第1节 函数及其表示
2019版一轮理数(人教版A版)课件：第二章 第一节 函数及其表示
考点一
考点二
考点三
(2)由题意设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)
2 a ＝ 4， 2 ＋b＝a x＋ab＋b＝4x＋3， ∴ ab＋b＝3，
a＝－2， 解得 b＝－3
或
a＝2， b＝1.
故所求解析式为 f(x)＝－2x－3 或 f(x)＝2x＋
考点二
考点三
求函数的定义域|易错突破 [例 1] 3x (1)函数 f(x)＝ ＋lg(3－x)的定义域是( x－2 B．(2,3) D．(2，＋∞) )
A．(3，＋∞) C．[2,3)
考点一
考点二
考点三
f3x (2)若函数 y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数 g(x)＝ 的定义域 x－1 是( ) B．[0,1] D．(0,1)
记法
2.函数的三要素 函数由 定义域 、 对应关系 和 值域 三个要素构成，对函 数y＝f(x)，x∈A，其中 ①定义域：自变量x的取值范围； ②值域：函数值的集合 {f(x)|x∈A} ． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有： 解析法 、 列表法 、 图象法 ．
4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1.
考点一
考点二
考点三
(3)由 f(x)＝2f
1 ＋x①，得 x
f
1 1 ＝2f(x)＋ ②， x x
2 ①＋②×2 得 f(x)＝x＋4f (x)＋x， 2 1 则 f(x)＝－ － x. 3x 3
考点一
考点二
考点三
(1)法一：设 t＝ x＋1(t≥1)，则 x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t －1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
高中数学必修一 第1讲函数及其表示
第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ）A y =( x )2B y=x x 2C 33x y =D y=2x 【例2】x x y 2=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。
（5）正切函数2ππ+≠k x【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域。
第二章 第一节 函数及其表示
A. 0,
5 2
C. -
1 2
,2
B.[-1,4] D.[-5,5]
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数y=f(x)的定义域为
.
答案 (1)C (2)[-1,2]
解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],
∴-2≤2x-1≤3,即- 1 ≤x≤2,
2
即函数y=f(2x-1)的定义域为
x2
D.f(x)=x,g(x)=
x
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4.函数f(x)= 2x -1+ 1 的定义域为 ( C )
x-2
A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
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5.已知f
1 2
x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于
(
A
)
A. 7 B.- 7
|
1 2
a
N*
,B=
b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1
;
a
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③ C.①④
考点二 函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域 考法一 已知函数解析式,求函数定义域 典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] (2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
第一章 函数
第一讲函数及其表示知识梳理考点一 函数定义域一、 具体函数的定义域例1、（2015•湖北）函数()256lg 3x x f x x -+=+-的定义域为（ ）A ．()2，3B ．(]24，C ．()(]23，3，4 D ．()(]136-，3，例2、（2019•江苏）函数y =的定义域是 ．例3、已知函数函数()1lg 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域_______________.变式练习1. （山东）函数()f x =的定义域为（ ）A ．()0，2B ．(]02，C ．()2+∞，D ．[)2+∞，2. （2018秋•宜昌期中）函数()012f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．B ．[)2+-∞，C ．112+22⎡⎫⎛⎫-∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，，D ．1+2⎛⎫∞⎪⎝⎭，3. （2020•广东学业考试）函数()f x =的定义域是（ ）A ．4+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．53⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，C ．4533⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．4533⎛⎤⎥⎝⎦，4. （2013•山东）函数()f x =的定义域为（ ）A ．(]30-，B ．(]31-，C ．(](]33-∞--，，0 D ．()(]3-∞-，-3，15. （2017•深圳一模）函数y = ）A ．()2-，1B ．[]2-，1C ．()01，D ．(]01，6. 已知函数()()lg tan 1f x x =-则()f x 的定义域是________________.二、 抽象函数定义域例1、（2019•西湖区校级模拟）已知函数()f x 的定义域为()11-，，则 函数()()11g x f f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．()1，2B ．()0，2C ．()01，D ．()11-，例2、（2019秋•辛集市校级月考）已知函数()21f x -的定义域为()0，1，则函数()13f x - 的定义域是（ ） A ．112⎛⎫⎪⎝⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．()11-，D ．203⎛⎫⎪⎝⎭，例3、（2019秋•景德镇期中）若函数()y f x =的定义域为[]11-，，则()||1y f x =-的 定义域为（ ）A ．[]11-，B ．[]10-，C ．[]01，D ．[]22-，例4、已知()f x 是定义域在[)1+-∞，上的单调增函数，则不等式()222x x f e f -⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ 的解集是_________. 变式练习1. （2019秋•崂山区校级期中）已知函数()y f x =的定义域为[]6-，1， 则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．()(]22-∞--，，3B ．(]11-，3C ．722⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，D ．[﹣，﹣2）(]2-，2. 已知函数()24y f x =-的定义域是[]15-，，则函数2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域是______________.3. 函数)1(+x f 的定义域[)32，-∈x ，求)21(+xf 的定义域.4. 设函数()2342||xf x e x +=-++，则不等式()()253f x f x -<-成立的x 的 取值范围是__________________.5. （2019秋•河南月考）已知函数f （x ）的定义域是[]1，4，则函数()2()1x f g x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]01，1，2B ．()0，2C ．[]0，2D ．()()0112，，6. （2019秋•城关区校级期中）已知函数()1f x +的定义域为[]21-，，则 函数()()122g x f x x =+--的定义域为（ ） A ．[]1，4 B ．[]03， C ．[)(]12，2，4 D ．[)(]123，2，三、已知函数定义域求参例1、函数25lg 4y kx kx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ．例2、已知函数y =[]3-，6，求实数a b ，的值．例3、已知函数()2f x ax bx =+是定义在[]1a a -，2上的偶函数，那么a b +的值是例4、已知()f x 是定义在()4-，4上的奇函数，它在定义域内单调递减，若a 满足()()1230f a f a -+-<.求a 的取值范围.变式练习1. 已知函数()2log 21a y ax x =++．（1）若此函数的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）若此函数的定义域为(()22+-∞-+∞，，求a 的值．2. 已知函数()f x =（Ⅰ）若()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．（Ⅱ）若()f x 在[]2，3上有意义，试求a 的取值范围．3. 已知函数()22lg1a xy x a -=-+的定义域为集合A ，若4A ∉，则实数a 的取值集合是 ．4. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)0+∞，上是增函数，如果()()12f ax f x +≤-在112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，则实数a 的取值范围是_________________.考点二 抽象函数的解析式例1、 已知()y f x =是一次函数，且有()1615f f x x =-⎡⎤⎣⎦，则()f x 的解析式为 ．例2、已知函数)14fx =-，则()f x 的解析式为 ．例3、已知函数22113f x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式，及 ()3f 及()2f 的值.变式练习1. （1）已知()f x 是一次函数，且()94f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式．（2）已知()f x 为二次函数，且()02f =，()()11f x f x x +-=-，求()f x ．2. 若)1fx =+()f x 的解析式为（ ）A ．()2f x x x =-B ．()()20f x x x x =-≥C ．()()21f x x x x =-≥D ．()2f x x x =+3. 已知()2211x f x x -=+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21x f x x =+B ．()221xf x x=-+ C ．()221xf x x =+ D ．()21xf x x =-+4. 若)1f x =+则()3f = ；()f x = ．5. 已知函数()1221x f x x -=-+，则()f x =（ ） A ．2x +1﹣2x ﹣1B ．2x +1﹣2x +1C ．2x ﹣1﹣2x +1 D ．2x ﹣1﹣2x ﹣16. 若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，则()f x 等于（ ） A ．1x +B ．1x -C ．21x +D ．33x +考点三 分段函数一、 求函数值例1、（2015•新课标Ⅱ）设函数()()211log 2121x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，，，则()()22log 12f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12例2、（2020•汉中二模）设()[]210(6)10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，则()5f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13例3、已知()()sin 023202x x f x f x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，，，则53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ． 变式练习1. （2017秋•抚顺期末）若()()()200x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.（2019•西湖区校级模拟）已知函数()()()3log 020x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，，，则19f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为 ．3.（2017春•普宁市校级月考）已知()()sin 08520x x f x f x x π⎧≥⎪=⎨⎪++<⎩，，则()2016f -的值为（ ）A ．810B ．809C ．808D ．8064.（2019•深圳模拟）已知函数()()22log 0log 0x x a x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-<⎪⎩，，()01a a >≠且，若()()21224f f +-=，则a =二、求参数或自变量的值或范围例1、（2019•全国）已知()2200x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，，，若()()20f a f +-=，则a = .例2、(2018·全国卷Ⅰ)设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(]-∞，-1B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，例3、(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝()+1020x x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，，则满足()1+12f x fx ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的 取值范围是________．例4、（上海）设()()201x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围为（ ）A ．[]1-，2B ．[]10-，C ．[]12，D ．[]02，变式练习1. （2019•佛山模拟）已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1n a f n f n =++，则123100=a a a a +++⋅⋅⋅+（ ） A ．0B ．100C ．100-D ．102002. （江苏）已知函数()21010x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的范围是 ．3. （2018秋•苏州期末）已知函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，，若()3f x =，则x = ．4. （2018秋•罗湖区校级月考）若函数()1sin x af x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，，，的值域是[]1-，1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，B ．(]1-∞-，C ．[11]-，D ．(][)11+-∞-∞，，家庭作业1. （2020•郑州二模）设函数y =A ，函数()ln 3y x =-的定义域为B ，则AB =（ ）A ．()3-∞，B ．()83--，C ．{}3D ．[)-3，3 2. 函数f （x ）的定义域为12⎛⎫⎪⎝⎭，3，则()lg 1f x +的定义域为（ ）A ．()0+∞，B ．12⎛⎫⎪⎝⎭，3C ．1100100⎛⎫ ⎪⎝⎭，D．100⎫⎪⎪⎝⎭3. 已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -=（ ）A ．72-B ．92C ．72 D ．92-4. （2015•新课标Ⅰ）函数()()12221log 11x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-5. （2020•焦作一模）已知函数()1212log 18212x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，，．若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） AB ．12CD6.已知函数()()2lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R ，则实数m 的取值范围为 ．7.（江苏）已知函数()21010x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的范围是 ．8.（2017春•双辽市校级月考）已知函数()()()()2211222x x f x x x xx +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩ （1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若()12f a =，求a 的取值集合．第二讲 单调性考点梳理考点一：单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的考点二：复合函数单调性形如()()x g f y =类的函数叫做复合函数同增异减：“同增”指内层函数和外层函数单调性相同时，整体为单调递增函数；“异减”指内层函数和外层函数单调性不同时，整体为单调递减函数. （1）当()0≠x f 时，函数()x f 和()x f 1单调性相反； （2）当()x f 非负时，函数()x f 和()x f 单调性相同.考点三：单调性的性质1.增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减2.()()x f k x g ⋅=，当0>k 时，()()x g x f ,单调性相同；当0<k 时，()()x g x f ,单调性相反3.奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点的区间上单调性相反题型一.判断单调性例1、 下列函数()x f 中，满足“对任意()0,,21∞-∈x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <”的是（ ）A ．()x x f 24-=B ．()21-=x x f C ．()222--=x x x f D ．()x x f -=例2、已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．例3、性质①()()R x x f x f ∈=-,；②在()∞+，0对任意()2121,x x x x ≠，都有()()()[]02121<--x f x f x x .下列函数中，性质①②均满足的是（ ）A ．13+-=x y B ．⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+--=0,10,122x x x x x x yC ．114-=x y D ．()x x x y -+=1lg2变式训练1.下列函数既是偶函数，又在()∞+，0上为减函数的是（ ） A.1-=x y B ．xy 1ln= C ．xxy --=22 D ．⎪⎩⎪⎨⎧<->+=0,20,222x x x x x x y2.设函数()x f y =在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A ．()x f y 1=在R 上为减函数 B ．()x f y =在R 上为增函数 C ．()[]2x f y =在R 上为增函数 D ．()x f y -=在R 上为减函数题型二.求单调区间例1、画出下列函数的图像，并写出其单调区间.① ()21+-=x x f ; ②()2.-=x x x f ； ③()⎩⎨⎧>+-≤+=0,220,12x x x x x f例2、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧><++-≤≤-=20,1220,12x x x x x x x f 或则函数()x f 的单调递增区间为( )A ．()()2,1,0,∞-B ．()()2110，，，C ．(][]1,0,0,∞-D ．()()2,1,0,∞-变式训练1.如果函数()x f y =在区间I 上是增函数，且函数()xx f y =在区间I 上是减函数，那么称函数()x f y =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()542+-=x x x f 是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ）A ．[)∞+，2 B ．[]52， C ．[]50， D ．[]20，2.函数()R x x f y ∈=,的图象如图所示，则函数()()x f x g ln -=的单调减区间是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛e 10，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e C ．[)∞+，1 D ．⎥⎦⎤⎝⎛e 10，和[)∞+，1题型三.单调性的运用应用(一) 比较函数值或自变量的大小例1、已知函数()x f 的图象关于直线1=x 对称，当112>>x x 时，()()[]()01212<--x x x f x f 恒成立，设()()e f c f b f a ==⎪⎭⎫⎝⎛-=,2,21，则c b a ,,的大小关系为( ) A ．b a c >> B ．a b c >> C ．b c a >>D ．c a b >>2、已知函数()x x x f 2sin -=，且()3.022,31log ,23ln f c f b f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则以下结论正确的是（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>变式训练1.定义在R 上的函数()x f 满足：①()1-=x f y 的图象关于直线1=x 对称；②对任意的(]0,,21∞-∈x x ，当21x x ≠时，不等式()()02121>--x x x f x f 成立。
2-1第一节 函数及其表示(2015年高考总复习)
变式思考 ( )
1
(1)下列各组函数中，表示同一个函数的是
x2－1 A．y＝ 与y＝x＋1 x－1 1 2 B．y＝lgx与y＝2lgx C．y＝ x2－1与y＝x－1 D．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
(2)在下列图象中，表示y是x的函数图象的是________．
解析
(1)选项A，B中，定义域不同，选项C中，对应法则不
(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象如右图，令f(x1)＝ f(x2)＝f(x3)＝a，则由题意知f(x)＝a有三个不相等的实根x1，x2， x3，即函数f(x)的图象与直线y＝a的图象有三个交点，由图象可以 看出，只有当2<a<4时，两个图象才有三个交点．这时不妨设 x1<x2<x3，则一定有x2＋x3＝4，且－1<x1<0，于是3<x1＋x2＋ x3<4，即x1＋x2＋x3的取值范围是(3,4)．
变式思考 3 ( ) A．4 C．－4
(1)已知函数f(x)＝
log3x，x>0， x 2 ，x≤0，
1 则f(f( 9 ))＝
1 B.4 1 D．－4
x 3 ，x≤1， (2)已知函数f(x)＝ －x，x>1，
若f(x)＝2，则x＝________.
解析
1 1 (1)由题意得f( )＝log3 ＝－2， 9 9
同，只有选项D中的两个函数的三要素相同．故选D. (2)由函数定义可知，自变量x对应唯一的y值，所以③④错 误，①②正确．
答案
(1)D
(2)①②
题型二 【例2】
求函数的解析式
2 (1)已知f( ＋1)＝lgx，求f(x)； x
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求 f(x)； 1 (3)已知f(x)＋2f(x )＝x(x≠0)，求f(x)．
高一数学第一节知识点
高一数学第一节知识点一、函数及其表示方法在高一数学中，我们首先要学习的是函数及其表示方法。
函数是数学中的一种基本概念，可以理解为具有一定规律的输入和输出之间的关系。
函数可以用符号、图像以及函数式来表示。
1. 函数的符号表示函数通常用小写字母来表示，比如f(x)，g(x)等。
其中，f代表函数的名称，x代表自变量，而f(x)表示函数对应的因变量。
2. 函数的图像表示我们可以将函数的输入和输出的对应关系用图像来表示。
一般情况下，我们将自变量x作为横坐标，函数值f(x)作为纵坐标，将这些点连接起来，形成函数的曲线。
3. 函数的函数式表示函数可以用函数式的形式来表示，例如：- f(x) = 2x + 3- g(x) = x^2 - 1二、函数的性质了解函数的一些基本性质对于我们解题非常重要。
下面是几个常见的函数性质：1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合。
而值域则是函数的所有可能输出值构成的集合。
2. 奇偶性对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
3. 单调性函数的单调性可以分为增函数和减函数。
如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1 < x2时，恒有f(x1) < f(x2)，则函数是增函数；如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1 < x2时，恒有f(x1) > f(x2)，则函数是减函数。
函数的零点是指使得函数取值为0的自变量值。
函数的极值是在定义域上使函数取得最大值或最小值的点。
三、一元二次函数在高一数学中，我们还要学习一元二次函数及其性质。
一元二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
1. 顶点及轴对称一元二次函数的图像是一个抛物线，其顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标可以用公式x = -b / (2a)来求得，纵坐标则是将横坐标代入函数式中得到的值。
第一节 函数及其表示
第一节 函数及其表示
总纲目录
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总纲目录 教材研读
1.函数与映射的概念 2.函数的有关概念 3.分段函数
考点突破
考点一 函数的定义域 考点二 求函数的解析式
教材研读
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1.函数与映射的概念
函数 两集合A、B 设A、B是两个① 非空数集 映射 设A、B是两个② 非空集
对应关系f:A→B 按照某种确定的对应关系f,使对于集合 按某种确定的对应关系f,使对于集 A中的③ 任意 一个数x,在集合B中 合A中的⑤ 任意 一个元素x,在 的元
2
x ( x )2 D.f(x)= 和g(x)= 2 x ( x)
答案 D A中两个函数的定义域不同;B中y=x0的x不能取0;C中两函数 的对应关系不同.故选D.
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3.函数f(x)= A.(0,2) 答案 C
1 的定义域为 ( log 2 x 1
C )
D.[2,+∞)
B.(0,2]
考点突破
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1-3
2x 若函数f(x)=
2
2 ax a
1 的定义域为R,则实数a的取值范围是 [-1,0]
.
答案 [-1,0]
解析
2x 2 axa -1≥0,x∈R恒成立,则x2+2ax-a≥0,x∈ 由函数定义域为R得
2
R恒成立,则Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0.
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3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的
对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分 组成,但它表示的是一个函数.
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第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修22)
第1节函数及其表示
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.下列图形中,不能表示以x为自变量的函数图象的是( B )
解析:B中,当x>0时,y有两个值和x对应,不满足函数y的唯一性,A,C,D满足函数的定义.故选B.
2.(2017·广东深圳一模)函数y=的定义域为( C )
(A)(-2,1) (B)[-2,1]
(C)(0,1) (D)(0,1]
解析:由题意得解得0<x<1.故选C.
3.下列对应不是从集合A到集合B的映射是( B )
(A)A={直角坐标平面上的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系是:A 中的点与B中的(x,y)对应
(B)A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应关系是:作圆的内接三角形
(C)A=N,B={0,1},对应关系是:除以2的余数
(D)A={0,1,2},B={4,1,0},对应关系是f:x→y=x2
解析:A={直角坐标平面上的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系是:A中的点与B中的(x,y)对应,满足映射的定义,是映射;
A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应关系是:作圆的内接三角形,A中每个元素,在B都有无数个元素与之对应,不满足映射的定义,不是映射;
A=N,B={0,1},对应关系是:除以2的余数,满足映射的定义,是映射; A={0,1,2},B={4,1,0},对应关系是f:x→y=x2,满足映射的定义,是映射.故选B.
4.已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)等于( B )
(A)2x+1 (B)2x-1
(C)2x-3 (D)2x+7
解析:因为f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),
所以g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,
所以g(x)=2x-1.故选B.
5.(2017·河北唐山一模)若函数f(x)=则f(f(2))等于
( A )
(A)1 (B)4 (C)0 (D)5-e2
解析:由题意知f(x)=
则f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,
所以f(f(2))=1.
故选A.
f(x)=lg,则f()+f()的定义域为( B ) (A)(-4,0)∪(0,4) (B)(-4,-1)∪(1,4)
(C)(-2,-1)∪(1,2) (D)(-4,-2)∪(2,4)
解析:因为>0,所以-2<x<2,
所以-2<<2且-2<<2,
解得-4<x<-1或1<x<4.故选B.
7.(2017·山东青岛一模)函数 f(x)=+ln(x+2)的定义域为
.
解析:由得-2<x<3.
所以函数 f(x)=+ln(x+2)的定义域为(-2,3).
答案:(-2,3)
8.(2017·北京房山区一模)已知函数f(x)=则f(f(-1))=
,f(x)的值域为.
解析:f(-1)=2-1=,f()=1-()3=,
故f(f(-1))=,
当x>0时,f(x)=1-x3为减函数,所以f(x)<f(0)=1,
当x≤0时,函数f(x)=2x为增函数,所以0<f(x)≤1,
综上所述函数f(x)的值域为(-∞,1],
答案:(-∞,1]
能力提升(时间:15分钟)
·北京顺义区二模)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( B )
(A)y=[] (B)y=[]
(C)y=[] (D)y=[]
解析:由题意,根据规定10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表,即余数分别为8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加2.因此利用取整函数可表示为y=[].故选B.
10.(2018·江西上饶月考)已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应关系是f:x→y=x2-2x+2,若对实数k∈B,在集合A中没有元素与之对应,则k 的取值范围是( B )
(A)(-∞,1] (B)(-∞,1)
(C)(1,+∞) (D)[1,+∞)
解析:y=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,
若对实数k∈B,在集合A中没有元素与之对应,则k<1.
故选B.
11.(2017·河南三门峡一模)设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-
1),则实数a的取值范围是( B )
(A)(-∞,1] (B)(-∞,2]
(C)[2,6] (D)[2,+∞)
解析:函数f(x)=是在定义域为R上的增函数.
因为f(a+1)≥f(2a-1),所以a+1≥2a-1,
解得a≤2.
故得实数a的取值范围是(-∞,2].
故选B.
12.若函数f(x)在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为.
解析:由题图可知,当-1≤x<0时,f(x)=x+1;
当0≤x≤2时,f(x)=-x,
所以f(x)=
答案:f(x)=
13.(2017·四川泸州模拟)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[1,+∞),则实数a的取值范围是.
解析:由题意,f(x)=的值域是[1,+∞),
当x≥2时,值域为[1,+∞),
所以f(x)=a-x,x<2的最小值大于等于1,
所以a-2≥1,
可得a≥3.
答案:[3,+∞)
14.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是.
解析:①当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+x-+1>1,
即x>-,所以-<x≤0.
②当0<x≤时,f(x)+f(x-)=2x+x-+1>1,
即2x+x>,显然成立,
所以0<x≤.
③当x>时,f(x)+f(x-)=2x+>1,也成立, 所以x>.
由①②③可得x>-.
答案:(-,+∞)。