最新高三数学专题复习资料集合
第一节集合
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1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b?A.
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集及其符号表示
2.集合间的基本关系
B
A
B 3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A ∪B =A ?B ?A ,A ∩B =A ?A ?B ;
(2)A ∩A =A ,A ∩?=?;
(3)A ∪A =A ,A ∪?=A ;
(4)A ∩?U A =?,A ∪?U A =U ,?U (?U A )=A .
1.集合A ={x |x 2=0},B ={x |y =x 2},C ={y |y =x 2},D ={(x ,y )|y =x 2}相同吗?它们的元素分别是什么?
提示:这4个集合互不相同,A 是以方程x 2=0的解为元素的集合,即A ={0};B 是函数y =x 2的定义域,即B =R ;C 是函数y =x 2的值域,即C ={y |y ≥0};D 是抛物线y =x 2上的点组成的集合.
2.集合?,{0},{?}中有元素吗??与{0}是同一个集合吗?
提示:?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素0的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合.?与{0}不是同一个集合.
3.对于集合A,B,若A∩B=A∪B,则A,B有什么关系?
提示:A=B.假设A≠B,则A∩B A∪B,与A∩B=A∪B矛盾,故A=B.
4.A∩B=?的充要条件是A=B=?吗?
提示:不是.A=B=??A∩B=?;A∩B=??/ A=B=?.
5.若A中含有n个元素,则A有多少个子集?多少个真子集?
提示:有2n个子集,2n-1个真子集.
1.(A.广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( ) A.{0,1} B.{-1,0,2}
C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}
解析:选C M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合,故M∪N={-1,0,1,2}.
2.(A.北京高考)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{0,1}
C.{0,2} D.{0,1,2}
解析:选C ∵A={x|x2-2x=0}={0,2},∴A∩B={0,2},故选C.
3.(教材习题改编)设A={-1,1,5},B={a+2,a2+4},A∩B={5},则实数a的值为( )
A.3 B.1
C.±1 D.1或3
解析:选D 因为A∩B=5,所以a+2=5或a2+4=5.当a+2=5时,a=3;当a2+4=5时,a=±1,又a=-1时,B={1,5},而此时A∩B={1,5}≠{5},故a=1或3.
4.满足{0,1,2}A?{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________.
解析:集合A除含元素0,1,2外,还至少含有3,4,5中的一个元素,所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数,即为23-1=7.
答案:7
5.设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为__________.
解析:阴影部分是A∩?R B.集合A={x|-4<x<2},?R B={x|x≥1},所以B={x|1≤x<2}.
A∩?
R
答案:{x|1≤x<2}
[例1] (1)(A.杭州模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y ∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a构成的集合B 的元素个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[自主解答] (1)①当x=0时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为0,-1,-2;②当x=1时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为1,0,-1;③当x=2时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0.
综上可知,x-y的可能取值为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)①当a+2=1时,a=-1,此时A={1,0,1},不合题意,故a≠-1;②当(a+1)2=1时,a=0或a=-2.若a=0,则A={2,1,3},符合题意;若a=-2,则A={0,1,1},不符合题意;③当a2+3a+3=1时,(a+1)(a+2)=0,即a=-1或a=-2.由①②知,不符合题意.
综上可知a=0,即实数a构成的集合B只有1个元素.
[答案] (1)C (2)B
若将本例(1)中的集合B更换为B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中有多少个元素?
解:当x =0时,y =0;当x =1时,y =0或y =1;当x =2时,y =0,1,2. 故集合B ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B 中有6个元素.
解决集合的概念问题应关注两点
(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例(1)中集合B 中的元素为实数x -y ,在“互动探究”中,集合B 中的元素为点(x ,y ).
(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性.
1.(A.宁波模拟)已知集合M ={1,m },N ={n ,log 2n },若M =N ,则(m -n )2
015=________.
解析:因为M =N ,所以??? n =1,log 2n =m
或??? n =m ,log 2n =1, 即??? n =1,m =0或??? n =2,m =2.故(m -n )2 015=-1或0.
答案:-1或0
2.已知集合A =?
???
??x ??? ax -1x -a <0,且2∈A,3?A ,则实数a 的取值范围是________.
解析:因为2∈A ,所以2a -12-a <0,即(2a -1)(a -2)>0,解得a >2或a <12
.①
若3∈A ,则3a -13-a <0,即(3a -1)(a -3)>0,解得a >3或a <13,所以3?A 时,13
≤a ≤3.②
由①②可知,实数a 的取值范围为????
??13,12∪(2,3]. 答案:????
??13,12∪(2,3]
[例2] (1)(A.温州模拟)已知M ={x |x -a =0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值为( )
A .1
B .-1
C .1或-1
D .0或1或-1
(2)已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3},若B ?A ,则实数a 的取值范围为________.
[自主解答] (1)因为M ∩N =N ,所以N ?M .当a =0时,N =?,M ={0},满足M ∩N =N ;当a ≠0时,M ={a },N =??????????1a ,所以1a =a ,即a =±1.故实数a 的值为0,±1.
图1
(2)当B =?时,只需2a >a +3,即a >3;当B ≠?时,根据题意作出如图
所示的数轴,可得??? a +3≥2a ,a +3<-1
图2
或??? a +3≥2a ,2a >4,解得a <-4或2<a ≤3.
综上可得,实数a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
[答案] (1)D (2)(-∞,-4)∪(2,+∞)
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
1.(A.台州模拟)A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A B,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≥2} B.{a|a>2}
C.{a|a≥1} D.{a|a≤1}
解析:选A 借助数轴可知a≥2,故选A.
2.若集合A={x|x2+ax+1=0,x∈R},集合B={1,2},且A?B,则实数a的取值范围是________.
解析:①若A=?,则Δ=a2-4<0,解得-2<a<2;
②若1∈A,则12+a+1=0,解得a=-2,此时A={1},符合题意;
③若2∈A,则22+2a+1=0,解得a=-5
2
,此时A=
??
?
??
??
?
??
2,
1
2
,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围为[-2,2).
答案:[-2,2)
1.有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题.
2.高考对集合运算的考查主要有以下几个命题角度:
(1)离散型数集间的交、并、补运算;
(2)连续型数集间的交、并、补运算;
(3)已知集合的运算结果求集合;
(4)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围).
[例3] (1)(A.浙江高考)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则?U A=( )
A.? B.{2} C.{5} D.{2,5}
(2)(B.浙江高考)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?R S)∪T=( )
A.(-2,1] B.(-∞,-4]
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(3)(A.山东高考)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A ∩B=( )
A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)
(4)(A.重庆高考)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?U A)∩B=________.
[自主解答] (1)由题意知U={x∈N|x≥2},A={x∈N|x≥5},所以?U A ={x∈N|2≤x<5}={2}.故选B.
(2)?
R S={x|x≤-2},又T={x|-4≤x≤1},故(?
R
S)∪T={x|x≤1}.
(3)|x-1|<2?-2 (4)依题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},?U A={4,6,7,9,10},(?U A)∩B={7,9}. [答案] (1)B (2)C (3)C (4){7,9} 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算.常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算.常借助数轴求解. (3)已知集合的运算结果求集合.借助数轴或Venn图求解. (4)根据集合运算求参数.先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. 1.(A.丽水模拟) 已知集合M ={-1,0,1},N ={0,1,2},则如图所示的Venn 图中的阴影部分所表示的集合为( ) A .{0,1} B .{-1,0,1} C .{-1,2} D .{-1,0,1,2} 解析:选C 由图可知,阴影部分为{x |x ∈M ∪N 且x ?M ∩N },又M ∪N ={-1,0,1,2},M ∩N ={0,1},所以{x |x ∈M ∪N 且x ?M ∩N }={-1,2}. 2.(A.杭州模拟)已知集合A ={1,2,3},B ∩A ={3},B ∪A ={1,2,3,4,5},则集合B 的子集的个数为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 解析:选C 由题意知B ={3,4,5},集合B 含有3个元素,则其子集个数为23=8. 3.设集合A ={x |x 2+2x -3>0},B ={x |x 2-2ax -1≤0,a >0}.若A ∩B 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是( ) A.? ????0,34 B.???? ??34,43 C.???? ??34,+∞ D .(1,+∞) 解析:选B A ={x |x 2+2x -3>0}={x |x >1或x <-3},因为函数y =f (x )=x 2-2ax -1的对称轴为x =a >0,f (-3)=6a +8>0,根据对称性可知,要使A ∩B 中恰含有一个整数,则这个整数解为2,所以有f (2)≤0且f (3)>0,即 ??? 4-4a -1≤0,9-6a -1>0,所以????? a ≥34,a <43,即34≤a <43 . [课堂归纳——通法领悟] 1组转化——集合运算与集合关系的转化 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,如A?B?A∩B=A?A∪B=B??U A??U B?A∩(?U B)=?,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程. 2种技巧——集合的运算技巧 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. (2)两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解,如果是两个无限集合相等,从两个集合中元素相同求解 就不方便,这时就根据两个集合相等的定义求解,即如果A?B,B?A,则A =B. 3个注意点——解决集合问题应注意的问题 (1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关A∩B=?,A?B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑?是否成立,以防漏解. 前沿热点(一) 以集合为载体的创新型问题 1.以集合为载体的创新型问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等,此类问题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力. 2.解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,将其转化为熟知的基本运算求解. [典例] (B.广东高考)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( ) A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S [解题指导] 先要理解新定义集合S中元素的性质:(1)x,y,z∈X;(2)x <y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立,然后根据已知集合中的两个元素(x,y,z)和(z,w,x),分别讨论x,y,z,w之间的大小关系,进而检验元素(y,z,w)和(x,y,w)是否满足集合S的性质特征. [解析] 法一(直接法):由(x,y,z)∈S,则有x<y<z,①y<z<x,②z<x<y,③三个式子中恰有一个成立; 由(z,w,x)∈S,则有z<w<x,④w<x<z,⑤x<z<w,⑥三个式子中恰有一个成立. 配对后只有四种情况: 第一种,①⑤成立,此时w<x<y<z,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S; 第二种,①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S; 第三种,②④成立,此时y<z<w<x,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S; 第四种,③④成立,此时z<w<x<y,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 综上所述,可得(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 法二(特殊值法):不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S. [答案] B [名师点评] 解决本题的关键有以下两点: (1)准确理解集合S的性质:x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立,把已知集合的两个元素和要判断的两个元素中的四个数的大小关系进行分类讨论. (2)紧扣新定义集合的性质,结合不等式的性质,通过分类讨论或特殊值法,把问题转化为熟悉的知识进行求解. 有限集合的元素可以一一数出来,无限集合的元素虽然不能数尽,但是可以比较两个集合元素个数的多少.例如,对于集合A={1,2,3,…,n,…}与B= {2,4,6,…,2n ,…},我们可以设计一种方法得出A 与B 的元素个数一样多的结论.类似地,给出下列4组集合: ①A ={1,2,3,…,n ,…}与B ={31,32,33,…,3n ,…};②A =(0,2]与B =[-3,+∞);③A =[0,1]与B =[0,3];④A ={x |-1≤x ≤3}与B ={x |x =-8或0<x ≤10}. 其中,元素个数一样多的有( ) A .1组 B .2组 C .3组 D .4组 解析:选D 可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数,使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合. ①y =3x (x ∈N *);②y =1x -72 (0<x ≤2);③y =3x (0≤x ≤1);④y =??? -8,x =-1, x +1,-1<x ≤0, x 2+1,0<x ≤3.综上,元素个数一样多的有4组. [全盘巩固] 1.(A.新课标全国卷Ⅱ)设集合M ={0,1,2},N ={x |x 2 -3x +2≤0},则M ∩N =( ) A .{1} B .{2} C .{0,1} D .{1,2} 解析:选D N ={x |x 2-3x +2≤0}={x |1≤x ≤2},又M ={0,1,2},所以M ∩N ={1,2}. 2.已知集合U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={2,3},B ={2,4,5},则图中阴影部分表示的集合是( ) A .{2,4,6} B .{1,3,5} C .{2,6} D .{1,6} 解析:选D 图中阴影部分表示的集合为?U (A ∪B ).因为A ∪B ={2,3,4,5},U ={1,2,3,4,5,6},所以?U (A ∪B )={1,6}. 3.已知集合A ={1,2a },B ={a ,b },若 A ∩ B =??????????12,则A ∪B =( ) A.??????????12,1,2 B.?????? ????12,-1 C.??????????12,1 D.?????? ????12,1,-1 解析:选D 由 A ∩ B =??????????12,得2a =12,解得a =-1,从而b =12.所以A =??????????1,12,B =??????????-1,12,则A ∪B =?????? ????12,1,-1. 4.(A.舟山模拟)已知集合A ={x |x 2+x -6≤0},B ={y |y =x ,0≤x ≤4}.则A ∩?R B =( ) A .[-3,2] B .[-2,0)∪(0,3] C .[-3,0] D .[-3,0) 解析:选D 集合A =[-3,2],集合B =[0,2],?R B =(-∞,0)∪(2,+ ∞),所以A ∩?R B =[-3,0). 5.已知集合A ={x |1≤x <5},B ={x |-a <x ≤a +3}.若B ∩A =B ,则a 的取值范围为( ) A.? ????-32,-1 B.? ????-∞,-32 C .(-∞,-1] D.? ?? ??-32,+∞ 解析:选C 因为B ∩A =B ,所以B ?A . (1)当B =?时,满足B ?A ,此时-a ≥a +3,即a ≤-32 ; (2)当B ≠?时,要使B ?A ,则??? -a <a +3,-a ≥1, a +3<5, 解得-32 <a ≤-1.由(1)(2)可知,a 的取值范围为(-∞,-1]. 6.(A.丽水模拟)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={5,6,7},C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈B },则集合C 中所含元素的个数为( ) A .5 B .6 C .12 D .13 解析:选D 当x =5∈A ,y =1∈A ,则x +y =5+1=6∈B ,即点(5,1)∈C ;同理,(5,2)∈C ,(4,1)∈C ,(4,2)∈C ,(4,3)∈C ,(3,2)∈C ,(3,3)∈C ,(3,4)∈C ,(2,3)∈C ,(2,4)∈C ,(2,5)∈C ,(1,4)∈C ,(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13. 7.若1∈??????????a -3,9a 2-1,a 2+1,-1,则实数a 的值为________. 解析:若a -3=1,则a =4,此时9a 2 -1=a 2+1=17,不符合集合中元素的互异性;若9a 2-1=1,则a =49,符合条件;若a 2+1=1,则a =0,此时9a 2 -1=-1,不符合集合中元素的互异性.综上可知a =49 . 答案:49 8.设集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={4,5,6,7,8},则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是________. 解析:由题意知,集合S 中至少含有4,5,6中的一个,故集合S 的个数为26-23=64-8=56. 答案:56 9.设A 、B 是两个非空集合,定义运算A ×B ={x |x ∈A ∪B 且x ?A ∩B },已知A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =2x ,x >0},则A ×B =________________. 解析:由题意得A ={x |2x -x 2≥0}={x |0≤x ≤2},B ={y |y >1}.所以A ∪B =[0,+∞),A ∩B =(1,2],所以A ×B =[0,1]∪(2,+∞). 答案:[0,1]∪(2,+∞) 10.(A.绍兴模拟)已知集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={a -5,1-a,9},分别求出适合下列条件的a 的值. (1)9∈(A ∩B ); (2){9}=A ∩B . 解:(1)∵9∈(A ∩B ),∴9∈A 且9∈B , ∴2a -1=9或a 2=9.∴a =5或a =-3或a =3. 经检验a =5或a =-3符合题意. ∴a =5或a =-3. (2)∵{9}=A ∩B ,∴9∈A 且9∈B , 由(1)知a =5或a =-3. 当a =-3时,A ={-4,-7,9},B ={-8,4,9}, 此时A ∩B ={9}; 当a =5时,A ={-4,9,25},B ={0,-4,9}, 此时A ∩B ={-4,9},不合题意. 综上知a =-3. 11.已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0},B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }. (1)若A ∩B =[0,3],求实数m 的值; (2)若A ??R B ,求实数m 的取值范围. 解:由已知得A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2}. (1)∵A ∩B =[0,3],∴??? m -2=0,m +2≥3,∴m =2. (2)由(1)知:?R B ={x |x <m -2或x >m +2}, ∵A ??R B , ∴m -2>3或m +2<-1,即m >5或m <-3. 因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <-3}. 12.设全集I =R ,已知集合M ={x |(x +3)2≤0},N ={x |x 2+x -6=0}. (1)求(?I M )∩N ; (2)记集合A =(?I M )∩N ,已知集合B ={x |a -1≤x ≤5-a ,a ∈R },若B ∪A =A ,求实数a 的取值范围. 解:(1)∵M ={x |(x +3)2≤0}={-3}, N ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}, ∴?I M ={x |x ∈R 且x ≠-3},∴(?I M )∩N ={2}. (2)由(1)知A =(?I M )∩N ={2}, ∵A ∪B =A ,∴B ?A ,∴B =?或B ={2}, 当B =?时,a -1>5-a ,∴a >3; 当B ={2}时,??? a -1=2,5-a =2,解得a =3, 综上所述,实数a 的取值范围为{a |a ≥3}. [冲击名校] 1.(A.台州模拟)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数,定义A *B = ??? C A C B C A C B C B C A C A C B 若A ={1,2},B ={x |(x 2+ax )(x 2+ax +2)=0},且A *B =1,设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ,则C (S )=( ) A .4 B .3 C .2 D .1 解析:选B 由A ={1,2},得C (A )=2,由A *B =1,得C (B )=1或C (B )= 3.由(x 2+ax )(x 2+ax +2)=0,得x 2+ax =0或x 2+ax +2=0.当C (B )=1时,方程(x 2+ax )·(x 2+ax +2)=0只有实根x =0,这时a =0.当C (B )=3时,必有a ≠0,这时x 2+ax =0有两个不相等的实根x 1=0,x 2=-a ,方程x 2+ax +2=0 必有两个相等的实根,且异于x 1=0,x 2=-a ,由Δ=a 2-8=0,得a =±22, 可验证均满足题意,故S ={-22,0,22},C (S )=3. 2.(A.金华模拟)已知集合M 为点集,记性质P 为“对?(x ,y )∈M ,k ∈(0,1),均有(kx ,ky )∈M ”.给出下列集合:①{(x ,y )|x 2≥y };②{(x ,y )|2x 2+y 2<1};③{(x ,y )|x 2+y 2+x +2y =0};④{(x ,y )|x 3+y 3-x 2y =0}.其中具有性质P 的点集的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B 对于①:取k =12,点(1,1)∈{(x ,y )|x 2≥y },但? ?? ??12,12?{(x , y )|x 2≥y },故①是不具有性质P 的点集. 对于②:?(x ,y )∈{(x ,y )|2x 2+y 2<1},则点{x ,y }在椭圆2x 2+y 2=1内部,所以对0<k <1,点(kx ,ky )也在椭圆2x 2+y 2=1的内部,即(kx ,ky )∈{(x ,y )|2x 2+y 2<1},故②是具有性质P 的点集. 对于③:? ????x +122+(y +1)2=54,点? ????12,-12在此圆上,但点? ????14 ,-14不在此圆上,故③是不具有性质P 的点集. 对于④:?(x ,y )∈{(x ,y )|x 3+y 3-x 2y =0},对于k ∈(0,1),因为(kx )3+(ky )3-(kx )2·(ky )=0?x 3+y 3-x 2y =0,所以(kx ,ky )∈{(x ,y )|x 3+y 3-x 2y =0},故④是具有性质P 的点集. 综上,具有性质P 的点集的个数为 高考数学集合复习知识点 通过观察历年高考数学卷子,高考数学集合一般出现在选择题或者填空题,为了 稳拿这些分数,应该具备哪些知识点?下面由小编为大家整理有关高考数学集合复习知识点的资料,希望对大家有所帮助! 高考数学集合复习知识点 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念,只能给出,描述性说明:某些制定的且不 同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素,集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。 集合是一个确定的整体,因此对集合也可以这样描述:具有某种属性的对象的全 体组成的一个集合。 2、元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于和不属于两种:元素a属于集合A,记做a∈A;元素a 不属于集合A,记做a?A。 3、集合中元素的特性 (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一具体对象,则x或者是A的元素, 或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A,6?A。 (2)互异性:“集合张的元素必须是互异的”,就是说“对于一个给定的集合,它的任 何两个元素都是不同的”。 (3)无序性:集合与其中元素的排列次序无关,如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一 个集合。 4、集合的分类 集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类: 有限集:含有有限个元素的集合。如“方程3x+1=0”的解组成的集合”,由“2,4,6,8, 组成的集合”,它们的元素个数是可数的,因此两个集合是有限集。 无限集:含有无限个元素的集合,如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所 有的三角形”,组成上述集合的元素不可数的,因此他们是无限集。 特别的,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记错F,如{x?R|+1=0}。 第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 .设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= ( ) A .{1,2,3,4,6} B .{1,2,3,4,5} C .{1,2,5} D .{1,2} 2 .设集合A ={x |1 2019高三数学总复习资料 高三数学总复习资料:立体几何 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一 周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 高三数学总复习资料:直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在. 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. 1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?) 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题. 2020年高考总复习 理科数学题库 第一章 集合 学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________题号 一二三总分 得分第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题 1.集合,的子集中,含有元素的子集共有( ) {1,0,1}A =-A 0(A )2个 (B )4个 (C )6个 (D )8个(2008四川延考理1) 2.集合P={x|x }∪{x|x },Q={x|x<0}∪{x|0 B . C . D . (2007年高考山东理科2). {1}-{0}{1,0}-5.设集合则满足且的集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =S A ?S B φ≠ S 的个数为[来源: ] (A )57 (B )56 (C )49 (D )8(2011安徽理) B 【命题意图】本题考查集合间的基本关系,考查集合的基本运算,考查子集问题,考查组 合知识.属中等难度题. 6.集合中最小整数位 .{} |25A x R x =∈-≤7.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是 A.N ?M B.M ∪N=M C.M ∩N=N D.M ∩N={2} 8.已知集合A{x| -3x +2=0,x ∈R } , B={x|0<x <5,x ∈N },则满足条件A ?C B 2x ?的集合C 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 9.设集合M={-1,0,1},N={x|x 2=x},则M ∩N= A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 10.设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= ( ) A .{1,2,3,4,6} B .{1,2,3,4,5} C .{1,2,5} D .{1,2}(2012浙江文)11.已知集合是平行四边形,是矩形,是正方形{|A x x =}{|B x x =}{|C x x =} ,是菱形,则 {|D x x =}(A ) (B ) (C ) (D )A B ?C B ?D C ?A D ?12.已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1 届高三数学复习集合文档编制序号:[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 必修1 集 合 § 集合的含义及其表示 重难点:集合的含义与表示方法,用集合语言表达数学对象或数学内容;区别元素与集合等概念及其符号表示;用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容;集合表示法的恰当选择. 考纲要求:①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系; ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 经典例题:若x ∈R ,则{3,x ,x2-2x }中的元素x 应满足什么条件 当堂练习:下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A .某班个子较高的同学 B .长寿的人 C .2的近似值 D .倒数等于它本身的数 2下面四个( ) A .10以内的质数集合是{0,3,5,7} B .由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C .方程2 210x x -+=的解集是{1,1} D .0与{0}表示同一个集合 3. 下面四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若 -a ?Z ,则a ∈Z ; (3)所有的正实数组成集合R+;(4)由很小的数可组成集合A ; 其中正确的命题有( )个 A .1 B .2 C .3 D .4 4.下面四个命题: (1)零属于空集; (2)方程x2-3x+5=0的解集是空集; (3)方程x2-6x+9=0的解集是单元集; (4)不等式 2 x-6>0的解集是无限集; 其中正确的命题有( )个 A .1 B .2 C .3 D .4 5. 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A . {x,y 且0,0x y <>} B . {(x,y) 0,0 x y <>} C. {(x,y) 0,0 x y <>} D. {x,y 且 0,0 x y <>} 6.用符号∈或?填空: 0__________{0}, a__________{a}, π__________Q , 21 __________Z ,-1__________R , 0__________N , 0 Φ. 7.由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }. 8.用列举法表示集合D={ 2 (,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈} 为 . 9.当a 满足 时, 集合A ={30,x x a x N + -<∈}表示单元集. 10.对于集合A ={2,4,6}, 若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的值是__________. 11.数集{0,1,x2-x}中的x 不能取哪些数值 12.已知集合A ={x ∈N|12 6x -∈N },试用列举法表示集合A . 1.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A C I ∪B C I =( ) A .{0} B .{0,1} C .{0,1,4} D .{0,1,2,3,4} 2.方程组3231x y x y -=?? -=?的解的集合是( ) A .{x =8,y=5} B .{8, 5} C .{(8, 5)} D .Φ 3.有下列四个命题: ①{}0是空集; ②若Z a ∈,则a N -?; ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素;④集合6B x Q N x ??=∈∈???? 是有限集。 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4.如果集合A={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是( ) A .0 B .0 或1 C .1 D .不能确定 5.已知}{R x x y y M ∈-==,42,}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是( ) A .M P = B .M P ∈ C .M ∩P =Φ D . M ?P 6.设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则( ) A .M =N B . M ≠?N C . N ≠?M D .M ∩=N Φ 7.设集合A={x |1<x <2},B={x |x <a }满足A ≠?B ,则实数a 的取值范围是( ) A .[)+∞,2 B .(]1,∞- C .[)+∞,1 D .(]2,∞- 8.满足{1,2,3} ≠?M ≠?{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是( ) A .8 B .7 C .6 D .5 9.如右图所示,I 为全集,M 、P 、S 为I 的子集。 则阴影部分所表示的集合为 A .(M ∩P)∪S B .(M ∩P)∩S C .(M ∩P)∩(I S) D .(M ∩P)∪(I S) 二、填空题: 1.已知{}2|1,R,R A y y x x y ==+∈∈,全集R U =,则() N U A =e . 2.已知{},M a b =,{},,N b c d =,若集合P 满足P M 且P N ,则P 可是 . 3.设全集U ={a ,b ,c ,d ,e},A ={a ,c ,d},B ={b ,d ,e}, 则?UA∩?UB =________. 4.已知{}{}22|2013(2)400x x a x a +?++-==,则a = . 三、解答题:(写出必要的计算步骤) 1.已知集合A ={x |-1<x <3},A∩B=Φ,A∪B=R ,求集合B . 学 海 无 涯 1 高中数学集合历届高考练习题 ( )1、若集合A ={x ∈R | ax 2+ax +1=0} 其中,只有一个元素,则a 为 A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 ( )2、若集合A ={1,2,3},B ={1,3,4},则A ∩B 的子集个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D.16 ( )3、已知集合A ={1,3,√m},B ={1,m },A ∪B =A ,则m 为 A. 0或√3 B. 0或3 C. 1或√3 D. 1或3 ( )4、设集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={4,5,6,7},则满足S ?A 且S ∩B ≠? 的集合S 为 A. 56 B. 49 C. 42 D. 8 ( )5、已知集合P ={x | x 2≤1},M ={a },若P ∪M =P ,则a 的取值范围是 A. (?∞,?1] B. [1,+∞) C. [ ?1,1] D. (?∞,?1]∪[1,+∞) ( )6、设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},则A ∩(C U B )= A. {1,2,5,6} B. {1} C. {2} D. {1,2,3,4} ( )7、已知集合A ={x | x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中的元素个数为 A. 5 B. 4 C.3 D.2 ( )8、已知集合A ={x |?1 2019高三数学一轮复习单元练习题:集 合 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分). 1.若A 、B 、C 为三个集合,C B B A ?=?,则一定有 ( ) A .C A ? B .A C ? C .C A ≠ D .φ=A 2.含有三个实数的集合可表示为{a ,a b ,1},也可表示为{a 2, a +b ,0},则a 2006+b 2006 的值为 ( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 3.若集合}03|{},2|||{2 =-=≤=x x x N x x M ,则M ∩N = ( ) A .{3} B .{0} C .{0,2} D .{0,3} 4.已知全集I ={0,1,2},满足C I (A∪B)={2}的A 、B 共有的组数为 ( ) A .5 B .7 C .9 D .11 5.设集合M ={x |x = 412+k ,k ∈Z },N ={x |x =2 1 4+k ,k ∈Z },则 ( ) A .M =N B .M N C .M N D .M ∩N =? 6.对于任意的两个实数对(a ,b )和(c ,d ),规定(a ,b )=(c ,d )当且仅当a =c ,b =d ;运算“?”为:),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=?,运算“⊕”为:),(),(d c b a ⊕ ),(d b c a ++=,设R q p ∈,,若)0,5(),()2,1(=?q p 则=⊕),()2,1(q p ( ) A .)0,4( B .)0,2( C .)2,0( D .)4,0(- 7.设}5,4,3,2,1{=??C B A ,且}3,1{=?B A ,符合此条件的(A 、B 、C )的种数( ) A .500 B .75 C .972 D .125 8.设集合P ={m |-1<m ≤0},Q ={m ∈R |mx 2 +4mx -4<0对任意实数x 恒成立},则下列关 系中成立的是 ( ) A .P Q B .Q P C .P =Q D .P ∩Q =Q 9.设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集...的个数是 ( ) A .16 B .8; C .7 D .4 10.设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长,则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分) 是 ( ) ——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学一轮复习第1讲集合教案 ______年______月______日 ____________________部门 课标要 求1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 命题走 向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测2017年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 教 学 准 备 多媒体 教学过程要点精讲: 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A a∈;若b不是集 合A的元素,记作A b?; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成 立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变 化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示 法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集),记作N; 正整数集,记作N*或N + ; 整数集,记作Z; 有理数集,记作Q; 实数集,记作R。 2.集合的包含关系: (1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或 有的学 生对整 数包括 哪些数 还不太 清楚, 后面还 要通过 具体题 目增强 认识。 高三数学复习资料汇总 数学是一个系统化的逻辑体系,它有着明确的结构。在这个结构的体系中,数学知识具有一定的抽象性和具体性。下面是为大家整理的有关高三数学复习资料,希望对你们有帮助!高三数学复习资料汇总1(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α180°(2)直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式:注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是 x=x1.②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式:()直线两点,④截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式:(A,B不全为0)注意:各式的适用范围特殊的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)(二)垂直直线系 考点---集合 一、选择题 1.(2011·福建卷文科·T1)若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M ∩N 等于( ) (A){0,1} (B){-1,0,1} (C){0,1,2} (D){-1,0,1,2} 【思路点拨】直接取集合M 和集合N 的公共元素,即可得M N I . 【精讲精析】选A. {-1,0,1}N {0,1,2}{0,1}.M M N ∴Q I =,=,= 2. (2011·福建卷文科·T12)在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k 丨n ∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 011∈[1] ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【思路点拨】根据题目中所给的“类”的概念,对选项逐个进行判断,从中找出正确的. 【精讲精析】选C.对于①:2 01154021=?+, 2 011[1],∴∈故①正确; 对于②:-35-1+2? =(),-3[2]∴∈,故②不正确; 对于③: Q 整数集Z []50Z ∴=被除,所得余数共分为五类.[][][][]1234U U U U ,故③正确; 对于④:若整数,a b 属于同一类,则 1212125,5,5(5)5()5a n k b n k a b n k n k n n n =+=+∴-=+-+=-=, []0a b ∴-∈,若[0],-55,5a b a b n a b n a b -===+则,即故与被除的余数为同一个数, a b ∴与属于同一类,所以“整数 a,b 属于同一类”的充要条件是“a b [0]-∈”,故④正确,∴正确结论的个数是3. 3.(2011·新课标全国文科·T1)已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===I 则P 的子集共 有( ) (A)2个 (B )4个 (C )6个 (D )8个 【思路点拨】确定M N I 的元素个数n ,子集个数为2n . 【精讲精析】选B.由已知得{1,3}P M N =I =,∴P 的子集有224=个. 4.(2011·辽宁高考文科·T1)已知集合A={x 1x >},B={x 2x 1-<<},则A I B=( ) (A ){x -1x 2<<} (B ){x 1-x >} (C ){x 1x 1-<<} (D ){x 1x 2<<} 【思路点拨】本题考查集合的定义,集合的运算及解不等式的知识. 【精讲精析】选D.解不等式组???<<->211x x ,得21< 高三数学集合复习必修五知识点总结 再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。再冷的石头,坐上三年也会暖。下面就是小编给大家带来的高三数学集合复习必修五知识点,希望大家喜欢! 高三数学集合复习必修五知识点【一】 第一部分集合 (1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2; (2)注意:讨论的时候不要遗忘了的情况。 (3) 第二部分函数与导数 1.映射:注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数值域的求法:①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性; ⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法: ①若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数的定义域是内函数的值域。 4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ⑵是奇函数; ⑶是偶函数; ⑷奇函数在原点有定义,则; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; 高三数学集合复习必修五知识点【二】 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念,只能给出,描述性说明:某些制定的且不同的 对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素,集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。 集合是一个确定的整体,因此对集合也可以这样描述:具有某种属性的对象的全体组 成的一个集合。 2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种:元素a属于集合A,记做a∈A;元素a不属于集合A,记做a?A。 3、集合中元素的特性 (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一具体对象,则x或者是A的元素,或者 不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A, 6?A。 (2)互异性:“集合张的元素必须是互异的”,就是说“对于一个给定的集合,它的任何两 个元素都是不同的”。 (3)无序性:集合与其中元素的排列次序无关,如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合。 4、集合的分类 集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类: 有限集:含有有限个元素的集合。如“方程3x+1=0”的解组成的集合”,由“2,4,6,8,组成 的集合”,它们的元素个数是可数的,因此两个集合是有限集。 无限集:含有无限个元素的集合,如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的 三角形”,组成上述集合的元素不可数的,因此他们是无限集。 特别的,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记错F,如{x?R|+1=0}。 5、特定的集合的表示 为了书写方便,我们规定常见的数集用特定的字母表示,下面是几种常见的数集表示 方法,请牢记。 (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记做N。 数学高三复习集合专题试题(带答案) 若x是集合A的元素,则记作xA,为此整理了数学高三复习集合专题试题,请考生练习。 1.把集合C={a+bi|a,bR}中的数,即形如a+bi(a,bR)的数叫作________,其中i叫作____________,复数的全体组成的集合C叫作__________. 2.复数通常用z表示,z=____________叫作复数的代数形式,其中________分别叫复数z的实部与虚部. 3.设z=a+bi(a,bR),则当且仅当________时,z为实数.当________时,z为虚数,当____________时,z为纯虚数. 4.实数集R是复数集C的__________,即__________.这样复数包括实数和虚数. 5.a+bi=c+di(a,b,c,dR)的充要条件是 _____________________________________. 6.复数与点、向量间的对应 如图,在复平面内,复数z=a+bi (a,bR)可以用点________或向量________表示. 复数z=a+bi (a,bR)与点Z(a,b)和向量的一一对应关系如下: 7.复数的模 复数z=a+bi (a,bR)对应的向量为,则的模叫作复数z的模,记作|z|,且|z|=__________. 一、选择题 1.a=0是复数a+bi (a,bR)为纯虚数的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设a,bR,若(a+b)+i=-10+abi (i为虚数单位),则(-)2等于() A.-12 B.-8 C.8 D.10 3.若z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为() A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 4.下列命题中: 两个复数不能比较大小; 若z=a+bi,则当且仅当a=0且b0时,z为纯虚数; x+yi=1+ix=y=1; 若a+bi=0,则a=b=0. 其中正确命题的个数为() A.0B.1C.2D.3 5.若(m2-5m+4)+(m2-2m)i0,则实数m的值为() A.1 B.0或2 C.2 D.0 6.在复平面内,若z=(m2-4m)+(m2-m-6)i所对应的点在第二 高中数学一轮复习知识点 第一章-集合 考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. §01. 集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?) 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. 高三数学一轮复习(集合、常用逻辑用语01) 【复习课题】集合的概念及运算(1) 【复习要求】 1.了解集合的概念,理解子集、交集、并集、补集的概念;明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系;弄清元素与集合、集合与集合的关系。 2.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义。 3.掌握有关的术语和符号,会用它们正确表示一些简单的集合。 【复习过程】 (1)一般地,我们把研究对象统称为,把一些元素组成的总体叫做,简称. (2)集合中的元素有三个特点:①;②;③. (3)集合中元素与集合的关系分为和两种,分别用和来表示. 集合有三种表示方法:、、。 注意:区分集合中元素的形式:如:A={x|y=2x+2x+1};B={y|y=2x+2x+1};C={(x,y)|y=2x+2x+1};D={x|x=2x+2x+1};E={(x,y)|y=2x+2x+1,x∈Z,y∈Z};F={(x,y)|y=2x+2x+1} 2.集合间的基本关系 (1)一般地,对于两个集合A、B,如,我们就说这两个集合有 包含关系,称集合A为集合B的子集,记作. (2)对于两个集合A、B,若且,则称集合A与集合B相等. (3)如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的, 记作. 注意:条件为A?B,在讨论的时候不要遗漏了A=φ的情况. (4)不含任何元素的集合叫做,记作,并规定:空集是任何集合的子集. 思考:{0}与φ有什么区别? (5)若A含有n个元素,则A的子集个数为个,A的非空子集个数为个,A的非 空真子集个数为个. 3.集合的基本运算 (1)一般地,由所有的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集, 记作A∪B,即:A∪B=. (2)一般地,由的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作 A∩B,即:A∩B=. (3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为,通常 记作. (4)对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集,记作?UA,即?UA=. (5)A∩B=A?,A∪B=A?. 4.集合的运算性质 A∪φ=,A∪A=,A∪B=, A∩φ=, A∩A=,A∩B=, A∪(?UA)=,A∩(?UA)=,?U(?UA)=. 1.由实数33 2, |, |, ,x x x x x- -组成的集合中,最多含有元素个 2.集合{x|x>1且x≤3,x∈N}中的元素有 3.已知集合S={x|x≤5 2},又a=3,则a与S的关系为 4.设集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|x=n+1,n∈Z},则集合A,B的关系是 5.已知集合M={x|-3高考数学集合复习知识点
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