对数式与指数式的互化 知识点
高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结
第八节指数式、对数式的运算❖基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n＝a(a使na有意义)．②当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a -mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．❖ 常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式alog a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)．考点一 指数幂的化简与求值[典例] 化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷(4a 23·b －3)12. [解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝ －5ab 4ab 2.[解题技法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． [题组训练]1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a-14)4＝1a解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a -14)4＝1a，故D 正确．2．化简4a 23·b-13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6a b.3．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278-23＋(0.002)-12＝________.解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323-23＋⎝⎛⎭⎫1500-12＝－49＋49＋105＝10 5.答案：10 5考点二 对数式的化简与求值[典例] 计算下列各式：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3＋3log 4312＝3＋3log 32＝3＋2＝5.[题组训练]1．(log 29)·(log 34)＝( )A ．14B ．12C ．2D ．4解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7 4．计算：log 5[421log 102－(33)23－77log 2]＝________.解析：原式＝log 5[22log 10－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.答案：1[课时跟踪检测]1．设1x＝log 23，则3x －3－x 的值为( )A.83 B.32C.52D.73解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－x ＝2－12＝32.2．化简⎝⎛⎭⎫2a 23b 12(－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a+-211326b+-115236＝4ab 0＝4a .3．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a52-6＝a 76.5．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q (a >0，且a ≠1)，那么PQ的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B 由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (P Q )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝P Q ，即P 2－5P Q ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.6．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A ．1B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，由对数的运算性质得2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0,2x ＝3，x ＝log 23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵log 3 12<0，由题意得f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12＝f (log 21)＋331-log 2＋1＝f (0)＋33log 2＋1＝30＋1＋2＋1＝5.8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a ＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝12，所以x ＝1012＝10. 答案：10 10．计算：9591log 2-＝________.解析：9591log 2-＝912×959log -＝3×15＝35.答案：3511．化简：(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5＝________.解析：原式＝a-13·b 12·a -12·b13a 16·b56＝a---111326·b+-115236＝1a. 答案：1a12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ⎝⎛⎭⎫12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：令f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c，则f ⎝⎛⎭⎫12＝a 12＝2，g ⎝⎛⎭⎫12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12c ＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1＝4⇒x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝32.答案：3213．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫210272-3－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a3-2÷3a-32·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a-16＝a 86＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.法二：原式＝lg (3×925×27⨯1325×3-12)lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.。
对数函数及其性质对数定律互化详尽讲解
对数与对数运算1．对数的观点一般地，假如 a x＝ N (a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝log a N ，此中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．说明： (1) 实质上，上述对数表达式，可是是指数函数y＝ a x的另一种表达形式，比如：3 4＝ 81 与 4＝ log 3 81 这两个式子表达是同一关系，所以，有关系式a x＝ N? x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N ＝ N .(2)“ log 〞同“＋〞“×〞“ 〞等符号同样，表示一种运算，即一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，可是对数运算的符号写在数的前面．(3)依据对数的定义，对数 log a N (a>0 ，且a≠1) 拥有以下性质：①零和负数没有对数，即 N >0；② 1 的对数为零，即 log a1 ＝0 ；③底的对数等于 1 ，即 log a a＝ 1.2．对数的运算法那么利用对数的运算法那么，能够把乘、除、乘方、开方的运算转变为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加速计算速度．(1)根本公式①log a(MN )＝ log a M＋ log a N (a>0 ，a≠1 ，M >0 ，N >0) ，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．M② log a＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于N被除数的对数减去除数的对数．③ log a M n＝n·log a M(a>0 ，a≠1，M >0 ，n∈ R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①一定注意M >0，N >0，比如log a[(－3)×(－4)]是存在的，可是log a(－3) 与 log a(－4) 均不存在，故不可以写成log a[( － 3) ×(－ 4)] ＝ log a(－ 3) ＋ log a(－ 4) ．M②防备出现以下错误：log a(M±N )＝ log a M±log a N，log a(M·N)＝ log a M·log a N，log a N log a M＝log a N， log a M n＝(loga M )n. 3．对数换底公式在实质应用中，常遇究竟数不为10 的对数，怎样求这种对数，我们有下边的对数换底公式： log b N＝log c N(b >0 ，且b≠1；c>0 ，且c≠1 ；N >0) ．log c b证明设 log b N＝x，那么b x＝N .两边取以c为底的对数，log c N log c N得 x log c b＝log c N .所以 x＝log c b，即log b N ＝log c b.换底公式表达了对数运算中一种常用的转变，马上复杂的或未知的底数转变为的或需要的底数，这是数学转变思想的详细应用．由换底公式可推出下边两个常用公式：1(1)log b N＝或log b N·log N b＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；logN bm(2)log bn N m＝log b N (N >0 ；b >0 ，且b≠1 ；n≠0，m∈ R)n.题型一正确理解对数运算性质.对于 a>0且 a≠1，以下说法中，正确的选项是()①假定 M ＝ N ，那么log a M ＝log a N ；②假定 log a M＝ log a N，那么M＝N；③假定 log a M2＝ log a N2，那么M＝N；④假定 M ＝ N ，那么log a M 2＝loga N 2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④分析在①中，当M ＝N≤0时， log a M与 log a N均无心义，所以log a M＝ log a N不建立．在②中，当 log a M＝ log a N时，必有M >0 ，N >0 ，且M＝N，所以M＝N建立．在③中，当log a M2＝ log a N2时，有M≠0 ，N≠0 ，且M2＝N2，即 |M |＝ |N |，但未必有 M ＝N.比如， M ＝2，N＝－2时，也有 log a M2＝ log a N2，但M≠N .在④中，假定M ＝N＝0 ，那么 log a2与 log a2均无心义，所以 log a2＝ log a2 不建立．M N M N所以，只有②建立．答案C评论正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应切记公式的形式及公式建立的条件．题型二对数运算性质的应用求以下各式的值：(1)2log323 8－5log 53；3 2－log 3＋log9(2)lg252＋ (lg2) 2；＋ lg8 ＋ lg5 ·lg203.log 5 2·log 7 9(3) .1 3 4log 5 ·log 7 3剖析利用对数的性质求值， 第一要明确解题目标是化异为同， 先使各项底数同样， 才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，能够先化简再计算．解 (1) 原式＝ 2log 3 2 － (log 332 － log 3 9) ＋ 3log 3 2 － 3＝ 2log 32 －5log 32 ＋ 2 ＋3log 3 2 － 3＝－ 1.10 (2) 原式＝ 2lg5 ＋ 2lg2 ＋ lg·lg(2 ×10) ＋ (lg2) 22＝ 2lg(5 ×2) ＋ (1 － lg2) ·(lg2 ＋ 1) ＋ (lg2) 2＝ 2＋ 1－ (lg2) 2＋ (lg2) 2＝ 3.1log 52 ·log 79log 52 ·2log 732(3) ∵＝11 34－ log 5 3·log 74log 5·log 733lg2 lg3lg5 · 3 lg7＝－ lg3＝－ . 1 lg4 2··lg5 3 lg7评论对数的求值方法一般有两种： 一种是将式中真数的积、 商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，而后化简求值； 另一种方法是将式中的和、 差、积、商运用对数的运算法那么将它们化为真数的积、商、幂、方根，而后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算： (log 2125 ＋ log 4 25 ＋ log 8 5)(log 52 ＋log 25 4＋ log 125 8) ．.剖析 由题目可获得以下主要信息： 本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不同样．解答本题可先经过对数换底公式一致底数再进行化简求值．解 方法一原式＝log 2 25 log 2 5 log 5 4 log 5 8log 25 3＋ ＋ log 52 ＋ ＋log 2 4 log 2 8 log 525 log 51252log 2 5 log 25 2log 52 3log 5 2 ＝ 3log25 ＋ ＋ log 52 ＋ 55 ＋2log 2 2 3log 2 2 2log 3log 5 51＝ 3 ＋ 1 ＋ log 25 ·(3log 52)3log 22＝ 13log 25 · ＝ 13.log 25lg125lg25 lg5 lg2lg4 lg8 方法二 原式＝lg2 ＋ ＋lg5 ＋ ＋lg4 lg8lg25 lg1253lg5 2lg5 lg5lg2 2lg2 3lg2＝＋＋＋ ＋ 3lg5 lg22lg23lg2lg5 2lg513lg5lg2 ＝ 13.＝33lg2lg5评论方法一是先将括号内换底， 而后再将底一致； 方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地一致为常用对数 (自然也能够换成其余非1 的正数为底 )，而后再化简．上述方法是不一样底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．log (x ＋ 3) (x 2＋3 x )＝ 1 ，务实数x 的值．错解由对数的性质可得x 2＋ 3x ＝ x ＋ 3.解得 x ＝1 或 x ＝－ 3.错因剖析 对数的底数和真数一定大于 0 且底数不等于 1，这点在解题中忽视了．.x2＋3 x＝ x＋3，正解由对数的性质知x2＋3 x>0，x＋3>0且 x＋3≠1.解得 x ＝1，故实数 x 的值为 1.对数的定义及其性质是高考取的重要考点之一，主要性质有：log a1 ＝ 0 ， log a a＝ 1 ，a log a N ＝ N ( a>0，且 a≠1， N >0)．1． (上海高考 ) 方程 9 x－ 6 ·3x－ 7＝ 0 的解是 ________．分析∵9x－ 6 ·3x－ 7 ＝ 0 ，即 3 2x－6 ·3x－ 7 ＝ 0∴(3x－ 7)(3 x＋ 1) ＝ 0∴3x＝ 7 或 3 x＝－ 1( 舍去 )∴x＝log37.答案log 3 7e x，x≤0，那么 gg 12． (辽宁高考 ) 设g (x)＝x， x>0，＝ ____.ln2g 11111分析＝ ln<0 ，g ln＝ eln＝，22222∴g11 g＝ .221答案21．对数式log (a－3) (7 －a)＝b，实数a的取值范围是 ().A． (－∞， 7)B． (3,7)C．(3,4) ∪ (4,7) D ． (3 ，＋∞ )答案Ca－3>0，分析由题意得a－3≠1，解得3<a<7且a≠4. 7－a>0 ，2．设＝ log 3 2 ，那么 log 38 － 2log 36用a 表示的形式是 ()aA．a－2B． 3 a－ (1 ＋a)2C．5 a－ 2 D ．－a2＋3 a－ 1答案A分析∵＝ log 3 2 ，∴log 3 8－ 2log 3 6＝3log32－2(log32＋1) a＝3a－ 2( a＋1) ＝a－2.3． log 56 ·log 6 7·log 78 ·log 89 ·log 910 的值为 ()1A． 1 B． lg5 C. D ．1 ＋ lg2lg5答案Clg6 lg7 lg8 lg9 lg10lg101分析原式＝····＝＝.lg5 lg6 lg7 lg8 lg9lg5lg54． log a(a2＋1)<log a2a<0，那么a的取值范围是()1A． (0,1) B. 0，21C.，1 D．(1，＋∞ )2答案C.0< a<1 ，分析由题意，得2 a>1 ，∵a>0， a≠1，log a(a2＋1)<log1a2a，∴0<a<1.∴<a<1.25．函数f (x)＝a x－1＋ log a x ( a>0 ，a≠1) 在 [1,3] 上最大值与最小值之和为a2，那么a的值为 ()A． 411 B.C．3 D.43答案D6．假定方程 (lg x)2＋ (lg7 ＋lg5)lg x＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，那么αβ等于()A． lg7 ·lg5B． lg35 C． 351 D.35答案D1分析∵lg α＋ lg β＝－ (lg7 ＋ lg5) ＝－ lg35 ＝ lg351∴α·β＝.357．f(log 2x)＝x，那么f 1＝________. 2答案2111＝ 212.分析令 log 2x＝，那么2＝ x，∴f＝22228． log (2－ 1)( 2 ＋ 1) ＝ ________.答案－ 1log((2＋1)( 2 －1)分析2－1 2 ＋1) ＝ log 2－12－ 1＝ log ( 2－1)1＝－ 1.2 － 19． lg2 ＝ 0.301 0 ，lg3 ＝0.477 1 ， lg x＝－ 2 ＋0.778 1 ，那么x＝________.答案分析∵lg2 ＝ 0.301 0 ， lg3 ＝0.477 1 ，而 0.301 0 ＋ 0.477 1 ＝ 0.778 1 ，∴lg x＝－ 2 ＋ lg2 ＋ lg3 ，即 lg x＝ lg10 －2＋ lg6.∴lg x＝lg(6 ×10 －2 )，即x＝ 6 ×10 －2＝ 0.06.10 ．(1) lg x＋ lg y＝ 2lg( x－2 y)，求 log 2x的值；y(2) log 18 9 ＝a,18 b＝5 ，试用a，b表示 log365.解 (1)lg x＋lg y＝ 2lg( x－2 y)，∴xy ＝(x －2y )2，即 x2－5xy ＋4y2＝0.即 (x－y)( x－ 4 y)＝ 0，解得x＝y或x＝ 4 y，x>0，又∵ y >0，∴x>2 y >0，x－2 y >0，∴x＝ y，应舍去，取x＝4 y.x4y lg4那么log 2 y＝ log 2 y＝ log24 ＝lg2＝ 4. (2) ∵18 b＝ 5，∴log18 5＝ b, 又∵log189＝ a，log 185b∴log 36 5 ＝＝18 (18×2)lg 18 36logb b＝＝1＋ log 18 2181 ＋ log 189b b＝＝.1＋ (1 －log 189)2－a1 1111 ．设a，b，c均为不等于 1 的正数，且a x＝ b y＝ c z，＋＋＝0，求 abc 的值．x y z解令 a x＝ b y＝ c z＝t ( t>0且 t≠1)，111那么有x＝ log t a，y＝ log t b，z＝ log t c，1 11又＋＋＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝ 1.x y z12 ．a，b，c是△ABC的三边，且对于x 的方程 x2－2x＋lg( c2－ b2)－2lg a＋1＝0 有等根，试判断△ABC的形状．解∵对于 x 的方程 x2－2 x＋lg( c2－ b 2)－2lg a＋1＝0有等根，∴Δ＝0 ，即 4－ 4[lg( c2－b2)－ 2lg a＋ 1] ＝ 0.即 lg( c2－b2 )－2lg a＝0 ，故c2－b2＝a2，∴a2＋ b2＝ c2，∴△ABC 为直角三角形．2．对数与对数运算(一 )学习目标1．理解对数的观点，能进行指数式与对数式的互化．2．认识常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引.1．假如a(a>0 且a≠1) 的b次幂等于N ，就是 a b＝ N，那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b ＝log a N ，此中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质有：(1)1 的对数为零；(2)底的对数为 1 ；(3)零和负数没有对数．3．往常将以10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数，log 10N可简记为 lg N， log e N简记为 ln N .4．假定a>0 ，且a≠1 ，那么a b＝N等价于 log a N＝b .5．对数恒等式：a log a N ＝ N (a>0且 a≠1).一、对数式存心义的条件例1求以下各式中x 的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1) (x＋2)；(3)log(x＋1) (x－1) 2 .剖析由真数大于零，底数大于零且不等于 1 可获得对于x 的不等式(组 )，解之即可．解 (1) 由题意有x－ 10>0 ，∴x>10 ，即为所求．x＋2>0，(2)由题意有x－1>0且x－1≠1，x>－2，即∴x>1且 x≠2.x>1且 x≠2，.(x－ 1) 2 >0 ，(3)由题意有x＋1>0且 x＋1≠1，解得 x >－1且 x≠0， x≠1.评论在解决与对数有关的问题时，必定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于 1.变式迁徙 1在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5 或a<2B．2< a<5C．2< a<3 或 3< a<5 D ． 3< a<4答案C5－a>0分析由题意得a－2>0，a－2≠1∴2< a<5 且a≠3.二、对数式与指数式的互化例 2将以下对数形式化成指数形式或将指数形式转变为对数形式：1(1)5 4＝ 625 ；(2)log8 ＝－ 3 ；21－2＝ 16; (4)log10 1 000 ＝ 3.(3)4剖析利用 a x＝ N ? x＝loga N 进行互化．解(1) ∵5 4＝ 625 ，∴log 5625 ＝ 4..(2) ∵log 18 ＝－ 3，∴12－3＝8.211(3) ∵－2＝ 16 ，∴log 16 ＝－ 2.44(4) ∵log10 1 000＝3，∴103＝1 000.评论指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，相互转变是解决有关问题的重要门路．在利用a x＝N ? x＝loga N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的地点．变式迁徙2将以下对数式化为指数式求x 值：32(1)log x27 ＝；(2)log 2 x＝－；23(3)log 5(log 2 x)＝0;(4) x＝ log1 27 ；9(5) x＝ log 116.2332＝32＝ 9.解 (1) 由 log x27 ＝，得 x ＝27，∴x＝272232213(2) 由 log2 2 x＝－，得2－＝x，∴x＝＝.333222(3) 由 log 5 (log 2x)＝0，得log 2 x＝1，∴x＝21＝2.11(4) 由x＝log 27，得 27 x＝，即 3 3x＝ 3 －2，992∴x＝－.311(5) 由x＝log16 ，得x，即 2－x＝ 24，＝ 1622∴x＝－4.三、对数恒等式的应用例 3(1) a log a b ·log b c ·log c N 的值 (a ，b ， c ∈ R ＋，且不等于 1 ， N >0) ；1(2)4 (log 29 － log 25) ．2解 (1) 原式＝ (a log a b )log b c ·log c N ＝ b log b c ·log c N ＝ (b log b c )log c N＝ c log c N ＝ N .2log 2 99(2) 原式＝ 2(log 2 9－ log25) ＝＝ . 2log2 5 5评论对数恒等式a loga N ＝ N中要注意格式： (1) 它们是同底的；(2) 指数中含有对数形式； (3) 其值为真数．1变式迁徙 3计算： 3log 35 ＋( 3)log 3 .51 11 1解原式＝5＋ 3 log 3 ＝5 ＋ (3log 3 )2 5 5 21 6 5 ＝5 ＋5＝.51．一般地，假如a (a >0 ，a ≠1) 的b 次幂等于 N ，就是 a b ＝ N ，那么 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作 log a N ＝ b ，此中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．2．利用 a b＝ N ? b ＝ log a N ( 此中 a >0 ， a ≠1 ， N >0) 能够进行指数与对数式的互化．3．对数恒等式： a log a N ＝ N (a >0 且 a ≠1) ．一、选择题1．以下指数式与对数式互化不正确的一组是()A． 10 0＝1与 lg1 ＝01111B．27 －＝与 log 27＝－333311C．log 3＝ 9与 9＝ 322D． log 5 5 ＝1 与 5 1＝5答案C2．指数式 b 6＝a ( b >0， b ≠1)所对应的对数式是()A． log 6a＝a B． log 6b＝aC．log a b＝ 6 D ． log b a＝ 6答案D3．假定 log x( 5－ 2) ＝－ 1，那么x的值为 ()A.5－2B. 5＋2C. 5－2 或5＋2 D．2－5答案B4．假如f(10 x)＝x，那么f(3) 等于()A． log 3 10B．lg3 C． 10 3D．310答案Bx＝t，那么x＝ lg t，分析方法一令 10∴f (t )＝lg t ， f(3)＝lg3.方法二令 10x＝3 ，那么x＝ lg3 ，∴f (3) ＝ lg3.15． 21 ＋·log 25 的值等于 ()2A．2＋ 5 B．2555C．2＋D．1＋22答案B111分析21 ＋log 25 ＝2 ×2log 25 ＝ 2 ×2log 2 52221＝2×5 ＝2 5.2二、填空题6．假定 5 lg x＝ 25 ，那么x的值为 ________．答案100分析∵5 lgx＝ 52，∴lg x＝ 2 ，∴x＝10 2＝ 100.7．设 log a2 ＝m， log a3 ＝n，那么a2m＋n的值为 ________．答案12分析∵log a2 ＝m， log a3 ＝n，∴a m＝ 2 ，a n＝ 3 ，∴a2m＋n＝ a2m·a n＝(a m)2·a n＝22×3＝12.8． lg6 ≈0.778 2 ，那么 10 2.778 2≈________.答案600分析10 2.778 2≈10 2×10 lg6＝ 600.三、解答题9．求以下各式中x 的值1 －2x(1)假定 log 39＝ 1 ，那么求x值；(2)假定 log 2003( x2－ 1) ＝ 0 ，那么求x值．1 － 2x 1 －2 x＝ 3解 (1) ∵log 3＝ 1，∴99∴1 － 2 x＝ 27 ，即x＝－ 13(2) ∵log 2 003 (x2－ 1) ＝0∴x2－1＝1，即 x2＝2∴x＝±2210 ．求x的值： (1) x＝ log4； (2) x＝ log 9 3 ； (3) x＝71 － log 7 5；21(4)log x8 ＝－ 3 ； (5)log x＝4.2(1) 由得：2解x＝ 4 ，21x∴2 －x＝22，－＝2，x＝－4.221 (2)由得： 9x＝ 3 ，即 3 2x＝ 3 . 211∴2 x＝，x＝.247(3)x＝7÷7log75＝7÷5＝.5(4)由得： x－3＝8，111即3＝ 2 3，＝ 2 ，x＝ .x x214 ＝1(5) 由得：x＝.2.2.1 对数与对数运算 (二 )216学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：假如a>0， a≠1，M >0， N>0，那么，(1)log a(MN )＝ log a M＋ log a N；M(2)log a N＝ log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M (n∈R)．2．对数换底公式： log a b＝log c b.log c a一、正确理解对数运算性质例 1假定a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，以下式子中正确的个数有()①log a x·log a y＝ log a (x＋y )；② log a x－ log a y＝ log a(x－y) ；x③log a y＝ log a x÷log a y；④log a(xy )＝ log a x·log a y .A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个答案A分析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转变为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不可以把对数的符号看作表示数的字母参加运算，如log a x≠log a·x，log a x是不.可分开的一个整体．四个选项都把对数符号看作字母参加运算，因此都是错误的．评论正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁徙 1 假定a>0且 a≠1，x>0， n ∈N*，那么以下各式正确的选项是()1A． log a x＝－ log a x B．(log a x )n＝n log a xC．(log a x)n＝ log a x n1 D． log a x＝ log a x答案A二、对数运算性质的应用例2计算：7(1)log 535 －2log 5＋ log 5 7－ log 5 1.8 ；3(2)2(lg2) 2＋lg 2 ·lg5 ＋ (lg2) 2－ lg2 ＋1 ；lg27 ＋ lg8 － lg 1 000(3)；(4)(lg5)2＋ lg2 ·lg50.剖析利用对数运算性质计算．9解(1) 原式＝ log 5(5 ×7) －2(log 57 －log 53) ＋ log 5 7 － log 55＝log 5 5 ＋ log 57 － 2log 5 7 ＋2log 53 ＋ log 57 － 2log 53 ＋ log 55＝2log 55 ＝2.(2) 原式＝ lg 2(2lg2＋ lg5) ＋(lg2－ 1) 2＝ lg 2(lg2 ＋ lg5) ＋ 1 － lg 2 ＝ lg 2 ＋ 1 － lg 2 ＝1..3 3lg3 ＋3lg2 －3lg3 ＋ 6lg2 －33 22 (3) 原式＝ ＝ 2(lg3 ＋ 2lg2 －1) ＝ .lg3 ＋ 2lg2 －1 2(4) 原式＝ (lg5) 2＋ lg2 ·(lg2 ＋ 2lg5)＝ (lg5) 2 ＋ 2lg5 ·lg2 ＋ (lg2) 2＝(lg5 ＋ lg2) 2＝ 1.评论 要灵巧运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁徙 2求以下各式的值：11(1)log 535 ＋2log 2 － log 5 － log 5 14 ；2 50 (2)[(1 － log 6 3) 2＋ log 6 2·log 6 18] ÷log 6 4.解 (1) 原式1＝ log 5 (5 ×7) － 2log 2 2 ＋ log 5 (5 2 ×2) － log 5(2×7) 2＝ 1＋ log 5 7－ 1 ＋2 ＋log 52 － log 52 － log 5 7＝ 2.22 ＋ log 62 ·log 6(3 ×6)] ÷log 6 2 2(2) 原式＝ [log 6＝ log 6 2(log 62 ＋ log 63 ＋ 1) ÷(2log 62) ＝ 1.三、换底公式的应用2 1例 3 (1) 设 3 x ＝ 4 y＝ 36 ，求 ＋ 的值；x y(2) log 18 9 ＝ a,18 b＝5 ，求 log 36 45.解(1) 由分别求出 x 和 y .∵3 x ＝ 36,4 y＝36 ，∴x ＝ log 336 ， y ＝ log 4 36 ，.由换底公式得：log 36 36 1 log 3636 1 x ＝＝ ， y ＝ ＝ ，log 36 3 log 36 3 log 36 4 log 36 41 ＝ log 1 ＝ log4 ，∴x 363 ， y36213 ＋ log4∴x ＋ y ＝ 2log36 36＝ log 36 (3 2 ×4) ＝ log 36 36 ＝ 1.(2) ∵log 18 9＝ a,18 b＝ 5 ，∴log 185 ＝ b .∴log 36 45 ＝log 18 45log 18 (9 ×5)log 18 36 ＝log 18 (18 ×2)log 18 9 ＋ log 18 5 a ＋ba ＋ b＝1 ＋log 18 2＝ 18 ＝ 2 － a .1 ＋ log 189评论 指数式化为对数式后，两对数式的底不一样， 但式子两头取倒数后，利用对数的换底公式可将差别除去．变式迁徙 3(1) 设 log 34 ·log 4 8 ·log 8 m ＝ log 416 ，求 m ；(2) log 12 27 ＝ a ，求 log 616 的值．lg4 lg8 lg m解 (1) 利用换底公式，得· · ＝ 2， lg3 lg4lg8∴lg m ＝ 2lg3 ，于是 m ＝9.3lg3 ＝a ，(2) 由 log 12 27 ＝a ，得2lg2 ＋ lg3 2 a lg2 lg32a∴lg3 ＝ ，∴＝. 3 －a lg23 － a∴log 6 16 ＝ 4lg24＝lg3 ＋ lg2 2 a＋ 13 － a4(3 －a)＝.3 ＋a1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收〞，将同底的两对数的和 (差 )化成积 (商 )的对数；(2)“拆〞，将积 (商 )的对数拆成对数的和 (差 )．2．对于常用对数的化简要充足利用“lg5 ＋ lg2 ＝ 1 〞来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1． lg8 ＋3lg5的值为()A．－ 3B．－ 1C．1 D ． 3答案D分析lg8 ＋ 3lg5＝ lg8＋lg53＝lg1 000＝3.log36等于 ()2．lg2 ＝a，lg3 ＝b，那么a＋ b a＋ bA. B.a ba bC.D.a＋ b a＋ b答案Blg6 lg2 ＋ lg3a＋ b分析log 36 ＝＝＝.lg3lg3b3．假定 lg a， lg b是方程 2 x2－ 4 x＋ 1＝ 0 的两个根， lg a2的等于 () b11A．2 B.C．4 D.24答案A1分析由根与系数的关系，得lg a＋ lg b＝ 2， lg a·lg b＝，2a∴ lg2＝ (lg a－ lg b )2b＝(lg a＋ lg b )2－4lg a·lg b1＝22－4×＝2.24．假定 2.5 x＝y＝1 00011，－等于() x y11A.B． 3C．－D．－333答案A分析由指数式化数式：x＝log 1 000，y ＝log 1 000，111－＝ log 1 000 －log 1 000 ＝log 1 000 10＝.x y35．函数f(x)＝ log a x (a>0 ，且a≠1) ，假定f(x1x2⋯x2 005222) )＝ 8 ，f(x1)＋f(x2) ＋⋯＋f(x2 005的等于 ()A． 4B． 8C． 16 D ． 2log a8答案C分析因 f(x )＝log a x，f (x1x2⋯x2 005)＝8，222所以 f (x1)＋f(x2)＋⋯＋f( x2 005 )222＝ log a x1＋ log a x2＋⋯＋ log a x2 005＝ 2log a |x 1|＋2log a |x 2 |＋⋯＋ 2log a |x 2 005 |＝ 2log a |x 1x 2⋯x 2 005 |＝ 2f (x 1x 2⋯x 2 005 )＝ 2 ×8 ＝ 16.二、填空6． lg2 ＝ a ， lg3 ＝ b ，那么 lg 1.8 ＝ __________.答案a ＋ 2b － 121 1 18 12 ×9 分析lg 1.8 ＝ ＝ lg 10＝ lg102 2 21 1＝ (lg2 ＋ lg9 － 1) ＝ (a ＋ 2b － 1) ． 2 27．假定 log a x ＝ 2， log b x ＝ 3 ，log c x ＝ 6 ， log abc x 的 ____．答案111分析log abc x ＝＝log x abc log x a ＋log x b ＋ log x c∵log a x ＝ 2 ， log b x ＝ 3 ， log c x ＝ 611 1∴log x a ＝ ， logx b ＝ ， log x c ＝ ，2 3 6∴log abc x ＝ 111 1 ＝ ＝1. 112 ＋ ＋3 68． log 63 ＝ 0.613 1 ，log 6x ＝ 0.386 9 ， x ＝________.答案 2分析由 log 6 3 ＋ log 6 x ＝ 0.613 1 ＋ 0.386 9 ＝1.得 log 6(3 x )＝ 1.故 3 x ＝6 ，x ＝ 2.三、解答9．求以下各式的 ：13248 ＋lg245 ；(1)lg－ lg2493(2)(lg5) 2＋ 2lg2－(lg2) 2 .(1) 方法一1 4 3解原式＝ (5lg2 － 2lg7)－·lg22 3 21＋(2lg7 ＋ lg5)251＝lg2 －lg7 － 2lg2 ＋ lg7 ＋ lg522111＝ lg2＋ lg5＝ (lg2 ＋ lg5)2221 1＝lg10 ＝ .2 2原式＝ lg 425方法二7－ lg4 ＋lg742×7 5＝ lg7 ×4＝ lg( 2 · 5) ＝ lg1 10＝ .2(2) 方法一原式＝ (lg5 ＋ lg2)(lg5－ lg2) ＋2lg255＝ lg10 ·lg＋ lg4 ＝ lg×4 ＝ lg10 ＝1.22方法二原式＝ (lg10－ lg2) 2＋ 2lg2－lg 22＝1－ 2lg2 ＋lg 2 2＋ 2lg2 － lg 22 ＝ 1.6 a3b2c 12310．假定2＝ 6＋＝ .＝ 3，求证：a b c证明设 2 6a＝ 3 3b＝ 6 2c＝k ( k>0)，那么16＝ 6log k 2 ，a ＝6 a ＝ log 2 k ， log 2k1 33 b ＝ log 3k ，3 k ＝ 3log k 3 ，∴ b ＝log2 c ＝log 6k ，1 2 ＝ ＝ 2log k 6. c log 6k1 2∴ ＋ ＝ 6 ·log k 2 ＋ 2 ×3log k 3 a b3＝ log k (2 6×3 6)＝ 6log k 6＝ 3×2log k 6 ＝ ，c1 2 3 即＋ ＝ .a b c2．对数函数及其性质1．对数函数的观点形如 y ＝ log a x (a >0 且 a ≠1) 的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1) 对数函数是由指数函数变化而来的， 由指数式与对数式关系知， 对数函数的自变量 x恰巧是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0 ，＋∞ )；(2) 对数函数的分析式 y ＝log a x 中， log a x 前面的系数为 1 ，自变量在真数的地点，底数 a 一定知足 a >0 ，且 a ≠1 ；(3) 以 10 为底的对数函数为y ＝ lg x ，以 e 为底的对数函数为y ＝ ln x .2．对数函数的图象及性质：a >1 0< a <1图象函数的定义域为(0 ，＋∞ )，值域为 (－∞，＋∞ )函数图象恒过定点(1 ，0) ，即恒有log a1＝0当>1时，恒有>0 ；当>1时，恒有<0；性质当0<x<1时，恒有y<0当 0< x<1时，恒有y>0函数在定义域(0 ，＋∞ )上为减函函数在定义域(0 ，＋∞ )上为增函数数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数分析式y＝ a x(a>0，且a≠1)y＝log a x(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞ )(0 ，＋∞ )值域(0 ，＋∞ )(－∞，＋∞ )a>1时，a>1时， log a x1 x00 x1a x；；函数值变 1 x00 0x 1化状况0< a<1 时，0< a<1 时， log a xx a x 1 x00 x11 x10 x11 x00 0x 1图象必点 (0,1)点 (1,0)过定点a>1时， y ＝a x是增函a>1时， y＝log a x是增函数；单一性数；0< a<1时， y ＝log a x 是减函数0< a<1 时，y＝a x是减函数图象y ＝a x的图象与 y＝log a x 的图象对于直线y ＝x 对称实质上，察看对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y＝log m n 有以下规律：(1)当 (m－1)( n－ 1)>0 ，即m、n范围同样 (相对于“ 1 〞而言 )，那么 log m n >0 ；(2) 当 (m －1)( n－ 1)<0 ，即m、n范围相反 (相对于“ 1 〞而言 )，那么 log m n <0. 有了这个规律，我们再1判断对数值的正负就很简单了，如log 2 <0 ，log 5 2>0 等，一眼就看出来了！3题型一求函数定义域求以下函数的定义域：(1) y＝ log 3x－12x＋ 3；x－1(2) y＝1(a>0 ，a≠1) ．1 － log a(x＋a)剖析定义域即便函数分析式存心义的x 的范围．解 (1) 要使函数存心义，一定{2 x＋ 3>0， x－1>0， 3 x－1>0 ， 3 x－ 1≠1 同时建立，3x>1，12解得 x>－，x>，x≠.∴x>1.233∴定义域为 (1 ，＋∞ )．(2) 要使原函数存心义，需 1 － log a(x＋a)>0 ，即 log a(x＋a)<1 ＝ log a a.当 a>1时，0< x＋a< a，∴－a< x<0.当 0< a<1 时，x＋a> a，∴x >0.∴当 a>1时，原函数定义域为{x|－a< x<0}；当0<a<1时，原函数定义域为{x| x>0}．评论求与对数函数有关的定义域问题，第一要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于 1 ，假定分母中含有x，还要考虑不可以使分母为零．题型二对数单一性的应用43(1)log43，log34，log的大小次序为 ()3 4A． log 3 4<log 4 3<log 43 34B． log 3 4>log43>log 43 344 3C．log 3 4>log>log433 44 3D． log >log 3 4>log 4 33 4a b(2)假定 a2> b > a>1，试比较log a b，log b a，log b a，log a b 的大小．(1) 分析∵log 3 4>1,0<log43<1，4 344 log ＝ log3－1＝－ 1 ，3 4343∴log 3 4>log 43>log.34答案Ba(2) 解∵b>a>1，∴0<b<1.a b∴log a b<0 ， log b a∈ (0,1) ， log b a∈ (0,1) ．又 a>b bb a，>1 ，且b >1 ，∴log b <loga aa b故有 log a<log b <log b a<log a b.b a评论比较对数的大小，一般按照以下几条原那么：①假如两对数的底数同样，那么由对数函数的单一性(底数a>1 为增；0< a<1 为减 )比较．②假如两对数的底数和真数均不同样，往常引入中间变量进行比较．③假如两对数的底数不一样而真数同样，如 y＝log a1 x 与 y＝log a2 x 的比较(a1>0，a1≠1，a2>0， a2≠1)．当 a1> a2>1时，曲线 y1比 y2的图象(在第一象限内)上涨得慢．即当x>1时， y1< y2；当 0< x<1时， y 1> y2.而在第一象限内，图象越凑近x 轴对数函数的底数越大．当0<a2< a1<1时，曲线y1比y2的图象(在第四象限内)降落得快．即当x>1时，y 1< y 2；当 0< x<1时， y 1> y2即在第四象限内，图象越凑近x 轴的对数函数的底数越小．1log a<1 ，那么 a 的取值范围是________．2剖析利用函数单一性或利用数形联合求解．1分析由 log a <1 ＝ log a a，适当a>1时，明显切合上述不等式，∴a>1；当0< a<1 211时， a<，∴0<a<.22.1故 a >1 或 0< a < . 21 答案a >1 或 0< a <2评论解含有对数符号的不等式时， 一定注意对数的底数是大于 1 仍是小于 1 ，而后再利用相应的对数函数的单一性进行解答．理解会用以下几个结论很有必需：(1) 当 a >1 时， log a x >0 ? x >1 ， log a x <0 ? 0< x <1 ；(2) 当 0< a <1 时， log a x >0 ? 0< x <1 ， log a x <0 ? x >1.题型三函数图象的应用1假定不等式 2 x － log a x <0 ，当 x ∈ 0，时恒建立，务实数a 的取值范围．2解要使不等式 2x<logax 在 x ∈ 0,1时恒建立，即函数y=logax 的图象在0,1内恒22在函数 y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点1 ,2 .由图可知， loga 1 >2 ，22明显这里 0<a<1 ，∴函数 y=logax 递减．又 loga 1 > 2 =logaa2，∴a2> 1 ，即 a>1 22212∴所求的 a 的取值范围为2<a<1.2 2.2.评论原问题等价于当x∈0,1时， y1=2x 的图象在 y2=logax的图象的下方，由2于 a 的大小不确立，当a>1时，明显 y2<y1，所以 a 必为小于 1 的正数，当 y2 的图象通121,2 时，y22过点知足条件，此时 a 0 =.那么 a 是大于 a 0仍是小于 a 0才知足呢？22能够绘图象察看，请试着画一画．这样能够对数形联合的方法有更好地掌握．设函数 f(x)＝lg( ax 2＋2 x＋1)，假定 f(x)的值域是R，务实数 a 的取值范围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax 2＋2 x＋1>0对 x∈R恒建立，即 {a>0 <0 ? {a>0 4－4a<0 ?a>1.错因剖析犯错的原由是分不清定义域为R 与值域为R 的差别．正解函数 f(x )＝lg( ax2＋2x＋1)的值域是R?真数 t ＝ ax2＋2x＋1能取到全部的正数．当 a＝01时，只需 x>－，即可使真数 t 取到全部的正数，切合要求；2当 a≠0时，一定有{a>0Δ≥0 ? {a>0 4 － 4 a≥0 ? 0< a≤1.∴f (x)的值域为R时，实数 a 的取值范围为[0,1]．本节内容在高考取考察的形式、地位与指数函数相像，侧重考察对数的观点与对数函数的单一性，考察指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考 )函数f(x)＝1的定义域为 M ，g (x)＝ln(1＋ x)的定义域为 N，那么1－xM∩N等于()A． {x|x> － 1}B． {x|x<1}. C．{ x|－ 1< x <1} D ． ?分析由题意知 M ＝{x|x<1}， N ＝{x|x>－1}．故 M ∩N ＝{x|－1< x<1}．答案 C2． (湖南高考 ) 以下不等式建立的是()A． log 3 2<log 2 3<log25B． log 3 2<log25<log23C．log 2 3<log32<log25D． log 2 3<log 2 5<log32分析∵y＝log2 x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2 5>log 23>log22＝1.又 y＝log3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 3 2<log 33 ＝ 1.∴log 3 2<log 2 3<log 2 5.答案A3． (全国高考 ) 假定x∈ (e －1,1) ，a＝ ln x，b＝ 2ln x，c＝ ln 3x，那么 ()A．a< b < c B．c< a< bC．b < a< c D ．b < c< a1分析∵ < x<1 ，∴－ 1<ln x <0.e令 t＝ln x，那么－1< t <0.∴a－ b ＝t－2t ＝－ t>0.∴a> b.c－ a＝ t 3－ t ＝ t(t2－1)＝ t(t＋1)( t－1)，又∵－1< t <0 ，∴0< t＋ 1<1 ，－ 2< t－ 1< － 1，∴c－a>0 ，∴c> a.∴c> a> b .答案C.1．函数f(x)＝ 1 ＋ 2 x的定义域为会合M ，g (x)＝ln(1－ x)的定义域为会合N，那么M ∩N等于 ()A． {x|x> － 1}B． {x|x<1}1C. x |－ < x<1 D ． ?2答案C1 －x12．函数f (x)＝ lg，假定 f (a)＝，那么 f(－ a)等于()1 ＋x211A.B．－C．－2 D．222答案Bf(－ a)＝lg 1 ＋a 1 ＋a分析＝－ lg－1－ a1 －a11 －a1＝－ lg 1＋a＝－f(a)＝－2.3．a＝ log 23 ，b＝log 3 2 ，c＝log 4 2，那么a，b，c的大小关系是 () A．c< b < a B．a< b< cC．b < c< a D ．c< a< b答案A分析因为 a＝log23>1，b ＝log32<1，所以 a> b ；又因为 2>3 ，那么 log 3 2>log313 ＝，21而 log 42 ＝ log 2 2 ＝， 211所以 b >，c＝，即b>c.进而a>b>c.224．函数f(x)＝ lg| x|为 ()A．奇函数，在区间(0 ，＋∞ )上是减函数B．奇函数，在区间(0 ，＋∞ )上是增函数C．偶函数，在区间(－∞， 0) 上是增函数D．偶函数，在区间(－∞， 0) 上是减函数答案D分析函数定义域为(－∞， 0) ∪ (0 ，＋∞ )，对于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg| x|＝ f(x)，所以它是偶函数．又当 x >0时，|x|＝ x，即函数 y＝lg| x|在区间(0，＋∞)上是增函数．又 f(x)为偶函数，所以 f (x)＝lg| x|在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y＝a x与y＝－ log a x ( a>0 ，且a≠1) 在同一坐标系中的图象只可能为()答案A分析方法一假定0<a<1，那么曲线y＝a x降落且过(0,1)，而曲线y＝－log a x上涨且过(1,0) ；假定a>1 ，那么曲线y＝ a x上涨且过(0,1)，而曲线 y＝－log a x 降落且过(1,0)．只有选项A 知足条件．方法二注意到 y＝－log a x 的图象对于x 轴对称的图象的表达式为y＝log a x，又 y＝log a x与y＝a x互为反函数 (图象对于直线y＝ x 对称)，那么可直接选定选项A.6．设函数 f (x)＝log2a(x＋1)，假定对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有 f(x)>0，那么实数a 的取值范围为 ( )1A ． (0，＋∞ ) B. ，＋∞21，11C. 2D. 0 ， 2答案 D分析－ 1< x <0 ，那么 0< x ＋ 1<1 ，又当－ 1< x <0时，都有 f (x )>0 ，即 0< x ＋1<11时都有 f (x )>0 ，所以 0<2 a <1 ，即 0< a <.27．假定指数函数 f (x )＝a x(x ∈ R)的局部对应值以下表：x － 2 0 2f (x1那么不等式 log a (x － 1)<0的解集为．答案 {x |1< x <2}分析由题可知 a ＝ ，∴log (x － 1)<0 ，∴log (x －1)<log1.2 1 ，解得x <2 ，又∵x － 1>0 ，即 x >1 ，∴1< x <2.故原不等式的解集为 {x |1< x <2} ．8．函数 y ＝ log a x (1 ≤x ≤2) 的值域为 [－ 1,0] ，那么 a 的值为 ________．1答案2分析 假定 a >1 ，那么函数 y ＝ log a x 在区间 [1,2] 上为增函数，其值域不行能为[－ 1,0] ；故 0< a <1 ，此时当 x ＝ 2 时， y 取最小值－ 1 ，1即 log a 2 ＝－ 1 ，得 a －1＝2 ，所以 a ＝ .2.(3 a－ 1) x＋ 4a，x<19．函数 f (x)＝是实数集R 上的减函数，那么实数 a 的取log a x，x≥1值范围为．1 1答案，7 3分析函数 f(x )为实数集R上的减函数，1一方面， 0< a<1 且 3 a－ 1<0 ，所以 0< a<，3另一方面，因为f(x)在R上为减函数，1所以应有 (3 a－ 1) ×1 ＋4a≥log a 1 ，即a≥ .711所以知足题意的实数 a 的取值范围为≤a< .7310 ．f(x )＝ 1 ＋ log 2x (1 ≤x≤4) ，求函数g (x)＝ f2(x)＋ f (x2)的最大值和最小值．解∵f(x)的定义域为[1,4]，∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝ f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2 x)2＋(1＋log2 x2)＝(log 2x＋2) 2－ 2，又 1 ≤x≤2 ，∴0 ≤log 2x≤1.∴当x＝1时，g (x)min＝2；当x＝2时，g (x)max=7.学习目标1．掌握对数函数的观点、图象和性质．2．能够依据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，掌握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y ＝log a x (a>0，且 a≠1)底数a>10< a<1图象定义域(0 ，＋∞ )值域R单一性在 (0 ，＋∞ )上是增函数在(0，＋∞ )上是减函数共点性图象过点 (1,0) ，即 log a1 ＝ 0函数值特色x∈(0,1)时，y ∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y ∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]函数 y ＝log a x 与 y ＝ log1x 的图象对称性a对于 x 轴对称3.反函数对数函数 y ＝ log a x(a >0 且 a ≠1) 和指数函数 y ＝ a x_(a >0 且 a ≠1) 互为反函数．一、对数函数的图象例 1以下列图是对数函数y ＝ log a x 的图象， a 值取4 31，3，，，，那么图象 C ，C35 1210C ， C 相应的 a 值挨次是 ()34A. 3,4,3, 13510B ． 3,4,1 , 33 10 5C ． 4 , 3,3,13510D ． 4 , 3, 1 , 3310 5答案 A分析 方法一 因为对数的底数越大， 函数的图象越远离 y 轴的正方向， 所以 C1 ，C2 ，C3 ，C4 的 a 值挨次由大到小，即 C1 ， C2 ，C3 ， C4 的 a 值挨次为4 3 13, , ,.3510.方法二过 (0,1) 作平行于x 轴的直线，与C1 ， C2 ， C3 ， C4 的交点的横坐标为(a1,1) ，(a2,1) ，(a3,1) ，(a4,1) ，此中 a1 ，a2 ，a3 ，a4 分别为各对数的底，明显a1>a2>a3>a4，所以C1，C2 ， C3 ， C4 的底值挨次由大到小．评论函数 y=logax (a>0，且a≠1)的底数a的变化对图象地点的影响以下：①上下比较：在直线x=1的右边，底数大于 1 时，底数越大，图象越凑近x 轴；底数大于 0 且小于 1 时，底数越小，图象越凑近x 轴．②左右比较： (比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．变式迁徙 1借助图象比较m ， n 的大小关系：(1) 假定 logm5>logn5，那么m n ；(2) 假定，那么m n.答案(1)<(2)>二、求函数的定义域例 2求以下函数的定义域：3(1)y＝log2 x；(2)y＝log(4 x－3)；(3) y＝ log (x＋1) (2 －x)．剖析定义域即便函数分析式存心义的x 的范围．解 (1) ∵该函数是奇次根式，要使函数存心义，只需对数的真数是正数即可，∴定义域是 {x |x>0} ．(2)要使函数 y＝log(4 x－3)存心义，一定log (4 x－ 3) ≥0＝ log 1 ，3∴0<4 x－ 3 ≤1.解得< x≤1.43∴定义域是x| < x≤1 .4x＋1>0x>－1(3) 由x＋1≠1，得x≠0，2 －x>0x<2即 0< x<2 或－ 1< x<0 ，所求定义域为 (－ 1,0) ∪ (0,2) ．评论求与对数函数有关的函数定义域时，除按照前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自己有以下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单一性，有针对性的解不等式．变式迁徙 2求y＝log a(4 x－3)( a>0 ，a≠1) 的定义域．解 log a(4 x－ 3) ≥0.(*)当 a>1时，(*)可化为log a(4 x－3)≥log a1，∴4 x－ 3≥1 ，x≥1.当 0< a<1 时， (*) 可化为log a(4 x－ 3) ≥log a1，3∴0<4 x－ 3 ≤1 ， < x≤1.4综上所述，当a>1时，函数定义域为[1 ，＋∞ )，。
对数与指数的之间的关系理解和归纳
对数与指数的之间的关系理解和归纳知识点：对数与指数之间的关系理解和归纳一、对数与指数的定义和性质1.对数的定义：对数是幂的指数，用来表示幂的次数。
2.指数的定义：指数是基数的幂，用来表示幂的次数。
3.对数的基本性质：(1)对数的底数必须大于0且不等于1。
(2)对数的真数必须大于0。
(3)对数的值是实数。
4.指数的基本性质：(1)指数的底数必须大于0且不等于1。
(2)指数的值可以是正数、负数或0。
(3)指数的幂是实数。
二、对数与指数的互化关系1.对数与指数的互化公式：(1)如果y=log_a(x)，则a^y=x。
(2)如果y=a^x，则log_a(y)=x。
2.对数与指数互化的意义：(1)对数可以用来求解指数方程。
(2)指数可以用来求解对数方程。
三、对数与指数的增长速度1.对数增长速度：对数函数的增长速度逐渐变慢。
2.指数增长速度：指数函数的增长速度逐渐变快。
四、对数与指数的应用1.对数与指数在科学计算中的应用：(1)天文学：计算星体距离。
(2)生物学：计算细菌繁殖。
(3)经济学：计算货币贬值。
2.对数与指数在实际生活中的应用：(1)通信：计算信号衰减。
(2)计算机科学：计算数据压缩率。
(3)物理学：计算放射性物质衰变。
五、对数与指数的图像和性质1.对数图像：对数函数的图像是一条斜率逐渐减小的曲线。
2.指数图像：指数函数的图像是一条斜率逐渐增大的曲线。
3.对数与指数的性质：(1)对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是R。
(2)指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞)。
(3)对数函数和指数函数都是单调函数。
六、对数与指数的关系总结1.对数与指数是幂的两种表示形式，它们之间可以相互转化。
2.对数与指数具有不同的增长速度，对数增长速度逐渐变慢，指数增长速度逐渐变快。
3.对数与指数在科学研究和实际生活中有广泛的应用。
4.对数与指数的图像和性质反映了它们的单调性和变换规律。
通过以上对对数与指数之间关系的理解和归纳，我们可以更好地掌握对数与指数的知识，并在学习和生活中灵活运用。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结适用于高一应届学习及高三一轮复习指数函数和对数函数知识点总结及练习题一.指数函数（一）指数及指数幂的运算a am ar as ar s (ar)s ars (ab)r arbr（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，形如y a（a 0且a 1）叫做指数函数。
xmn二.对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果a N（a 0且a 1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。
2.指数式与对数式的互化幂值真数xax log指数对数适用于高一应届学习及高三一轮复习3.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数lgN（2）自然对数：以无理数e 2.***** 为底的对数lnN（二）对数的运算性质（a 0且a 1，M 0,N 0）①logaM logaN logaMN ②logaM logaN loga③logaM nlogaM ④换底公式：logab 关于换底公式的重要结论：①logamb（三）对数函数1.对数函数的概念：形如y logax（a 0且a 1）叫做对数函数，其中x 是自变量。
M Nnlogcb（c 0且c 1）logcannlogab ②logab logba 1 m适用于高一应届学习及高三一轮复习基本初等函数练习题1.已知集合M { 1,1}，N {x|12x 1 4,x Z}，则M∩N＝（）2A.{－1,1}B.{0}C.{－1}D.{－1,0} 2.设11b1a() () 1，则（）333abaaabbaabaaA.a a bB.a b aC.a a bD.a b a 3.设y1 40.9，y2 80.48，y3 () 1.5，则（）12A.y3 y1 y2B.y2 y1 y3C.y1 y3 y2D.y3 y1 y2 4.若()122a 11()3 2a，则实数a的取值范围是（）211A.(1，＋∞)B.(，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，)221－5.方程3x1＝的解为（）9A.x＝2B.x＝－2C.x＝1D.x＝－1116.已知实数a，b满足等式(a＝()b，则下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；23④ba0；⑤a＝b。
2.2.1对数与对数运算重难点题型(举一反三)(解析版)
2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数的概念与基本性质】2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln . 3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a xlog =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ； (2)01log =a )1,0(≠>a a 且； (3))1,0(1log ≠>=a a a a 且． 【知识点2 对数的运算性质】 1.2.abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论： ①a b b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b nm b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1 对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2 对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3 解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N ＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4 对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5 利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6 用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7 与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8 对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a＝2loga•log（c﹣b）a．（c+b）【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝＝2log（c+b）a•log（c﹣b）a．∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3 +log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值． （1）355log ＋212log 1505log －145log ； （2）log 2125×log 318×log 519.练习题 1．计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；2.log 535＋212log －log 5150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1)求证：2x ＋1y ＝2z； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1x f x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x--<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ．（1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是C D2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭， 求证：a·b＝1，2a b+＞1.练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.2．已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.5．已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.。
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结一、指数函数的性质：1. 定义：指数函数是以指数为自变量，底数固定的函数。
形如f(x) = a^x，其中a是正实数，且a≠1。
2. 指数函数的图像特点：a) 当0<a<1时，函数图像在y轴上方逐渐逼近x轴正半轴；b) 当a>1时，函数图像在y轴下方逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，指数函数为常数函数，图像为y = 1。
3. 指数函数的性质：a) 当x∈R时，指数函数f(x) > 0，即指数函数的值始终大于0；b) 指数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则a^x1 < a^x2；若0 < a < 1，则a^x1 > a^x2。
4. 指数函数的特殊性质：a) a^0 = 1，任何数的0次方等于1；b) a^m * a^n = a^(m+n)，指数的乘法法则；c) (a^m)^n = a^(m*n)，幂的乘方法则；d) a^(-n) = 1/(a^n)，负指数的倒数性质。
二、对数函数的性质：1. 定义：对数函数是以对数为自变量的函数。
形如f(x) = loga(x)，其中a是正实数且不等于1，x为大于0的实数。
2. 对数函数的图像特点：a) 在a>1时，函数的图像在y轴右侧逐渐逼近x轴正半轴；b) 在0<a<1时，函数的图像在y轴左侧逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，对数函数为常数函数，图像为y = 0。
3. 对数函数的性质：a) 当x∈(0,+∞)时，对数函数f(x) > 0，即对数函数的值始终大于0；b) 对数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则loga(x1) <loga(x2)；若0 < a < 1，则loga(x1) > loga(x2)。
4. 对数函数的特殊性质：a) loga(a) = 1，任何数以自身为底的对数等于1；b) loga(1) = 0，任何底数为正数的对数以1为真数的对数等于0；c) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)，对数的乘法法则；d) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)，对数的除法法则；e) loga(M^n) = n * loga(M)，对数的乘方法则；f) loga(c) = 1/logc(a)，对数的换底公式。
2.2.1对数与对数运算(一)
2.2.1对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．b N N a a b =⇔=log例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 探究：1。
是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ． 例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 31． 例2． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．解：（1）16)21(4=- （2）72=128； （3）210-=0.01； （4）303.2e =10．例3．求下列各式中的x 的值： （1）32log 64-=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345．解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x, ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）12-＝21； （４）312731=-．解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2log 41＝－２ ⑷3log 811＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log 6.25＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（三） 教学知识点对数的运算性质． （四） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程； 3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值； 5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a⑶对数恒等式N aNa =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =pa ，N =qa ． ∴MN = pa qa =qp a+ ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =pa ，N =qa ．∴q p q pa aa N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴nM ＝npa ∴a log nM =np ， 即证得a log nM =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． )10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxya a ． 解：（1）zxyalog =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zyx a=a log （2x3log )z y a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-．例2． 计算（1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2； (3)解法一：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题． 4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．=n a a log n2.2.1对数与对数运算（三）教学目标（五） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。