中考数学复习专题8二次函数与几何图形的综合(精讲)课件
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专题8 二次函数与几何图形的综合
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九年级数学上册人教版(课件)：22.3.2 二次函数与几何综合运用
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？
分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能 应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画 现实世界的有效数学模型．
重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题． 难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 S＝
60－ 2 x·x＝－x22＋30x. 提问 4：当 x＝30 时，S 取最大值．此结论是否正确？ 提问 5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18. 提问 6：如何求最值？ 答案：由于 30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当
答案：x＝－2ba＝－2×（6－ 0 2）＝15 时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩 形的ห้องสมุดไป่ตู้、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
一、引入新课 上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共 同研究二次函数与几何的综合应用．
中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件
10
即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。 一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标 线段长，线段长 点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式 点坐标 线段长 面积
及其它。
（压轴题07） 点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的 新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。 则DM=2a，CM=2b。 所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
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表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
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初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
最新中考数学教材全册知识点梳理复习 13.二次函数的图形、性质及应用 课件PPT
过点A（1，1）.若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的解析式，并求当0≤x≤3
时，y2的最大值.
解：（2）∵函数y1的图象经过点A（1，1），
∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1，
∴y1＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.
解法一：∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1＋y2＝k（x－1）2＋1（k＞0），
∴S△OBD＋S△ACE＝ BD·xB＋ CE·（xA－xC）
得ቊ
＝ − ，
＋ + = ，
解得ቊ
= .
+ + = ，
（3）平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线
与y轴交点纵坐标的最大值.
解：（3）由（2）知，抛物线为y＝－x2＋2x＋1.
设平移后的抛物线为y＝－x2＋px＋q，其顶点坐标为
， ＋
∵顶点仍在直线y＝x＋1上，
.
∴ ＋q＝ ＋1，∴q＝－ ＋ ＋1.
∵抛物线y＝－x2＋px＋q与y轴交点的纵坐标为q，
2
∴q＝－ ＋ ＋1＝－ （p－1） ＋ ，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值为 .
4.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx ≠ 0 经过点A 3，3 ，
∴x1＝1－ ，x2＝1＋ .
∴线段AB的长为x2－x1＝（1＋ ）－（1－ ）＝2 .
由3（x－1）2＝m，得（x－1）2＝ ，
时，y2的最大值.
解：（2）∵函数y1的图象经过点A（1，1），
∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1，
∴y1＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.
解法一：∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1＋y2＝k（x－1）2＋1（k＞0），
∴S△OBD＋S△ACE＝ BD·xB＋ CE·（xA－xC）
得ቊ
＝ − ，
＋ + = ，
解得ቊ
= .
+ + = ，
（3）平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线
与y轴交点纵坐标的最大值.
解：（3）由（2）知，抛物线为y＝－x2＋2x＋1.
设平移后的抛物线为y＝－x2＋px＋q，其顶点坐标为
， ＋
∵顶点仍在直线y＝x＋1上，
.
∴ ＋q＝ ＋1，∴q＝－ ＋ ＋1.
∵抛物线y＝－x2＋px＋q与y轴交点的纵坐标为q，
2
∴q＝－ ＋ ＋1＝－ （p－1） ＋ ，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值为 .
4.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx ≠ 0 经过点A 3，3 ，
∴x1＝1－ ，x2＝1＋ .
∴线段AB的长为x2－x1＝（1＋ ）－（1－ ）＝2 .
由3（x－1）2＝m，得（x－1）2＝ ，
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
初三二次函数ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数的图像是一条抛物线，其形状由系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 通过在坐标系中描出抛物线上的点，可以绘制出完整的二次函数图像。此外，也可以使用数学软件来绘制二次函 数的图像，以便更好地理解和分析函数的性质。
02
二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
数学题目中的二次函数应用
最大值和最小值问题
在数学题目中，二次函数经常被用来解决求取最大值或最小值的 问题，例如利润最大化、费用最小化等。
几何图形问题
二次函数也常用于解决与几何图形相关的问题，例如求取图形面积 、体积等。
代数方程求解
二次函数在代数方程求解中也有广泛应用，例如解二次方程、求取 函数的零点等。
由二次函数的系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。
详细描述
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a是二次项系数，b是一次项系数， c是常数项。根据a的正负，可以判断二次函数的开口方向。当a>0时，抛物线向 上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
值范围。
03
二次函数的应用
生活中的二次函数应用
抛物线型拱桥
音乐和声学
在建筑设计中，二次函数可以用来描 述抛物线型拱桥的形状，以优化受力 分布和美观效果。
音乐中的和声学中，二次函数用于描 述音调和音阶之间的关系，以创造出 和谐的音乐。
投射和反射
二次函数在光学和视觉艺术中可用于 描述光线在平滑表面上的投射和反射 ，例如制作电影或游戏中的特效。
区间测试法
二次函数的图像是一条抛物线，其形状由系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 通过在坐标系中描出抛物线上的点，可以绘制出完整的二次函数图像。此外，也可以使用数学软件来绘制二次函 数的图像，以便更好地理解和分析函数的性质。
02
二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
数学题目中的二次函数应用
最大值和最小值问题
在数学题目中，二次函数经常被用来解决求取最大值或最小值的 问题，例如利润最大化、费用最小化等。
几何图形问题
二次函数也常用于解决与几何图形相关的问题，例如求取图形面积 、体积等。
代数方程求解
二次函数在代数方程求解中也有广泛应用，例如解二次方程、求取 函数的零点等。
由二次函数的系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。
详细描述
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a是二次项系数，b是一次项系数， c是常数项。根据a的正负，可以判断二次函数的开口方向。当a>0时，抛物线向 上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
值范围。
03
二次函数的应用
生活中的二次函数应用
抛物线型拱桥
音乐和声学
在建筑设计中，二次函数可以用来描 述抛物线型拱桥的形状，以优化受力 分布和美观效果。
音乐中的和声学中，二次函数用于描 述音调和音阶之间的关系，以创造出 和谐的音乐。
投射和反射
二次函数在光学和视觉艺术中可用于 描述光线在平滑表面上的投射和反射 ，例如制作电影或游戏中的特效。
区间测试法
2024年中考数学一轮复习课件--二次函数的图象和性质(70张PPT)
y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（ B ）
A.m＜－3
B.m＞－3
C.m≤－3
D.m≥－3
类型二 二次函数解析式的确定及图象的平移
9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，得到的图象解析式为（ A ）
2
2
A.y＝－3（x－2） －1
B.y＝－3（x＋2） －1
C.y＝－3（x－1）2＋2
时 ， y 随 时 ， y 随
x的增大 x 的 增 大
减小
增大
而
； 而
；
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k（a，
h， k是常数，
a≠0）
在 对 称
轴
右
增 侧 ， 即
减 当 x ＞ h
性 时，y随x
的 增 大
而 增大
在 对 称
轴右侧，
即当x＞h
时，y随x
的 增 大
而 减小
交点式：y＝a
一般式：y＝ax ＋bx＋c
5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，
m，k是实数），则（ A ）
A.当k＝2时，函数y的最小值为－a
B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C.当k＝4时，函数y的最小值为－a
D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a
6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过
①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关
注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；
②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，
其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.
A.m＜－3
B.m＞－3
C.m≤－3
D.m≥－3
类型二 二次函数解析式的确定及图象的平移
9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，得到的图象解析式为（ A ）
2
2
A.y＝－3（x－2） －1
B.y＝－3（x＋2） －1
C.y＝－3（x－1）2＋2
时 ， y 随 时 ， y 随
x的增大 x 的 增 大
减小
增大
而
； 而
；
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k（a，
h， k是常数，
a≠0）
在 对 称
轴
右
增 侧 ， 即
减 当 x ＞ h
性 时，y随x
的 增 大
而 增大
在 对 称
轴右侧，
即当x＞h
时，y随x
的 增 大
而 减小
交点式：y＝a
一般式：y＝ax ＋bx＋c
5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，
m，k是实数），则（ A ）
A.当k＝2时，函数y的最小值为－a
B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C.当k＝4时，函数y的最小值为－a
D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a
6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过
①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关
注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；
②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，
其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.