人教版高中数学必修一《三角函数的应用》PPT教学课件
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三角函数的应用【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件PPT完整版
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5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
●
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
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1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。
第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
三角函数的应用-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为 （ 月份 ）轴,以平均气温为 轴.
（1） 描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据.
[解析] 如图.
（2） 估计这个正弦曲线的周期 和振幅 .
[答案] 可以用三角函数模型 , ,其中 , 表示.
问题3：. 表示什么？
[答案] A是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离.
新知生成
描述简谐运动的物理量
（1）简谐运动的振幅就是____.
（2）简谐运动的周期 .
（3）简谐运动的频率 .
（4）_________称为相位.
4.一根长 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 与时间 的函数关系式为 ,其中 是重力加速度,当小球摆动的周期是 时,线长 _ _____ .
[解析] 由已知得 ,所以 ,即 ,解得 .
一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数关系是 .
（1） 画出它的图象.
[解析] 周期 .列表：
0
1
3
6
0
0
3
巩固训练
描点画图：
（2） 回答以下问题：
问题3：依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
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平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为 （ 月份 ）轴,以平均气温为 轴.
（1） 描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据.
[解析] 如图.
（2） 估计这个正弦曲线的周期 和振幅 .
[答案] 可以用三角函数模型 , ,其中 , 表示.
问题3：. 表示什么？
[答案] A是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离.
新知生成
描述简谐运动的物理量
（1）简谐运动的振幅就是____.
（2）简谐运动的周期 .
（3）简谐运动的频率 .
（4）_________称为相位.
4.一根长 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 与时间 的函数关系式为 ,其中 是重力加速度,当小球摆动的周期是 时,线长 _ _____ .
[解析] 由已知得 ,所以 ,即 ,解得 .
一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数关系是 .
（1） 画出它的图象.
[解析] 周期 .列表：
0
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0
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巩固训练
描点画图：
（2） 回答以下问题：
问题3：依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
《 三角函数的应用(第一课时)》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
根据散点图（如图）， 分析得出位移y随时间t的变化规律可以用 y＝Asin（ωx＋φ)这个函数模型进行刻画．
新知探究
问题4 由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最 大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的位移吗？根据这些值， 你能求出函数的解析式吗？
A＝20，T＝60 s，初始状态的位移为－20 mm．
模型一：简谐运动
新知探究
问题2 如何利用三角函数刻画弹簧振子的 运动过程？
因为弹簧振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化，所以可以 用弹簧振子离开中心位置的位移与时间的三角函数关系来刻画弹簧振 子的运动过程．
新知探究
例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位 移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个 振子的位移关于时间的函数解析式．
解答：（1）最大偏角为0.1203 rad． （2）要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度l应当为24.8 cm．
新知探究
模型二：交变电流 播放视频：交变电流的产生
问题5 如何利用三角函数刻画交变电流的周期性变化？
因为交变电流随着时间呈周期性变化，所以可以用交变电流与时间的 三角函数关系来刻画交变电流的周期性变化．
由这些值可求得电流i随时间t的变化的解析式是
i 5sin(100πt π )，t [0， )
当t 0时，i 5 3；当t 1 时，i 5；
3
2
600
当t 1 时，i 0； 当t 7 时，i 5；当t 1 时，i 0．
150
600
60
新知探究
练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系 如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U （单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
新知探究
问题4 由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最 大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的位移吗？根据这些值， 你能求出函数的解析式吗？
A＝20，T＝60 s，初始状态的位移为－20 mm．
模型一：简谐运动
新知探究
问题2 如何利用三角函数刻画弹簧振子的 运动过程？
因为弹簧振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化，所以可以 用弹簧振子离开中心位置的位移与时间的三角函数关系来刻画弹簧振 子的运动过程．
新知探究
例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位 移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个 振子的位移关于时间的函数解析式．
解答：（1）最大偏角为0.1203 rad． （2）要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度l应当为24.8 cm．
新知探究
模型二：交变电流 播放视频：交变电流的产生
问题5 如何利用三角函数刻画交变电流的周期性变化？
因为交变电流随着时间呈周期性变化，所以可以用交变电流与时间的 三角函数关系来刻画交变电流的周期性变化．
由这些值可求得电流i随时间t的变化的解析式是
i 5sin(100πt π )，t [0， )
当t 0时，i 5 3；当t 1 时，i 5；
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当t 1 时，i 0； 当t 7 时，i 5；当t 1 时，i 0．
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新知探究
练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系 如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U （单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
人教A版高中数学必修第一册5.7三角函数的应用【课件】
的最大距离;
(2)简谐运动的周期 T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一
次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式 f= =
给出,它是做简谐运动的物
体在单位时间内往复运动的次数;
(4)ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相.
3.y=sin
答案:-
的初相是
.
二、拟合函数模型
我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观
察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函
数模型来解决相应的实际问题.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( √ )
故 y=20sin
- .
(2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响?
提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体
位置.
2.简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中 A>0,
ω>0.
(1)A 是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置
5.7
三角函数的应用
课标定位
素养阐释
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变
化的数学模型.
3.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运
算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
(2)简谐运动的周期 T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一
次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式 f= =
给出,它是做简谐运动的物
体在单位时间内往复运动的次数;
(4)ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相.
3.y=sin
答案:-
的初相是
.
二、拟合函数模型
我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观
察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函
数模型来解决相应的实际问题.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( √ )
故 y=20sin
- .
(2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响?
提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体
位置.
2.简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中 A>0,
ω>0.
(1)A 是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置
5.7
三角函数的应用
课标定位
素养阐释
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变
化的数学模型.
3.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运
算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
5.7三角函数的应用(课件(人教版))
新知探究
练习1 图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 1 2
周期后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
新知探究
练习2 从诞生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变 化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律 三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期 又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日， 临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置 （平衡位置），请根据自己的诞生日期，绘制自己的体力，情绪，智 力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会 有怎样的表现，需要注意哪些问题？
0.4
1.0
目标检测
（1）试画出散点图；
（2）视察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt ＋φ）＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排合适的训练 时间段．
解：（1）如图；
目标检测
（2）由散点图可知，选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b函数模型较为合适． y 2 sin πt 1(1≤ t ≤ 24). 56
（3）在11 h～19 h进行训练较为合适．
5.7 三角函数的应用
第二课时
新知探究
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y Asin(x ) b．
（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．
新知探究
例2 海水受日月的引力，在一定时候产生涨落的现象叫潮．一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近 码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表是某港口某天的时刻与水深关 系的预报．
人教A版数学必修第一册5.7.1三角函数的应用课件
题型探究
一 题 多 变
思 维 发 散
2．[变条件，变设问] 将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变， 求离y轴最近的一条对称轴方程．
由 4x＋23π＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k4π－2π4(k∈Z)， 取 k＝0，x＝－2π4满足题意， 故离 y 轴最近的一条对称轴方程为 x＝－2π4.
[例 3] 在函数 y＝2sin4x＋23π 的图象的对称中心中，离原点 最近的一个中心的坐标是 ________．
达标检测
1．最大值为12，周期为23π，初相为π6的函数表达式是( D )
A．y＝12sin x3＋π6
B．y＝12sin x3－π6
C．y＝12sin 3x－π6
D．y＝12sin 3x＋π6
y＝12sin 3x＋π6满足最大值为12，周期为23π，初相为π6.
达标检测
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( C )
C．x＝－π4
D．x＝－π2
f(x)对称轴是 x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即 x＝kπ＋43π，k∈Z， 当 k＝－1 时，x＝－π＋43π＝－π4
课前预习
任务二：简单题型通关
3.如图是函数 y＝sin(ωx＋φ)(|φ|＜π2)的图象的一部分，那么( A )
A．ω＝161，φ＝π6
B．ω＝161，φ＝－π6
课前预习
任务二：简单题型通关
1．函数 y＝31sin 31x＋π6的周期、振幅、初相分别是( B )
A．3π，13，π6
B．6π，31，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
课前预习
任务二：简单题型通关
第五章5.7三角函数的应用PPT课件(人教版)
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝ 20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二 已知三角函数解析式解决应用问题 【例 2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开
平衡位置的位移 s(单位：厘米)与时间 t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6). (1)画出它一个周期的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝22ππ＝1(秒). 列表：
t
0
1 6
5 12
2 3
11 12
1
2πt＋π6
π 6
π 2
π
3π 2
2π 2π＋π6
6sin(2πt＋π6) 3
6
0 －6 0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，视察散点图，然后进行函数 拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下 表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ________.
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 已知三角函数图象解决应用问题，第一由图象确定三角函数的 解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值 范围.
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三角函数
5.7 三角函数的应用
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.了解三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型.
2.会用三角函数模型解决简单的实际问
题. 3.初步学会使用分析数据或图象特征进 行一些简单的函数拟合.
一二
课前篇 自主预习
一、三角函数的应用
1.简谐运动
(1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其最值、周期分别与哪些参数有关?
如果一个简谐振动,其解析式是 y=3sin
����
+
π 6
,结合物理学知识,其
振幅、周期、初相分别是多少?
提示:函数 y=Asin(ωx+φ)的最值与 A 有关,周期与 ω 有关;对于简
谐振动 y=3sin
����
+
π 6
,其振幅等于 3,周期是 2,初相为π6.
一二
课前篇 自主预习
(2)填空 在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义.
3.填空 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用 来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.
课前篇 自主预习
一二
二、应用三角函数模型解决问题的一般程序 1.填空 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题, 通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函 数模型,解决问题的一般程序如下: (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来
(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12,
∴ω=2���π���
=
2π 12
=
π6.
由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;
由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.
课前篇 自主预习
一二
2.做一做
如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天
从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式
为
.
解析:设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ), 则有 h(0)=0,即 sin φ=0,
因此可取 φ=0; 又2|���π���|=12,取 ω=π6, 则 故有 所求h=解A析sin式π6t,为又hh=(3-6)=siAnπs6itn. π2=A=-6, 答案:h=-6sinπ6t
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
解:(1)因为 ω=160π,代入周期公式 T=2|���π���|,可得 T=1620ππ = 810(min),
所以函数 p(t)的周期为810 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f=���1���=80(次).
(3)列表:
t
不能正确理解简谐运动的过程致误 典例 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距 20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小. 错解(1)因为B,C相距20 cm, 所以振幅A=20 cm. 因为从点B经0.5 s振子首次达到点C, 所以周期 T=0.5 s,频率 f=���1���=2.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
延伸探究 本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱
好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全
检查,且检查工作必须在海浪高度低于
1-
3 4
米时进行,试问:海滨浴
场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?
解:依题意知,应当 y<1- 43时进行安全检查.
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示:振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,说
明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20 cm,即振幅的2倍
∴φ=-23π.
因此所求的函数解析式为 y=100sin
π 6
������-
2π 3
+800.
(2)由图可知,每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰,
又������
2
=
122=6.
∴从 7 月 1 日开始,每隔 6 天,种群数量就出现一个低谷或一个高峰.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
∴A=0.5,b=1.∴y=12cosπ6t+1.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
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(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,
∴∴122ckoπs-ππ62t+<1π6>t<1.2∴kπc+osπ2π6(kt>∈0Z. ),
即12k-3<t<12k+3(k∈Z).①
∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,
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解:(1)由题图知,A=300.
T=610 −
-
1 300
= 510,
∴ω=2���π��� =100π.
∵
-
1 300
,0
是该函数图象的第一个零点,
∴∴-φ������=������=3-���0���30010=. π3.符合|φ|<π2,
∴I=300sin
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变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单
位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为 s=6sin
2����
+
π 6
.
(1)作出函数的图象;
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?
0
1
1
3
1
320
160
320
80
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg,舒张压为 90 mmHg.
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反思感悟 在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模 型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决 相关问题.
100����
+
π 3
(t≥0).
(2)问题等价于 T≤1010,即2���π��� ≤ 1010,
∴ω≥200π.
∴正整数 ω 的最小值为 629.
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反思感悟 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电 流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最 多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和 表示方法.
由12cosπ6t+1<1- 43,
可得 cosπ6t<- 23.
因为
0≤t≤24,所以56π
<
π6t<76π
或
17π 6
<
π6t<196π,
解得 5<t<7 或 17<t<19,
因为是在上午进行检查,所以应该在上午的 5 时至 7 时这一时间段
进行安全检查.
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变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示, 且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
(1)根据图中数据求函数解析式; (2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个 高峰?
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)
A.13
,
π 2
,
π 5
B.13,8π,π5
C.-13,8π,π5
D.13,8π,45π
解析:因为
A=13,ω=14,所以周期
T=
2π
1
=8π,故振幅为13,初相
φ=π5.
4
答案:B
一二
课前篇 自主预习
2.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样 的例子吗?
提示:物理中的匀速圆周运动、简谐振动、交变电流、海洋潮汐 和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供
冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.
5.7 三角函数的应用
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.了解三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型.
2.会用三角函数模型解决简单的实际问
题. 3.初步学会使用分析数据或图象特征进 行一些简单的函数拟合.
一二
课前篇 自主预习
一、三角函数的应用
1.简谐运动
(1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其最值、周期分别与哪些参数有关?
如果一个简谐振动,其解析式是 y=3sin
����
+
π 6
,结合物理学知识,其
振幅、周期、初相分别是多少?
提示:函数 y=Asin(ωx+φ)的最值与 A 有关,周期与 ω 有关;对于简
谐振动 y=3sin
����
+
π 6
,其振幅等于 3,周期是 2,初相为π6.
一二
课前篇 自主预习
(2)填空 在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义.
3.填空 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用 来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.
课前篇 自主预习
一二
二、应用三角函数模型解决问题的一般程序 1.填空 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题, 通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函 数模型,解决问题的一般程序如下: (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
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解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来
(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12,
∴ω=2���π���
=
2π 12
=
π6.
由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;
由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.
课前篇 自主预习
一二
2.做一做
如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天
从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式
为
.
解析:设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ), 则有 h(0)=0,即 sin φ=0,
因此可取 φ=0; 又2|���π���|=12,取 ω=π6, 则 故有 所求h=解A析sin式π6t,为又hh=(3-6)=siAnπs6itn. π2=A=-6, 答案:h=-6sinπ6t
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解:(1)因为 ω=160π,代入周期公式 T=2|���π���|,可得 T=1620ππ = 810(min),
所以函数 p(t)的周期为810 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f=���1���=80(次).
(3)列表:
t
不能正确理解简谐运动的过程致误 典例 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距 20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小. 错解(1)因为B,C相距20 cm, 所以振幅A=20 cm. 因为从点B经0.5 s振子首次达到点C, 所以周期 T=0.5 s,频率 f=���1���=2.
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延伸探究 本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱
好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全
检查,且检查工作必须在海浪高度低于
1-
3 4
米时进行,试问:海滨浴
场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?
解:依题意知,应当 y<1- 43时进行安全检查.
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.
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错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示:振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,说
明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20 cm,即振幅的2倍
∴φ=-23π.
因此所求的函数解析式为 y=100sin
π 6
������-
2π 3
+800.
(2)由图可知,每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰,
又������
2
=
122=6.
∴从 7 月 1 日开始,每隔 6 天,种群数量就出现一个低谷或一个高峰.
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∴A=0.5,b=1.∴y=12cosπ6t+1.
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∴∴122ckoπs-ππ62t+<1π6>t<1.2∴kπc+osπ2π6(kt>∈0Z. ),
即12k-3<t<12k+3(k∈Z).①
∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,
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解:(1)由题图知,A=300.
T=610 −
-
1 300
= 510,
∴ω=2���π��� =100π.
∵
-
1 300
,0
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∴∴-φ������=������=3-���0���30010=. π3.符合|φ|<π2,
∴I=300sin
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变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单
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2����
+
π 6
.
(1)作出函数的图象;
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?
0
1
1
3
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320
160
320
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p(t)
115
140
115
90
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描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg,舒张压为 90 mmHg.
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反思感悟 在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模 型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决 相关问题.
100����
+
π 3
(t≥0).
(2)问题等价于 T≤1010,即2���π��� ≤ 1010,
∴ω≥200π.
∴正整数 ω 的最小值为 629.
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反思感悟 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电 流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最 多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和 表示方法.
由12cosπ6t+1<1- 43,
可得 cosπ6t<- 23.
因为
0≤t≤24,所以56π
<
π6t<76π
或
17π 6
<
π6t<196π,
解得 5<t<7 或 17<t<19,
因为是在上午进行检查,所以应该在上午的 5 时至 7 时这一时间段
进行安全检查.
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变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示, 且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
(1)根据图中数据求函数解析式; (2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个 高峰?
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)
A.13
,
π 2
,
π 5
B.13,8π,π5
C.-13,8π,π5
D.13,8π,45π
解析:因为
A=13,ω=14,所以周期
T=
2π
1
=8π,故振幅为13,初相
φ=π5.
4
答案:B
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2.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样 的例子吗?
提示:物理中的匀速圆周运动、简谐振动、交变电流、海洋潮汐 和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供
冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.