第二章 第一节 函数及其表示
2015届高考数学总复习第二章 第一节函数及其表示精讲课件 文
点评：判断一条曲线是否是函数的图象，要看通过曲线
得到的x与y的取值范围是否与题设一致以及对应关系是否满 足函数的定义．
变式探究 2 ． (2012· 南昌模拟 ) 下图①②③④四个图象各表示两个 变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有 ________．
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函 数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－ 1≤a≤1 时， 直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直
(2)已知f(x)为二次函数，且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则 f(x)的解析式为____________________________． 解析：(1)用换元法(略)． (2)用待定系数法．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c， 则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
第二章
第一节 函数及其表示
对函数概念的准确理解 【例1】 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝
与y＝x＋1
1 2
B．y＝lg x与y＝ lg x2 C．y＝ －1与y＝x－1
D．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
思路点拨： 从函数的三要素的角度来判断是否
为同一个函数，只有定义域和对应法则都相同的函数
解析：(1)(法一)设u＝
＋1，则
＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)． 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (法二)∵x＋2 由于x≥0，所以 ∴f( ＋1)＝( ＝( ＋1)2－1， ＋1≥1. ＋1)2－1，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
第二章 第一节 函数及其表示
A. 0,
5 2
C. -
1 2
,2
B.[-1,4] D.[-5,5]
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数y=f(x)的定义域为
.
答案 (1)C (2)[-1,2]
解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],
∴-2≤2x-1≤3,即- 1 ≤x≤2,
2
即函数y=f(2x-1)的定义域为
x2
D.f(x)=x,g(x)=
x
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4.函数f(x)= 2x -1+ 1 的定义域为 ( C )
x-2
A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
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5.已知f
1 2
x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于
(
A
)
A. 7 B.- 7
|
1 2
a
N*
,B=
b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1
;
a
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③ C.①④
考点二 函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域 考法一 已知函数解析式,求函数定义域 典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] (2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
第二章 第一节 函数及其表示
解答题的形式出现.
一、函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个 非空集合 A、B
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 应关系f，使对于集合A 系f： 中的任意 一个数x，在 A→B 集合B中数 f(x)＝1x－ 2＋xx2， －x2≤ ，1x， ＞1，
则
1 ff2
的值为
()
A.1156
B．－2176
C.89
D．18
解析：f(2)＝4，f12＝14， 故 ff12＝f14＝1－142＝1156.
答案： A
[冲关锦囊] 1.函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函
数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值代入计 算即可．另外，高考命题一般会与分段函数相结合， 求值时注意a的范围和对应的关系． 2.求f(f(f(a)))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则.
[精析考题] [例3] (2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所
用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
应关系f，使对于集合A
中的 任意 一个元素x， 在集合B中有 唯一确定
数f(x)和它对应
的元素y与之对应
函数
映射
称f：A→B 为从集合 称对应f：A→B 为从集 名称
A到集合B的一个函数 合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域
若f(a)＝4，则实数a＝
()
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第1节：函数及其表示(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第1节函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．1.函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.(3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法和解析法.2.分段函数(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像至多有1交点.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y ＝tan x x |x ≠k π＋π2，k ∈Z1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数.()(2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .()(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是()3.(2021·贵阳诊断)已知函数f (x )3x（x ≤0），log 3x （x >0），则f 12＝()A.－1B.2C.3D.124.(2020·北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是__________.5.(易错题)已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.6.已知函数f (x )x 2＋2，x ≤1，1x，x >1，则f (x )的值域为________.考点一函数的定义域1.函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________.2.函数f(x)＝12－x＋ln(x＋1)的定义域为()A.(2，＋∞)B.(－1，2)∪(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－1，2]3.(2021·西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝f（2x＋1）x＋2的定义域是()A.(－∞，－2)∪(－2，3]B.(－8，－2)∪(－2，1]C.－92，－2(－2，0]D.－92，－24.已知函数f(2x－1)的定义域为[0，1]，则f（2x＋1）log2（x＋1）的定义域是() A.(－1，0) B.(－1，0]C.[－1，0)D.[－1，0]考点二求函数解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知x＋1x x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.训练1(1)已知2x＋1lg x，则f(x)＝________；(2)(2021·黄冈检测)已知x2＋1x2＝x4＋1x4，则f(x)＝________.(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.考点三分段函数角度1分段函数的求值例2(1)已知函数f(x)2－x，x≥－1，log2（1－x），x<－1，则f(0)－f(－3)＝________.(2)设函数f(x)a x，x≥0，f x＋4a），x<0(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2023)＝________.角度2分段函数与方程例3(1)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)x2－4，x>2，|－3|＋a，x≤2.若f(f(6))＝3，则a＝________.(2)(2022·长沙质检)已知函数f(x)log2（3－x），x≤0，2x－1，x>0，若f(a－1)＝12a＝________.角度3分段函数与不等式例4(2021·合肥模拟)已知函数f(x)log2x，x>1，x2－1，x≤1，则f(x)<f(x＋1)的解集为()A.(－1，＋∞)B.(－1，1)C.－12，＋∞ D.－12，1训练2(1)函数f(x)e x－3，x<1，ln x，x≥1，则关于函数f(x)的说法不正确的是()A.定义域为RB.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点(2)(2021·郑州调研)已知函数f(x)2x－1，x>0，a x＋1，x≤0，若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为()A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]函数的值域求函数值域的一般方法：(1)单调性法；(2)不等式法；(3)配方法；(4)换元法；(5)数形结合法；(6)分离常数法；(7)导数法.一、单调性法例1已知a>0，设函数f(x)＝2023x＋1＋20222023x＋1＋2023x3(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为()A.2023B.2024C.4045D.4046二、不等式法主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数).例2设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________.配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的最值问题，可以考虑用配方法.例3已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.例4(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________；(2)函数y＝x－4－x2的值域为________.五、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法.例5对a，b∈R，记max{a，b}，a≥b，，a<b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________.六、分离常数法例6已知f(x)＝2x＋1x－3，求此函数的值域.例7已知f (x )＝2x －ln x ，求f (x )的值域.1.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图像.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2.下列所给图像是函数图像的个数为()A.1B.2C.3D.43.已知函数f (x )x ＋1，x ≤0，－log 2x ，x >0，则f (f (8))等于()A.－1B.－12C.12D.24.设函数x ，则f (x )的表达式为()A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1)C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1)5.已知函数f (x )x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为()A.－1B.1C.－1或1D.－1或－136.(2021·兰州质检)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是()A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]7.(2021·成都检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f (x )＝12×4x －3×2x ＋4(0<x <2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为()A.－12，B.{－1，0，1}C.{－1，0，1，2}D.{0，1，2}8.已知函数f (x )2＋x ，x ≥0，3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为()A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)9.函数f (x )＝＋1－x 2的定义域为________.10.(2022·西安质检)已知函数f(x)x2－2x＋1，x<0，x，x≥0，则满足f(a)>1的实数a的取值范围是________.11.已知函数f(x)满足1xf(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，________.12.具有性质：f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是________.①y＝x－1x；②y＝ln1－x1＋x；③y＝e1－xx；④f(x)，0<x<1，，x＝1，－1x，x>1.13.(2022·河南名校联考)已知函数f(x)＋x2，x≤0，，x>0，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是()A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(－1，4)D.(－∞，1)14.已知函数f(x)1－2a）x＋3a，x<1，x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________.15.若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列四个函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos(πx).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为________.16.已知函数f(x)＝x2.1＋x2(1)求f(2)与f(3)与(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f(3)求f(2)＋f(3)＋f(2022)＋f.。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
高考数学练习：第2章 第1讲 函数及其表示分层演练直击高考
1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2,＋∞) B ．(3,＋∞) C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C ． 2．已知函数f(x)＝x|x|,x ∈R,若f(x 0)＝4,则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x≥0时,f(x)＝x 2,f(x 0)＝4, 即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f(x)＝－x 2,f(x 0)＝4, 即－x 20＝4,无解． 所以x 0＝2,故选B ．3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f(f(3))＝( )A ．43 B ．23 C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f(3)＝1－log 23＝log 2 23＜0,所以f(f(3))＝f(log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43,故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x 2B ．f(x)＝－2x1＋x 2C ．f(x)＝2x 1＋x2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝(1＋t)2－(1－t)2(1＋t)2＋(1－t)2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C ．5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f(a)＝6,则a 等于( ) A ．－74B ．74 C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,所以f(t)＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f(a)＝4a －1＝6,即a ＝74.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f(a)＋f(1)＝0,则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f(1)＝2,所以f(a)＝－f(1)＝－2, 当a ＞0时,f(a)＝2a＝－2,无解； 当a≤0时,f(a)＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3. 综上,a ＝－3,选A ．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C ．8．若二次函数g(x)满足g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2xD ．g(x)＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法,设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),因为g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g(x)＝3x 2－2x.9．已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2,3],则y ＝f(2x －1)的定义域为( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3], 所以－1≤x＋1≤4.由－1≤2x－1≤4,得0≤x≤52,即y ＝f(2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52. 10．(2019·石家庄质量检测(一))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 11．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1,则f(f(x))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2,＋∞)B ．(－∞,1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B ．因为当x≥1时,f(x)＝x 3＋x≥2,当x ＜1时,f(x)＝2e x －1＜2,所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1,即2ex －1＜1,解得x ＜1－ln 2,所以f(f(x))＜2的解集为(－∞,1－ln 2),故选B ．12．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①,f(x)＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f(x),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f(x),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x),满足． 13．函数f(x),g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：215．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)16．已知函数f(x)满足对任意的x∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：∀x ∈R,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A ．对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x)，f(x)＞0，f 2(x)，f(x)≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A ．3．已知函数f(x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18,则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019的值为( )A ．0B ．504.5C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f(1－x)＝(1－x)3－32(1－x)2＋34(1－x)＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38,所以f(x)＋f(1－x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12,所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ．4．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x≤02|x －2|，0＜x≤4,对任意x∈D ,存在x 1,x 2∈D,使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2),则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D ,f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)知,f(x 1),f(x 2)分别为f(x)的最小值和最大值,由图可知|x 1－x 2|max ＝8,|x 1－x 2|min ＝1,所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0,f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。
05 第二章 第一节 函数及其表示
课时质量评价
考向2 分段函数与方程、不等式
【例3】(1)已知函数f (x)＝ቊ2x+x，1，x>x≤0，0.若f (a)＋f (1)＝0，则实数a的值等于(
)
√A．－3
B．－1
C．1
D．3
A 解析：f (1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，f (a)＝2a，由f
(a)＋f (1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，不满足题意，舍去；当a≤0时，f (a)
B．{x|1<x<3}
C．{x|x<－3}
D．{x|x>3，或－3<x<1}
个函数
对应关系
y＝f (x)，x∈A
三要素
定义域 值域
__x_的取值范围 与x的值相对应的y的值的集合___{_f_(_x_)|_x_∈__A_}_____
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数的表示方法 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__3_．
A．[－5，5]
√B．
－
1 2
，2
C．[－2，3]
D．
1 2
，2
B 解析：因为函数y=f (x)的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x－1≤3，解得－
12≤x≤2，所以函数y=f
(2x－1)的定义域是
－
1 2
，2
.故选B．
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能
[A 组 基础保分练]
1．(2020·郑州调研)函数f (x )＝ln x
x －1
＋的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨
⎧
x
x －1
＞0，x ≥0，
解得x ＞1，
故函数f (x )＝ln x
x －1＋
的定义域为(1，＋∞)．故选B.
答案：B
2．下列函数中，与函数y ＝13x
的定义域相同的函数为( )
A ．y ＝1
sin x
B ．y ＝ln x
x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝sin x
x
解析：函数y ＝
1
3
x
的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }；y ＝ln x
x 的
定义域为{x |x ＞0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin x
x
的定义域为{x |x ≠0}．故选D.
答案：D
3．设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的解析式为( )
A.21＋x
B.21＋x 2
C.1－x 21＋x 2
D.1－x 1＋x
解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋
1－t 1＋t ＝2
1＋t ，故选A. 答案：A
4．(2020·山东枣庄期末测试)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x
的定义域为( )
A ．[0,1]
B ．[0,2]
C ．[1,2]
D ．[1,3]
解析：由题意，得{
0≤2x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤1.故选A. 答案：A
5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos πx 2，x ≤0，
f (x －1)＋1，x ＞0，则f (2)＝( )
A.1
2 B ．－12
C ．－3
D ．3
解析：f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫
π2×0＋2＝1＋2＝3.故选D. 答案：D
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－log 2(3－x )，x ＜2，2x －2
－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；当2－a ＜2，即a ＞0时，f (2－a )＝－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－1
2
，舍去．综上，f (a )＝－2.故选A.
答案：A
7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≥0，
－x ，x ＜0，
若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.
解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a ＜0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.
答案：±1
8．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 解析：由题意知，－x －x 2＞0， ∴－1＜x ＜0，即f (x )的定义域为(－1,0)． ∴－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜－12
.
答案：⎝
⎛⎭⎫－1，－1
2 [B 组 能力提升练]
1．(2020·皖中名校联考)函数y ＝3－x
lg x
的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(0,1)∪(1,3)
D ．(0,1)∪(1,3]
解析：由题意得，⎩⎪⎨⎪
⎧
3－x ≥0，
x ＞0，
lg x ≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ≤3.故选D.
答案：D
2．若函数f (x )＝log 13
(x 2＋2a －1)的值域为R ，则a 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎦⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，1
2 C.⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞ D.⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ 解析：依题意可得y ＝x 2＋2a －1要取遍所有正数，则2a －1≤0，即a ≤1
2.故选A.
答案：A
3．(2020·陕西四校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
lg (ax ＋4)，x ＞0，
x ＋2，x ≤0，且f (0)＋f (3)＝3，则实数
a 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由题意知，f (0)＝2，因为f (0)＋f (3)＝3，所以f (3)＝1，所以f (3)＝lg(3a ＋4)＝1，解得a ＝2.故选B.
答案：B
4．(2020·皖中名校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋2，x ≤2，1＋log a x ，x ＞2
(a ＞0，a ≠1)的最大值是4，则
a 的取值范围是( )
A ．(0,1)∪(1,2]
B ．(0,1)∪(1，2]
C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，3
2]
解析：若a ＞1，则函数1＋log a x 在x ＞2时单调递增，没有最大值，因此必有0＜a ＜1.
此时1＋log a x 在x ＞2时，满足f (x )＜f (2)＝1＋log a 2.而f (x )＝x ＋2在x ≤2时的最大值是4.因此应有1＋log a 2≤4，解得0＜a ≤3
2.故0＜a ＜1.选C.
答案：C
5．已知函数f (x )＝(e x ＋e －
x )ln 1－x
1＋x
－1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3
D ．－3
解析：法一：由题意得，f (a )＋f (－a )＝(e a ＋e －
a )ln
1－a 1＋a －1＋(e a ＋e －
a )ln 1＋a 1－a
－1＝(e a ＋e －a
)⎝ ⎛⎭⎪⎫ln
1－a 1＋a
＋ln 1＋a 1－a －2＝－2，所以f (－a )＝－2－f (a )＝－3，故选D.
法二：令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln
1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x )ln 1－x
1＋x
＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.
答案：D
6．若函数f (x )的定义域为[1,8]，则函数f (2x )
x －3的定义域为( )
A ．(0,3)
B ．[1,3)∪(3,8]
C ．[1,3)
D ．[0,3)
解析：f (x )的定义域为[1,8]，若函数f (2x )
x －3有意义，则⎩⎪⎨
⎪⎧
1≤2x
≤8，x －3≠0，
解得0≤x ＜3.故选
D.
答案：D
7．设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x
，x ≤0，
x ，x ＞0，
则f (f (－2))＝________. 解析：f (f (－2))＝f (2－2)＝f ⎝⎛⎭⎫
14＝14＝12
. 答案：12
8．函数y ＝
＋
1
2x －3
的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
0＜2－x ＜1，
x ≠32
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
1＜x ＜2，
x ≠32.
∴定义域为⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫3
2，2 答案：⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫3
2，2
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
22－x
，x ＜2，34x 2－3x ＋4，x ≥2，若不等式a ≤f (x )≤b 的解集恰好为[a ，b ]，则
b －a ＝________.
解析：由函数f (x )的解析式知，函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (2)＝1.若a ＞1，则不等式a ≤f (x )≤b 的解集为[x 1，x 2]∪[x 3，x 4]的形式，不符合题意，所以a ≤1，此时因为22－1＝2，所以b ≥2，令34m 2－3m ＋4＝m ，解得m ＝4
3(舍去)或
m ＝4，取b ＝4，令22－x ＝4，得x ＝0，所以a ＝0，所以b －a ＝4.
答案：4。