中考数学复习专题八二次函数的综合探究(压轴题)
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
一、二次函数
1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．
【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或． 故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
2019版江西中考数学总复习专题六二次函数的综合探究(压轴题)类型5针对训练
第二部分 专题六 类型五
1．对于直线l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)，有如下定义：我们把直线l2：y＝－1a(x＋b)称为它的“姊线”．若l1与x，y轴分别相交于A，B两点，l2与x，y轴分别相交于C，D两点，我们把经过点A，B，C的抛物线C叫做l1的“母线”．
(1)若直线l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)的“母线”为C：y＝－12x2－x＋4，求a，b的值；
(2)如图，若直线l1：y＝mx＋1(m＜0)，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM，若OM＝56，求出l1的“姊线”l2与“母线”C的函数解析式；
(3)将l1：y＝－3x＋3的“姊线”绕着D点旋转得到新的直线l3：y＝kx＋n，若点P(x，y1)与点Q(x，y2)分别是“母线”C与直线l3上的点，当0≤x≤1时，|y1－y2|≤3，求k的取值范围．
解：(1)对于抛物线y＝－12x2－x＋4，令x＝0，得到y＝4，∴B(0,4)，
令y＝0，得到－12x2－x＋4＝0，解得x＝－4或2，∴A(2,0)，C(－4,0)．
∵y＝ax＋b的图象过点A，B，
∴ b＝4，2a＋b＝0，解得 a＝－2，b＝4.
(2)如答图所示，连接OG，OH.
∵点G，H为斜边中点，∴OG＝12AB，OH＝12CD.
∵l1：y＝mx＋1，∴l1的“姊线”l2为y＝－1m(x＋1)，
∴B(0,1)，A(－1m，0)，D(－1,0)，C(0，－1m)，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，∴OG＝OH.
∵OG＝GB，OH＝HC，
∴∠GOB＝∠ABO，∠HOC＝∠OCD.
∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠ABO＋∠OCD＝90°，
∴∠GOB＋∠HOC＝90°，∴∠HOG＝90°，
∴OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
2020-2021中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合及详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合及详细答案
一、二次函数
1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
103bcc
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3，
2020-2021中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合附答案
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一、二次函数
1．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=32列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【详解】 （1）当y=0时，14033x，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322aca，
解得14ac，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=13x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案解析
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案解析
一、二次函数
1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O
A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
中考数学专项突破——二次函数综合压轴题(word版+详细解答)
中考数学专项突破——二次函数综合压轴题
类型一 线段、周长最值问题
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2的图象与x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.
（1）求直线AC的解析式；
（2）求△PQD周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，连接AM，PN，若MN＝1，求PN＋MN＋AM的最小值．
第1题图
解：（1）令y＝0，即x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2，
∴A(－1，0)，B(2，0)，
令x＝0，则y＝－2，
∴C(0，－2)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∵直线过点A、C，
∴2bbk0，解得k＝－2b＝－2，
∴直线AC的解析式为y＝－2x－2；
（2）∵BO＝CO，∠BOC＝90°，
∴∠ABC＝45°，∠ACO＝∠EPQ，
∴tan∠EPQ＝tan∠ACO＝12，
如解图①，过点Q作QH⊥PE，垂足为H.
设QH＝a，则PH＝2a，DH＝a，PD=PH+DH=3a，a＝13PD，
∵B（2,0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为y=x-2，
设P(m，m2－m－2)，D(m，m－2)，
∴PD=m-2-（m2-m-2）=-m2+2m，
∴C△PQD＝PQ＋QD＋PD＝(5＋2＋3)a＝5＋2＋33PD，
C△PQD＝5＋2＋33PD＝5＋2＋33(－m2＋2m)＝－5＋2＋33(m－1)2＋5＋2＋33，
∴当m＝1时，△PQD的周长最大，且最大值为5＋2＋33，此时P(1，－2)；
（3）把点A向下平移1个单位到点A′，则A′(－1，－1)，如解图②，连接A′P，
∴AM＋MN＋PN的最小值＝A′P＋MN＝5＋1.
第1题解图① 第1题解图②
2020-2021中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合及答案解析
2020-2021中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合及答案解析
一、二次函数
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=14，
∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
214114yxyxx＝＝，解得：11114xy＝＝，2241xy＝＝，
2020-2021备战中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
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一、二次函数
1．如图，已知抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线1x，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C.
（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴1x上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为223yxx，直线的解析式为3yx=+.（2）(1,2)M；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或317(1,)2或317(1,)2.
【解析】
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：1203baabcc，解得：123abc，
∴抛物线的解析式为223yxx.
∵对称轴为1x，且抛物线经过1,0A， ∴把3,0B、0,3C分别代入直线ymxn，
得303mnn，解之得：13mn，
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，过A1,0、B3,0作x轴的垂线，分别交直线y4x于C、D两点.抛物线2yaxbxc经过O、C、D三点．
1求抛物线的表达式；
2点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
3若AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
【答案】（1）2413yxx33；（2）32或3322或3322；（3）13．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|43x2﹣4x|；解方程|43x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S16（t﹣1）213；当t=1时，s有最大值为13．
【详解】
（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，∴3931abab，解得43133ab，∴抛物线的表达式为：y43x2133x．
（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k13，∴直线OD解析式为y13x．
设点M的横坐标为x，则M（x，13x），N（x，43x2133x），∴MN=|yM﹣yN|=|13x﹣（43x2133x）|=|43x2﹣4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3，∴|43x2﹣4x|=3．
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p
【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m的取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p
【详解】
（1）解：抛物线与x轴有2个交点。理由如下：
∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．
∴抛物线与x轴有2个交点
（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上
∴抛物线的对称轴x=5122nn
∴ 221m=2,即m=-2．
∴抛物线的表达式为y=x2-4x．
∴点A（0，0），点B（4，0）或点A（4，0），点B（0，0），点M（2，-4）