经典例题讲解——函数对称性与零点(老黄讲数学)
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数的零点，即函数在坐标系中与x轴交点的横坐标值。
在数学中，求解函数的零点是一个常见的问题，也是解决方程、求解实际问题的重要一环。
在这篇文章中，我们将对函数零点问题进行一些分析与思考，探讨不同类型函数的零点求解方法，以及如何利用零点求解问题。
一、基本概念我们来回顾一下函数的零点的基本概念。
对于一个函数f(x)，其零点即为使得f(x)=0的x值。
通常来说，我们可以通过以下几种方法求解函数的零点：1. 图像法：通过绘制函数的图像，找到函数与x轴的交点；2. 方程法：将函数f(x)化为方程f(x)=0，然后通过解方程求解得到零点；3. 迭代法：利用数值计算方法逼近函数的零点。
这些方法都是常见的零点求解方法，在实际问题中也常常会用到。
下面，我们将结合不同类型的函数，来分析如何利用这些方法求解函数的零点。
二、线性函数的零点求解举个例子来说，我们考虑函数f(x)=2x-3，我们需要求解函数f(x)的零点。
我们可以将函数化为方程2x-3=0，然后通过解方程的方法来求解得到x=3/2。
这样，我们就得到了函数f(x)的零点为x=3/2。
接下来，我们来看一下多项式函数的零点求解。
对于一个n次多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an≠0，我们可以通过多种方法来求解其零点。
我们也可以利用迭代法来逼近多项式函数的零点。
通过不断迭代计算，我们可以逼近多项式函数的零点。
这在计算机科学和数值计算中经常会用到。
四、三角函数和指数函数的零点求解除了线性函数和多项式函数，我们还可以考虑三角函数和指数函数的零点求解。
对于这两类函数，我们通常会采用迭代法来逼近函数的零点。
对于函数f(x)=sin(x)，我们可以通过不断迭代计算，利用泰勒级数展开式来逼近函数的零点。
对于指数函数f(x)=e^x，我们也可以利用迭代法来逼近函数的零点。
五、零点求解在实际问题中的应用我们来思考一下零点求解在实际问题中的应用。
考前送招，不看后悔：零点对称有妙解
考前送招，不看后悔：零点对称有妙解2017年全国卷考到了下面这道函数题.1命题人的意图全国卷的命题，要考虑到各省市的情况，所以命题比较稳定、可预测.拿小题来说，越靠后的题目会越难，这一点好理解.更重要的事情是，小题难题设置的目标，是考察学生灵活处理新问题的能力，并不是让你死算.要大算的地方有，但不是在这里，比如圆锥曲线综合题就承担了考察学生运算能力的任务.所以，小题要综合运用数形结合、特殊极限、选项比较等综合手段巧解巧算.2多思少算回到本题.观察所给函数的特点.不难看出，这个函数的图象关于x=1对称.既然函数图象关于x=1对称，那么函数的零点也必然关于x=1对称.也就是说，如果在x=1的左边有一个零点，那么在x=1的右边也应该有一个对称的零点.这样说来，零点的个数不应该是偶数个吗？为什么题目告诉我们，只有一个零点呢？稍加思考，我们恍然大悟：原来1就是函数的一个零点.所以f（1）=0，计算得a=½，选C.3故伎重演1：零点、交点的平均值2016年全国卷第12题：分析：由函数方程f（-x）=2-f（x），我们知道，f（x）的图象是关于（1,0）对称的.然后，我们画出y=（x+1）/x，发现它的图象也是关于（1,0）对称的.于是，它们的交点也关于（1,0）对称.故，交点的横坐标的平均值是1，纵坐标的平均值是0.4故伎重演2：反向利用零点对称2013年全国卷第16题.分析：函数f（x）有两个明显的零点：1和-1.因为函数图象关于x=-2对称，所以零点也关于x=-2对称.于是，我们轻松地找到了另外两个零点：-5和-3.这样，我们就能够秒写函数的解析式.求函数的最大值，我们当然可以求导.也可以不求导，还是利用式子的对称性，实现速解.经验证，取等条件可以取到.5今年考不考？大家看到了吗？这一类经典问题，反复考，从不同角度考，正反考，为什么是这样呢？当然，首先是因为，这个内容是函数的重点和热点.更重要的是，教育部考试中心有个专家库，每年从这些库里抽人出题，为保证命题的稳定性，通常每隔几年换一拨人.你可能问我：今年考不考这类的题目？我也不知道.谁知道这拨人换没换呢？准备一下总是有必要的.时间紧迫，如果你身边有参加高考的孩子，转发给他们看看.。
高中数学讲义：函数零点的性质问题
函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数()f x 的零点Þ方程()0f x =的根¾¾¾¾®方程变形方程()()g x h x =的根Þ函数()g x 与()h x 的交点2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x L ，将关于12,,x x L 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。
将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）A.()+¥ B.)é+¥ë C.()3,+¥ D.[)3,+¥思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=ìï>í=ïî，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e -ì=-=ìïÞíí==ïîî，所以122t t a b e e+=+，而0te >，所以()123,t t e e+Î+¥答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。
说题：利用函数的对称性解决函数零点问题
1
数学思想
（1）转化划归思想 （2）函数与方程思想 （3）数形结合思想
数学方法——函数图象的对称性
（09年山东理16题）已知定义在R上的奇函数 f ( x 4 ) ，且在区间[0，2]上是增 f ( x) 满足 函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间 [-8，8]上有四个不同的根 x1, x 2 , x 3 , x 4 , 则 x1 x 2 x 3 x 4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
说试题立意
• 考查方程的根与零点
• 考查函数图象的对称
• 考查数形结合的思想 • 考查函数与方程的思想
《高中数学考试大纲》：结合二次函数的图
像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元
二次方程根的存在性及根的个数。
• 函数的零点与方程根 课本：必修一P88 例1 求函数 f ( x ) ln x 2 x 6 的零点个数
函数 f ( x ) x 2 x , 3
2
,若函 g (x) m
数f(x)与g(x)有两个交点 x 1、x ,求m的取值 2
范围及 x 1 x 2的值
• 解析：y 1 x 的对称中心是（1,0）也是 y 2 sin x ( 2 x的中心，他们的图像在x=1的左侧 4) 有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们 x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 的横坐标由小到大设为 ，则 x 所以选D1 x 8 x 2 x 7 x 3 x 6 x 4 x 5 2
利用函数的对称性解决函数零点问题
周述斌
• 2011年全国高考ຫໍສະໝຸດ 学新课标卷第12题 函数y 1 x 1
零点的判定典例精讲
零点的判定典例精讲例1：函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -⎛⎫⎛⎫-=+⋅--=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()020f =-<11232022f ⎛⎫=+⋅-=< ⎪⎝⎭()12310f e e =+-=->()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,e D.(),e +∞思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
1x →时，()ln 1x -→-∞，从而()f x ⇒-∞，313ln 0222f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：A例3：已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（）A.()()120,0f x f x <<B.()()120,0f x f x <>C.()()120,0f x f x >< D.()()120,0f x f x >>思路：条件给出了()f x 的零点，且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数，所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>=答案：B例4：已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n =________思路：由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数，所以0x 是唯一的零点。
透视高考中“函数零点”问题
（x-1）x2- k x2＝x2（x- k+２ ）.
２
２
取 x0＝k+1， 则 f（x0）＞0. 又 k+1＞k-1＞lnk（k＞1）， 此时函数 f（x）在（lnk，x0）内只有一个零点.
综上所述， 当 k＞0 时， 函数 f（x）＝（x-1）ex- k x2 在 R 上只 ２
（Ⅱ）
当
x∈[
仔 4
，
仔 2
]
时，
证明：
f（x）+g（x）（
仔 2
-x）≥0；
（Ⅲ）
设
xn
为函数
u（x）＝f（x）-1在区间（2n仔+
仔 4
，
2n仔+
仔 2
）
内的零点，
其中 n∈N. 证明：
2n仔+
仔 2
-xn＜
e-2n仔 sinx0-cosx0
.
解析：
（Ⅰ）
易得 f（x）的单调递增区间是
[2k仔-
零点是-3， 3， 符合条件. 此时 f ′（x）=3（x+3）（x-1）， f（x）的极
小值是 f（1）=-32.
当 b＝1，
2a+b 3
＝-3
时，
a＝-5，
不合题意. 当 b＝1，
2a+b 3
＝3
时， a＝4 不合题意.
当
b＝3，
2a+b 3
＝1
时，
a＝0，
不合题意.
当
b＝-3，
2a+b 3
＝3时，
高考数学复习压轴题专题讲解05 与函数的对称性相关的零点问题
【解析】由圆方程 ，可得 ，圆心坐标为(−3, 2)
，其对称中心为(−3, 2).
在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：
数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3, 2)对称，
故可得其交点A和C，B和D都关于点M(−3, 2)对称.
6.【答案】B
【分析】该题设计抽象函数 关于点 成中心对称，函数 由奇函数 向上平移一个单位得到，也关于点 成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点 成中心对称， ，考虑倒序相加法，可得 ， ，故 .
7.【答案】2020
【提示】两边取自然对数得
设 ，则易得其为 上的单增奇函数
所以 ，
故 .
8.【答案】
设 ，显然 关于直线 对称，顶点为 .
若 ，则函数 关于直线 对称，且在 上是减函数，在 上是增函数，最大值为 ， .
若 的图象与 的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以， 不合题意；
若 ，函数 关于直线 对称，且在 上是增函数，在 上是减函数，最小值为 .若 的图象与 的图象只有一个公共点，必有 ，得 .
故 ，
所以 .
9.【答案】 或
10.【答案】A
点评：
f(0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.
【巩固训练】
1.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx－ax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是.
2.若函数 的零点有且只有一个，则实数 .
3.若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．
函数专题：利用函数对称性看函数零点问题
导数专题从图象的对称性入手解决两函数图象交点问题在函数的零点问题中，有一类题型依附于函数的对称性命题，通过函数图象的对称性分析得到函数零点（图象交点）的对称性，从而求得零点个数（零点之和）等。
【2011课标卷12题】函数11 yx=-的图像与函数2sin(24)y x xπ=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【答案】D【解析】如图函数和的对称中心均是（1,0）它们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。
不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以和为8.【题后反思】该题需要从以下几个方面突破难点：（1）分式函数的对称中心会求么?（2）两图象交点中的特殊点能把握么？（3）能否意识到图象交点的对称性？【2016理数全国Ⅱ卷12题】已知函数()()f x x R∈满足()2()f x f x-=-,若函数1xyx+=与()y f x=的图象的交点为11(,)x y,22(,)x y,…, (,)m mx y,则1()mi iix y=+∑等于( )11yx=-2sin(24)y x xπ=-≤≤1,2345678,,,,,,x x x x x x x x182736452x x x x x x x x+=+=+=+=A.0B. mC. 2mD. 4m【答案】B 【解析】由()()2f x f x -=-,知函数() f x 的图像关于点()0,1对称, 而函数111x y x x+==+的图像也关于点()0,1对称, 因此函数1x y x +=与函数()y f x =图象的交点成对出现, 且关于()0,1对称,则110,m m i i i i x y m ====∑∑,所以()1mi i i x y m =+=∑.【题后反思】在该题中，特别要注意抽象函数所体现出的对称性，充分结合两个函数的公共对称中心解题。
【模考题】在平面直角坐标系xOy 中，如果相异两点),(),,(b a B b a A --都在函数)(x f y =的函数图象上，那么称B A ,为函数)(x f 图象上的一对关于原点对称的点对（B A ,与A B ,为同一点对）。