上海市南洋模范中学2017-2018学年高一上期中考试数学试卷(WORD版,有答案)
南模中学2017学年度第一学期期中考试高一数学试卷
一、填空题:
1.已知集合则
_______________.
2.
若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = .
3. 设α：,52-≤≥x x 或β：,,3212-R m m x m x ∈-≤+≥或α是β的充分非必要条件，则m 的取值 范围为_________.
4. 函数y 的定义域是 .
5. 函数3)(2+-=x x x x f ，x
x x g 3)(+=，)(x f =⋅)(x g 6．已知0,0,220x y x y >>+=，则xy 的最大值是 。
7. 已知不等式4()()16a
x y x y
++≥对任意正实数x y 、恒成立，则正实数a 的最小值为 ． 8．已知关于x 的不等式22101
kx kx x x -+≤-+的解集为φ，则实数k 的取值范围是 . 9.已知函数2,0()2,0
x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是___________； 10. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)((b 为常数)，则)2(-f =__________ 11. 设函数)(x f ，()g x 的定义域分别为Df ，Dg ，且Df Dg ⊆．若对于任意x Df ∈，都有()()g x f x =， 则称函数()g x 为)(x f 在Dg 上的一个延拓函数．设2
()2f x =x x +，(,0]x ∈-∞ ，()g x 为)(x f 在R 上的 一个延拓函数，且()g x 是偶函数，则()g x = ____． 12. 已知命题:P 方程2410x x m ++-=有两个不等的负根；命题:q 方程24420x x m ++-=无实根．若P 、
q 两 命题中一真一假，则m 的取值范围是__________．
二、选择题:
13.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
14. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
.A 222a b ab +>. .B a b +≥ .C 11a b +> D . 2b a a b +≥ 15.设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A ．()f x +|()g x |是偶函数
B ．()f x -|()g x |是奇函数
C ．|()f x | +()g x 是偶函数
D ．|()f x |-()g x 是奇函数
{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<=A B
16．一名工人组装第x
件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A. 75，25
B. 75，16
C. 60，25
D. 60，16
三、解答题:
17. 已知关于x 的不等式
01a x x -≥+的解集为P ，不等式11x -<的解集为Q 。
（1）若3a =，求P ； （2）若P Q P ⋃=，求正数a 的取值范围。
18.已知函数2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈.
（1）写出一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h ，使)(x f =)(x g +)(x h ；
（2） 若()()h x g x ≥对于任意的x R ∈ 恒成立，求实数a 的取值范围。
19．为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的
隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度 x （单位：cm ）满足关系：()()01035k C x x x =
≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k 的值及()f x 的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．
20．已知函数2(0,,)b f(x)ax x a b R x
=+≠∈常数 (1) 当0,1a b ==时，解关于x 的不等式：()f x k > ()k R ∈
(2)讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由;
21． 已知函数b
ax x x f +=)(（a 、b 是非零实常数）满足21)1(=f ，且关于x 的方程x x f =)(的解集中恰有一个元素． （1）求a 、b 的值；
（2）在直角坐标系中，求定点)2,0(A 到函数)(x f 图像上任意一点),(y x P 的距离||AP 的最小值；
（3）当11(]42
x ∈，时，不等式1)()()1(-->⋅+x m m x f x 恒成立，求实数m 的取值范围．
答 案
一、填空题：
1． 2. {|01}x x << 3. [-0.5)+∞， 4.
5.)0,3(1≠-≠-x x x
6. 50
7. 4
8.[0,4)
9. [1,1]- 10．7- 11．22||x x - 12．(1,3][5,)⋃+∞
二、选择题： A D A D
三、解答题：
17.（1）{}|13P x x =-<≤ ；（2）[)2,+∞.
18. （1）2()|2|h x x a =++，x a x g )1()(+=；（2
）{}13⎡-+⋃-⎣. 19. （1）2040800()66(010)3535
f x x x x x x ⨯=+=+≤≤++； （2）隔热层修建cm 5厚时，总费用()f x 达到最小，最小值为70万元．
20. （1） 当0k >时，1(0)x k ∈，；当0k =时，(0)x ∈+∞，；当0k <时，1()(0)x k
∈-∞⋃+∞，， （2）当00a b =≠，时，()f x 为奇函数；当00a b ≠=，时，()f x 为偶函数；
当0a =且0b =时，()f x 既是奇函数又是偶函数；
当0a ≠且0b ≠时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数．
21. （1） 1=a ，1=b ； （2）3； （3）5(1]4-，． {}1,2-[]3,1-。
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试题(解析版)
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试题一、单选题1．在中，内角所对的边长分别是。
若，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．C．3km D．【答案】B【解析】先求AB边长和∠ASB，再利用正弦定理，可得结论．【详解】如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS 中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°， ∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴故选：B ．【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．设偶函数的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题设提供的图像信息可知：，故，函数解析式为，又函数是偶函数且，则，所以，则，，应选答案D 。
4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦函数的对称轴和对称中心得到函数的周期，可得ω值，然后利用为对称轴代入解析式可得ϕ值．【详解】函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，当ω取最小值时，•=-，∴ω=2，又函数图象关于直线对称，则2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，主要考查函数的对称性，周期性．二、填空题5．已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=______；【答案】【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，即可得答案．【详解】∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=-3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==-，∴sinα+cosα=，故答案为：． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm ，则此扇形的面积为______cm2；【答案】【解析】由已知可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可计算得解． 【详解】设扇形的圆心角大小为α（rad ），半径为r ，则α=，可得：sin =，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r 2α==．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题． 7．已知3cos()5αβ-=，5sin 13β=-，且(0)2πα∈，，()2πβ∈-，0，则sin α=_________ .【答案】3365【解析】试题分析：由(0)2πα∈，，()2πβ∈-，0得πβα<-<0，所以1312cos ,54)sin(==-ββα， 从而sin α=ββαββαββαsin )cos(cos )sin(])sin[(-+-=+- 6533)135(53131254=-⨯+⨯=，故答案为：3365【考点】三角恒等变形公式．8．若，，则cosθ-sinθ的值是______．【答案】-【解析】求的平方的值，根据角的范围确定符号，即可求出答案．【详解】（cosθ-sinθ）2=1-sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ-sinθ=-，故答案为：-．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，注意利用角的范围来确定三角函数值符号是本题的关键．9．满足不等式()arccos2arccos 1x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：121{11 1 21x x x x -≤≤-≤-≤>-，求解不等式有： 1122{02 13x x x -≤≤≤≤>， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.10．函数的值域为______；【答案】【解析】由，得到，由此能求出函数值域．【详解】∵，∴，∴-≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．11．函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是______；【答案】【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由正弦函数图像的性质即可求得函数值域．【详解】函数f（x）=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=+1，由sin（2x-）∈[-1，1]，∴当sin（2x-）=-1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x-）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的值域的求法，是基础题．12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=-，则b=______．【答案】4【解析】直接利用余弦定理求解即可得b的取值．【详解】由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，得b2=22+c2-2×2×c×（-），即b2=4+49-14b+b2+7-b，15b=60∴b=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．13．函数f （x）=的单调递增区间为______．【答案】，k∈Z【解析】先求函数定义域，因外层函数单调递减，求内层函数t=的减区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间．【详解】∵对数的真数大于零，>0,即，k∈Z得函数定义域为，k∈Z令t=，外层y=单调递减，只需求t的单调递减区间，即由，得x x∈，k∈Z，结合函数的定义域，得x即原函数的增区间，故答案为：k∈Z【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数函数和余弦函数的单调性，解题时容易漏掉对函数定义域的考虑，属于常考题．14．要得到函数的图象，只需将y=sin的图象______．【答案】向左平移个单位【解析】化简两个函数为同名函数，然后利用平移原则求解即可．【详解】函数，只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数的图象，故答案为：向左平移个单位．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中利用左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.15．若函数f（x）＝3|cosx|－cosx＋m, x∈（0, 2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是_________．【答案】－4＜m≤－2或m＝0【解析】3,2 23,22πππ⎫⎛⎪⎭⎝⎤⎥⎦在坐标系中画出函数()g x图象，如下图所示：由其图象可知当直线y m=，(]{}4,20m∈--m，()3cos cosg x x x=-+，()0,2xπ∈的图象与直线y m=有且仅有两个不同的交点．故答案为：(]{}4,20--．【考点】三角函数图像，函数零点．16．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为________.【答案】【解析】由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当时，，应填答案。
2017-2018年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：值域调性上上，图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。
2017-2018年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷含解析
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin 的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：调性在在图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。
2017-2018学年上海市重点中学高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年上海市重点中学高一上学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1、方程组⎩⎨⎧=-=+0402x y x 的解组成的集合为 .2、写出命题“若0≥a 且0≥b ，则≥ab 0”的逆否命题： ．3、 不等式21≥-x 的解集为 ．4、设,0>x 当=x 时，xx 21+取到最小值． 5、已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==,}3|{2xx y x N -==，则=⋂N M ___________． 6、()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，1)(2++=x x x f ，则0>x 时，=)(x f ．7、已知命题42:<≤x α，命题β:m x m -≤≤+6，且β是α的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是 ．8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .9、关于x 的不等式01222>-++-k k kx x 的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =______. 10、若不等式()0≤x f 的解集是[3,2]-，不等式()0≤x g 的解集是φ，且()x f ，()x g 中，R x ∈，则不等式()()0>x g x f 的解集为 . 11、设关于x 的不等式210ax x a-<-的解集为S ，且S S ∉∈3,2，则实数a 的取值范围为 ．12、设函数()⎩⎨⎧∈-∈=M x x P x xx f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){}P x x f y y P A ∈==,，()(){}M x x f y y M A ∈==,，下列所有错误的说法的序号是 .（1）若φ=⋂M P ，则()()φ=⋂M A P A ；（2）若R M P ≠⋃，则()()R M A P A ≠⋃； （3）若φ≠⋂M P ，则()()φ≠⋂M A P A ；（4）若R M P =⋃，则()()R M A P A =⋃。
上海市上海中学2017-2018学年度高一上学期期中考试数学试卷及答案
上海中学2017-2018学年上学期高一期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x +=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式2(3)30x --<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若A B B ≠且AB ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（ ）（A ）{}01x x << （B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或 （D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（ ）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（ ）（A ）7- （B ）7 （C ）5- （D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<； （2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+； （2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；。
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．已知角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上，sin α+cos α＝ ；2．一扇形的中心角为π3弧度，中心角所对的弦长为2cm ，则此扇形的面积为 cm 2；3．已知cos （α﹣β）=35，sin β=−513，且α（0，π2），β∈（−π2，0），则sin α＝ ．4．若θ∈（π4，π2），sin2θ=116，则cos θ﹣sin θ的值是 ． 5．满足不等式arccos2x ＜arccos （1﹣x ）的x 的取值范围为 ． 6．函数y =arcsin(cosx)(−π3≤x ≤2π3)的值域为 ；7．函数f （x ）＝2sin 2x +sin2x 的值域是 ；8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ．9．函数f （x ）=log 12cos(−13x +π4)的单调递增区间为 ．10．要得到函数y ＝cos （x 2−π4）的图象，只需将y ＝sin x2的图象 ．11．若函数f （x ）＝3|cos x |﹣cos x +m ，x ∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m 的取值范围是 ．12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC 的面积S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]．其中a ，b ，c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边．若b ＝2，且tan C =√3sinB1−√3cosB，则△ABC 的面积S 的最大值为 ．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．若c ﹣a cos B ＝（2a ﹣b ）cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形14．张晓华同学骑电动自行车以24km /h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是（ ）A ．2kmB ．3√2kmC ．3kmD ．2√2km15．图是偶函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f(16)=（ ）A ．−√34B ．−14C ．−12D ．√3416．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x =π3对称，且f(7π12)=0，则ω取最小时，ϕ的值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6三、解答题（48分）17．已知函数f(x)=4sin 3xcosx −2sinxcosx −12cos4x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f （x ）在区间[0，π4]上的最大值和最小值及相应的x 值；18．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈(π6，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记A（x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（Ⅰ）若x1=13，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．19．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B 点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．性质理由结论得分定义域值域奇偶性周期性单调性对称性作图21．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）＝f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）＝cos x+sin x，α=π2，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得g(x)=2cosx(cosx+√3sinx)；（3）当f（x）＝|sin x|+cos x，α=π2时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共计36分）1．已知角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上，sin α+cos α＝15；【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α和cos α的值，可得sin α+cos α的值．解：∵角α的终边在射线y =−43x(x ≤0)上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P （x ，y ），取x ＝﹣3，y ＝4，则r ＝|OP |＝5，∴sin α=y r =45，cos α=x r =−35，∴sin α+cos α=15， 故答案为：15．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．一扇形的中心角为π3弧度，中心角所对的弦长为2cm ，则此扇形的面积为2π3cm 2；【分析】由已知可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可计算得解． 解：设扇形的圆心角大小为α（rad ），半径为r ，则α=π3， 可得：sinα2=1r，可得：r =1sin π6=2，可得扇形的面积为S =12r 2α=12×22×π3=2π3．故答案为：2π3．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．3．已知cos （α﹣β）=35，sin β=−513，且α（0，π2），β∈（−π2，0），则sin α＝ 3365． 【分析】由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos （α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin （α﹣β）的值，再由sin β的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos β的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 解：∵α∈（0，π2），β∈（−π2，0），∴α﹣β∈（0，π）， 又cos （α﹣β）=35，sin β=−513， ∴sin （α﹣β）=√1−cos 2(α−β)=45，cos β=√1−sin 2β=1213， 则sin α＝sin[（α﹣β）+β]＝sin （α﹣β）cos β+cos （α﹣β）sin β =45×1213+35×（−513）=3365． 故答案为：3365【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围． 4．若θ∈（π4，π2），sin2θ=116，则cos θ﹣sin θ的值是 −√154． 【分析】求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可． 解：（cos θ﹣sin θ）2＝1﹣sin2θ=1516，又 θ∈(π4，π2)，cos θ＜sin θ 所以cos θ﹣sin θ=−√154，故答案为：−√154．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．5．满足不等式arccos2x ＜arccos （1﹣x ）的x 的取值范围为 （13，12] ．【分析】由y ＝arccos x 在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x ＜2x ≤1，解不等式即可得到所求范围．解：arccos2x ＜arccos （1﹣x ）， 由y ＝arccos x 在[﹣1，1]递减，可得 ﹣1≤1﹣x ＜2x ≤1，即为x ≤2且x ＞13且x ≤12，可得13＜x ≤12，则x 的取值范围是（13，12]．故答案为：（13，12]．【点评】本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．6．函数y=arcsin(cosx)(−π3≤x≤2π3)的值域为[−π6，π2]；【分析】由−π3≤x≤2π3，得到−12≤cosx≤1，由此能求出函数y=arcsin(cosx)(−π3≤x≤2π3)的值域．解：∵−π3≤x≤2π3，∴−12≤cosx≤1，∴−π6≤arcsin（cos x）≤π2．∴函数y=arcsin(cosx)(−π3≤x≤2π3)的值域为[−π6，π2]．故答案为：[−π6，π2]．【点评】本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．7．函数f（x）＝2sin2x+sin2x的值域是[1−√2，1+√2]；【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再由正弦函数的值域求得函数f（x）的值域．解：函数f（x）＝2sin2x+sin2x＝1﹣cos2x+sin2x=√2sin(2x−π4）+1，由sin（2x−π4）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x−π4）＝﹣1时，f（x）取得最小值为1−√2，当sin（2x−π4）＝1时，f（x）取得最大值为1+√2．∴函数的值域为[1−√2，1+√2]．故答案为：[1−√2，1+√2]．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的值域的求法，是基础题．8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b+c＝7，cos B=−14，则b＝4．【分析】利用余弦定理，根据题设中的a＝2，c+b＝7，cos B=−14，直接求得b即可．解：由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b 2＝22+c 2﹣2×2×c ×（−14），即b 2＝4+49﹣14b +b 2+7﹣b ，15b ＝60 ∴b ＝4． 故答案为：4．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力．9．函数f （x ）=log 12cos(−13x +π4)的单调递增区间为 (6kπ+3π4，6kπ+9π4)，k ∈Z ．【分析】先根据对数的真数必须大于零，求出函数的定义域．为了求出原函数的单调减区间，研究真数对应的余弦型函数的增区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间． 解：∵对数的真数大于零∴cos(−13x +π4)＞0⇒2kπ−π2＜−13x +π4＜2kπ+π2，k ∈Z 解之得函数的定义域为：(6kπ−3π4，6kπ+9π4)，k ∈Z令t =cos(−13x +π4)=cos(13x −π4)∵0＜12＜1 ∴t 关于x 的单调减区间是函数f （x ）=log 12cos(−13x +π4)的单调递增区间由2kπ＜13x −π4＜2kπ+π，k ∈Z ，得x ∈(6kπ+3π4，6kπ+15π4)，k ∈Z ， 再结合函数的定义域，得x ∈(6kπ+3π4，6kπ+9π4)，是原函数的增区间 故答案为：(6kπ+3π4，6kπ+9π4)【点评】本题以对数型函数为例，考查了复合三角函数的单调性，属于中档题．解题的同时要注意单调区间应该是函数的定义域的子集．10．要得到函数y ＝cos （x2−π4）的图象，只需将y ＝sin x2的图象 向左平移π2个单位 ．【分析】化简两个函数为同名函数，然后利用平移原则求解即可．解：函数y ＝cos （x2−π4）＝cos （−x2+π4）＝sin （x2+π4），只需将y ＝sin x2的图象向左平移π2个单位，即可得到函数y ＝cos （x 2−π4）的图象，故答案为：向左平移π2个单位．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x 的系数．11．若函数f （x ）＝3|cos x |﹣cos x +m ，x ∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m 的取值范围是 （﹣4，﹣2]∪{0} ．【分析】根据cos x ≥0和cos x ＜0对应的x 的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出m 的取值范围．解：∵令g （x ）＝﹣3|cos x |+cos x ={−2cosx ，x ∈(0，π2)∪(3π2，2π)4cosx ，x ∈[π2，3π2]，x ∈（0，2π）， 在坐标系中画出函数f （x ）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y ＝m ，m ∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g （x ）＝﹣3|cos x |+cos x ，x ∈（0，2π）的图象与直线y ＝m 有且仅有两个不同的交点． 故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．【点评】本题的考点是余弦函数的图象应用，即根据x 的范围化简函数解析式，根据余弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力． 12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC 的面积S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]．其中a ，b ，c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边．若b ＝2，且tan C =√3sinB1−3cosB，则△ABC 的面积S 的最大值为 √3 ．【分析】由已知利用正弦定理可求c =√3a ，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 解：∵tan C =√3sinB1−3cosB∴sin C =√3sin （B +C ）=√3sin A ， ∴c =√3a ，∵b＝2，∴S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√−14(a2−4)2+3，∴a＝2时，△ABC的面积S的最大值为√3，故答案为√3．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣a cos B＝（2a﹣b）cos A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cos A（sin B﹣sin A）＝0，从而可得A=π2或B＝A或B＝π﹣A（舍去）．解：∵c﹣a cos B＝（2a﹣b）cos A，C＝π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sin C﹣sin A cos B＝2sin A cos A﹣sin B cos A，∴sin A cos B+cos A sin B﹣sin A cos B＝2sin A cos A﹣sin B cos A，∴cos A（sin B﹣sin A）＝0，∵cos A＝0，或sin B＝sin A，∴A=π2或B＝A或B＝π﹣A（舍去），故选：D．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．14．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3√2km C．3km D．2√2km 【分析】先求AB，∠ASB，再利用正弦定理，可得结论．解：如图，由条件知AB＝24×1560=6．在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°﹣75°＝105°，∴∠ASB＝45°．由正弦定理知BSsin30°=ABsin45°，∴BS=ABsin30°sin45°=3√2故选：B．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．图是偶函数f（x）＝A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f(16)=（）A．−√34B．−14C．−12D．√34【分析】通过函数的图象，利用KL 以及∠KML ＝90°求出求出A ，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f （16）的值．解：因为f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1， 所以A =12，T ＝2，因为T =2πω，所以ω＝π， 函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=π2，∴函数的解析式为：f （x ）=12sin （πx +π2），所以f （16）=12sin （π6+π2）=√34．故选：D ．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，属于中档题．16．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x =π3对称，且f(7π12)=0，则ω取最小时，ϕ的值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω取最小时，ϕ的值． 解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x =π3对称，且f(7π12)=0， 则ω取最小时，14•2πω=7π12−π3，∴ω＝2，再根据2•π3+φ=3π2，2•7π12+φ＝2π，求得φ=5π6，故选：D ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 三、解答题（48分）17．已知函数f(x)=4sin 3xcosx −2sinxcosx −12cos4x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f （x ）在区间[0，π4]上的最大值和最小值及相应的x 值；【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f （x ）=−√22sin（4x +π4），利用周期公式可求函数f （x ）的最小正周期，由2k π+π2≤4x +π4≤2k π+3π2，k ∈Z ，可得函数f （x ）的单调递增区间．（2）由x ∈[0，π4]，可得4x +π4∈[π4，5π4]，利用正弦函数的性质可得f （x ）在区间[0，π4]上的最大值和最小值及相应的x 值．解：（1）∵f （x ）＝4sin 3x cos x ﹣2sin x cos x −12cos4x＝sin2x ×（1﹣cos2x ）﹣sin2x −12cos4x =−12sin4x −12cos4x =−√22sin （4x +π4）， ∴函数f （x ）的最小正周期T =2π4=π2． ∵由2k π+π2≤4x +π4≤2k π+3π2，k ∈Z ，可得：kπ2+π16≤x ≤kπ2+5π16，k ∈Z ， ∴函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ2+π16，kπ2+5π16]，k ∈Z ；（2）∵x ∈[0，π4]，∴4x +π4∈[π4，5π4]，∴sin （4x +π4）∈[−√22，1]，∴f （x ）=−√22sin （4x +π4）∈[−√22，12]，可得当x =π4时，f （x ）在区间[0，π4]上的最大值为12，当x =π16时，取得最小值为−√22．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．18．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈(π6，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记A（x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （Ⅰ）若x 1=13，求x 2；（Ⅱ）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．若S 1＝2S 2，求角α的值．【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得 x 1＝cos α=13，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据x 2=cos(α+π3)，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin(α+π3)，分别求得S 1 和S 2 的解析式，再由S 1＝2S 2 求得cos2α＝0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x 1＝cos α，x 2=cos(α+π3)．因为 α∈(π6，π2)，cosα=13，所以 sinα=√1−cos 2α=2√23．所以 x 2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．（Ⅱ）解：依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin(α+π3)． 所以 S 1=12x 1y 1=12cosα⋅sinα=14sin2α， S 2=12|x 2|y 2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)． 依题意S 1＝2S 2 得 sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝﹣2[sin2αcos 2π3+cos2αsin 2π3]＝sin2α−√3cos2α， 整理得 cos2α＝0． 因为π6＜α＜π2，所以π3＜2α＜π，所以 2α=π2，即 α=π4．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．19．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B 点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【分析】（1）△ACD中，由∠DAC＝30°推断出CD＝AC，根据CB是△CAD底边AD的中垂线，得出BD＝BA；（2）△ABC中利用正弦、余弦定理求得AB的长即得BD的距离．解：（1）△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°﹣∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1．又∠BCD＝180﹣60°﹣60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA；（2）△ABC中，由正弦定理得ABsin∠BCA =ACsin∠ABC，sin215°=1−cos30°2，可得sin15°=√6−√24，即AB=ACsin60°sin15°=3√2+√620，因此，BD=3√2+√620≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查分析问题解决问题的能力．20．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．性质理由结论得分定义域值域奇偶性周期性单调性对称性作图【分析】由正弦函数的最大最小值，可得函数的定义域为R；由平方法结合余弦函数的有界性，得到函数的值域为[√2，2]；由函数周期性的定义加以验证，得到函数的最小正周期为π；讨论函数在区间[0，π]上的单调性，结合函数的周期可得函数在R上的单调区间；最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式，算出f（x）在其定义域上为偶函数，图象关于直线x=kπ2对称．由此即可得到本题的答案．解：∵1﹣sin x ≥0且1+sin x ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ；∵f 2(x)=(√1−sinx +√1+sinx)2=2+2|cos x |∴由|cos x |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[√2，2]； ∵f(x +π)=√1+sinx +√1−sinx =f （x ） ∴函数的最小正周期为π∵当x ∈[0，π2]时，f(x)=√1−sinx +√1+sinx =2cos x2，在[0，π2]上为减函数当x ∈[π2，π]时，f(x)=√1−sinx +√1+sinx =2sin x 2，在[π2，π]上为增函数∴f （x ）在[kπ−π2，kπ]上递增，在[kπ，kπ+π2]上递减（k ∈Z ） ∵f （﹣x ）＝f （x ）且f(π2−x)=f(π2+x)，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x =kπ2对称因此，可得如下表格： 性质 理由 结论 得分 定义域 ﹣1≤sin x ≤1 定义域R 1分 值域 y 2＝2+2|cos x |∈[2，4] 值域[√2，2] 2分 奇偶性 f （﹣x ）＝f （x ） 偶函数 1分 周期性 f （x +π）＝f （x ） 周期T ＝π2分 单调性f(x)={2cos x2x ∈[0，π2]2sin x 2x ∈[π2，π]在[kπ−π2，kπ]上递增，在[kπ，kπ+π2]上递减（k ∈Z ）2分对称性f （﹣x ）＝f （x ），f(π2−x)=f(π2+x)，…关于直线x =kπ2对称（k ∈Z ）2分作图2分【点评】本题给出根号下含有三角函数式的函数，求函数的单调性、周期性、奇偶性，并求函数的单调区间和值域．着重考查了三角函数的值域、正余弦函数的图象与性质和函数图象对称轴的求法等知识，属于中档题．21．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）＝f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）＝cos x+sin x，α=π2，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得g(x)=2cosx(cosx+√3sinx)；（3）当f（x）＝|sin x|+cos x，α=π2时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【分析】（1）求出f（x+α），代入g（x）＝f（x）•f（x+α）化简得出．（2）对g（x）化简得g(x)=2cosx(cosx+√3sinx)=4cos x•cos（x−π3），故f（x）＝2cos x，α=−π3．（3）求出g（x）的解析式，判断g（x）在何时取的最大值和最小值，解：（1）∵f（x）＝cos x+sin x，α=π2∴f（x+α）＝cos（x+π2）+sin（x+π2）＝cos x﹣sin x；∴g（x）＝（cos x+sin x）（cos x﹣sin x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x．（2）∵g(x)=2cosx(cosx+√3sinx)=4cos x•cos（x−π3），∴f（x）＝2cos x，α=−π3．（3）∵f（x）＝|sin x|+cos x，∴g（x）＝f（x）•f（x+α）＝（|sin x|+cos x）（|cos x|﹣sin x）={ cos2x ，x ∈(2kπ，2kπ+π2]−sin2x −1，x ∈(2kπ+π2，2kπ+π]−cos2x ，x ∈(2kπ+π，2kπ+3π2]1−2sin2x ，x ∈(2kπ+3π2，2kπ+2π]， 因为存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2）恒成立， 所以当x 1＝2k π+π或x 1=2kπ+π2，k ∈Z 时，g （x ）≥g （x 1）＝﹣1 当x 2=2kπ+7π4，k ∈Z 时，g （x ）≤g （x 2）＝2 所以|x 1−x 2|=|2k 1π+π−(2k 2π+7π4)|，k 1、k 2∈Z 或|x 1−x 2|=|2k 1π+π2−(2k 2π+7π4)|，k 1、k 2∈Z 所以|x 1﹣x 2|的最小值是3π4．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，分段函数的应用，属于中档题．。
2017-2018学年上海市南模中学高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年上海市南模中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．3．（3分）设α：x≥2或x≤﹣5，β：x≥﹣2m+1或x≤2m﹣3，m∈R，α是β的充分非必要条件，则m的取值范围为．4．（3分）函数y=的定义域是．5．（3分）函数，，f（x）•g（x）=．6．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=20，则xy的最大值是．7．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为．8．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是．9．（3分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．10．（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=．11．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．12．（3分）已知命题P：方程x2+4x+m﹣1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m﹣2=0无实根．若P、q两命题中一真一假，则m的取值范围是．二、选择题：13．（3分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件14．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．15．（3分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数16．（3分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16三、解答题：17．已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+|a+2|（a∈R）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）若h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知函数（1）当a=0，b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞k（k∈R）（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且关于x的方程f（x）=x的解集中恰有一个元素．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值；（3）当时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市南模中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．3．（3分）设α：x≥2或x≤﹣5，β：x≥﹣2m+1或x≤2m﹣3，m∈R，α是β的充分非必要条件，则m的取值范围为[﹣0.5，+∞）．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：若α是β的充分非必要条件，则，即，即，即m≥﹣0.5，即实数m的取值范围是[﹣0.5，+∞），故答案为：[﹣0.5，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系进行转化是解决本题的关键．4．（3分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．5．（3分）函数，，f（x）•g（x）=x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．【分析】求出f（x）和g（x）的定义域即可得出f（x）g（x）的定义域，从而得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴f（x）g（x）的定义域为{x|x≠﹣3且x≠0}．∴f（x）g（x）==x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．故答案为：x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．【点评】本题考查了函数的定义域，属于基础题．6．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=20，则xy的最大值是50．【分析】由基本不等式可得x+2y≥2，解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y=20，由x+2y≥2，可得20≥2，则xy≤50，当且仅当x=2y=10时，取得等号，即xy的最大值为50．故答案为：50．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．7．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．【分析】不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．【解答】解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．8．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是0≤k＜4．【分析】问题转化为kx2﹣kx+1≤0解集为∅，分类讨论结合二次函数的性质可得．【解答】解：∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴不等式≤0等价于kx2﹣kx+1≤0，当k=0时，kx2﹣kx+1≤0可化为1≤0，解集为∅，当k≠0时，可得，解得0＜k＜4，综合可得k的取值范围为0≤k＜4故答案为：0≤k＜4．【点评】本题考查分式不等式的解集，涉及恒成立问题，属基础题．9．（3分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为[﹣1，1] ．【分析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为[﹣1，0]；当x＞0时，f（x）=﹣x+2，代入不等式得：﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]【点评】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题．10．（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=﹣7．【分析】根据f（x）为定义在R上的奇函数则f（0）=0求出b的值，然后根据奇函数得到f（﹣2）=﹣f（2）代入解析式可求出所求．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），f（0）=1+b=0，b=﹣1．∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣22﹣4﹣（﹣1）=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数求值，属于基础题．11．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【分析】由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x，结合函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）可求x＞0时的函数的表达式，进而可求函数g（x）【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|【点评】本题以新定义为切入点，主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于函数知识的综合应用12．（3分）已知命题P：方程x2+4x+m﹣1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m﹣2=0无实根．若P、q两命题中一真一假，则m的取值范围是（1，3]∪[5，+∞）．【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：若方程2+4x+m﹣1=0有两不等的负根，则，即解得m＜1；即命题p：m＜1，…（4分）若方程4x2+4x+m﹣2=0无实根，则△=16﹣16（m﹣2）=48﹣16m＜0，解得：m＞3．即命题q：m＞3…（8分）由题意知，命题p、q一真一假，即命题p为真，命题q为假时，，得m＜1，若命题p为假，命题q为真．则，得m＞3，综上：m＞3或m＜1．…（14分）【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．答题：maths老师二、选择题：13．（3分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．14．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．15．（3分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．16．（3分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A 的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故选：D．【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．三、解答题：17．已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．【分析】（1）根据题意，当a=3时，不等式可以变形为（x﹣3）（x+1）≤0且x+1≠0，解可得其解集，即可得P；（2）根据题意，解|x﹣1|＜1可得集合Q，解可得集合P，又由P∪Q=P，分析可得Q⊆P，由集合间的包含关系，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若a=3，则有≥0⇒（x﹣3）（x+1）≤0且x+1≠0，解可得﹣1＜x≤3，即不等式的解集为（﹣1，3]，即P=（﹣1，3]；（2）|x﹣1|＜1⇒﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2，则Q=（0，2）；⇒（x﹣a）（x+1）≤0且x+1≠0，又由a＞0，⇒﹣1＜x≤a，即P=（﹣1，a]；若P∪Q=P，则Q⊆P，必有a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查其他不等式的解法，涉及集合间包含关系的判定，属于基础题．18．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+|a+2|（a∈R）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）若h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1），由题意可得f（x）=g（x）+h（x）=x2+（a+1）x+|a+2|，①，f（﹣x）=g（x）+h（x）=x2﹣（a+1）x+|a+2|，②，由①②解得即可，（2）需要分类讨论，根据△≤0，即可求出a的范围【解答】解：（1）f（x）=g（x）+h（x）=x2+（a+1）x+|a+2|，①，f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=x2﹣（a+1）x+|a+2|，②，由①+②可得h（x）=x2+|a+2|，由①﹣②可得g（x）=（a+1）x，（2）∵h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，∴x2+|a+2|≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，当a≥﹣2时，则x2+a+2≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，即x2﹣（a+1）x+a+2≥0对于任意的x∈R 恒成立，∴△=（a+1）2﹣4（a+2）≤0解得1﹣2≤a≤1+2，当a＜﹣2时，则x2﹣a﹣2≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，即x2﹣（a+1）x﹣a﹣2≥0对于任意的x∈R 恒成立，∴△=（a+1）2+4（a+2）≤0解得a=﹣3，综上所述a的取值范围为．【点评】本题考查函数解析式的求解，不等式恒成立的问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．已知函数（1）当a=0，b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞k（k∈R）（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）讨论k＞0，k=0，k＜0，解不等式即可得到所求解集；（2）讨论当a=0，b≠0时，当a≠0，b=0时，当a=0，b=0时，当a≠0且b≠0时，判断函数的奇偶性即可得到．【解答】解：（1）当a=0，b=1时，f（x）=，当k＞0时，即＞k，解得；当k=0时，x∈（0，+∞）；当k＜0时，；（2）当a=0，b≠0时，f（x）=为奇函数；当a≠0，b=0时，f（x）=ax2为偶函数；当a=0且b=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数；当a≠0且b≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．【点评】本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且关于x的方程f（x）=x的解集中恰有一个元素．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值；（3）当时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）依题意，a+b=2，由x（）=0有且仅有一个实数解x=0可求得b=1，a=1；（2）由（1）知，P（x，），从而可得|AP|2=（+1）2+[（x+1）﹣1]2，通过换元，令t=，得|AP|2═（t﹣）2+2（t﹣）+4，再令r=t﹣，通过配方即可求得|AP|的最小值；（3）依题意，x∈（，]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔（1+m）x＞m2﹣1恒成立，通过对m+1＞0与m+1＜0的讨论，结合函数恒成立问题即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，且f（1）=，∴=，即a+b=2；又f（x）=x有且仅有一个实数解，∴x（）=0有且仅有一个实数解，为0．∴b=1，a=1．∴f（x）=．（2）由（1）知，P（x，），|AP|2=（﹣2）2+x2=（）2+x2=（+1）2+[（x+1）﹣1]2，令t=，则|AP|2=t2+2t+1+（）2﹣+1=（t﹣）2+2（t﹣）+4，令r=t﹣，则|AP|2=r2+2r+4=（r+1）2+3，∴当r=﹣1，即t﹣=﹣1，t=时，|AP|的最小值为．（3）∵x∈（，]，∴x+1＞＞0，∴（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔x＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔（1+m）x＞m2﹣1，当m+1＞0，即m＞﹣1时，有m﹣1＜x恒成立⇔m＜x+1⇔m＜（x+1）min，∴﹣1＜m≤；当m+1＜0，即m＜﹣1时，同理可得m＞（x+1）max=，∴此时m不存在．综上得﹣1＜m≤．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查方程思想、分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查换元法与配方法，考查推理与运算能力，属于难题．。
上海市南洋模范中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市南洋模范中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设集合,,则( )A BCD2． 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有1()(2)2g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.3． 记集合{}22(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x y =+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ） A ．12p B ．1p C ．2pD ．13p【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-25． 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )。
A-3BC D26． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A ．B ．3C ．3D ．27． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．8． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +9． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.11．“3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．12．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.15．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 16．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市南洋模范中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题
绝密★启用前 上海市南洋模范中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知x ∈R ，则“1x ≠”是“2430x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．若a c h -<，b c h -<，则下列不等式一定成立的是（ ） A.2a b h -< B.2a b h -> C.a b h -< D.a b h -> 3．已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（ ） . A ．能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的12 B ．能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的12 C ．能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的12 D ．不一定能构成三角形 4．已知函数()1x x e m f x e +=+，若对任意1x 、2x 、3x R ∈，总有()1f x 、()2f x 、()3f x 为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是（ ） A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.[]0,1 C.[]1,2 D.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知集合2|05xA xx-⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R=--≥∈，则A B=______. 6．已知函数()()arcsin21f x x=+，则16fπ-⎛⎫=⎪⎝⎭______.7．在()0,2π内，使sin cosx x≤成立的x的取值范围为____________8．函数()()20.5log32f x x x=-+-的单调递增区间为______.9．函数y x x=的反函数是__________.10．若对任意x∈R，不等式2sin22sin0x x m+-<恒成立，则m的取值范围是_____. 11．设数列{}n a的前n项和为n S，若11a=，()114n nS a n N*+=∈，则nS=________. 12．数列{}n x中，10x=，()111n nnx x n Nn n*++=+∈，则数列{}n x的通项公式n x= ________.13．设()f x是定义域为R的奇函数，()g x是定义域为R的偶函数，若函数()()f xg x+的值域为[)1,3，则函数()()f xg x-的值域为________.14．已知()()()sin0f x A x Aωϕω=++>，若两个不相等的实数1x、()22Ax x f x⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭，且12minx xπ-=，则()f x的最小正周期为________. 15．函数()()224sin164xf x x x xπ=-+-≤≤的值域为________.16．函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________．三、解答题………订……※※线※※内※※答※※………订……17．已知()2f x kx=+，不等式()3f x<的解集为()1,5-，不等式()1xf x≥的解集为A；（1）求集合A；（2）设()()22log22g x ax x=-+的定义域为B，若B A≠∅，求实数a的取值范围.18．下图为函数()()sin0,0,02f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，()0,1E是线段MD的中点，且OME∆为等腰直角三角形.（1）求()f x的解析式；（2）将函数()f x图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12个单位长度得到()g x的图象，求()g x的解析式及单调增区间，对称中心.19．在ABC∆中，,,a b c分别为内角,,A B C所对的边，且满足()2cos cosb A C=．(1)求A的大小；(2)在(1)的条件下，现在给出三个条件:2,,4a B cπ===，试从中选出两个可以确定ABC∆的条件，写出你的选择，并以此为依据求ABC∆的面积(请至少选出两种可行的方案)．20．对于函数()1f x、()2f x、()h x，如果存在实数a、b使得()()()12h x af x bf x=+，那么称()h x为()1f x、()2f x的生成函数.（1）若()1s i nf x x=，()2cosf x x=，()sin3h x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()h x是否分别为()1f x、()2f x 的生成函数？并说明理由； （2）设()12log f x x =，()212log f x x =，2a =，1b =，生成函数()h x ，若不等式()()420h x th x +<在[]2,4x ∈上有解，求实数t 的取值范围； （3）设()()10f x x x =>，()()210f x x x =>取0a >，0b >，生成函数()h x 图象的最低点坐标为()2,8，若对于任意正实数1x 、2x 且121x x =+，试问是否存在最大的常数m ，使()()12h x h x m ≥恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由. 21．对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足()1121n k n k n k n k n a a a a k a --++-+++⋅⋅⋅++=+对任意正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是()AP k 数列，若正数项数列{}n b ，满足：()2111k n k n k n k n k n b b b b b +--++-+⋅⋅⋅=对任意正整数()n n k >恒成立，则称{}n b 是()GP k 数列； （1）已知正数项数列{}n a 是()1GP 数列，且前五项分别为4、2a 、2、4a 、1，求4a 的值； （2）若()2sin 0n a n n ωω=+>为常数，且{}n a 是()2AP 数列，求ω的最小值； （3）对于下列两种情形，只要选作一种，满分分别是 ①7分，②8分，若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分. ① 证明：数列{}n a 是等差数列的充要条件为“{}n a 既是()2AP 数列，又是()3AP 数列”； ②证明：正数项数列{}n b 是等比数列的充要条件为“数列{}n b 既是()2GP 数列，又是()3GP 数列”.参考答案1．B【解析】【分析】解不等式2430x x -+≠，然后利用集合的包含关系来判断出两条件的必要不充分条件关系.【详解】解不等式2430x x -+≠，得1x ≠且3x ≠，因此，“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合的包含关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.2．A【解析】【分析】 由()()a b a c b c -=---，然后利用绝对值三角不等式可得出正确选项.【详解】 由绝对值三角不等式可得()()2a b a c b c a c b c h h h -=---≤-+-<+=， 故选：A.【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，解题的关键就是将所求代数式利用已知的代数式加以表示，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C【解析】【详解】 由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C===，故以sin A 、sin B 、sin C 组成的三角形与△ABC 相似， 其面积为△ABC 面积的14, 选C. 4．D【解析】【分析】依题意可得到()()()123f x f x f x +>对任意的1x 、2x 、3x R ∈恒成立，将函数()y f x =的解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m 转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式，进而求出实数m 的取值范围.【详解】由题意可得，()()()123f x f x f x +>对任意的1x 、2x 、3x R ∈恒成立，()()1111111x x x x x e m e m m f x e e e ++-+-===++++Q . 当1m >时，函数()y f x =是R 上的减函数，该函数的值域为()1,m ，故()()122f x f x +>，()3f x m <，2m ∴≤，此时，12m <≤.当1m =时，()1f x =，则()()()123f x f x f x +>对任意的1x 、2x 、3x R ∈恒成立； 当1m <时，函数()y f x =是R 上的增函数，该函数的值域为(),1m ，故()()122f x f x m +>，()31f x <，21m ∴≥，则12m ≥.，此时，112m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D.【点睛】本题考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时也考查了分类讨论的思想，属于难题.5．()[),23,-∞+∞U【解析】【分析】分别解分式不等式和二次不等式,得集合A 与集合B,即可求得A B . 【详解】 因为集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,解得{}52A x x =-<<集合{}2|230,B x x x x R =--≥∈,解得{}|13B x x x =≤-≥或则()[),23,A B =-∞+∞U U .【点睛】本题考查了分式不等式与二次不等式的解法,并集的运算,属于基础题.6．14- 【解析】【分析】根据反函数定义,先求得()()arcsin 21f x x =+的反函数,再代入求解即可.【详解】因为()()arcsin 21f x x =+即()arcsin 21y x =+令y x =,则()arcsin 21x y =+ 化简可得11sin 22y x =-+,（x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），即()111sin 22f x x -=-+ 所以1111162224f π-⎛⎫=-+⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.7．50,,244πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】把不等式变形为sin cos 0x x -≤,不等式的左边用辅助角公式变形为正弦型函数的形式,运用正弦型函数的正负性,.可以求出x 的取值范围.【详解】sin cos sin cos 0)0222()44x x x x x k x k k Z ππππππ≤⇒-≤⇒-≤⇒+≤-≤+∈,即5922()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈,又因为()0,2x π∈,所以50,,244x πππ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：50,,244πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【点睛】 本题考查了三角不等式的解法,应用辅助角公式是解题的关键.本题还可以在同一直角坐标系内画出函数sin cos y x y x ==、,()0,2x π∈的图象,运用数形结合思想可以解出, 还可以画出单位圆,利用正弦线和余弦线的知识也可以解答出来.8．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间.【详解】由对数函数真数大于0,可得 2320x x -+->,解得()1,2x ∈函数()()20.5log 32f x x x =-+-是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可 二次函数单调递减区间是3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求. 9．[0)(0)x y x ∈+∞=∈-∞⎪⎩，， 【解析】【分析】根据原函数的表达式用y 表示出x ，再将x ，y 互换得原函数的反函数，则原函数的值域为反函数的定义域． 【详解】当0x ≥时，2y x =，且0y ≥∴x =，0y ≥，互换x ，y可得y =0x ≥当0x ＜时，2y x =-且0y ＜，∴x =0y ＜，互换x ，y可得y =0x < 故函数y x x =的反函数是[0)(0)x y x ∈+∞=∈-∞⎪⎩，，【点睛】本题考查反函数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意反函数定义域的求法．10．1,)+∞ 【解析】 【分析】问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝sin2cos21x x -+的最大值即可．【详解】不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos21214m x x x π⎛⎫>-+=-+ ⎪⎝⎭.214x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1，1m ∴>，故答案为：)1,+∞.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题． 11．()15n n N -*∈【解析】 【分析】将11n n n a S S ++=-代入114n n S a +=可得出数列{}n S 为等比数列，求出该等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式可求出n S . 【详解】()11n n n a S S n N *++=-∈Q ，()111144n n n n S a S S ++∴==-，化简得15n n S S +=，则15n n S S +=. 所以，数列{}n S 是以111S a ==为首项，以5为公比的等比数列，因此，11155n n n S --=⨯=.故答案为：()15n n N -*∈.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，在计算n S ，充分利用11n n n a S S ++=-求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 12．()1n n N *-∈【解析】 【分析】 在等式111n n n x x n n++=+两边同时除以1n +，得()1111n n x x n n n n +=+++，然后利用累加法求出数列n x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由此可得出n x . 【详解】 在等式111n n n x x n n++=+两边同时除以1n +，得()1111n n x x n n n n +=+++，即11111n n x x n n n n +-=-++. 211122x x ∴-=-，32113223x x -=-，，11111n n x x n n n n--=---. 上述等式全部相加得11111111112231n x n x n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，1n x n n n-∴=，因此，1n x n =-. 故答案为：()1n n N*-∈.【点睛】本题考查利用构造法和累加法求数列的通项，同时用到了裂项求和，考查计算能力，属于中等题. 13．(]3,1-- 【解析】 【分析】设()()()h x f x g x =+，根据奇偶性的定义得出()()()f x g x h x -=--，再根据不等式的性质即可得出函数()()y f x g x =-的值域. 【详解】设()()()h x f x g x =+，由于该函数的值域为[)1,3，则函数()y h x =-的值域也为[)1,3，即()13h x ≤-<.函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，()y g x =是R 上的偶函数，()()()()()h x f x g x f x g x ∴-=-+-=-+，则()()()f x g x h x -=--，由不等式的性质得()31h x -<--≤-，因此，函数()()f x g x -的值域为(]3,1--. 故答案为：(]3,1--. 【点睛】本题考查了抽象函数的值域，同时也考查了函数奇偶性的应用以及不等式的性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14．3π 【解析】 【分析】由()()122A f x f x ==，可得出()()121sin sin 2x x ωϕωϕ+=+=-，可得出12x x -所满足的两个关于ω的表达式，再结合题中等式可得出ω的值，由此得出该函数的最小正周期. 【详解】由题意可知()()122A f x f x ==，可得出()()121sin sin 2x x ωϕωϕ+=+=-，()122k x x k N πω*∴-=∈，或112252626x k x k πωϕππωϕπ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+=-+⎪⎩，其中1k 、2k Z ∈， 两式相减得()()2121223x x k k πωπ-=+-，()12223n x x n N ππωω*∴-=+∈， 12min23x x ππω∴-==，解得23ω=，因此，函数()y f x =的最小正周期为2323ππ=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查函数最小正周期的计算，解题的关键就是要已知条件得出12x x -关于ω的表达式，考查计算能力，属于中等题. 15．[]3,29 【解析】 【分析】分析函数()y f x =在区间[]1,6的单调性，利用单调性得出函数()y f x =的最大值和最小值，由此可得出函数()()16y f x x =≤≤的值域. 【详解】设()22g x x x =-，()4sin4xh x π=-，作出函数()y g x =在区间[]1,6上的图象如下图所示：可知函数()y g x =在区间[]1,2上单调递减，在区间[]2,6上单调递增，当16x ≤≤时，3442x πππ≤≤，由442x πππ≤≤，得12x ≤≤，由3242x πππ≤≤，得26x ≤≤，所以，函数()y h x =在区间[]1,2上单调递减，在区间[]2,6上单调递增，则函数()()()f x g x h x =+在区间[]1,2上单调递减，在区间[]2,6上单调递增， 所以，()()2min 222224sin34f x f π==-⨯+-=，又()211214sin54f π=-⨯+-=-()2666264sin 294f π=-⨯+-=， ()()16f f <，()()max 629f x f ∴==，因此，函数()()224sin164xf x x x x π=-+-≤≤的值域为[]3,29.故答案为：[]3,29. 【点睛】本题考查函数值域的求解，将函数分拆成两个简单函数来分析单调性，进而分析原函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16． 【解析】试题分析：由 得 ，即，解得 或。
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
算能力，属于中档题． 4.【答案】D
【解析】
解：函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线
对称，且
， 则 ω 取最小时， • = - ，∴ω=2，
再根据 2• +φ= ，2• +φ=2π，求得 φ= ， 故选：D．
由题意利用正弦函数的图象和性质，求得 ω 取最小时，ϕ 的值．
（1）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求 f（x）在区间[0，���4���]上的最大值和最小值及相应的 x 值；
18. 如图，在直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点是原点，始 边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A，且
������
∈
(���6���，���2���)．将角
围．
本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，
考查运算能力，属于中档题． 10.【答案】[ ‒ ���6���，���2���]
【解析】
解：∵- ≤x≤ ，
∴-
，
∴- ≤arcsin（cosx）≤ ．
∴函数 故答案为：[- ， ]．
的值域为[- ， ]．
由- ≤x≤ ，得到-
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
1
5.【答案】5
【解析】
解：∵角 α 的终边在射线 边上任意取一点 P（x，y），
上，故 α 的终边再第二象限，在 α 的终
取 x=-3，y=4，则 r=|OP|=5，∴sinα= = ，cosα= =- ，∴sinα+cosα= ， 故答案为： ． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sinα 和 cosα 的值，可得 sinα+cosα 的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．