一元二次函数单调性习题
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次函数的图象和性质基础知识例题
a
a 1 在区间[0,1]上的最大值是 2，求实数 a 的值. 4 2
例 11、已知函数
2 上的最大值为 1，求实数 a 的值。 f ( x) ax2 (2a 1) x 3(a 0) 在区间 ，
3 2
2 22.设二次函数 f ( x) x x
. 个整数.
1 的定义域为 n, n 1 , n N ,则 f ( x ) 的值域中有 2
三、解答题 23.已知函数 f ( x) ax2 bx c(a 0, b R, c R) . （1）若函数 f ( x ) 的最小值 f (1) 0 ,且 c 1 ，
6
25.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点,•与 y 轴交于 A 点. (1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由; (2)如果点 A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.
7
13、已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点 P 的横坐标是 4,•图象交 x 轴于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么 AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 14.已知二次函数 f ( x) 2 x 2 4 x 1 ，则其开口向 为 标为 ，最小值为 。
2
，对称轴为
，顶点坐标 ，与 x 轴的交点坐
，单调增区间为
，单调减区间为
15.已知函数 f ( x) 2( x m) 8x 1 的对称轴为 x 1 0 ，则 m 顶点坐标为
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值；（2）；（3）.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，令，，判断函数的单调性，所以当时，函数取得极值；第二问，将题目转化为在上恒成立，再转化为在上恒成立，再转化为，利用配方法求函数的最小值，解出a的取值范围；第三问，将题目转化为当时，不等式恒成立，即，讨论a的值，在每一种情况下判断单调性，求函数最值，验证.试题解析：（1）当时，，，由解得，由解得，故当时，的单调递增；当时，单调递减，∴当时，函数取得极大值.（2），∵函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 6分而，则当时，，∴，即，故实数a的取值范围是． 8分（3）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．（ⅱ）当时，由，令，得或，①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数a的取值范围是． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.2.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________．【答案】1【解析】函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或解得a＝1.3.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.【答案】【解析】设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.【考点】1.向量；2.二次函数.4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题6.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．7.若x1，x2是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x1<x2，则x2－x1的最小值是________．【答案】2【解析】Δ＝m2＋8>0(m∈R)，x2－x1＝＝≥28.已知函数f(x)＝(1)若x<a时，f(x)<1恒成立，求a的取值范围；(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≤log2（2）a>时，函数f(x)有最小值【解析】(1)因为x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，则有0<t<2a.当x<a时f(x)<1恒成立，转化为t2－4×<1，即>t－在t∈(0，2a)上恒成立．令p(t)＝t－，t∈(0，2a)，则p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2a)上单调递增，所以≥2a－，所以2a≤，解得a≤log2.(2)当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝＋1－，当≤a时，即a≥0时，f(x)＝f(a)＝1；min当>a时，即－4≤a<0，f(x)＝f＝1－.min当x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，令t＝2x，t∈(0，2a)，则h(t)＝t2－t＝－，＝h＝－；当<2a，即a> 时，h(t)min当≥2a，即a≤时，h(t)在开区间t∈(0，2a)上单调递减，h(t)∈(4a－4，0)，无最小值．综合x≥a与x<a，所以当a> 时，1>－，函数f(x)＝－；min当0≤a≤时，4a－4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>时，函数f(x)有最小值．9.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋n∈D，且f(x ＋n)≥f(x)，则称f(x)为M上的n高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的k高调函数，那么实数k的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】即(x＋k)2≥x2在[－1，＋∞)上恒成立，即2kx＋k2≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成立，故实数k满足2k>0且－2k＋k2≥0，解得k≥2.10.已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( )A．；B．；C．；D．.【答案】C【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在时取得，而当或时，，（也可考虑在是单调递增，在上单调递减），故本题中的取值范围是.【考点】二次函数的的值域.11.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．12.如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的面积和最大？【答案】小长方形的长和宽分别是，2.5时，三个长方形的面积最大为25.【解析】通过假设小长方形的一边再根据周长为20m，即可表示出小长方形的另一边.因为这三个长方形是大小相等长方形，所以可以表示出三个长方形的面积和并求出面积的最大值.本小题主要是以二次函数的最值为知识点形成一个简单的应用题.试题解析：设长方形长为x m，则宽为 m，所以，总面积= =．所以，当时，总面积最大，为25，此时，长方形长为 2.5 m，宽为 m．【考点】1.二次函数的应用.2.二次最的求法.13.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值14.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga___________.【答案】.【解析】由题意得当时，即，又函数为偶函数，则有，所以，则有，可知函数的周期为2，并且当时，，可得函数在上的图像如图所示，要使在上至少有三个零点，则，且，所以，即，则.【考点】二次函数和对数函数的图像与性质.16.设不等式的解集为M.（1）如果，求实数的取值范围；（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查含参一元二次不等式的解法及二次函数图像的性质等基础知识，考查转化思想、分类讨论思想等数学思想方法.第一问，由于抛物线开口向上，要使不等式的解集不为，只需；第二问，一元二次不等式含参数，对应的一元二次方程是否有解取决于，所以本问讨论的三种情况，在每一种情况下，求出方程的根，写出不等式的解集，利用子集关系列出不等式，求的取值范围.试题解析：（1），，∴或. 4分（2）①当，即时，，满足题意； 6分②当时，或，时，，不合题意；时，，满足题意； 8分③当，即或时，令，要使，只需， 10分得，综上，. 12分【考点】1.二次函数的判别式；2.含参一元二次不等式的解法.17.已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是( )A．（0,2）B．（-2,2）C．[-2,2]D．【解析】由已知得，恒成立，所以，解得.【考点】二次函数的图像与性质18.椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆定义知，，且椭圆的长轴长为，焦距为，所以，令，则，令，由二次函数的性质可知，函数在处取得最大值，即，函数在或处取得最小值，由于，故，即的取值范围是，故选D.【考点】1.椭圆的定义；2.二次函数的最值19.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题20.已知函数，若且对任意实数均有成立.（1）求表达式；（2）当是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查导数的运算以及二次函数的判别式、单调性等基础知识，考查运算能力和分析问题解决问题的能力，考查数形结合思想.第一问，对求导得到解析式，因为，所以得到，又因为恒成立，所以，两式联立解出和，从而确定解析式；第二问，先利用第一问的结论，得到的解析式，再根据二次函数的单调性，确定对称轴与区间端点的大小关系解出的取值.试题解析：(1)∵,∴.∵，∴，∴，∴.∵恒成立，∴∴∴，从而，∴.(6分)(2) .∵在上是单调函数，∴或，解得，或.∴的取值范围为.(12分)【考点】1.导数的运算；2.二次函数的性质.21.设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】因为，故对称轴不可能为轴，由给出的图可知对称轴在轴右侧，故，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故又，所以，选D.【考点】二次函数图象和性质.22.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.23.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.24.已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】（1）；（2）①当，即时，；②当时，；③当，即时，．【解析】（1）由题意先设函数的解析式，再由条件解其中的未知数，可得二次函数解析式；（2）由（1）知函数的解析式，可得函数的对称轴为，再讨论对称轴是在区间上，还是在区间外，分别得的表达式．试题解析：（1）是二次函数，且的解集是可设 2分在区间上的最大值是由已知，得 5分． 6分（2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 8分①当，即时，在上是单调递减，所以； 10分②当时，在上是单调递减，所以； 12分③当，即时，在对称轴处取得最小值，所以． 14分【考点】1、二次函数的解析式的求法；2、二次函数的性质．25.设为实数，则___________【答案】4【解析】本题先得到x的范围，然后利用配方法将关于x的二次函数配方，进而求出最大值。
含有一元二次函数型单调性问题
导数含有一元二次函数型函数的单调性问题莘县一中 田昌喜1. 已知函数).0()(≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,，讨论函数)(x f 的单调性. 解: (1)21)('x ax f -=，当0≤a 时，显然)('x f >0(x ≠0),这时f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)内是增函数； 当0>a 时，令)('x f =0，解得=x a ±，当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：2. 已知函数,)(2aax x e x f x++=其中a 为实数,当)(x f 的定义域为R 时，求)(x f 的单调区间.解： )(x f 的定义域为R ,∴方程02=++a ax x 无实根，即042<-=∆a a ,解得：40<<a .又222222)())2(()()2()()(a ax x x a x e a ax x a x e a ax x e x f x x x ++-+=+++-++=', 由0)(='x f ，得0=x 或a x -=2.当02=-a 即2=a 时,0)(≥'x f ，此时当且仅当0=x 时，取等号，所以，)(x f 的增区间为),(∞+-∞;当02>-a 即42<<a 时,若),0()2,(∞+⋃--∞∈a x ，则0)(>'x f ，若)0,2(a x -∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 的增区间为),0(),2,(∞+--∞a ，减区间为)0,2(a -；当02<-a 即20<<a 时,若),2()0,(∞+-⋃-∞∈a x ，则0)(>'x f ，若)2,0(a x -∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 的增区间为),2(),0,(∞+--∞a ，减区间为)2,0(a -.3. 在实数集R 上定义运算：.)((为常数）a y a x y x -=⊗令x e x f =)(，,2)(2x e x g x +=-)()()(x g x f x F ⊗=,求函数)(x F 的单调区间. 解：12)2()(22--=--=-x x x x e x ae x e a e x F ,)42()(2a x x e x F x +--='∴,当0≤∆即2-≤a 时,0422≤+--a x x ，所以0)(≤'x F ,故)(x F 的单调减区间为),(∞+-∞;当0>∆即2->a 时,令0)(='x F ，得2242,224221a x a x ++-=+--=, 若),(21x x x ∈,则0)(>'x F ,此时，)(x F 的单调增区间为)2242,2242(a a ++-+--, 若),(),(21∞+⋃-∞∈x x x ,则0)(<'x F ,此时，)(x F 的单调减区间为),2242(,)2242,(∞+++-+---∞a a .。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.函数的递增区间是___________________ .【答案】[1,+∞)【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞).【考点】一元二次函数的单调性.2.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是【答案】【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为①或②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.4.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A．≥B．≥C．≤D．≤【答案】B【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有，解得 .故选B【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质5.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.6.（本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性试题解析：（Ⅰ）是幂函数，设（是常数）由题，所以所以，即（Ⅱ）在区间上是减函数.证明如下：设，且，则，即在区间上是减函数.【考点】函数解析式的求法，单调性的定义7.已知函数满足当时，总有．若则实数的取值范围是．【答案】或【解析】当时，总有，所以在上单调递增，因为所以为偶函数，所以在上单调递减，因为所以，即，整理的，解得或【考点】（1）函数单调性的概念以及利用单调性比较大小（2）函数奇偶性（3）绝对值不等式和一元二次不等式的解法8.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性9.若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证法一：即又当时，则故对于恒有证法二：为非零函数（2）证明：令且有，又即故又故为R上的减函数（3）实数的取值范围为【解析】（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.试题解析：（1）证法一：即又当时，则故对于恒有 4分证法二：为非零函数（2）令且有，又即故又故为R上的减函数 8分（3）故， 10分则原不等式可变形为依题意有对恒成立或或故实数的取值范围为 14分【考点】1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性，从而可得结论．选项A中在上是减函数选项B中在上是增函数选项C中在上是减函数选项D中在上是增函数故选C考点:函数单调性的概念11.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.12.已知函数（1）若，判断函数在上的单调性并用定义证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上是增函数.（2）【解析】（1）由分离常数法判断函数的单调性，由定义法来证明在上的单调性注意通分后分解因式，判定各因式的符号.（2）设由增函数知，然后分解因式判定含有因式的符号试题解析：（1）当时，， 1分设，则3分∵∴，∴>0， 5分即，∴函数在上是增函数. 6分（2）设，由在上是增函数，有即成立， 8分∵，∴，必须 11分所以，实数的取值范围是 12分【考点】函数单调性的性质证明过程及其应用．13.定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．（3）证明：，.【解析】（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.试题解析：（1）令，令，则.所以，在上是奇函数． 4分（2）设，则， 6分而，， 7分即当时，．∴在上单调递减． 8分（3），，.. 13分【考点】函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.14.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C.【考点】函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．15.已知函数，（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）略；（2）。
高中数学一元二次函数方程和不等式经典大题例题
(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m s⁄），若a≠b，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点答案：B解析：设马拉松全程为x，得到甲用的时间为12(xa+xb)，乙用的时间为xa+b2=2xa+b，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12(xa+xb)，乙用的时间为xa+b2=2xa+b，因为a≠b，所以12(xa+xb)−2xa+b=bx(a+b)+ax(a+b)−4abx2ab(a+b)=(a−b)2xab(a+b)>0，所以12(xa+xb)>2xa+b，则乙先到达终点.故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可. 解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立； 所以ba+2b =2−a a+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D3、下列命题中，是真命题的是（ ）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么ac >bc D ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d 答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、当0<x <2时，x(2−x)的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x <2，∴2−x >0，又x +(2−x)=2 ∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x =2−x ，即x =1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1 故选：B5、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−ba =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位 答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可． 解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、已知正实数a,b 满足4a+b+1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b+1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b即a =b +2时等号成立.所以a +2b +1≥9,a +2b ≥8.10、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x=b y时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x <12)的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当ax =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0， 于是得f(x)=222x+321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25. 故选：B 填空题11、正实数x,y 满足：2x +y =1，则2x +1y 的最小值为_____. 答案：9解析：根据题意，可得2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y，然后再利用基本不等式，即可求解.2x+1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y≥5+2√2yx ⋅2x y≥5+2√4=9，当且仅当x =y =13 时取等号．所以答案是：9．小提示：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．12、已知三个不等式：①ab >0，②ca >db ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab>0ca>db⇒{ab>0bc−adab>0⇒bc>ad；{ab>0bc>ad⇒ca>db；{ca>dbbc>ad⇒{bc−adab>0bc>ad⇒ab>0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.13、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则c2+5a+b的取值范围为________________．答案：[4√5,+∞)分析：由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把b,c用a表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．由不等式解集知a<0，由根与系数的关系知{−ba=3+4=7, ca=3×4=12,∴b=−7a,c=12a，则c2+5a+b =144a2+5−6a=−24a+5−6a≥2√(−24a)×5−6a=4√5，当且仅当−24a=5−6a ，即a=−√512时取等号．所以答案是：[4√5,+∞)．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______.答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x +y 的最小值为2. 所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ②(a +1a )(b +1b )≥4； ③(a ＋b )(1a +1b )≥4； ④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号). 答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.由于a 2＋1－a ＝(a −12)2+34>0，故①恒成立；由于(a +1a )(b +1b )＝ab +1ab ＋ba ＋ab ≥2√ab ⋅1ab ＋2√ba ⋅ab＝4，当且仅当{ab =1ab b a=a b即a ＝b ＝1时等号成立，故②恒成立； 由于(a ＋b )(1a +1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2√b a ×a b ＝4.当且仅当a b ＝ba ， 那么a ＝b ＝1时等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③.所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.17、 设x ∈R ，使不等式3x 2+x −2<0成立的x 的取值范围为__________. 答案：(−1,23)分析：通过因式分解，解不等式． 3x 2+x −2<0， 即(x +1)(3x −2)<0，即−1<x <23，故x 的取值范围是(−1,23)．小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 18、不等式2x−7x−1≤1的解集是________. 答案：(1,6]分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 不等式2x−7x−1≤1得x−6x−1≤0 ，故{(x −1)(x −6)≤0x −1≠0⇒1<x ≤6 ，所以答案是：(1,6].19、已知a ∈Z 关于x 的一元二次不等式x 2−8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.答案：13，14，15(写出任何一个值即可）分析：根据题意，先表示出关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集，再结合数轴分析即可得到a的值. 因为关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以Δ=64−4a>0，即a<16，由x2−8x+a=0，解得x=4±√16−a，故关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集为[4−√16−a,4+√16−a]，因关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以1≤√16−a<2，即12<x≤15，又因a∈Z，所以a=13，14或15都满足.所以答案是：13，14，15(写出任何一个值即可）.>0的解集为______________．20、不等式x+3x−1答案：{x|x<−3或x>1}分析：由题可得(x−1)(x+3)>0，进而即得.>0，得(x−1)(x+3)>0，由x+3x−1所以x<−3或x>1，故不等式得解集为{x|x<−3或x>1}．所以答案是：{x|x<−3或x>1}．解答题<0，k≠021、已知关于x的不等式2kx2+kx−38（1）若k =18，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．答案：（1）(−32,1)；（2）(−3,0) 分析：（1）将k =18代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.（2）根据关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．又因为k ≠0 ，利用判别式法求解. （1）将k =18代入不等式，可得14x 2+18x −38<0，即2x 2+x −3<0 所以−32和1是方程2x 2+x −3=0的两个实数根， 所以不等式的解集为{x |−32 <x <1}即不等式的解集为(−32,1)． （2）因为关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．因为k ≠0所以{2k <0,Δ=k 2+3k <0，解得−3<k <0， 故k 的取值范围为(−3,0)．22、（1）已知a >b,c <d ，求证：a −c >b −d ；（2）已知a >b,ab >0，求证：1a <1b ；（3）已知a >b >0,0<c <d ，求证：a c >b d . 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c <d 不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 −c >−d , 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。
函数的单调性与最值练习题
函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是( )A.（12，23）B.［13，23）C. （13，23）D.［12，23）7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ） （A ）（∞-，23） （B ）［13，23） （C ）（12，∞+） （D ）［12，23） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有)(0)()(b a ba b f a f ≠>--，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函,1,()(4)2, 1.2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)3ax- (a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围