指数式与对数式的互化 练习题【难题】-推荐下载
指数与对数运算练习题
指数与对数运算练习题指数与对数运算练题1.用根式的形式表示下列各式(a>0)：1) a^(1/2)2) a^(1/3)3) a^(1/4)4) a^22.用分数指数幂的形式表示下列各式：1) x^(y/3)2) (1/5)^(-3/4)3) (3ab^2)^24) 3a^45) a^33.求下列各式的值：1) 8^(1/3) = 22) 100^(1/2) = 103) (8/14)^(-3/4) = 98/274) (27/64)^(1/3) = 3/45) [(-2)^2] = 46) [(1-3/2)^2] = 1/47) 64^(1/2) = 8选择题：1.以下四式中正确的是（B）log2^1=12.下列各式值为的是（D）-53.log2^1/5^11/24的值是（A）-114.若m=lg5-lg2，则10m的值是（A）55.设N=11+log2^1/5^3，则（A）N=26.在b=loga-2(5-a)中，实数a的范围是（C）2<a<3或3<a<57.若log4[log3(log2x)]=1/2，则x^(1/2)等于（B）1/2填空题：10.用对数形式表示下列各式中的x：10x=25：x=log10(25)/log10(10)=2/1=22x=12：x=log2(12)/log2(2)=4/1=44x=16：x=log4(16)/log4(4)=2/1=211.lg1++=lg(1+1)=lg212.Log15(5)=1/m。
则log15(3)=log3(15)/log3(5)=1/(m*log3(5))13.lg2^2-lg4+1+|lg5-1|=2-2+1+|1-1|=114.(1) log3(2)=log6(3)/log6(2)2) (log6(3))^2+1-a=log6(12/a)log12(3)=log6(3)/log6(12)=log6(3)/[log6(2)+log6(6)]=log3(2 )/(1+1/2)=2log3(2)/3=2log12(3)/(log12(2)+log12(6))6、计算题1.2lg6-2lg5+lg2=lg(6^2/5)+lg2=lg(72/5)2.2lg5+lg2·lg50=2lg5+lg(2·5^2)=2lg5+lg50=lg(5^2·50)=lg12 503.2log3(2)-log3(32)+log3(8)-3log5(5)=2log3(2)-(log3(2^5)-log3(2^2))+log3(2^3)-(log5(5^3))=2log3(2)-log3(2^3)+log3(2^3)-3=2log3(2)-34.lg5·lg20-lg2·lg50-lg25=lg(5·20/2)-XXX(50)-XXX(25)=lg(50/2)-XXX(50)-XXX(25)=lg(1/2)-2lg(5)=log2-2log515.根据换底公式，log5(12)=log2(12)/log2(5)=log2(2^2·3)/log2(5)=2log2(2/5)+log2(3/5)19.根据3a=2，可得a=log2(8/9)，代入log3(8)-2log3(6)中，得log3(8)-2log3(6)=log3(2^3)-2log3(2^2·3)=3log3(2)-2log3(2)-2log3(3)=log3(2)-2log3(3)16.根据对数的定义，可得a^m=2，a^n=3，代入a^(2m+n)中，得a^(2m+n)=a^(2loga(2)+loga(3))=a^loga(2^2·3)=621.lg25+lg2lg50+(lg2)^2=2+2lg5+4=6+2lg517.⑴2log2(8)=log2(8^2)=log2(64)=6⑵3log3(9)=log3(9^3)=log3(729)=6⑶2^18=18.⑴lg10-5=1-5=-4⑵⑶log2(8)=3提升题4.化简1）a·a·a/3= a^3/32）a·a/a= a3）3a·(-a)/9= -a^2/34) ba·a^2/a^21= b/a^195）log1(81)/log1(8/27)= log8/27(81)= log3(3^4)= 4log3(3)= 45.计算⑴ 325-125/45= 200/45= 40/9⑵ 23·31.5·612= 23·63·12=⑶ (-1)-4·(-2)^-3+(-9)·2-2·2^-2= -1-1/8-18+1/2= -1453/8⑷ 7/10+0.1-2+π= 37/10+π-1.9⑸ 41/24-32/27= 41/24-32/27·8/8= (41·27-32·24)/648= 5/726.解方程1）x-1/2=1/3，x=5/62）2x^4-1=15，2x^4=16，x^4=8，x=23) (0.5)1-3x=4，(0.5)^1=0.5，0.5·2^-6x=4，2^-7x=8，-7x=log2(8)=-3，x=3/77.解题1）a+a^-1=3，已知a+a^-1=3，两边平方得a^2+a^-2+2=9，所以a^2+a^-2=72）a+a^2=3，已知a+a^-1=3，两边平方得a^2+a^-2+2=9，所以a^2+a^-2=7，两边加1得a^2+a^-2+1=8，即(a+a^-1)^2=8，所以a+a^-1=±2√2，因为a+a^-1=3，所以a+a^-1=2√23）1-2x>0，所以x<1/24）33a-2b=3^3a^3·2^-2b=27/48.lg25+lg2·lg25+lg22=2+2lg5+1=3+2lg51.化简计算：log2 111 ·log3 ·log5 2589 - 3/42.化简：(log2 5+log4 0.2)(log5 2+log25 0.5)3.若XXX(x-y)+XXX(x+2y)=lg2+lgx+lgy，求的值．4.已知log2 3 =a，log3 7 =b，用a，b表示log42 56.5.计算，（1）51-log0.2 3xy；（2）log4 3·log9 2-log1 432；（3）(log2 5+log4 125)2·log3 21.化简计算：log2 111 ·log3 ·log5 2589 - 3/4.将log2 111分解为log2 3和log3 37的和，将log5 2589分解为log5 3和log5 863的和，然后应用对数乘法和对数减法规则，得出结果为log2 3+log3 37+log3-log5-log5 3-log5 863-3/4.2.化简：(log2 5+log4 0.2)(log5 2+log25 0.5)。
指数式与对数式的互化练习题含答案
指数式与对数式的互化练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知2x=3y=m，且1x +1y=2，则m的值为( )A.√2B.√6C.√22D.62. 已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是()A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)3. 设＝5b＝m，且-＝2，则m＝（）A. B.10 C. D.4. 设log45＝2m，则4m＝（）A. B.25 C. D.5. 已知2m＝3n＝6，则等于（）A.−1B.2C.3D.16. 若2a=5b=z c，且1a +1b=1c，则z的值可能为( )A.√7B.√10C.7D.107. 已知函数f(x)=x−ae x，且e a=ln b=c，则( )A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b)D.f(c)<f(b)<f(a)8. 已知4x =3y =m ，且1x +2y =2，则m =( )A.2B.4C.6D.99. 设2a =34，则(a +2)log 274=（ ） A.2B.1C.23D.13 10. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约( )年．（参考数据：log 20.6790=−0.5585）A.3000B.3100C.3200D.330011. 已知2a =3b =k(k ≠1)，且2a +b =ab ，则实数k 的值为（ ）A.6B.9C.12D.1812. 若x log 32＝1，则4x −2−x ＝________．13. 若102x ＝25，则实数x 的值是________．14. 若3m ＝2n ＝6，则＝________．15. 若a =log 23，则2a +2−a =________．16. 已知2x =52y =M ，且1x +1y =2，则M 的值为________.17. 若3m =4n (m,n ≠0)，则log 43=________．（用m ，n 表示）18. 设2x =3y =72，则3x +2y =________.19. 若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是________．20. 计算下列各式：(1)(−2018)0+1.5−2×(338)23−0.01−0.5+log 12√324；(2)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 23.21. 计算:(1)√614−(π−1)0−(278)13;(2)lg 4+lg 25−log 28.22.(1)化简√(a 52b 2√ab −1)23√a 4b 2（a ，b >0）；(2)计算(8116)−14+14⋅log √23⋅log 34−log 50.01+2log 512−e 0+7log 713． 23. 已知3a =5b =c ，且1a +1b =2 ，求c 的值.24. 已知函数f(x)＝4x −a2x +b ，当x ＝1时，f(x)有最小值−1；（1）求a ，b 的值；（2）求满足f(x)≤0的x 的集合A ．25. 设0<a <1，且log a x +3log x a −log x y =3，（1）设x =a t (t ≠0)，以a ，t 表示y ；（2）若y的最大值为√2，求a，x．426. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=px12+k(p>0,k>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份（参考数据：lg2≈0..3010，lg3≈0.4711）.参考答案与试题解析指数式与对数式的互化练习题含答案一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】2x=3y=m>0，可得x=log2m，y=log3m．代入利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵2x=3y=m>0，∴x=log2m，y=log3m．∴2=1x +1y=1log2m+1log3m=logm 2+logm3=logm 6，∴m2=6，解得m=√6．故选B．2.【答案】B【考点】函数的零点指数式与对数式的互化【解析】根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0,f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出:函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是(−1, 0). 故选B．3.【答案】D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】设2a=5b=z c=m，得a=log2m，b=log5m，c=log z m，则log m2+log m5= log m z，根据对数的运算即可得解.【解答】解：设2a=5b=z c=m，得a=log2m，b=log5m，c=logzm，因为1a +1b=1c，所以1log2m +1log5m=1log z m，所以logm 2+logm5=logmz，所以logm 10=logmz，所以z=10. 故选D.7.A【考点】指数式、对数式的综合比较指数式与对数式的互化利用导数研究函数的单调性【解析】先利用导数研究函数的单调性可得f(x)在(1+a,+∞)上单调递减，再结合a，b，c的大小关系可得答案【解答】解：f′(x)=e x−e x(x−a)e2x =1+a−xe x，当x>1+a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1+a,+∞)上单调递减，且当x>1+a时，f(x)恒大于0，由e a=ln b=c，可知b>0，c>0，设ℎ(x)=e x−x−1，当x>0时，则ℎ′(x)=e x−1≥0，所以当x>0时，e x≥x+1，所以c=e a≥a+1, b=e c≥c+1≥a+2，所以b>c≥a+1，所以0<f(b)<f(c)，又f(a)=0，所以f(a)<f(b)<f(c).故选A.8.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化对数与对数运算【解析】应用指数和对数运算关系，得到x=log4m,y=log3m，即可建立关于m的方程，进而求出的值.【解答】解：∵4x=3y=m，∴x=log4m，y=log3m，∴1x =logm4，1y=logm3，∴1x +2y=logm4+2logm3=logm36=2,∴m=6. 故选C. 9.【答案】C指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由2a=34，得a=log234，所以(a+2)log274=(log234+2)log274=(log234+log24)log274=log23×log274=lg3lg2×2lg23lg3=23．故选C．10.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型指数式与对数式的互化【解析】无【解答】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，依题意，有(1−p)5730=12，1−p=2−15730；设距今约t年，碳14衰减为原来的(1−p)t=2−t5730=67.90%，结合参考数据：−t5730=log20.6790=−0.5585，可得t≈3200．故选C．11.【答案】D【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】由2a=3b=k(k≠1)，知a=log2k，b=log3k，故1a =logk2，1b=logk3，由2a+b=ab，知2b +1a=2logk3+logk2=logk18=1，由此能求出k．【解答】解：∵2a=3b=k(k≠1)，∴a=log2k，b=log3k，∴1a =logk2，1b=logk3，∵2a+b=ab，∴2b +1a=2logk3+logk2=logk 9+logk2=logk 18=1，∴k=18．故选D．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）12.【答案】263【考点】指数式与对数式的互化【解析】先求出2x＝3，即可求出答案．【解答】x log32＝1，则log32x＝1，∴2x＝3，∴2−x=13，∴4x−2−x＝9−13=263，13.【答案】lg5【考点】指数式与对数式的互化【解析】根据102x＝25即可得出2x＝lg25，然后即可求出x的值．【解答】∵102x＝25，∴2x＝lg25，∴4x＝2lg5，x＝lg2．14.【答案】1【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】103【考点】指数式与对数式的互化【解析】根据对数函数的恒等式，求出2a的值，再计算2a+2−a的值．【解答】解：∵a=log23，∴2a=2log23=3，∴2a+2−a=2a+12a=3+1 3=103．故答案为：103．16.【答案】5√2【考点】对数及其运算指数式与对数式的互化【解析】先求出x=log2M,y=log5M2，再根据1x+1y=2求得logM50=2，即可得出答案【解答】解：因为2x=52y=M>0，所以x=log2M,2y=log5M，所以y=log5M2，所以1x +1y=logM2+2logM5=logM2+logM25=logM50=2，所以M2=50，解得M=5√2或−5√2（舍去），所以M=5√2.故答案为：5√2.17.【答案】nm【考点】指数式与对数式的互化换底公式的应用【解析】暂无【解答】解：设3m=4n=a(m,n≠0)，则m=log3a，n=log4a，故log43=log a3log a4=1log3a1log4a=log4alog3a=nm．故答案为：nm．18.【答案】1【考点】指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】无【解答】解：由2x=3y=72，得x=log272，y=log372，即1x =log722，1y=log723.∴3x +2y=3log722+2log723=log729+log728=log7272=1．故答案为：1.19.【答案】2−log23【考点】基本不等式在最值问题中的应用不等式比较两数大小指数式与对数式的互化【解析】由基本不等式得2a+2b≥2√2a2b=2×2a+b2，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥2√2a2b=2×2a+b2，即2a+b≥2√2a2b=2×2a+b2，则a+b≥2，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=tt−1=1+1t−1.因为t≥4，所以1<tt−1≤43，即1<2c≤43，所以0<c≤log243=2−log23.故答案为：2−log23.三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）20.【答案】解：(1)原式=1+(32)−2×(278)23−(1100)−12+log12254=1+(32)−2×(32)2−10−54=1+1−10−54=−374.(2)log2.56.25+lg1100+ln√e+21+log23=log2.52.52+lg10−2+ln e12+2×2log23=2−2+12+6=13 2.【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数与对数运算指数式与对数式的互化对数及其运算有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】1121.【答案】解：(1)原式=√254−1−√2783,=52−1−32,=1−1=0.(2)原式=lg (4×25)−log 223,=lg100−3,=2−3=−1.【考点】有理数指数幂的化简求值指数式与对数式的互化对数及其运算根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】把分数次幂化为根式得形式，求解.利用对数的和等于积的对数，乘方的对数运算法则解题.【解答】解：(1)原式=√254−1−√2783,=52−1−32,=1−1=0.(2)原式=lg (4×25)−log 223,=lg100−3,=2−3=−1.22.【答案】解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −13a 2b =a 2b a 2b=1．(2)原式=(3424)−14+14⋅4log 23⋅log 32+log 5(100×14)−1+13 =23+1+2−1+13=3．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −13a 2b=a2b a2b=1．(2)原式=(3424)−14+14⋅4log23⋅log32+log5(100×14)−1+13=23+1+2−1+13=3．23.【答案】解：由于3a=c，两边取对数得，log c3a=log c c=1，即a logc3=1，∴logc 3=1a；同理可得1b =logc5，∴由1a +1b=2，得logc3+logc5=2，∴logc 15=2，∴c2=15，∵c>0，∴c=√15.【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：由于3a=c，两边取对数得，log c3a=log c c=1，即a logc3=1，∴logc 3=1a；同理可得1b =logc5，∴由1a +1b=2，得logc3+logc5=2，∴logc 15=2，∴c2=15，∵c>0，∴c=√15.24.【答案】f(x)=4x−a2x+b=(2x−a2)2+b−a24换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)∵ 当x ＝1时，t ＝2∈(0, +∞)，f(x)有最小值−1∴ a 2=2,b −a 24=−1∴ a =4,b =3f(x)＝4x −4×2x +3≤0⇔(2x −3)(2x −1)≤0∴ 1≤2x ≤3∴ 0≤x ≤log 23∴ 集合A ＝{x|0≤x ≤log 23}【考点】二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用指数式与对数式的互化二次函数的性质【解析】（1）考虑换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)，由题意可得当x ＝1时，即t ＝2∈(0, +∞)，函数有最小值−1，结合二次函数的性质代入可求（2）由f(x)≤0(2可得∴ 1≤2x ≤3，解不等式可求集合A【解答】f(x)=4x −a2x +b =(2x−a 2)2+b −a 24 换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)∵ 当x ＝1时，t ＝2∈(0, +∞)，f(x)有最小值−1∴ a 2=2,b −a 24=−1∴ a =4,b =3f(x)＝4x −4×2x +3≤0⇔(2x −3)(2x −1)≤0∴ 1≤2x ≤3∴ 0≤x ≤log 23∴ 集合A ＝{x|0≤x ≤log 23}25.【答案】解：（1）已知 log a x +3log x a −log x y =3即log a x +3log x a −3=log x y利用换底公式有：log a x +3log x a −3=log a y log a x则(log a x )2−3log a x +3=log a y ．设x =a t ，则：t =log a x ．即：t 2−3t +3=log a y ， ∴ y =a t 2−3t+3．（2）∵ y =f(x)有最大值√24，且0<a <1，∴ log a y 有最小值log a√24 当log a x =32时，log a √24=34∴ a =14 此时log 14x =32∴ x =18， 即a =14，x =18为所求 【考点】指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】（1）若设x =a t ，试用a 、t 表示y ．首先对等式log a x +3log x a −log x y =3利用换底公式化简为(log a x )2−3log a x +3=log a y ，然后把x =a t 代入化简即可．（2）先根据（1）所解得的函数y =a t2−3t+3，然后利用二次函数的性质求如果y 有最大值√24时a 和x 的值【解答】解：（1）已知 log a x +3log x a −log x y =3即log a x +3log x a −3=log x y利用换底公式有：log a x +3log x a −3=log a y log a x则(log a x )2−3log a x +3=log a y ．设x =a t ，则：t =log a x ．即：t 2−3t +3=log a y ， ∴ y =a t 2−3t+3．（2）∵ y =f(x)有最大值√24，且0<a <1，∴ log a y 有最小值log a√24 当log a x =32时，log a√24=34 ∴ a =14此时log 14x =32∴ x =18， 即a =14，x =18为所求26.【答案】解：(1)由题意可知，函数y =ka x (k >0, a >1)和函数y =px 12+k (p >0,k >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y =ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，但函数y =px 12+k (p >0,k >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y =ka x (k >0, a >1)符合要求．由题意可知，x =2时，y =24；x =3时，y =36，所以{ka 2=24,ka 3=36,解得{k =323,a =32.故该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗． (2)由(1)可知，y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗， 则当x =0时，y =323⋅(32)0=323， 所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2.由题意，得323⋅(32)x >10×323， 即(32)x >10，解得x >log 3210=lg 10lg 32=1lg 3−lg 2，又1lg 3−lg 2=10.4711−0.3010≈5.9，所以x ≥6.故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用指数式与对数式的互化【解析】(Ⅰ)判断两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)的单调性，说明函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．然后列出方程组，求解即可． (Ⅱ)利用 x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m 2，列出不等式转化求解即可．【解答】解：(1)由题意可知，函数y =ka x (k >0, a >1)和函数y =px 12+k (p >0,k >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y =ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，但函数y =px 12+k (p >0,k >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y =ka x (k >0, a >1)符合要求．由题意可知，x =2时，y =24；x =3时，y =36，所以{ka 2=24,ka 3=36,解得{k =323,a =32. 故该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗． (2)由(1)可知，y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗， 则当x =0时，y =323⋅(32)0=323， 所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2.由题意，得323⋅(32)x >10×323， 即(32)x >10，解得x >log 3210=lg 10lg 32=1lg 3−lg 2，又1lg 3−lg 2=10.4711−0.3010≈5.9，所以x ≥6.故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．。
指数函数与对数运算测试题(附答案)
指数函数与对数运算测试题 班级 姓名 得分1、21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦等于（ ）A 、2B 、1C 、D 、122、设全集为R ，且{|0}A x =≤，22{|1010}x xB x -==，则()R A B= ð（ ）A 、{2}B 、{—1}C 、{x|x ≤2}D 、∅3、函数()f x = ）A 、(,0]-∞B 、[0,)+∞C 、(,0)-∞D 、(,)-∞+∞4、已知对不同的a 值，函数1()2(01)x f x a a a -=+>≠，且的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是（ ） A 、()0,3 B 、()0,2 C 、()1,3 D 、()1,25、函数1()2y = ）A 、1[1,]2- B 、(,1]-∞- C 、[2,)+∞ D 、1[,2]26、已知lg 2,lg 3a b ==，则lg 12lg 15等于（ ）A 、21a b a b+++ B 、21a b a b+++ C 、21a b a b+-+ D 、21a b a b+-+7、已知2lg(2)lg lg x y x y -=+，则xy的值为 （ ） A 、1 B 、4 C 、1或4 D 、4或—18、函数xy a =（a ＞1）的图象是（ b ）9、若221333111(),(),()522a b c ===，则a ，b ,c 的大小关系是 （ ）A 、a>b>cB 、c>b>aC 、a>c>bD 、b>a>c10、已知函数()f x 的定义域是（0,1）,那么(2)xf 的定义域是（ ） A.（0,1） B.（21,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞）11、若集合A ={y | y=2x , x ∈R } , B = {y | y=x 2 , x ∈R } , 则（ ）A B B.A A 、2a B C 、二、填空题（4⨯5‘）1、点（2,1）与（1,2）在函数()2ax b f x +=的图象上，则()f x 的解析式为 22x -+2、求函数11(),[0,2]3x y x -=∈的值域是 [1/3,3]3、已知()f x 是奇函数，且当x>0时，()10x f x =，则x<0时，()f x ＝ 10x --4、若集合{}{},,lg()0,,x xy xy x y =，则228log ()x y += 1/3三、解答题（7⨯10‘）1、计算（1）122(11)]-+- ； （2）4912log 3log 2log ⋅-。
高中数学-指数运算对数运算练习题
高中数学-指数运算对数运算练习题1、用根式的形式表示下列各式（1）= （2）= （3）= （4）= 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）= （2）（3= （4= ； （5） = ；3、求下列各式的值（1）= ；（2）= ； （3）= ；（4）=（5）= （6）= （7）一、选择题1、以下四式中正确的是（ ）A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 2=2、下列各式值为0的是（ ） A 、1 B 、log 33 C 、（2－）° D 、log 2∣－1∣3、2的值是（ ）A 、－5B 、5C 、D 、－4、若m ＝lg5－lg2，则10m的值是（ ） A 、 B 、3 C 、10 D 、1)0(>a 51a 34a 35a -32a -34yx )0(2>=m mm a a a 23812100-31()4-3416()81-122[(]-(1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=326421410351log 25151255、设N ＝＋，则（ ）A 、N ＝2B 、N ＝2C 、N ＜－2D 、N ＞2 6、在中，实数a 的范围是（ ）A 、 或B 、C 、 或D 、7、 若，则等于（ ） A 、B 、C 、 8D 、 48、的值是（ ） A 、 16 B 、 2 C 、 3 D 、 4 9、 （）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 二、填空题10、用对数形式表示下列各式中的x10x=25：＿＿＿＿； 2x＝12：＿＿＿＿；4x=：＿＿＿＿11、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________ 12、Log 155=m,则log 153=________________ 13、＋∣lg5－1∣＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿14．（1）．, 则 log 12 3= （2）．= ． （3）； （4） =________（5）=__________15 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 19、 3a＝3log 123log 15)5(log 2a b a -=-a >5a <225<<a 23<<a 35<<a 34<<a log [log (log )]4320x =x -12142122334log nn ++1logn n －＋16114lg 2lg 2+-12aa -=6log 18log )3(log 2626+____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+5log 38log 932log 2log 25333-+-25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅2，则log 38－2log 36＝________ 16、 若_______ 21、lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题17、求下列各式的值 ⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶2⑷318、求下列各式的值⑴lg10－5⑵lg0.01 ⑶log 2 ⑷log 814.化简 （1） （2） （3）（4）= （5） = 2log 2,log 3,m n a a m n a +===52log 173log 181271=••1274331aa a =÷•654323a a a =÷-•a a a 9)(34323322aa a •3163)278(--b a（7）=5.计算 （1） (2)（3） (4)（5）（6）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a ba 43512525÷-210319)41()2(4)21(----+-⋅-()5.0212001.04122432-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π24130.753323(3)0.04[(2)]168----++-+()3263425.0031323228765.1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-6.解下列方程 （1） （2） （3）7.(1).已知，求下列各式的值（1）= ；（2）=（2）.若，求下列各式的值：（1）= ；（2）= ；(3).使式子有意义的x 的取值范围是 _. (4).若，,则的值= .8、求lg 25+lg2·lg25+lg 22的值9、化简计算：log 2·log 3·log 51318x -=151243=-x 1321(0.5)4x x --=11223aa-+=1a a -+22a a -+13a a-+=1122a a-+22a a -+34(12)x --32a =135b -=323a b -2518191化简：.若，求的值．.已知 3 = a ， 7 = b ，用 a ，b 表示56.13、计算，（1）； （2）； （3）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++x y2log 3log 42log 0.21log 35-4912log3log 2log ⋅-（log 25+log 4125）5log 2log 33。
(完整版)指数与对数运算(含答案),推荐文档
指数与对数运算1．的大小关系是（ ）0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===A ． B ． C ． D ．c a b >>a b c >>b c a >>c b a>>【答案】A【解析】因为，，，所以，故选A ．0.70log 0.81a <=< 1.1log 0.90b =<0.91.11c =>c a b >>2．三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．ac b <<【答案】C【解析】，故选C ．20.600.61,ln 0.60,21c a b <<<>∴>>3．设0.012log 3,lna b c ===，则（ ）A ．c a b << B ．a b c << C ．a c b << D ．b a c<<【答案】A【解析】先和0比较，0.0122log log 10,30,ln10a b c =>==>=<= 得到c 最小；再与1比较0.01022log log 21,33a b =<==>，得到b 最大．故选A ．4．若4log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】334【解析】，3log 213log 24==a 3log 2=33431322=+=+-a a 5．已知，那么等于（ ）0)](log [log log 237=x 21-xA ．B ．C ．D ．31633342【答案】D 【解析】根据，可得，即，解得，所以0)](log [log log 237=x ()32log log 1x=2log 3x =328x ==，故选择D 11228x --==6．若且则 ， ．1,1,a b >>lg()lg lg ,a b a b +=+11a b +=lg(1)lg(1)a b -+-=【答案】1,0【解析】得lg()lg lg ,a b a b +=+,111a b ab a b+=∴+=lg(1)lg(1)a b -+-=lg(1)(1)lg(1)lg10a b ab a b --=--+==7． 已知是方程01422=+-x x 的两个根，则2(lg ba 的值是 ．lg ,lg ab 【答案】2【解析】由是方程01422=+-x x 的两个根可得：，，lg ,lg a b lg lg 2a b +=1lg lg 2a b ⋅=所以2)(lg ba ()()22lg lg lg lg 4lg lg 2ab a b a b =-=+-⋅=8．解方程：122log (44)log (23)x x x ++=+-【答案】．2x =【解析】解方程则：则：122log (44)log [2(23)]x x x ++=-1442(23)x x x ++=-43240x x -⋅-=则：或（舍）∴．经检验满足方程．24x =21x =-2x =2x =9．解方程（1） （2）231981-=x x 444log (3)log (21)log (3)-=+++x x x 【答案】（1）或；（2）2=x 1=x 0x =【解析】（1） 解得，或2322299,32,320--=∴-=--+=x x x x x x 2=x 1=x （2）440.25log (3)log (21)log (3)x x x -=+++44log (3)log (21)(3)3(21)(3)x x x x x x -=++∴-=++得或，经检验为所求．4=-x 0x =0x =10．计算下列各式的值（1） （2）210321(0.1)2()4--++3log lg 25lg 4+【答案】（1）5（2）72【解析】（1）210321(0.1)2()4--++5221=++=（2）3log lg 25lg 4++27223=+=11．化简求值：（1）；313373329a a a a ⋅÷--（2）；22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++（3）．13063470.001(168--++【答案】（1）1；（2）3；（3）89．【解析】（1）因为有意义，所以，所以原式3-a0>a =。
指数对数计算题50道
指数对数计算题50道指数和对数是数学中重要的概念和运算符号，它们在各个领域都有着广泛的应用。
下面列举了50道与指数和对数计算有关的题目，并提供相应的参考内容。
1. 计算2^3的值。
参考答案：2^3 = 8。
2. 计算10^(-2)的值。
参考答案：10^(-2) = 1/10^2 = 1/100 = 0.01。
3. 计算2^(1/2)的值。
参考答案：2^(1/2) = √2 ≈ 1.414。
4. 计算log(100)的值。
参考答案：log(100) = 2，因为10^2 = 100。
5. 计算log(1/1000)的值。
参考答案：log(1/1000) = log(10^(-3)) = -3，因为10^(-3) =1/1000。
6. 计算log2(8)的值。
参考答案：log2(8) = 3，因为2^3 = 8。
7. 计算log4(16)的值。
参考答案：log4(16) = 2，因为4^2 = 16。
8. 计算ln(e)的值。
参考答案：ln(e) = 1，因为e^1 = e。
9. 计算ln(1)的值。
参考答案：ln(1) = 0，因为e^0 = 1。
10. 计算log5(25)的值。
参考答案：log5(25) = 2，因为5^2 = 25。
11. 计算log(x^2)的值，其中x = 10。
参考答案：log((10^2)) = log(100) = 2。
12. 计算log(2x)的值，其中x = 5。
参考答案：log(2(5)) = log(10) = 1。
13. 计算log3(9) + log3(27)的值。
参考答案：log3(9) + log3(27) = 2 + 3 = 5，因为3^2 = 9，3^3 = 27。
14. 计算log2(4) * log2(16)的值。
参考答案：log2(4) * log2(16) = 2 * 4 = 8，因为2^2 = 4，2^4 = 16。
15. 计算10^(log10(100))的值。
带标准答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
带答案对数与对数函数经典例题
带答案对数与对数函数经典例题高一数学函数的单调性、奇偶性经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.高一数学函数的单调性、奇偶性类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+l g5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log 2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b 1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b 1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b 1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.<x2 则证明：设，且x又∵y=log 2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log 2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
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指数式与对数式的互化（三）
1．若log x=z，则（ ）
A．y7=x z B．y=x7z C．y=7•x z D．x=z7y
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论．
【解答】解：∵log x=z，
∴x z=，
两边7次方，得x7z=y，
即y=x7z．
故选：B．
【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目．
2．（2014•渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式：
①0＜b＜a
②a＜b＜0
③0＜a＜b
④b＜a＜0
⑤a=b=0，
其中有可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出．
【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象．
由图象可知：
（1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b；
（2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；
（3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b．
综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤．
故选C．
【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键．
3．（2013春•浦东新区期中）将a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】规律型．
【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断．
【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a2b=N，则2b=log a N，即，∴A正确．
若a2b=N，则（a2）b=N，则，∴B正确．
若a2b=N，则（a b）2=N，则，∴C正确．
∴D错误．
故选D．
【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N⇔b=loga N．
4．（2013秋•金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ）
A．lg B．lg C．D．
【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t；
【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t，
a（1﹣8%）t=，两边取对数，
lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，
∴t=
故选C；
【点评】本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题．
5．（2014秋•大兴区期中）已知，则有（ ）
A．a2b=cB．a2c=bC．b c=2a D．c2a=b
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数式与对数式的互化即可得出．
【解答】解：∵，∴（a2）c=b，∴a2c=b．
故选B．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
6．（2013秋•武侯区校级期末）若a=b2（b＞0且b≠1）则有（ ）
A．log2a=b B．log2b=a C．log b a=2D．log a b=2
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想．
【分析】由a=b2（b＞0且b≠1）⇔log b a=2，可知正确答案．
【解答】解：∵a=b2（b＞0且b≠1），
∴log b a=2．
故选C．
【点评】本题考查指数式与对数式的相互转化，比较简单，解题时要细心计算．。