对数的含义
对数知识点总结讲解
对数知识点总结讲解一、对数的定义1. 对数的含义对数是一种数学工具，用来描述一个数与另一个数的幂之间的关系。
例如，如果一个数a 的x次方等于另一个数b，那么x就是以a为底，b为真数的对数，记作loga(b)。
2. 对数的性质对数具有以下几个基本性质：（1）对数的底数不能是0或1；（2）对数的真数不能是负数；（3）以a为底，b为真数的对数等于以10为底，b/a的对数的值乘以以10为底，a的对数的值。
3. 对数的公式表示对数的公式表示为：loga(b) = x，其中a为对数的底数，b为对数的真数，x为对数的值。
对数的值x可以是正数、负数、零。
二、对数的性质1. 对数的运算规则（1）乘法法则：loga(bc) = loga(b) + loga(c)（2）除法法则：loga(b/c) = loga(b) - loga(c)（3）幂法则：loga(b^c) = c*loga(b)（4）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的性质（1）loga(1) = 0；（2）loga(a) = 1；（3）a^loga(b) = b；（4）loga(a^x) = x。
三、对数的常用公式1. 对数的常用公式1（1）loga(b) = 1/logb(a)（2）loga(b) = ln(b)/ln(a)（3）loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的常用公式2（1）loga(b) + loga(c) = loga(bc)（2）loga(b) - loga(c) = loga(b/c)（3）loga(b^c) = c*loga(b)3. 对数的常用公式3（1）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)（2）对数的乘方化简：a^loga(b) = b（3）对数的乘方化简：loga(a^x) = x四、对数的应用1. 对数在数学中的应用（1）对数在指数函数的求导中的应用；（2）对数在对数函数的积分中的应用；（3）对数在数学建模中的应用。
数学初中二年级上册第三章指数与对数的认识与运算
数学初中二年级上册第三章指数与对数的认识与运算数学初中二年级上册第三章指数与对数的认识与运算指数和对数是数学中重要的概念，在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
本章主要介绍了指数和对数的概念、性质以及它们的运算规则。
通过学习本章，我们将更好地理解指数和对数的含义，并掌握其基本运算方法。
一、指数的概念与性质1. 指数的引入指数是表示某个数乘以自身若干次的简便写法。
例如，2的3次方表示2乘以自己3次，可以写作2³。
指数的引入简化了计算过程，并且具有一些重要的性质。
2. 指数的性质指数具有以下重要的性质：（1）指数为正整数时，表示数的乘方；（2）指数为0时，表示数的乘方为1；（3）指数为负整数时，表示数的倒数的乘方；（4）指数之间的运算法则。
二、对数的概念与性质1. 对数的引入对数是指数运算的逆运算，用于表示某个指数的底数是多少。
对数常用于解决指数方程和指数不等式，具有重要的数学应用价值。
2. 对数的性质对数具有以下重要的性质：（1）对数的底数必须为正数且不等于1；（2）同一个数的不同底数的对数之间的关系；（3）对数之间的运算法则。
三、指数与对数的应用指数与对数在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 天文学中的指数和对数应用：表示星等、测量距离、计算星体质量等。
2. 化学中的指数和对数应用：表示酸碱度、计量物质的浓度等。
3. 经济学中的指数和对数应用：表示物价指数、GDP增长率、利润率等。
4. 生物学中的指数和对数应用：表示生物种群数量的增长速度、酶的催化作用等。
四、指数与对数的运算规则指数与对数的运算规则是学习指数和对数的重点之一。
以下是一些常用的运算规则：1. 指数之间的运算规则：同底数相乘、相除，指数相加、相减。
2. 对数之间的运算规则：同底数相乘、相除，对数相加、相减。
五、习题与解答1. 计算题（1）计算2的4次方。
（2）计算10的0次方。
（3）计算5的-2次方。
对数的含义与运算
对数含义与运算一、 知识综述1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的 ，N 叫做 。
即ba N =， log a Nb =aNb指数式N a b = 底数 幂 指数 对数式b N a =log对数的底数真数对数例如：对数式与指数式的互换2416= 210100= 1242= 2100.01-=2．基本性质：若0a >且1a ≠，0N >，则（1）log 10a =，log 1a a =；（2）log a Na N =.3．介绍两种特殊的对数： ①常用对数：以10作底 10log N 写成lg N ②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ， log e N 写成ln N ．4.对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a M M N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈． 5.换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 二、例题讲解例一：（1）计算： 9log 27， 345log 625．（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．例二： 例5．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．例三： 计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．三、课堂练习 一、填空题1.计算：log2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= . 2．若10x=3,10y=4，则102x-y=__________；为表示、用7512log y x ．3．（log 43+log 83）（log 32+log 92）－log 421329log 255+=__________ ．4．若log (21)1x +=-, 则x = ． 5．已知()xf e x =，则f(5)等于 ． 6．如果732log [log (log )]0x =，那么12x -等于________________.7.25)a (log 5-（a ≠0）化简得结果是_____________________．8.已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且logM b=x ，则logM a=________________．9.设(){}1,,lg A y xy =, {}0,,B x y =,且A =B ，则x = ；y =10. 计算：()()5log 22323-+二、选择题11．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．212．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 13．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.21 14．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1215．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或-116．若log a b ·log 3a=5，则b 等于（ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5317． 已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lga+lgb ②lgb a =lga －lgb ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．318．若f （ln x ）=3x +4，则f （x ）的表达式为 （ ）A 3ln xB 3ln x +4C 3e x +4D 3e x三、解答题19. （1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．20.已知：lg （x －1）+lg （x －2）=lg2，求x 的值21. 已知18log 9,185,ba ==用a,b 表示 36log 4522. 15．（14分）已知函数2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对一切实数x ，都有f (x)≥2x 成立，求实数a 、b 的值.课后练习1．下列指数式与对数式互化中错误的一组是 A ． 01e =与ln10= B ．13182-=与811log 23=- C ． 3log 92=与1293= D ．7log 71=与177=2．若b ≠1，则 loga b 等于（ ）。
高中数学《对数的概念》教学设计
对数的概念教学设计一、内容与内容解析1．内容：对数的定义、表示法、性质，以及指、对数之间的关系．2．内容解析：16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中发明了对数，为数学家们在运算中赢得了时间与精力．对数发明20多年后法国数学家笛卡尔开始使用指数符号，数学家们开始关注指、对数之间的关系．直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现了指数与对数的互逆关系，他首先使用y= 来定义．至此，人们彻底揭示了对数本质，完善了指、对数的知识体系和数学运算体系．对数的发明先于指数，也成为数学史上的珍闻．事实上，对数的本质是一种运算．随着人们对指数的认识的不断深入，总会遇到诸如“在方程=2中求解x”的问题，即“已知底数和幂的值，求指数”．在数学运算体系的建立过程中，人们也经历了多次类似的情况，例如在加法运算中已知一个加数与和，求另一个加数时引入了“差”的概念；在乘法运算中已知一个因数与积，求另一个因数时引入了“商”的概念；在乘方运算中已知指数与幂，求底数时引入了“数的n次方根”的概念．在计算机发明以前，以10为底的对数在复杂的数值计算中是常用的工具，故有“常用对数”之名，常用对数是纳皮尔和他的朋友布里格斯一起商定得出的．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以称之为“自然对数”．欧拉指出：“对数源出于指数”，也就是说对数与指数之间存在必然的联系：当a>0，且a≠1时，．利用这一关系，我们可以实现对数式与指数式之间的互化．代数学的根源在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现“代数性质”的引路人，通过这种互化运算，我们可以得出对数的下列性质：（1）负数和0没有对数．当对数中的真数N为负数或者0时，对数没有意义．这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数．因而=N中的N总是正数．（2）（a>0，a≠1）．指数式中存在着诸如及的性质，将这两个指数式化为对数式即可得到对数的上述性质．从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力．建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担．因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，发现和应用对数的概念．二、目标与目标解析1.目标：（1）了解对数产生的历史及背景，体会对数概念提出的必要性，发展数学人文素养；（2）经历概念的形成过程，理解对数的概念，发展数学抽象核心素养；（3）理解指、对数的关系，掌握指、对数式的互化，发展数学运算核心素养．2.目标解析（1）学生知道对数发明的历史，能在求解诸如=2的方程中体会到对数概念提出的必要性；（2）学生能将所求方程中的x准确表示出来，能认识和表示常用对数和自然对数；（3）学生能清楚指出指、对数之间所具有的关系，在指、对数式中指明各个字母的意义，能熟练地进行指、对数的互化．通过两式的互化，能够得出和证明对数的性质．三、教学问题诊断分析本节课第一个学习难点是对数概念，虽然学生可以根据以往经验提出新概念建立的必要性，但是就像差、商、数的n次方根等概念的提出一样，每一次新概念的提出都与学生以前的认知产生矛盾，因此需要适应和熟悉，而这样的过程在对数这一概念上显得尤为漫长．在以往的学习过程中，涉及“差”的概念的减法是加法的逆运算，涉及“商”的概念的除法是乘法的逆运算，涉及“数的n 次方根”的概念的开方运算是乘方的逆运算，对于对数这一概念，可以类比以往的互逆运算的关系进行认识．即使这样，减法、除法、开方等运算还是比较直观、容易理解的，但是由于对数所处运算级别较高，因此在教学中需要反复训练，使得学生尽快熟悉．第二个学习难点是在对指、对数的关系的认识上，学生往往只在表面上认识了对数概念，没有紧扣定义，充分发掘定义中指、对数之间的关系．为此可以借助图表、式中连线等简单直观的方式对指、对数式进行对照，在此过程中学生可以进一步理解对数概念，揭示指、对数之间的关系，特别是在对字母x的认识中可以明确“对数即指数”这一本质；也可以借助已有知识进行突破，例如借助指数函数中的变量对应关系揭示指、对数之间的关系．四、教学支持条件本节课的教学用到了Geogebra数学软件，可以帮助学生对相关问题形成直观感受．五、教学过程设计（一）概念的引入问题1：在4．2．1的问题中，通过指数运算，我们能从y=中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？师生活动：学生利用指数函数写出2=、3=、4=的方程，但是不会求解方程．追问1：若=2，这里的x存在吗？唯一吗？能否借助已有知识解释？你能表示它吗？师生活动：学生借助指数函数图象可以感受到x的存在，但不会对其表示．由指数函数图象可知x唯一存在，但利用已有知识不能解释．技术支持：利用Geogebra数学软件画出函数图象，通过对点的标记感受对数的真实存在．追问2：回顾为什么要学习减法、除法、开方运算？并类比思考如何解决上面这个问题？师生活动：学生回顾运算学习轨迹，得出答案．回顾一下同学们对于运算的学习轨迹：在加法运算a+x=N中求解x时定义了减法及它的运算结果“差”的概念；在乘法运算ax=N中求解x时定义了除法及它的运算结果“商”的概念；在乘方运算=N中求解x时定义了开方及它的运算结果“数的n次方根”的概念。
对数的运算法则范文
对数的运算法则范文对数是数学中的一种运算，是指一些数在一些底数下的指数。
它有很多重要的运算法则，包括对数基本定理、换底公式、幂运算法则等。
下面介绍一些常用的对数运算法则。
1.对数基本定理：对数基本定理是指对数运算可以与指数运算互相转化。
设a为正数且不等于1，x为正数，则有以下对数基本定理：- a^loga(x) = x- loga(a^x) = x这个定理的含义是：对任意正数x，如果a是底数，那么loga(x)就是满足a的x次方等于x的指数。
2.换底公式：换底公式是指可以通过改变底数来计算不同底数的对数。
设x为正数且a、b为正数且不等于1，则有以下换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)这个公式的含义是：当不同底数的对数比较时，可以通过将其转化为相同底数的对数来进行运算。
3.幂运算法则：幂运算法则是指对数运算中的幂运算具有一些重要的规律。
设a为正数且不等于1，x、y为任意实数，则有以下幂运算法则：-a^x*a^y=a^(x+y)- (a^x)^y = a^(xy)-a^x/a^y=a^(x-y)- (ab)^x = a^x * b^x这些法则的含义是：在幂运算中，对于同一个底数a，可以通过将指数相加、相乘、相减等来简化运算。
4.对数与指数的互换：对数与指数是互相转化的。
已知a为正数且不等于1，x为实数，则有以下互换关系：- a^loga(x) = x- loga(a^x) = x这个关系的含义是：对于同一个底数a，对于给定的x求a的x次方，可以通过求底数为a的对数来获得。
5.对数的乘法和除法法则：设a为正数且不等于1，x、y为正数，则有以下对数乘法和除法法则：- loga(x * y) = loga(x) + loga(y)- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)这些法则的含义是：当要计算x乘以（或除以）y的对数时，可以将其分解成计算x和y的对数，然后进行加法（或减法）运算。
中职数学-对数函数概念
4.3.1 对数的概念一、教材分析 对数的概念选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学教科书（基础模块）上册，是《指数函数与对数函数》这一章的基础内容，对数的引入是进一步解决方程)10(≠>=a a N a b且 中已知两个量求第三个量的问题的延续：是初中所学幂运算的必要补充，也是4.2.1所学指数运算的逆运算；是“概念—运算—函数”研究路径的又一次强化，也是对数运算乃至对数函数学习的启蒙课；是大数处理的关键概念和必备工具，也是高中对数函数模型学习的必要准备. 对数概念的引入充满逻辑推理的必然性奥义，也渗透着一般概念建构以及创生的多个方面：在建构概念的过程中既要考虑要概念的存在性和引入的必然性，还要考虑新概念与旧知识的相互关联和印证，更要关注新概念下知识体系的逐步搭建.因此，这部分内容对于培养学生的创新精神，渗透数学学习过程中的逻辑推理、形象直观、数学运算素养有不容忽略的价值，应当引起充分重视！二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的内在联系，将对数这一新知纳入已有的知识结构中． 三、教学设计学科 中职数学 课题 4.3.1对数的概念课型新授课 授课班级授课人教学目标知识与技能理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
过程与方法通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
培养学生的类比、分析、归纳，等价转化能力。
log概念
"Log"一词在不同的领域中有不同的含义和用法。
以下是一些常见的概念和用法：
1. 计算机科学中的日志：在计算机科学中，日志是一种记录系统活动和事件的文件或数据记录。
它可以用于故障排除、性能分析、安全审计等目的。
日志可以包含时间戳、事件描述、错误消息等信息。
2. 数学中的对数：对数是数学中的一个概念，用于描述指数运算的逆运算。
对数可以将指数运算转化为乘法运算，例如logₐ(b) = c可以表示为a的c次方等于b。
3. 企业管理中的日志：在企业管理中，日志是一种记录和跟踪工作活动、决策和事件的记录。
日志可以用于追踪项目进展、记录会议纪要、跟踪问题解决过程等。
4. 旅行日志：旅行日志是一种记录旅行经历、感受和观察的记录。
它可以包括旅行目的地、行程安排、食物体验、景点介绍等内容。
5. 日志文件：日志文件是计算机系统中存储日志信息的文件。
它可以包含系统日志、应用程序日志、安全日志等。
日志文件通常用于故障排除、监控和分析系统性能。
这些是关于“log”概念的一些常见用法，具体的含义和用法可能因上下文而有所不同。
1。
对数函数及其性质
教学过程一、 复习预习复习指数函数的基本性质二、知识讲解引例（3分钟）1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺?分析:(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得321215=⎪⎭⎫⎝⎛ (2)可设取x 次,则有 125.021=⎪⎭⎫⎝⎛x抽象出: 125.021=⎪⎭⎫ ⎝⎛x?=⇒x2、2002年我国GPD 为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GPD 是2002年的2倍？ 分析:设经过x 年,则有2%)81(=+x抽象出:2%)81(=+x ?=⇒x让学生根据题意，设未知数，列出方程。
这两个例子都出现指数是未知数x 的情况，让学生思考如何表示x ，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识。
生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的。
一、对数的概念（3分钟）一般地，如果a(a>0且a ≠1)的b 次幂等于N, 就是b a =N 那么数 b叫做 a 为底 N 的对数,记作b N a =lo g ，a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a ≠1②对数的书写格式二、对数式与指数式的互化：（5分钟）幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← b → 对数 幂 ← N → 真数思考：①为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？②是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数 让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a 、b 和N 位置的不同，及它们的含义。
互化体现了等价转化这个重要的数学思想log a N三、两个重要对数（2分钟）①常用对数：以10为底的对数N 10log ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数N e log 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) 注意：两个重要对数的书写这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式做准备。
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2.2．1 对数的含义
一学习目标：1理解对数的概念.
2掌握对数与指数的关系式。
3会进行指对互化以及简单的指对互化。
二 自学指导
1 自学课本第62页的内容，思考并回答下列问题：
（1）对数的意义是什么？对数与指数有什么联系？你能举两个具体的例子吗？
（2）对数式中底数的范围是什么？思考为何会有这个范围？
（3）常用对数和自然对数又是怎样定义的？
（4）负数和零有没有对数？1log 0,log 1a a
a ==证明
三 自主检测
1 填写下列表格
2 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式
(1)4381;= (2)132;8-= (3)1() 4.3355
m =
16
14
(4)log 2=- lg100(5)2= (6)ln10 2.303=
3求下列各式中x 的值
(1)327log 2x = (2)2log 23
x =- (3)16log 12
x = (4)lg 0.001x = (5)2ln e x -=
(6)lg 3x = (7)ln 1x =- (8)8log 6x = (9)2log 643x =-
三 随堂练习
1求出使对数有意义的x 的范围
(1)(2)log (1)x x +- (2)(32)log (12)x x +- 2 求下列各式的值
3210log log 1
5(1)1010.log ππ-+
(2)log
3变式训练 (1)22log 3327_____-=。
(2)lg 525,___x x ==则。
232(3)log ,log ,____m n a a
m n a +===则。
5534[log ][log ]3
4(4)log log 0,_____b a b a ===（log ）（log ）则 26
3
2
211(6)log log 044x x αβαβ++=∙=的两根为和，则（）（）_________ 五 课堂小结
对数的意义是什么？（即指对互化的公式）。