安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(文)试卷含答案
安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷
安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·宿迁期末) 计算的结果为（）A .B .C .D .2. （2分）已知矩形ABCD的边AB=4，AD=1，点P为边AB上的一动点，则当∠DPC最大时，线段AP的长为（）A . 1或3B . 1.5或2.5C . 2D . 33. （2分）若sinα+cosα=tan390°，则sin2α等于（）A . ﹣B . ﹣C .D .4. （2分）定义运算，则函数的最小正周期为（）A .B .C .D .5. （2分）设S是的面积，A,B,C的对边分别为a,b,c，且，则（）A . 是钝角三角形B . 是锐角三角形C . 可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D . 无法判断6. （2分）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A . 若d＜0，则数列{S n}有最大项B . 若数列{S n}有最大项，则d＜0C . 若数列{S n}是递增数列，则对任意的，均有S n＞0D . 若对任意的，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列7. （2分）数列｛an}的前项和为Sn=2n2+1，则a1,a5的值依次为（）A . 3,4B . 2,8C . 3,18D . 3,148. （2分）已知等差数列的前13项之和为，则等于（）A . -1B .C .D . 19. （2分） (2018高二上·西安月考) 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a ，则a的值等于（）A . －4B . －1C . 0D . 110. （2分） (2016高一下·双流期中) 有一种细胞每半小时分裂一次，由原来的一个分裂成两个，那么一个这种细胞经过3小时分裂成的细胞数为（）A . 32B . 64C . 128D . 25411. （2分）(2017·浙江模拟) 已知两个单位向量，，且满足• =﹣，存在向量使cos （﹣，﹣）= ，则| |的最大值为（）A . 2B .C .D . 112. （2分）数列{an}的通项公式an=n2﹣2λn+1，若数列{an}为递增数列，则λ的取值范围是（）A . （﹣∞，1）B . （﹣∞，1]C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·铁岭月考) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则________.14. （1分） (2018高一下·宜宾期末) 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则 ________．15. （1分） (2017高一下·张家口期末) 已知等比数列{an}的首项为32，公比为﹣，则等比数列{an}的前5项和为________．16. （1分） (2016高二上·乾安期中) 已知等差数列{an}的公差d=﹣2，a1+a4+a7+…+a97=50，那么a3+a6+a9+…+a99的值是________三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2016高一下·河南期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= ．（1）求sinC的值；（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．18. （5分）(2017·莱芜模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．19. （5分） (2018高一下·四川期中) 已知数列是等差数列，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .20. （10分）写出下列数列的一个通项公式：（1），，，，…；（2） 1，2，4，8，…；（3），，，，…．21. （10分）在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求它的通项公式．22. （10分） (2016高二上·临沂期中) 数列{an}满足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1 ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。
安徽省淮北市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
淮北一中2021-2022学年上学期高二班级期中考试 文科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ）A ．81B ．21 C. 41D ．42. 如角α满足0cos 2sin =+αα，则=α2tan（ ）A ．34-B ．43 C. 43-D ．343. 离心率为23，且过点)0,2(的焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是（ ）A ．1422=+y xB ． 1422=+y x C ．1422=+y x D ． 116422=+y x4. 执行如图所示的程序框图，假如输出94=S ，则输入的=n （ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．65. 由公差为d 的等差数列,...,,321a a a 重新组成的数列...,,635241a a a a a a +++是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为d 2的等差数列 C. 公差为d 3的等差数列 D ．非等差数列6. 已知0,>y x ，且211=+y x ，则y x 2+的最小值为（ ）A ．223-B ．2223-C ．223+D ．2223+7. 在ABC ∆中，c aB =cos （c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），则ABC ∆的外形为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形8.已知命题:p 函数12--=x a y 的图像恒过定点)2,1(；命题:q 若函数)1(-=x f y 为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，则下列为真命题的是（ ）A ．q p ∨B ．q p ∧ C. q p ∧⌝ D ．q p ⌝∨ 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，若椭圆上不存在点P ，使得21PF F ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．]22,0( B ．)1,22[ C.)21,0( D ．)1,21[ 10. 如图，在ABC ∆中，→→→→==BDBP AC AD 31,32，若→→→+=AC AB AP μλ，则μλ的值为（ ）A ．3-B ．2- C. 2 D ．311. 数列}{n a 的通项公式为*,2cosN n n a n ∈=π，其前n 项和为n S ，则=2017S （ ）A ．1008B ．1008- C. 1- D ．012. 数列}{n a 的通项公式为*,2cosN n n a n ∈=π，其前n 项和为n S ，则=2017S （ ）A ．1008B ．1008- C. 1- D ．0 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“02,≥∈∃xR x ”的否定是 ． 14.在数列}{n a 中，已知其前n 项和为32+=n n S ，则=n a ．15.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥-+0102014206y x y x y x ，则22y x +的最大值为 ．16.下列命题中，假命题的序号有 ．（1）“1-=a ”是“函数)(|1|)(2R x a x x x f ∈+++=为偶函数”的充要条件； （2）“直线l 垂直平面a 内很多条直线”是“直线l 垂直平面a ”的充分条件； （3）若0=xy ，则0||||=+y x ；（4）若022,:0200≤++∈∃x x R x p ，则022,:2>++∈∀⌝x x R x p . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数1)1()(2++-=x a a x x f .（1）当2=a 时，解关于x 的不等式0)(≤x f ； （2）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f . 18. 设数列}{n a 是等差数列，满足12,341==a a ，数列}{n b 满足20,441==b b ，且}{n n a b -为等比数列.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和.19. 已知函数xx x x f 2cos 2)62sin()62sin()(+-++=ππ.（1）)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）已知c b a ,,是ABC ∆三边长，且ABC C f ∆=,2)(的面积7,310==c S .求角C 及b a ,的值.20. 已知过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于B A ,两点，且6||=AB . （1）求该抛物线C 的方程；（2）已知过原点O 作抛物线的两条弦OD 和OE ，且OE OD ⊥，推断直线DE 是否过定点？并说明理由. 21. 已知数列}{n a 满足11=a ，且n n n a a 221+=-（2≥n ，*N n ∈）.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n.22. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，其长轴为4，短轴为2.（1）求椭圆C 的方程及离心率.（2）直线l 经过定点)2,0(，且与椭圆C 交于B A ,两点，求OAB ∆面积的最大值. 参考答案CDDBB CADAD DB13．,20xx R ∀∈<14．()()151{22n n n a n -==≥15．18不等式组的图象如图16．（2）（3） 【解析】（1）若“函数()()21f x x x a x R =+++∈为偶函数”，则()()f x f x -=，即2211x x a x x a +++=+-++，则()11x a x a ++=-+，平方得()()()()2222211211x a x a x a x a ++++=-+++，即()()2121a x a x +=-+，则()410a +=，即1a =-，则“1a =-”是“函数()()21f x x x a x R =+++∈为偶函数”的充要条件；正确；（2）“直线l 垂直平面α内很多条直线”则“直线l 垂直平面α”不肯定成立，故（2）错误； （3）当0,1x y ==时，满足0xy =，但x y +=不成立，故（3）错误；（4）若p ：2,220x R x x ∃∈++≤，则p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>正确． 故答案为：（2）（3）17．（1）1[,2]2（2）当10<<a 时解集为}1|{a x a x ≤≤当1>a 时解集为}1|{a x ax ≤≤当1=a 时解集为{1}试题解析：（1）当2a =时得()2111210202222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1|{a x a x ≤≤； 当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1|{a x ax ≤≤；当1=a 时，不等式的解集为{1}.18．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得33312314=-=-=a a d ，所以,...)2,1(3)1(1==-+=n n d n a a n .设等比数列}{n n a b -的公比为q ，由题意得834122011443=--=--=a b a b q ，解得2=q .所以11112)(--=-=-n n n n q a b a b ，所以,...)2,1(231=+=-n n b n n .（2）由（1）知,...)2,1(231=+=-n n b n n .数列}3{n 的前n 项和为)1(23+n n ，数列}2{1-n 的前n 项和为1221211-=--⨯n n.所以，数列}{n b 的前n 项和为12)1(23-++nn n .19．解析：（Ⅰ）f （x ）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，则函数f （x ）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=2，得到2sin （2C+）+1=2，即sin （2C+）=，∴2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即49=a 2+b 2﹣ab ， 将ab=40代入得：a 2+b 2=89②， 联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．20．1）24y x =（2）(4,0) 试题解析：（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为:22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 联立方程组22{22y pxp y x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭，消元得:22204p x px -+=，∴212122,4p x x p x x +==. ∴()2221212124346AB x x x x p p =++-=⋅-=解得2p =.∴抛物线C 的方程为：24y x =. （2）由（1）直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为：x my t =+，联立2{4x my t y x =+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①. 设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t+==-.()()0441641622212212121=-=--=+=+=•t t t t yy y y y y x x OE OD所以4=t 或0=t （舍） 所以直线DE 过定点（4,0） 21．【解析】（1）∵a n =2a n ﹣1+2n （≥2，且n∈N *）∴11122n n n n a a --=+∴11122n n n n a a ---= ∴数列{2n n a }是以12为首项，1为公差的等差数列；()111222n na n n =+-=- ∴a n =122n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）∵S n =12131222222nn ⎛⎫++⋯+- ⎪⎝⎭ ∴2S n =231131222222n n +⎛⎫++⋯+- ⎪⎝⎭两式相减可得﹣S n =1+22+23+…+2n ﹣1122n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=（3﹣2n ）•2n ﹣3∴S n =（2n ﹣3）•2n +3＞（2n ﹣3）•2n∴23nS n n >-．22.解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：， 设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．参考答案CDDBB CADAD DB13．,20xx R∀∈<14．()()151{22n nnan-==≥15．18不等式组的图象如图16．（2）（3）【解析】（1）若“函数()()21f x x x a x R=+++∈为偶函数”，则()()f x f x-=，即2211x x a x x a+++=+-++，则()11x a x a++=-+，平方得()()()()2222211211x a x a x a x a++++=-+++，即()()2121a x a x+=-+，则()410a+=，即1a=-，则“1a=-”是“函数()()21f x x x a x R=+++∈为偶函数”的充要条件；正确；（2）“直线l垂直平面α内很多条直线”则“直线l垂直平面α”不肯定成立，故（2）错误；（3）当0,1x y==时，满足0xy=，但0x y+=不成立，故（3）错误；（4）若p：2,220x R x x∃∈++≤，则p⌝：2,220x R x x∀∈++>正确．故答案为：（2）（3）17．（1）1[,2]2（2）当10<<a时解集为}1|{axax≤≤当1>a时解集为}1|{axax≤≤当1=a时解集为{1}试题解析：（1）当2a=时得()2111210202222x x x x x⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1|{a x a x ≤≤； 当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1|{a x ax ≤≤；当1=a 时，不等式的解集为{1}. 18．19．解析：（Ⅰ）f （x ）=sin2xcos +cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，则函数f （x ）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=2，得到2sin （2C+）+1=2，即sin （2C+）=，∴2C+=或2C+=， 解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即49=a 2+b 2﹣ab ， 将ab=40代入得：a 2+b 2=89②，联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．20．1）24y x =（2）(4,0) 试题解析：（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为:22p y x ⎫=-⎪⎭. 联立方程组22{22y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得:22204p x px -+=，∴212122,4p x x p x x +==. ∴()2221212124346AB x x x x p p =++-=-=解得2p =.∴抛物线C 的方程为：24y x =. （2）由（1）直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为：x my t =+，联立2{ 4x my ty x =+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①. 设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t+==-.()()0441641622212212121=-=--=+=+=•t t t t yy y y y y x x所以4=t 或0=t （舍）所以直线DE 过定点（4,0）21． 【解析】（1）∵a n =2a n ﹣1+2n （≥2，且n∈N *）∴11122n n n n a a --=+∴11122n n n n a a ---=∴数列{2n na}是以12为首项，1为公差的等差数列；()111222nnan n=+-=-∴a n =122nn⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）∵S n =12131222 222nn⎛⎫++⋯+-⎪⎝⎭∴2S n=231 131222 222nn+⎛⎫++⋯+-⎪⎝⎭两式相减可得﹣S n=1+22+23+…+2n﹣1122nn+⎛⎫-⎪⎝⎭=（3﹣2n）•2n﹣3∴S n=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴23 nSnn>-．22.解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：，设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．。
树人高级中学2020_2021学年高二数学上学期期中联考试题文
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题文第Ⅰ卷(共60分)一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为(）A．2π B．πC．2 D．12．直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(）A．－2 B．2C．－3 D．33．过点M（2,1)的直线与x轴,y轴分别交于P，Q两点，若M 为线段PQ的中点,则这条直线的方程为()A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝04．如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是() 5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心G，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝06．光线从点A(－3,5）射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10）,则光线从A到B的距离是（)A．5错误!B．2错误!C．510 D．10错误!7．用一个半径为2 cm的半圆围成一个圆锥,则圆锥底面圆的半径为()A．1 cm B．2 cmC。
错误!cm D。
错误!cm8．按如下的程序框图,若输出结果为273，则判断框?处应补充的条件为( ）A．7i>B．7i≥C．9i>D．9i≥答案b9．点M在圆(x－5)2＋（y－3）2＝9上,则点M到直线3x＋4y －2＝0的最短距离为（）A．9 B．8C．5 D．210．设有四个命题，其中，真命题的个数是（）①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥;③用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．A．0个B．1个C．2个D．3个11．在区间[]0,1上任取两个数,a b，方程220x ax b++=有实根的概率为（）A．12B．14C．13D．2312．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2:x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．(x－1)2＋(y－1）2＝1 B．（x＋1）2＋（y＋1)2＝1C．(x＋错误!)2＋（y＋错误!）2＝错误!D．(x－错误!）2＋（y－错误!)2＝错误!第Ⅱ卷（共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（上）期中数学试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[0，1）D ．[0，1]2．复数z ＝（1+2i ）（3+ai ）（a ∈R ）是纯虚数，则a ＝（ ） A ．−32B ．32C ．﹣3D ．33．“λ＝﹣1”是“直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的终边过点P （﹣3，1），则sin(π4−θ)=（ ）A ．−2√55B ．2√55C ．−√55D ．√555．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为π3，则|a →+2b →|=（ ） A ．12B ．16C ．2√3D ．√106．在等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=−114，a 3=−14，则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=（ ） A ．﹣44B ．−6411C ．1611D ．117．已知空间直线a 、b 和平面α满足：a ⊥b ，a ⊂α，b ∥α．若点P ∈α，且点P 到直线a 、b 的距离相等，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （5，0）．若圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝16上存在唯一点P ，使得直线P A ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为（ ） A ．±√15B ．±3√5C ．±√15和±3√5D ．√15和3√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知曲线C ：x 2m +y 2n =1(m ，n ∈R)，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆B ．若m ＞n ＞0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C ．若m ＞0＞n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线10．已知S n 为数列{a n }前n 项和，则下列结论成立的有（ ） A ．若数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，则数列{log 3a n }为等差数列 B ．若数列{a n }为等差数列，若S 3S 6=14，则S 6S 12=14C ．若数列{a n }为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且S 10＝170，则公差为2D ．若数列{a n }满足a 1＝2a 2＝2，且a n +2＝|a n +1﹣a n |，则该数列的前100项和S 100＝6711．已知双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)，若圆（x ﹣2）2+y 2＝1与双曲线C 的渐近线相切，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为6B ．双曲线C 的离心率e =2√33C ．点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为d 1、d 2，则d 1d 2=34D ．直线y ＝k 1x +m 与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为k 2，则k 1k 2=−1312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，正四面体E ﹣FGH 的棱长为a ，则以下说法正确的是（ ） A ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球直径为4 B ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球直径为4√2C ．若正四面体E ﹣FGH 可以放入正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内自由旋转，则a 的最大值是4√63D ．若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可以放入正四面体E ﹣FGH 内自由旋转，则a 的最小值是12√2 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．与椭圆x 215+y 28=1有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为 ．14．已知事件A 与事件B 互斥，如果P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.3，那么P(A ∪B)= ． 15．小明用数列{a n }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31），他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b n ＝﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为 ． 16．已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2离心率分别为e 1，e 2，且1e 12+1e 22=2，若P 是两条曲线的一个交点，则∠F 1PF 2＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bsinC +csinB =√3b （1）求C ；（2）若c ＝2，△ABC 面积为√3，求△ABC 的周长．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 19．（12分）设公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 9S 6=739，a 1＝2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b m 为数列{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数，求数列{b m }前100项的和．20．（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若a ，b ，c 成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120． （1）求a ，b ，c 的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A ，B ，其中3人帮助A ，余下的2人帮助B ，求甲、乙都帮助A 的概率．21．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝BC ＝1，PA =PB =PC =AC =√2，O 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面P AM 所成角的正弦值为√34，求二面角M ﹣P A ﹣C 的大小．22．（12分）如图已知抛物线C 的方程为y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，过抛物线内一点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A ′，与抛物线交于点P ，已知AA ′＝3，AF ⊥PF ，∠F AP ＝30°． （1）求p 的值；（2）斜率为k 的直线过点D （0，﹣3），且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为（0，2），探究：是否存在λ，使得DM →=λDN →，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由．2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[0，1）D ．[0，1]解：因为A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：B ．2．复数z ＝（1+2i ）（3+ai ）（a ∈R ）是纯虚数，则a ＝（ ） A ．−32B ．32C ．﹣3D ．3解：因为z ＝（1+2i ）（3+ai ）＝3﹣2a +（a +6）i 是纯虚数，则{3−2a =0a +6≠0，解得a =32．故选：B ．3．“λ＝﹣1”是“直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行， 则λ（λ﹣2）＝3，解得λ＝3或λ＝﹣1， 当λ＝3时，直线l 1与l 2重合，舍去，故直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行时，λ＝﹣1，即“λ＝﹣1”是“直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行”的充要条件． 故选：A ．4．已知角θ的终边过点P （﹣3，1），则sin(π4−θ)=（ ） A ．−2√55B ．2√55C ．−√55D ．√55解：因为角θ的终边过点P （﹣3，1）， 所以sinθ=1√9+1=√1010，cosθ=−3√9+1=−3√1010， 所以sin(π4−θ)=sin π4cosθ−cos π4sinθ=√22×(−3√1010)−√22×√1010=−2√55． 故选：A ．5．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为π3，则|a →+2b →|=（ ）A ．12B ．16C ．2√3D ．√10解：根据题意，可得a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=2×1×12=1，所以(a →+2b →)2=|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2=4+4×1+4＝12，可得|a →+2b →|=√(a →+2b →)2=2√3．故选：C ．6．在等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=−114，a 3=−14，则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=（ ）A ．﹣44B ．−6411C ．1611D ．11解：设T 5=1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5， 则2T 5=(1a 1+1a 5)+(1a 2+1a 4)+(1a 3+1a 3)+(1a 4+1a 2)+(1a 5+1a 1)， 即2T 5=a 1+a 5a 1a 5+a 2+a 4a 2a 4+a 3+a 3a 3a 3+a 2+a 4a 2a 4+a 1+a 5a 1a 5=2(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)a 32=2×(−114)(−14)2=−88， 所以T 5＝﹣44． 故选：A ．7．已知空间直线a 、b 和平面α满足：a ⊥b ，a ⊂α，b ∥α．若点P ∈α，且点P 到直线a 、b 的距离相等，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：由题意可知直线b 在平面α上的投影直线b ′与直线a 互相垂直， 如图，以直线b ′与直线a 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设P （x ，y ），设直线b 与平面α的距离为h ，则有x 2＝y 2+h 2，即x 2ℎ2−y 2ℎ2=1，所以P 点轨迹为双曲线． 故选：C ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （5，0）．若圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝16上存在唯一点P，使得直线P A，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为（）A．±√15B．±3√5C．±√15和±3√5D．√15和3√5解：如图，圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16的圆心在直线x＝4上，半径为4，则A（﹣1，0）在圆M外，设P（a，b），其中a≠﹣1且a≠5，直线P A的方程为y=ba+1(x+1)=ba+1x+ba+1，纵截距为ba+1，直线PB的方程为y=ba−5(x−5)=ba−5x−5ba−5，纵截距为−5ba−5，依题意有ba+1×(−5ba−5)=5，整理得（a﹣2）2+b2＝9，∴P（a，b）在圆（x﹣2）2+y2＝9（x≠﹣1，x≠5）上，圆心为（2，0），半径为3．则圆（x﹣2）2+y2＝9（x≠﹣1，x≠5）与圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16有且只有一个公共点．则两圆外切或内切或圆（x﹣2）2+y2＝9与圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16相交，且其中一个交点的横坐标为5．当两圆外切或内切时：圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16的圆心为（4，m），半径为4，则√m2+22=4−3=1①或√m2+22=4+3=7②，①无解，解②得m=±3√5．当圆（x﹣2）2+y2＝9与圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16相交，且其中一个交点的横坐标为5时，由（5﹣2）2+y2＝9，得y＝0，将（5，0）代入（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16，得(5−4)2+(0−m)2=16，m=±√15．综上所述，m的值为±3√5或±√15．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知曲线C ：x 2m +y 2n=1(m ，n ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A ．若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆B ．若m ＞n ＞0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 C ．若m ＞0＞n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线解：A 选项，当m ＝n ＞0时，曲线C ：x 2+y 2＝m ，表示圆心在原点， 半径为√m 的圆，所以A 选项正确．B 选项，当m ＞n ＞0时，曲线C ：x 2m +y 2n =1表示焦点在x 轴上的椭圆，B 选项错误．C 选项，当m ＞0＞n 时，曲线C ：x 2m −y 2−n =1表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确．D 选项，由于m ，n 是非零实数，所以x ，y 的最高次项都是2， 所以曲线C 不可能是抛物线，D 选项错误． 故选：AC ．10．已知S n 为数列{a n }前n 项和，则下列结论成立的有（ ） A ．若数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，则数列{log 3a n }为等差数列 B ．若数列{a n }为等差数列，若S 3S 6=14，则S 6S 12=14C ．若数列{a n }为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且S 10＝170，则公差为2D ．若数列{a n }满足a 1＝2a 2＝2，且a n +2＝|a n +1﹣a n |，则该数列的前100项和S 100＝67 解：A 选项：依题意，设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），∴log 3a n+1−log 3a n =log 3an+1a n=log 3q 为常数，∴数列{log 3a n }为等差数列，故A 正确；B 选项：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，首项为a 1， 则S 3＝3a 1+3d ，S 6＝6a 1+15d ， 又S 3S 6=14，即S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d=14，化简可得d ＝2a 1，则S 6＝6a 1+15d ＝36a 1， S 12＝12a 1+66d ＝144a 1，所以S 6S 12=36a 1144a 1=14，故B 正确；C 选项：等差数列{a n }的前10项中， 偶数项的和为a 2+a 4+a 6+a 8+a 10＝5a 6， 奇数项的和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9＝5a 5， 又偶数项的和与奇数项的和之比为9：8， 且S 10＝170，则解得{a 5=16a 6=18，所以d ＝a 6﹣a 5＝2，故C 正确；D 选项：因为a 1＝2a 2＝2，所以a 1＝2，a 2＝1， ∵a n +2＝|a n +1﹣a n |，∴数列依次为：2，1，1，0，1，1，0，…， ∴数列{a n }从第2项起，周期为3，∴数列{a n }的前100项的和为2+33×（1+1+0）＝68， 故D 错误． 故选：ABC ．11．已知双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)，若圆（x ﹣2）2+y 2＝1与双曲线C 的渐近线相切，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为6B ．双曲线C 的离心率e =2√33C ．点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为d 1、d 2，则d 1d 2=34D ．直线y ＝k 1x +m 与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为k 2，则k 1k 2=−13解：由题意知C 的渐近线方程为x ±ay ＝0，∴√1+a 2=1，∵a ＞0，则a =√3，∴双曲线C 的实轴长为2a =2√3，故A 错误； ∵c =√a 2+b 2=2，∴e =ca =23=2√33，故B 正确； 设P （x 0，y 0），则x 02−3y 02=3，可得d 1d 2=|x 0−√3y 0|2⋅|x 0+√3y 0|2=|x 02−3y 02|4=34，故C 正确； 设A （x 1，y 1）、B(x 22，y 22)，则{x 12−3y 12=3x 22−3y 22=3， 两式作差得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝3（y 1+y 2）（y 1﹣y 2），∴k 1k 2=y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=13，故D 错误．故选：BC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，正四面体E ﹣FGH 的棱长为a ，则以下说法正确的是（ ） A ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球直径为4 B ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球直径为4√2C ．若正四面体E ﹣FGH 可以放入正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内自由旋转，则a 的最大值是4√63D ．若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可以放入正四面体E ﹣FGH 内自由旋转，则a 的最小值是12√2解：根据题意，正四面体E ﹣FGH 的棱长为a ，其外接球半径为√64a ，内切球半径为√612a ，依次分析选项：对于A ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，其内切球直径等于正方体的棱长4，A 正确； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，其体对角线的长度为√16+16+16=4√3， 而正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球直径径等于其体对角线的长度，即4√3，B 错误； 对于C ，若正四面体E ﹣FGH 可以放入正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内自由旋转， 则正四面体E ﹣FGH 的外接球半径小于等于正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内切球的半径，即√64a ≤2，解可得a ≤4√63，C 正确； 对于D ，若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可以放入正四面体E ﹣FGH 内自由旋转， 则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球半径小于等于正四面体E ﹣FGH 内切球的半径，即√612a ≥2√3，解可得a ≤12√2，D 正确． 故选：ACD ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．与椭圆x 215+y 28=1有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为x 24−y 23=1 ．解：由椭圆x 215+y 28=1可知双曲线中，c 2＝15﹣8＝7，且焦点在x 轴，又2a ＝4，a ＝2，∴b 2＝c 2﹣a 2＝7﹣4＝3， 所以双曲线方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．14．已知事件A 与事件B 互斥，如果P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.3，那么P(A ∪B)= 0.3 ．解：事件A 与事件B 互斥，P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.3，∴P(A ∪B)=1﹣P （A ∪B ）＝1﹣（P （A ）+P （B ））＝1﹣（0.4+0.3）＝0.3． 故答案为：0.3．15．小明用数列{a n }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31），他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b n ＝﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为 28 ． 解：由题意，气象台预报准确时a k b k ＝1，不准确时a k b k ＝﹣1， ∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a 31b 31＝25＝28﹣3， ∴该月气象台预报准确的总天数为28． 故答案为：28．16．已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2离心率分别为e 1，e 2，且1e 12+1e 22=2，若P 是两条曲线的一个交点，则∠F 1PF 2＝ π2．解：不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，双曲线的方程为x 2m 2−y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0)，因为椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2， 所以|F 1F 2|＝2c ，不妨设P 是两条曲线第一象限的一个交点， 此时|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|﹣|PF 2|＝2m ， 可得|PF 1|＝a +m ，|PF 2|＝a ﹣m ，在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=(a+m)2+(a−m)2−4c 22(a+m)(a−m)=a 2+m 2−2c 2a 2−m 2，因为1e 12+1e 22=2，所以1(ca )2+1(c m )2=2，整理得a 2+m 2c 2=2，即a 2+m 2＝2c 2， 所以cos ∠F 1PF 2＝0， 因为0＜∠F 1PF 2＜π， 则∠F 1PF =π2．故答案为：π2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bsinC +csinB =√3b （1）求C ；（2）若c ＝2，△ABC 面积为√3，求△ABC 的周长． 解：（1）由bsinC +csinB =√3b 和正弦定理得： sinBsinC +sinCsinB =√3sinB ， ∴sinC =√32，由于C ∈(0，π2)，故C =π3；（2）∵S =12absinC =√34ab =√3，∴ab ＝4，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， ∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝8， 故a +b ＝4， ∴周长a +b +c ＝6．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 解：（1）因为线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0， 所以点A ，B 关于直线x +y ＝0对称． 因为A （﹣1，﹣1），所以B （1，1）． 又C （1，﹣1），所以直线BC 的方程为x ＝1． （2）因为CA ⊥CB ，A （﹣1，﹣1），B （1，1），所以△ABC 外接圆的方程为（x +1）（x ﹣1）+（y +1）（y ﹣1）＝0，即x 2+y 2＝2． 所以圆M 的圆心为（0，0），半径为√2． 当切线的斜率不存在时，x =√2满足题意．当切线的斜率存在时，设切线方程为y −2=k(x −√2)，即kx −y +2−√2k =0． 因为圆心M 到切线的距离d =|2−√2k|√1+k =√2，解得k =√24，所以切线方程为y −2=√24(x −√2)，即√2x −4y +6=0．综上所述，切线方程为x =√2或√2x −4y +6=0．19．（12分）设公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 9S 6=739，a 1＝2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b m 为数列{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数，求数列{b m }前100项的和． 解：（1）已知公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 9S 6=739，得S 9−S 6S 6=649，即a 7+a 8+a 9S 6=(a 1+a 2+a 3)q 6(a 1+a 2+a 3)(1+q 3)=649，得9q 6﹣64q 3﹣64＝0， 又q ＞0，解得q 3＝8或q 3=−89（舍去）， 得q ＝2， 又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故数列{a n }的通项公式为a n =2n ；（2）由b m 为数列{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数， 可知b 1＝0，b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2， 当8≤m ≤15时，b m ＝3， 当16≤m ≤31时，b m ＝4， 当32≤m ≤63时，b m ＝5， 当64≤m ≤100时，b m ＝6，∴b 1+b 2+b 3+...+b 100＝0×1+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480． ∴数列{b m }前100项的和为480．20．（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若a ，b ，c 成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120． （1）求a ，b ，c 的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A ，B ，其中3人帮助A ，余下的2人帮助B ，求甲、乙都帮助A 的概率．解：（1）依题意可得：c ＝120÷500÷10＝0.024， 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a +c 且（0.005×2+a +b +c ）×10＝1， 解得：a ＝0.036，b ＝0.03；（2）估计中位数设为t ，而[50，70）的频率为0.41，[50，80）的频率为0.71，则t ∈[70，80）， ∴（0.005+0.036）×10+（t ﹣70）×0.03＝0.5， 解得：t ＝73，即中位数估计为73，估计平均数为：55×0.05+65×0.36+75×0.3+85×0.24+95×0.05＝73.8； （3）5人中，将甲、乙分别编号为1，2，其余3人编号3，4，5，从这5人中选3人帮助A 的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个， 故满足条件的概率为310．21．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝BC ＝1，PA =PB =PC =AC =√2，O 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面P AM 所成角的正弦值为√34，求二面角M ﹣P A ﹣C 的大小．（Ⅰ）证明：如图，连接BO ，∵AB ＝BC ＝1，AC =√2，O 为棱AC 的中点， ∴BO ⊥AC ，且BO =√22，又P A ＝PB ＝PC =√2，∴PO ⊥AC ，且PO =√62，则PB 2＝PO 2+BO 2，则PO ⊥OB ，∵AC ∩OB ＝O ，AC 、OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ， 而PO ⊂平面P AC ，则平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，−√22，0），B （√22，0，0），C （0，√22，0），P （0，0，√62），BA →=(−√22，−√22，0)，BC →=(−√22，√22，0)，PA →=(0，−√22，−√62) PC →=(0，√22，−√62)，设BM →=λBC →=(−√22λ，√22λ，0)（0≤λ＜1）， 则AM →=AB →+BM →=(√22−√22λ，√22+√22λ，0)．设平面P AM 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅PA →=−√22y −√62z =0n →⋅AM →=(√22−√22λ)x +(√22+√22λ)y =0，取z ＝1，得n →=(√3(λ+1)1−λ，−√3，1)． 设直线PC 与平面P AM 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜PC →，n →＞|=√34，即√22×(−√3)−√62×1(22)2+(−62)2√3(1+λ)2(1−λ)2+3+1=√34，解得λ=13或λ＝3（舍去）．∴平面P AM 的法向量为n →=(2√3，−√3，1)． 平面P AC 的一个法向量为m →=(1，0，0)，∴二面角M ﹣P A ﹣C 的余弦值为|cos ＜m →，n →＞|=→→|m||n|=√32，可得二面角M ﹣P A ﹣C 的大小为30°．22．（12分）如图已知抛物线C 的方程为y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，过抛物线内一点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A ′，与抛物线交于点P ，已知AA ′＝3，AF ⊥PF ，∠F AP ＝30°． （1）求p 的值；（2）斜率为k 的直线过点D （0，﹣3），且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为（0，2），探究：是否存在λ，使得DM →=λDN →，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由．解：（1）因为AF ⊥PF ，∠F AP ＝30°，则在△F AP 中，P A ＝2PF ，又因为抛物线的定义可知，AA ′＝3＝AP +P A ′＝AP +PF ＝3PF ，则PF ＝1， 又因为∠PFO ＝60°，F(p 2，0)，则可计算P(p 2−12，√32)． 代入抛物线方程得：(√32)2=2p(p2−12)，整理得p 2−p −34=0，则p =32或p =−12（p ＞0舍）． （2）由（1）可知抛物线方程为y 2＝3x ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 斜率为k ，过点D （0，﹣3）的直线方程为：y ＝kx ﹣3， 则联立{y 2=3xy =kx −3，整理得k 2x 2﹣（6k +3）x +9＝0，由韦达定理可得：x 1+x 2=6k+3k2，x 1x 2=9k2．所以(x 1+x 2)2x 1x 2=x 1x 2+x 2x 1+2=(6k+3k 2)29k 2=4k 2+4k+1k 2=4+4k+1k 2；又因为DM →=λDN →，则（x 1，y 1+3）＝λ（x 2，y 2+3）， λ=x 1x 2，所以λ+1λ=1k2+4k +2，令t =1k ∈(12，+∞)，则u =1k 2+4k +2=t 2+4t +2=(t +2)2−2(t ＞12)， 所以u ＞(12+2)2−2=174，即λ+1λ＞174． 所以DM →、DN →同向，所以λ＞0．即4λ2﹣17λ+4＞0，整理得(λ−14)(λ−4)＞0，解得：0＜λ＜14或λ＞4．所以存在λ∈(0，14)∪(4，+∞)，使得DM →=λDN →．。
【数学】安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二第三阶段考试(文)(含答案)
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年
高二第三阶段考试（文）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知向量
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 如果函数
在区间
上是减函数，那么实数a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
3. 已知
，则
A. B. C.
D.
4. 若
，
，且
，则
的最小值是
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
5. 已知
则下列判断正确的是
A. p 假q 假
B. “”为真
C. “
”为真
D. p 假q 真
6. 下列说法正确的是
A. 命题“存在，
”的否定是真命题 B.
在
时恒成立在
时恒成立
C. 命题“已知x ，，若，则
或
”的逆否命题是真命题
D. 命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题
7. 已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
8.直线与圆的位置关
系为
A. 与m的值有关
B. 相离
C. 相切
D. 相交
9.在三棱锥中，，且，M、N分别是棱BC、CD的
中点，则
A. B. C. D.
10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为
A. B. C. D.
11.设函数的最小正周期为，则下列说法正确的是
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称。
树人高级中学2020_2021学年高二数学上学期开学考试试题文
安徽省淮北市树人高级中学2020—2021学年高二数学上学期开学考试试题文一．选择题（共12小题）1．设集合A＝｛y|y＝2x，x∈R}，B＝{x｜y＝，x∈R}，则A ∩B＝（）A．{1} B．（0，+∞) C．（0，1） D．（0,1］2．f（x)＝在（)A．（﹣∞,1）∪（1，+∞)上是增函数B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数C．(﹣∞，1），(1，+∞）分别是增函数D．（﹣∞,1）,（1，+∞）分别是减函数3．已知向量＝（2，1),＝(1，x）,若+与垂直，则x的值为（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为（)A．x＝B．x＝C．x＝ D．x＝5．函数f（x）＝ln x+x3﹣8的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1,2）C．(2,3）D．（3，4）6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(）A．B．C．D．7．若变量x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值是()A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣58．如果执行如图的程序框图，若输入n＝6,m＝4，那么输出的p等于(）第8题图第9题图A．720 B．360 C．240 D．1209．已知点P是边长为4的正方形内任一点,则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）A．B．1﹣C．D．10．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84,84 B．84，85 C．86,84 D．84,8611．如图的折线图是某口罩制造厂2019年6月至2020年5月份的收入与支出数据，若从2020年1月至5月这5个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润都不高于30万的概率为( )（利润＝收入﹣支出)A．B．C．D．12．在△ABC中，有且a＝2，其中内角A,B，C的对边分别是a，b，c．则△ABC周长的最大值为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题)13．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,下列事件中是互斥事件的序号为．①至少有1个白球;都是白球②至少有1个白球；至少有1个红球．③恰有1个白球；恰有2个白球．④至少有1个白球；都是红球．14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为(4.5，3.5），y关于x的线性回归方程为＝x+0。