17.2(3)一元二次方程配方法
x2 +3x 7 0
x2 3x 4 = 7
4
因式分解 x2 3x ( 3)2 7 9 计算
2 44
(x 3)2 4
2
x 3 2或x 3 2
2
2
x1
1 2
,
x2
7 2
∴ 原方程的根是x1
1 2
,
x2
7 2
化一般式（二次项系数1） 移常数项 配方（一次项系数一半 的平方）
直接开平方法
适时小结
配方法的一般步骤？
一般式 二次项系数化 1 （一化）
移常数项
（二移）
配方
（三配方）
转化 直接开平方法
巩固练习
用配方法解方程：
2x2 3x+ 1 0 2
4x2 2x 1 0
小结
配方法的一般步骤？
一般式 二次项系数化 1 （一化）
移常数项
（二移）
配方
（三配方）
配方法的思想、目标？
转化 直接开平方法
配方法的基本步骤：
解方程：
x2 2x 4 0
一般式（二次项系数1）
x2 2x = 4
移常数项
x 因式分解 2 2x ( 1)2 4 1 计算 配方（一次项系数一
(x 1)2 5
半的平方）
x 1 5或x 1 5
x1 1+ 5, x2 1 5
∴ 原方程的根是x1 1+ 5, x2
直接开平方法
15
配方法（例题详解）
解方程： 4x2 +12x 7 0
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数；
2、移项：将常数项移到等号一边；
3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式； 5、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
作业 P34 练习17.2（3）
17.2（3）一元二次方程的解法 ——配方法（一般方程的解法）
课前热身
解方程：
3x2 1 x 12 5你发现了什么？
思考
如何解方程：
x2 2x 4
变形
（x-1）2＝5
直接开平方法
配方依据：完全平方公式.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
练一练
一半（除以2）
(1)x2 6x ( )2 (x
)2
平方
(2)x2 8x ( )2 (x
)2
(3)x2 10x ( )2 (x
)2
(4)x2 1 x ( )2 (x
)2
2
归纳
x2
px+
(
p)2 2
=(
x
p )2 2
共同点：
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
配方法（例题详解）
专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
配方法(1)教案
17.2一元二次方程的解法——配方法（1）一、教学目标：.知识与技能1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠０，b≠０，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”过程与方法过程与方法：通过观察、探究、发现和归纳总结配方法一般步骤。
情感、态度与价值观：通过配方法的学习，培养学生的细心和耐心，从而养成良好的数学学习习惯。
二、教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
教学难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
三、教学过程：（一）课前探究1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
练习：解方程：(x-3)2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。
所以x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。
(把这个展开过程写在黑板上)(x-3)2=4,①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0.③（二）合作交流探究新知1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。
这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。
2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。
(添一项+1)即(x2+2x+1)=(x+1)2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ )2; y2+6y+( )=(y+ )2.3：总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。
《17.2.1一元二次方程的解法-配方法》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《17.2.1一元二次方程的解法-配方法》教案教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？学生活动：例1．按以上的方程完成x 2-36x +70=0的解题．可以验证x 1≈34，x 2≈2都是原方程的根，但x ≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x 的方程（1）x 2+2x -35=0 （2）2x 2-4x -1=0三、应用拓展如图，在R t △ACB 中，∠C =90°，AC =8m ，CB =6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m /s ，•几秒后△PCQ •的面积为R t △ACB 面积的一半．C AQ P四、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．。
一元二次方程配方法
01
02
03
当 Δ > 0 时，方程有两个不 相等的实根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相 等的实根；
04
05
当 Δ < 0 时，方程没有实根， 而是有两个共轭复根。
根与系数的关系
根与系数的关系可以通过一元二次方程的系数a、b、c来表 示，也可以通过判别式Δ来表示。
除了根的和与积之外，根与系数的关系还包括韦达定理， 即方程的两个根的和等于方程的一次项系数的相反数除以 二次项系数所得的值，两个根的积等于常数项除以二次项 系数所得的值。
配方法
总结词
配方法是先将一元二次方程转化为等式两边都含有完全平方的形式，然后进行配方，得到方程的解。
详细描述
配方法是先将一元二次方程转化为等式两边都含有完全平方的形式，然后通过配方的方法，将等式左 侧转化为一个完全平方项，从而得到方程的解。具体步骤是先将常数项移到等式的一侧，然后将等式 两侧同时除以二次项系数，再对左侧进行配方，最后求解得到原方程的解。
配方公式的应用
配方公式可以应用于一元二次方程的求解，通过配方将方程转化为一个可以直接 开平方式来求解的形式。
配方公式的应用不仅限于一元二次方程的求解，还可以应用于其他数学问题中涉 及到完全平方的问题，如代数式简化、函数求值词
直接开平方法是解一元二次方程的一种简单方法，适用于方程的系数较简单的 情况。
人口增长
在人口增长问题中，可以 通过一元二次方程预测未 来人口数量。
商品销售
在商品销售中，可以通过 一元二次方程预测未来销 售趋势或制定最佳销售策 略。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
直接开平方法是通过将一元二次方程转化为平方根的形式，从而求解方程的方 法。具体步骤是将方程的系数移到等式的一侧，然后对方程进行开平方，得到 方程的解。
《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是让学生通过实际操作，掌握一元二次方程的基本概念，理解并掌握一元二次方程的解法，能够正确应用一元二次方程的求解方法，提高数学思维能力和解题能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个方面：1. 概念理解：学生需回顾一元二次方程的定义、特点及分类，理解方程的根、判别式等基本概念。
2. 开平方法解一元二次方程：通过实例演示和讲解，使学生掌握通过开平方法求解一元二次方程的步骤和方法。
3. 公式法解一元二次方程：介绍一元二次方程的求根公式，让学生掌握利用公式求解一元二次方程的技巧。
4. 实际问题应用：设计几个与一元二次方程相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决实际问题，加深对一元二次方程的理解。
5. 练习巩固：布置适量的练习题，包括选择题、填空题和解答题等，让学生通过练习巩固所学知识。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，理解并掌握一元二次方程的基本概念和求解方法。
2. 在完成作业过程中，要独立思考，认真计算，注意步骤的完整性和准确性。
3. 对于实际问题应用部分，要结合实际情境，运用所学知识进行分析和解决。
4. 练习巩固部分需独立完成，如有疑问可向老师或同学请教。
5. 作业需按时完成，字迹工整，格式规范。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确性、步骤完整性、解题思路的清晰性以及字迹工整程度等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每个学生的作业进行细致检查和评价，给出详细的批语和分数。
同时，可采取学生互评的方式，让学生互相学习和交流。
五、作业反馈1. 教师需在批改完作业后，针对学生在作业中出现的错误和不足，进行及时的讲解和指导。
2. 对于共性问题，可在课堂上进行集中讲解；对于个别问题，可通过个别辅导或面谈的方式解决。
3. 教师需根据学生的作业情况，调整教学计划和教学方法，以提高教学效果。
4. 学生需根据教师的反馈和建议，及时调整学习方法和策略，提高学习效果。
17.2一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法------公式法学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）b 2-4ac ≥0 ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得：ax 2+bx=_________二次项系数化为1，得x 2+b a x=___________ 配方，得：x 2+b a x+（ ）2=-c a +（ ）2 即（x+2ba ）2=________________∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±___________________ 即x=______________∴x 1= ______________ ， x 2=_________________.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2a（2）这个式子叫做__________________________.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫__________．（4）由求根公式可知，一元二次方程若有实根，有_________个实数根．（5）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（6）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、应用新知：1、用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）4x1)1x (22=--2、解方程 (1) 04722=--t t （2）210x x -+=三、总结归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1、化为 ，2、确定 ，3、计算 的值，当 时，带入求根公式求解，当 时，此方程无解。
配方法解一元二次方程.2一元二次方程的解法第二课时(配方法)
独立完成，并与本组成员讨论交流，用自己的语言概括发现的规律
完成书本P25练习1
三、新知学习
1、配方法解一元二次方程
例1 x2+2x-3=0
解x2+2x=3—ห้องสมุดไป่ตู้移项
x2+2x+12=3+12——配方（x+1）2=4——开平方
引导学生用配方的方法将一元二次方程转化成直接开平方法适用的形式。
重点：配方法解一元二次方程
难点：利用配方法将方程转化为完全平方式的形式
关键：对完全平方式的正确理解及灵活应用
学情介绍
上节课学习了直接开平方法解一元二次方程，在此基础上学习配方法，思维上易于接受。只是对于完全平方式知识有所遗忘，配方的过程存在难度，因此在课前要让学生完成对完全平方式知识的复习。
内容分析
课题:17.2一元二次方程的解法——配方法（第二课时）
教学目标
1.更加熟悉直接开平方法，理解配方法，会用配方法解一元二次方程。
2.经历配方法解一元二次方程的学习过程，发展学生的观察、比较、联想、归纳的能力，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的意识。
3.在学习过程中，感受数学知识的获取过程及数学思想方法在解决问题中的应用。
教材首先给出一个方程，不能直接用直接开平方法解决，激发学生对本节内容的兴趣和学习欲望；随后通过探究活动掌握配方方法，将一元二次方程配方为直接开平方的形式；讨论二次项系数为1的情况后再讨论系数不为1的情况，提升学习的难度。在学习过程中体现数学思想在其中的应用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
一、创设情境，引入新课
完成下列填空题：
沪科版八年级数学下17.2(3)一元二次方程的解法(公式法)1
1.必需是一般形式的一元二次方程
: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
概括总结
一般地，对于一般形式的一元二次方程 2
ax bx c 0 (a 0)
2
当
b 4ac 0 时，它的根是 2 b b 4ac （ b2 4ac 0 ） x 2a
a 1, b 2 3, c 3,
b 4ac （- 2 3） 4 1 3 0
2 2
代入求根公式，得
x x 3.
1 2
2 3 0 x 3. 2
例2 解方程：x²+ x - 1 = 0.（精确到0.001） 解 a = 1,b = 1,c = - 1,代入求根公式，得
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方， 求解，定根
2、用配方法解下例方程 2 （1）2 x 7 x 2
（2 ）
2
0
2x 4x 5 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻 烦，能否研究出一种更好的方法？
知识回顾
3x
1.确定系数:用a, b,c写出各项系数；
b² -4ac=7² -4×2×(-4)=81>0
代入求根公式，得
2.计算: b2-4ac 的值;
7 81 7 9 x= 2 2 4
3.代入:把有关数 值代入公式计算;
1 x ; x -4. 2
1 2
4.定根:写出原 方程的根.
2
b b 2 4ac 即 x 2a
17.2一元二次方程的解法
1.一般地，对于形如x² =a(a≥0)的方程，根据平方根 的定义，可解得这种解一元二次方程的方法叫做直接开 平方法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然 后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配 方法. 注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系 数一半的平分. 3.用配方法解形如x² +bx+c=0的一元二次方程的一 般步骤是什么？ 移项 配方 变形 开方 求解 定解
( x 2)
2
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2 或 2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
2、下列解方程的过程中，正确的是（ D ） (A)x2=-2,解方程，得x=± 2 (B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
( x h) k
2
含未知数的完全平方式 方程可化为一边是 ___________________, 一个常数 另一边是____________, 那么就可以用直接开 平方法来求解.
2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
什么是完全平方式？ 式子a² ±2ab+b² 叫做完全平方式 且 a² ±2ab+b² =(a±b)² .
2
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；
（2）利用求根公式解一元二次方程的方 法叫求根公式法；
2 1 即x1=2
1 ， x2=- 2
例2 解下列方程： ⑴ (x＋1)2= 2 ⑵ (x－1)2－4 = 0 ⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0 分析：第1小题中只要将（ x ＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解； 解：（1）∵ x +1是2的平方根
《17.2.3一元二次方程的解法-因式分解法》教案4
《17.2.3 一元二次方程的解法-因式分解法》教案教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0（2）因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程．（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．三、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．四、归纳小结（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．感谢您的阅读，祝您生活愉快。