中国电子科技大学量子力学典型考题.doc
量子力学真题和答案解析
量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
中科院量子力学题90-11
a 2
中国科学院研究生院 2010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 811 ） 试题名称：量子力学（ 试题名称：量子力学（811 811）
ˆ、B ˆ 与泡利算符对易，证明： 一、 （1）设 A ˆ )(σ ˆ ⋅B ˆ ⋅B ˆ) = A ˆ + iσ ˆ) ˆ⋅A ˆ ⋅B ˆ(A (σ ˆ、σ ˆ 为单位算符。 ˆ x + iσ ˆ y ) 2 表示成 I ˆ x、σ ˆ y、σ ˆ z 的线性叠加， I （2）试将 ( Iˆ + σ
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
0 ⎤ ⎡1 λ ⎢ ˆ 三、 在 H = ⎢λ 3 0 ⎥ 中的粒子的本征值， 设 λ ≪ 1， 利用微扰求其本征值 （精 ⎥ ⎢0 0 λ − 2⎦ ⎥ ⎣ ⎧ 0, 0 < ϕ < ϕ0 ，求粒 other ⎩∞,
确到二级近似） ，并与精确求解相比较。
⎡ cos θ e −iωt ⎤ ⎡1 ⎤ ℏ 四、两个自旋为 的粒子，两个粒子分别为 X 1 = ⎢ ⎥ , X 2 = ⎢ ，求系统处 − iωt ⎥ 2 ⎣0 ⎦ ⎣ sin θ e ⎦
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.*ψ一定也是该方程的一个解；B.*ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA. ih∧z lB. ih∧z lC.i∧x l D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA.ψ 一定不是∧B 的本征态； B.ψ一定是 ∧B 的本征态； C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA.)1(21+N N ； B.)2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
中科院考研量子力学真题
中科院考研量子力学真题量子力学是现代物理学的重要分支，掌握其基本原理和应用是物理学研究的基础。
为了更好地理解和掌握量子力学的知识，我将对中科院考研量子力学真题进行分析和解答。
一、选择题1. 在电子在角动量z分量上的本征值问题中，其量子数m取值范围是：A. m = 0B. m = -1, 0, 1C. m = -1/2, 0, 1/2D. m = -l, -l+1, ..., l-1, l解析：根据角动量量子数的定义，对于给定的角量子数l，m的取值范围是从-l到l的整数。
因此，选项D是正确答案。
2. 下列哪个量不是量子力学的基本物理量？A. 动量B. 势能C. 能量D. 时间解析：量子力学的基本物理量包括动量、位置、角动量、能量和时间。
在这些选项中，只有时间是与经典物理学中的概念相对应的。
因此，选项D是正确答案。
二、填空题1. 一束光照射到金属表面上，当光的频率大于(小于)某个临界频率时，光电效应才会发生。
解析：根据光电效应的规律，只有光的频率大于某个临界频率时，光电子才能从金属表面被释放出来。
因此，答案中应填写“大于”。
2. 根据ABC关系，一个粒子以速度v飞过Y轴上的电磁场，其在Z轴上的磁感应强度为B，则在X轴上的电场强度为E = (v/c)B。
解析：根据ABC关系，当一个粒子以速度v通过电磁场时，其在垂直于速度方向的电场强度为E = (v/c)B。
因此，答案为E = (v/c)B。
三、简答题1. 请简述光电效应的基本原理。
解析：光电效应是指当光照射到金属表面时，如果光的频率大于某个临界频率，光的能量将被金属表面的电子吸收，电子从原子中解离出来形成自由电子。
其基本原理包括两个方面：首先，光的能量以量子的形式存在，被吸收的电子获得能量的大小与光的频率有关，而与光的强度无关；其次，金属中的电子形成了带电粒子，受到光电场的作用，从而在电场中运动。
2. 什么是波粒二象性？请举一例进行说明。
解析：波粒二象性是指微观粒子既表现出波动性，又表现出粒子性的性质。
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
量子力学试题及答案合集 周世轩
总分
一、填空题（25分）
1、(4分)微粒的粒子性(E、 P )与波动性(, 或, k) 间的关系为E=
和P
。
2、(3分)按照波函数的统计解释，描述单粒子量子体系的波函数 x 常
称为概率波， x 2 表示概率密度，其意义是 x 2 xyz 表示
在r处的体积元 xyz 中找到粒子的
， x 2d 1称
2、(10分)证明处于1s的氢原子的电子在距离原子核的距离为a0的球
壳上被发现的概率最大。(a0为玻尔第一轨道半径)
四、计算 (45分) 1、（15分）设体系处在 c1Y11 c2Y10 的状态中，式中c1和c2为常数。 （1）将此波函数归一化；（2）求力学量L2的确定值；（3）求力学 量LZ的可能值和取这些可能值的概率以及LZ的平均值。
，
B
2 i
，则
B
A
i
1
6、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足
； ；泡利
算符ˆ xˆ yˆ z ＝
；
7、(3分)粒子的波函数为 eikx ，则其几率流密度为
；
8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密顿
2 1 0
算符用矩阵 H 1
2
0
表示。则当测量系统的能量时，能量的可
在 x 态下，测得力学量的值必定位于力学量的本征值值谱之中。
三、证明题（15分）
1、（5分）证明： F
3 i
i 3
3 i
3i F
故矩阵F为厄密矩阵。
2、（10 分）证明：处于(n，l)态的氢原子中的电子，距离原子核的距离为 r 的球
壳上出现的径向概率密度为：nl r Rn2l rr 2
量子力学复习题及答an答案比较全
量子力学期末考试辅导一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。
能级分立。
非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。
能级分立。
2. 简并、简并度。
答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。
把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。
解：()⎰∞Ω=022,,dr r r d P ϕθψ4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。
解：()ϕϕθψθθππd r d dr r P ⎰⎰=2022,,sin5. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
解： ()⎰Ω=adr r r d P 022,,ϕθψ6. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。
解：()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
解：!2,)()(2/22n A x H eA x nn n x n n ⋅==-πααψα,2,1,0,21=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n E n ω 8. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ 9. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。
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电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试
量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日
课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分
一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为：
k
p E
==ω。
（没有写为矢量也算正确）
2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r 点处小体积元d τ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 （|Ψ|2） 成正比。
3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 移动 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 分裂 。
4、任意两个力学量A 和B 有共同的本征函数，则]ˆ,ˆ[B A
= 0 ，表明A ˆ和B ˆ 对易 。
5、力学量F 的算符是 厄密 算符，其本征函数系组成 正交归一完备系 。
6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。
7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。
8、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x)，其定态薛定谔方程为
)()()2
2(2222x E x x k dx d m n n n ψψ=+- ，与ψn (x)相对应的能量为ω )2/1(+n 。
9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为)(22
322212
2
2n n n ma E ++=
π，能量最低的三个能态的简并度分别
为 1，3，3 。
（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。
∇-=====
i p r r z z y y x x ,,,, （任意5个，正确一个1分）
2、简述测不准原理及其意义。
（答对1或2个给1分，3
个全对给2分）
测不准原理：粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。
2/ ≥∆⋅∆x p x （3分) （更一般意义上，对于力学量A 和B ，若A 和B 不可对易，且C i B A
=],[，
则存在测不准关系： 2/C B A ≥∆⋅∆ ）
意义：波粒二象性的反映；反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。
（2分） 3、什么是斯塔克（Stark ）效应？试用微扰理论解释斯塔克效应。
斯塔克（Stark ）效应是指：原子在外电场作用下，它所发射的光谱谱线
会发生分裂。
（2分）
解释：不考虑自旋时，氢原子n ＝2的能级4度简并，电子从E 2能级跃
迁到E 1能级只产生一条谱线。
当受到外加电场作用后，4度简并的E 2能级发生分裂形成3个能级，从而形成3条光谱谱线。
（3分）
4、计算对易子],
[dx
d x 。
假设ψ为任意一个波函数，（2分）
ψψψψ-=-=)(],
[x dx
d
dx d x dx d x （2分） 所以 1],[-=dx d
x （1分）
三、计算题（1，2，3题每题15分，4题5分，共50分）
1、氢原子处于状态),()(3),()(),,(1,1210,020ϕθϕθϕθψ-+=Y r R Y r R r ，试求： （1）能量算符H
，角动量平方算符2
L 和角动量z 分量算符z L
的可能取值； （2）上述三个力学量取各可能值的几率； （3）上述三个力学量的平均值。
该波函数未归一化，首先归一化。
假设归一化波函数为)],()(3),()([),,(1,1210,020ϕθϕθϕθψ-+=Y r R Y r R A r 则有：A 2（1＋3）＝1，所以 A ＝1/2 归一化波函数为)],()(2
3),()(21),,(1,1210,020ϕθϕθϕθψ-+=
Y r R Y r R r （2分） （1） 能量算符的可能取值：E 2 （1分）
角动量平方算符的可能取值：0，2
2 （2分，每个1分） 角动量z 分量算符的可能取值：0， - （2分，每个1分）
E 1
E 2
（2） 能量算符取E 2的几率：1 （1分）
角动量平方算符取0的几率： 1/4 （1分） 取22 的几率：3/4 （1分）
角动量z 分量算符取0的几率：1/4 （1分） 取 -的几率： 3/4 （1分）
（3） 能量平均值： E 2 （1分）
角动量平方平均值： 2
23 （1分） 角动量z 分量平均值： 4
3
- （1分）
2、粒子在势能为
⎝⎛>≤≤<=)
()0(0)0()(00
a x V
a x x V x V 的势阱中运动，粒子的能量E<V 0
，写出以上三个区域的定态
薛定谔方程和波函数的通解。
对于图中的三个区域，各个区域的定态薛定谔方程分别为：
①区间： 11012
2
22ψψψE V dx d m =+-
（2分） ②区间： 222
2
22ψψE dx d m =- （2分） ③区间： 33032
2
22ψψψE V dx
d m =+- （2分） 分别求解各个区间的定态薛定谔方程，可以得到：
x k x k e A e A 1
1
211+=-ψ x ik x ik e B e B 22212+=-ψ x k x k e C e C 11213+=-ψ （每个2分）
其中，
2
021/)(2 E V m k -=
222/2 mE k =
根据波函数有限的条件可以得到各个区间波函数的通解：
x k e A 1
21=ψ x ik x ik e B e B 22212+=-ψ x k e C 113-=ψ
（每个1分）
3、运动的粒子处于⎩
⎨
⎧<≥-=000
)exp(x x x Ax λψ所描述的状态，其中λ>0。
求：
（1）归一化常数A ；
（2）在何处发现粒子的几率最大； （3）动量的平均值。
0 a
V 0
① ② ③
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（1
!
+∞
-=
⎰
m ax
m a
m dx e
x ） （1）归一化：
10
222
=⎰∞
-dx e x A
x λ （3分） 2/32λ=A （2分）
（2）粒子在空间出现的几率密度为：x
e
x x W λλψ22
3
2
4||)(-== （2分）
0)(=x W dx d 解得 λ
1
,,0321=∞==x x x （2分） 根据物理意义，粒子出现几率最大位置：λ
1
3=x （1分）
（3）动量的平均值：
]3
)2(!
2)2(1[][][)(),(2
20
2222
=--=--=--=
-=⎰⎰∞
+--∞
+---λλλλλψψλλλλλA i dx e x xe A i dx
xe e A i Axe
dx
d i p x x x x x
（中间过程，2分）
（答案1分）
4、粒子处于状态：)cos()(kx A x =ψ，求粒子的平均动量和平均动能。
)(22
)
21
21(22)2()cos()(//k k kx i kx i ikx ikx A e e A e e A kx A x ---+=+=+==φφππππψ
其中，k φ和k -φ是动量的本征函数
归一化：1)11()22
(2=+ πA
所以 π/1=A )(22)(k k x -+=φφψ （3分） 动量平均值：0)(2
1
21=-+=k k p （1分）
动能平均值：m
k m k m k T 2212)(212)(2
222 =⋅-+⋅= （1分）
（2分）。