⊙，知AO若BA上点对B的P称是点运，直，动P径则到C，=和C点，A D
B
∠1+∠2=____
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P
5
变 中变所求式 点示出式连A二 时三C接：，：吗（圆在(？P31上）点)问求各若仍题A点A是到2B,弧若中P和AB，CPBC的C的=若6交距中，点于点离BP点Q。运(2：Q)动∠P，AACQ到求C=的B弧A3=：长QA1：5B20B的，°Q你如能图
C 6 A
8 10
C
B A
B Q
P P
P
2020/12/10
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收获
一、知识：垂经定理以及逆定理，圆 周角，圆心角定理。 二、思想：方程思想 、转化思想
三、方法：面积法，构造法，参数法
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PPT教学课件