非线性模态理论的研究进展
机械工程中的非线性力学研究
机械工程中的非线性力学研究概述：机械工程是一门研究机械结构、机械运动以及机械能转换和传递的学科。
而非线性力学是研究非线性系统中的力学现象的学科。
机械工程中的非线性力学研究涉及了广泛的领域，包括材料力学、振动分析、结构设计、动力学等。
本文将探讨机械工程中非线性力学研究的重要性以及其在机械工程中的应用。
第一部分：非线性力学的基本概念与原理1.1 非线性系统非线性系统是指系统的输入和输出之间的关系不符合线性关系的系统。
相比于线性系统，非线性系统的性质更加复杂。
非线性系统在机械工程中的应用十分广泛，如建筑结构、机械振动、材料力学等领域。
1.2 非线性力学的重要性非线性力学是机械工程中不可忽视的一个分支领域。
机械结构往往会受到各种外部载荷的作用，比如温度变化、动力荷载等。
非线性力学理论的运用可以更准确地描述和预测这些机械结构的行为，从而为工程设计和分析提供可靠的依据。
1.3 非线性力学的基本原理在非线性力学研究中，主要使用的数学工具包括微分方程、积分方程、变分法等。
通过建立系统的数学模型，研究者可以进一步探究非线性系统的动力学行为，如固有频率、振动模态、应变分布等。
第二部分：机械工程中的非线性力学应用2.1 材料力学材料的力学性质往往存在非线性行为，特别是在高载荷或变形情况下。
非线性力学理论可以用来描述和分析材料的应力-应变行为，如屈服点、硬化行为等。
2.2 结构设计机械结构的稳定性和安全性是机械工程中的重要问题。
非线性力学理论可以用来研究和分析结构的稳定性，从而指导结构设计的优化和安全性评估。
2.3 动力学分析机械系统的动力学行为往往涉及非线性现象，比如摩擦、非线性阻尼等。
非线性力学理论可以用来研究机械系统的振动特性和稳定性，从而指导机械系统的设计和控制。
2.4 优化设计在机械工程中，经常需要通过优化设计方法来提高系统的性能。
非线性力学理论可以用来建立系统的优化模型，并通过求解非线性优化问题来获得最优解。
桥梁结构非线性振动检测方案模态分析与振动反馈控制
桥梁结构非线性振动检测方案模态分析与振动反馈控制桥梁是现代交通运输的重要组成部分，而桥梁结构的安全性是保障交通运输可靠性的关键。
然而，在长期使用和外界环境的作用下，桥梁结构会产生振动问题，这不仅会对桥梁的使用寿命造成影响，还会威胁行车的安全。
为了解决桥梁结构振动问题，研究人员提出了非线性振动检测方案，其中包括模态分析和振动反馈控制两个方面。
一、模态分析模态分析是桥梁结构振动研究的重要手段，它通过对桥梁结构在振动过程中各种模态的特性进行分析，可以得到桥梁结构的固有频率、振型和振幅等信息。
在进行模态分析时，研究人员需要使用一种合适的振动测试方法，常见的方法包括加速度传感器法、激光测振法和应变测量法等。
通过这些方法，可以获取桥梁结构在不同状态下的振动响应数据。
然后，利用相关的数学算法，如有限元法和主成分分析法等，对振动响应数据进行处理，得到桥梁结构的模态特性。
这些模态特性可以用来评估桥梁结构的稳定性和安全性，为进一步进行振动控制提供依据。
二、振动反馈控制振动反馈控制是一种通过反馈控制手段来消除桥梁结构振动问题的技术。
具体而言，它通过在桥梁结构中布置传感器和执行器，实时检测和调节桥梁结构的振动状态，以减小振动幅度和保证桥梁结构的安全性。
在振动反馈控制中，传感器被用来感知桥梁结构的振动状态，通常使用加速度传感器或应变传感器。
当桥梁结构的振动状态超过一定阈值时，传感器会将信号传递给控制器。
控制器根据传感器信号的反馈信息和设定的控制算法，输出控制信号给执行器。
执行器可以是电磁致动器、油压缸或伺服机构等，它们通过对桥梁结构施加一定的阻尼力或刚度，来实现振动的控制。
通过不断地监测桥梁结构的振动状态并及时调节，振动反馈控制可以有效地减小桥梁结构的振幅，提高桥梁的稳定性和安全性。
在实际应用中，模态分析和振动反馈控制通常结合使用。
模态分析可以提供桥梁结构的振动特性，为振动反馈控制的设计提供依据。
而振动反馈控制则可以根据模态分析的结果，实时监测桥梁结构的振动状态，并进行相应的控制。
机械设计中的非线性动力学分析与动态优化设计探究
2021.12科学技术创新伴随着科学技术的快速发展，机械设计产品更新换代速度不断加快，要求在缩短产品设计周期的同时提高产品设计质量。
而机械产品结构、功能的日渐复杂，给机械设计带来了困难。
运用非线性动力学分析方法及多学科理论解决高维复杂非线性动力学系统动态分析问题，为机械结构优化设计提供有效途径。
因此应加强机械设计中的非线性动力学分析与动态优化设计研究，从而根据力和运动关系加快机械产品优化改进。
1机械设计中的非线性动力学分析1.1机械系统振动分析在轴承、螺旋桨等旋转机械转动的过程中，将产生固有振动频率，与之装配在一起的结构同样会产生振动频率，可能引发结构共振问题，造成机械设备运动期间产生较大振动力，给机械性能带来影响。
因为机械结构局部承受较大振动力，经过长时间运转后会引发结构疲劳现象，容易造成结构断裂、损坏。
而振动问题也属于非线性动力学问题，因为在不同方向上拥有不同振动源。
通过分析机械在力作用下的运动及运动过程中产生的力，能够根据二者关系找到设备存在的缺陷，通过优化结构实现机械运动性能改进。
以轴承系统为例，发生的振动可以划分为扭转振动、回转振动和纵向振动。
按照轴系运动模式，可以确定振动来自螺旋桨和主机两端，受不均匀扭转和不稳定功率输出等因素影响，将给轴系运行带来安全威胁[1]。
实现结构固有振动频率与运转频率分隔，设置合理裕度值，能够防止共振事件的发生，保证系统安全运行。
如万吨级船舶轴系需要维持低转速，确保推力和扭矩值达到预设，因此每秒只有十几转。
在固有频率较低的情况下，根据亚谐振动原理，为避免低阶临界转速现象出现，应设置较大裕度，确保结构无法达到共振效果。
1.2机构运动弹塑性分析随着现代机械向着高精度、高效化的方向发展，机械设备运转速度不断加快，对机械系统材料、几何特性等都提出了一定要求，在构建动力模型时需要完成应力、应变、频率等各种参数计算，确保系统能够达到理想动态特性。
其中，复杂连杆形状带有任意性，边界条件也会随时调整，在给定频率、材料特性等参数条件下，需要对机构运动弹塑性展开分析，以免在动态环境下出现弹性运动与刚性运动耦合问题，造成连杆机构出现低阶临界转速问题。
连接结构接触界面非线性力学建模研究
连接结构接触界面非线性力学建模研究王东;徐超;胡杰;万强;陈红永【摘要】The existence of complex multi-scale,multi-physics and nonlinear behaviors on joint interfaces is mainly response for the complex dynamics of assembled structures.Modeling for mechanical joint interfaces is also a challenging scientific problem,due to the complexity of interface behaviors and difficulties of direct experimental observation.Firstly,the multi-scale physics of contact surface is considered.The namely smooth surface is assumed as a rough surface covered with asperities with random height distribution.The micro-scale stick-slip physics of asperity contact is analyzed to conduct the relationship between the tangential load and deformation.The statistical theory of GW model is used to yield the formulation of total contact load of rough surface and verified by a comparison with published experimental results.Then,an improved Iwan constitutive model is proposed to describe the nonlinear behaviors of joint interface.The nonlinear behaviors calculated by the finite element analysis are used to identify the parameters of proposed Iwan model,and verified by a comparison with the results of finite element analysis.The results show that the total contact load of rough surface predicted by the proposed multi-scale model agrees very well with the experimental results at lower normal load.The nonlinear behaviors predicted by the proposed Iwan model also agree very well with finite element analysis.%连接界面上存在的跨尺度、多物理场和非线性行为是引起结构复杂非线性动力学的主要原因.由于连接界面的力学行为的复杂性,以及难以对连接界面进行直接试验观测,连接界面的力学建模一直是非常具有挑战性的科学问题.本文首先从分析结合面的跨尺度物理机理入手,将名义的光滑平面视作凹凸不平的粗糙面,考虑单个微凸体的黏滑摩擦行为,建立接触载荷与变形的非线性关系,然后采用GW(Greenwood and Williamson)模型数理统计方法建立整个粗糙界面的跨尺度力学模型,并与公开文献中试验结果进行对比.考虑连接界面具有典型非线性特征,提出一种改进的Iwan唯象模型,利用精细有限元方法获得非线性特征结果,采用系统辨识理论建立连接结构的降阶力学模型,并利用有限元结果进行模型验证.结果表明,本文提出的粗糙界面跨尺度模型在法向载荷较小时与试验结果吻合较好,改进的Iwan模型能够较好描述连接界面的非线性特征,并与有限元结果吻合较好.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2018(050)001【总页数】14页(P44-57)【关键词】连接界面;跨尺度;黏滑摩擦;Iwan模型;降阶力学建模【作者】王东;徐超;胡杰;万强;陈红永【作者单位】中国工程物理研究院总体工程研究所,四川绵阳 621999;西北工业大学航天学院,西安 710072;中国工程物理研究院总体工程研究所,四川绵阳 621999;中国工程物理研究院总体工程研究所,四川绵阳 621999;中国工程物理研究院总体工程研究所,四川绵阳 621999【正文语种】中文【中图分类】O342引言大型武器装配结构中存在着多种形式的连接结构,如螺栓、楔环、铆接、过盈配合等.这些结构部组件之间主要是通过各种各样的连接界面传递载荷.连接界面上复杂的接触机理是造成结构出现复杂非线性动力学行为的主要原因[1-2].连接结构动力学问题就成为制约复杂结构动力学分析、高保真预测仿真、设计、优化和控制等问题的关键和瓶颈所在,而其核心问题是建立考虑连接界面非线性行为的力学模型[3-4].连接界面力学建模研究的主要挑战来源于由界面的非线性、时变性、不确定性等引起的跨尺度、多物理场等复杂力学行为,以及对连接界面直接试验观测的困难性[5].振动环境下,连接界面在法向发生接触、分离和碰撞; 在切向发生黏着、摩擦和滑动,这些力学行为都具有明显的非线性和跨尺度等特点.如,界面法向碰撞行为既可能发生在微观尺度上,也可能发生在宏观尺度上; 切向滑动行为既包括微观尺度的滑移,也包括宏观尺度的滑动,结合面微观滑移发生在微纳米尺度上,而宏观滑动则可能发生在毫米尺度以上.学者们通过试验和理论研究发现连接界面上的黏滑行为,表现为恢复力–位移的非线性软化以及迟滞非线性等特征[1-2,6-7].这些行为直接造成了刚度、阻尼的非线性.一方面,刚度随着变形增大而减小,体现为恢复力与位移的刚度非线性软化,且发生宏观滑移之后仍然存在滑移刚度; 另一方面,阻尼随着载荷而变化,表现为恢复力与能量耗散的幂级数特性[7].连接界面非线性力学行为的实验研究主要有两大类,一类是静态实验方法,利用准静态试验机进行静力试验,并结合数字图像处理技术方法开展研究工作[8].另一类是动态实验方法,采用共振实验原理研究典型连接界面的非线性力学行为[9-13].静力试验的主要缺点是分辨率低,实验结果容易被夹具的弹性变形掩盖; 而动态实验法的优点是分辨率高,但控制难度较大.Gaul等[12]对螺栓连接结构施加周期性激励作用,验证了激励力–位移的非线性软化刚度特征,并发现了随着切向载荷的增大,界面逐步从微观黏滑状态演化到宏观滑移状态.Sandia[13]针对螺栓连接结构展开了深入的研究,发现了连接界面的非线性刚度软化、迟滞非线性等特征.此外,学者们也有通过有限元方法得出位移和恢复力的非线性软化刚度特性,揭示连接界面上由微观滑移引起的刚度软化、迟滞非线性等行为[14-15].结构动力学问题中,传统上对于连接界面一般采用忽略非线性或采用等效线性化方法进行处理[1,5].等效线性化方法就是用线性的等效刚度和等效阻尼元件模拟连接界面,模型参数利用模态试验结果进行标定.该处理方法忽略了界面非线性的本质,常常出现在某种试验条件下标定的模型无法预测其他试验条件下结构动力学行为.因此,这些处理方法无法满足连接结构非线性动力学研究的需要.随着接触力学、摩擦学和塑性力学等学科的发展,人们开始从不同的角度考虑连接问题,建立了多种描述连接界面非线性行为的模型.第一类方法是基于唯象的数学模型,采用数据拟合的方法描述结合面上的黏滑摩擦行为[16-17].经典的模型主要有考虑黏滑特性的Iwan弹簧滑块模型[18-19]、Lugre 毛刷模型[20]、Valanis 模型等[20],如图1所示.以上模型都是根据连接界面上黏滑行为抽象出来的唯象数学模型,多数参数缺少真实的物理意义,难以描述表面粗糙度特征和接触机理对非线性行为的影响.相比于Lugre毛刷模型和Valanis模型,Iwan模型能够更好描述连接界面的微观黏滑演化过程,而且模型的部分参数具有一定的物理意义.Iwan模型是由弹簧和滑块组成的Jenkins单元串联或并联组成的弹簧滑块系统,通过引入概率密度函数描述Jenkins单元临界滑移力的分布特性,根据受力平衡方程建立恢复力–位移关系的唯象模型.Segalman[21]采用幂函数描述Iwan模型滑块临界滑移力分布,提出了一种描述连接界面刚度非线性的四参数模型,但模型不能描述宏观滑移后的剩余刚度.李一堃等[7,22]提出可以同时描述微观滑移阶段能量耗散幂次关系和宏观滑移阶段残余刚度现象的六参数Iwan 模型.Song 等[23-24]对 Iwan 模型并联一弹簧,描述连接界面发生滑移之后的刚度,提出一种修正的Iwan连接梁单元,这种单元可以直接应用到连接梁结构的有限元仿真程序中.图1 连接结构典型的“唯象”模型[20]Fig.1 Typical constitutive model for joints[20]第二类方法是考虑结合面上微观接触机理和粗糙度特征等进行建模.从实际接触表面是绝对粗糙的假设入手,首先分析界面微凸体的弹塑性接触变形和黏滑摩擦行为,再结合粗糙面形貌参数和数理统计分析方法推导出接触界面的非线性力学模型[25-26].相比于第一类方法,后者能够比较真实地反映结合面上的接触机理,也能够较好地表征粗糙度参数对黏滑行为的影响,而且模型的参数大多都具有明确的物理意义. 由于对摩擦机理的认识不充分,结合面切向建模的研究成果不多,研究者大都采用弹性接触理论和库仑摩擦关系进行研究[27-28].Mindlin等[29]基于经典的Hertz理论与局部库仑摩擦定律给出了弹性变形下切向力和相对位移的关系,将微凸体的滑移行为分为黏着和滑移.Phan-Thien[30]将GW模型和经典库仑摩擦定律相结合,导出了粗糙表面切向接触力学模型,该模型假设结合面切向临界滑移力为常数,并假设微凸体处于非黏即滑的状态,忽略界面滑动前的微观滑移现象,因而导出的切向力和相对位移为简单双线性关系.Jones[31]以GW模型为基础,给出了一种考虑微凸体微观滑移行为的结合面摩擦模型,该模型认为切向相对位移和法向变形与切向的恢复力都有关,并且当法向变形不变时切向恢复力和相对位移表现为线性关系.Farhang等[32]假设粗糙表面微凸体高度分布为正态函数,结合Mindlin解将切向恢复力转化为法向接触载荷进行计算,导出了界面切向位移和切向恢复力、界面能量耗散之间的关系,并采用级数展开的方法近似地研究了切向恢复力、相对位移、能量耗散之间的非线性关系.王东等[33]考虑单个微凸体黏滑行为和粗糙度为指数函数分布建立了一种考虑粗糙结合面黏滑摩擦行为的参数化力学模型.Paggi等[34]考虑单个微凸体弹性接触影响的局部滑移行为,基于幂函数的粗糙度分布函数研究了黏着区域对粗糙面滑移力和滑移刚度的影响.牛成超等[35]建立了基于微凸体弹性接触的粗糙表面摩擦模型,并利用该模型模拟心盘的摩擦行为.李玲等[36]考虑微凸体弹性接触,利用平均法建立了栓接结合部等效线性化刚度和阻尼模型.以上的模型都只考虑微凸体的弹性接触行为. 随着接触载荷的增大,界面上将可能出现塑性变形的微凸体[37].Fujimoto等[38]根据试验研究和理论分析给出了完全塑性变形情况下切向恢复力与相对位移的双线性关系,这为考虑接合面塑性变形影响的黏滑摩擦建模奠定了基础.Eriten等[39-40]考虑不同法向载荷下微凸体弹塑性变形对摩擦系数的影响,利用数理统计分析方法建立了粗糙界面跨尺度力学模型.王东等[41-42]建立了一种同时考虑微凸体弹、塑性变形影响的黏滑摩擦模型,但只考虑了完全弹性和完全塑性两种情况,忽略了弹塑性变形的影响.本文从连接结合面上单个微凸体的接触行为着手,建立考虑微凸体恢复力、变形或位移、能量耗散的非线性关系,然后采用数理统计分析的方法建立跨尺度力学模型,或采用赋予唯象模型参数物理意义的途径建立结合面降阶力学模型.针对整体装配结构中连接界面局部非线性特征,建立等效的降阶非线性力学模型.1 基于统计分析的跨尺度力学建模研究表明[26,31],两个粗糙表面间的接触可以等效为一个粗糙面与一个光滑面之间的接触问题,因此本文只考虑一粗糙表面与一理想刚性平面的接触问题.与GW模型基本假设类似,不考虑刚性平面的粗糙度,认为粗糙表面覆盖着高度随机分布的顶端为球截状的微凸体,微凸体的曲率半径相同,高度服从高斯分布,并假设微凸体之间变形互不耦合.如图2所示,R为微凸体曲率半径,z为微凸体的高度,d为刚性平面与微凸体平均高度平面间的距离,h为微凸体平均高度与粗糙面平均高度平面间的距离.刚性平面受到法向载荷与粗糙表面接触,微凸体将发生变形,其法向接触接近量为图2 粗糙结合面接触示意图Fig.2 Contact schematic of rough surface with multi-summits1.1 微凸体接触建模如图3所示,在法向载荷N的作用下,两球被压紧,形成接触半径为a的圆形区域,在接触区域内结合面的摩擦系数为f.受到切向载荷T的作用后,产生切向相对位移为δ.由于接触压力沿接触表面分布具有不均匀性,在接触区边缘发生滑移,并且随着切向载荷的增大,滑动区域不断向接触中心演化,在接触区域形成滑动区和黏着区两部分.图3中,中心黏着区的半径为 c,滑动区为宽度为 a – c,p 表示法向接触压力分布,q表示由于黏滑作用产生的切向力分布.图3 单个微凸体黏滑状态示意图Fig.3 Schematic of stick-slip zone for asperity contact经典Mindlin理论给出了弹性接触界面上接触压力和切向剪力的分布规律,以及切向载荷与相对变形之间的关系为式中,m表示与材料、接触特性等效相关参数集合,δ0为弹性微凸体发生宏观滑动时的切向相对变形式中,G 为等效剪切模量,G=G1/(2 – v1),G1 为微凸体材料剪切模量,v1为微凸体材料泊松比.Hertz弹性接触理论给出了法向接触变形与法向接触载荷、实际接触半径之间的关系为式中,E 为等效弹性模量为微凸体杨氏模量.将式(4)代入式(3),可得弹性微凸体发生宏观滑动时刻的切向相对变形为将式(4)和式(5)代入式(2),可以得到显含法向接近量的切向载荷和相对变形的关系式式(6)描述了在单向拉伸切向载荷作用下,切向恢复力与相对变形的关系.式中第一部分为黏着微凸体贡献的恢复力,而第二部分为滑移微凸体的贡献.在给定法向接触变形的情况下,随着切向变形的增大,切向恢复力也逐渐增大,直至滑移情况,描述了微凸体逐渐从黏着接触状态演化到完全滑动状态的演化过程.在周期性激励作用下,恢复力–相对变形的关系分为黏–黏 (stick-stick),黏–滑(stick-slip),滑–滑(slip-slip)三种状态,如图4所示.在周期性载荷作用下,微凸体在卸载过程中的恢复力可以表示为式中,临界切向滑移变形对应的法向接触变形为图4 黏–滑摩擦行为影响的迟滞曲线Fig.4 Hysteresis curve affected by stick-slip frictional由式(7)可知,微凸体恢复力满足Masing映射准则[1,13]单个微凸体接触的能量耗散满足1.2 粗糙面接触行为在粗糙表面法向接触问题中,GW模型假设微凸高度服从高斯随机分布,采用概率统计分析的方法建立了整个粗糙表面法向载荷与法向接触变形之间的关系.假设微凸体高度随机分布规律为高斯分布,其函数式为式中,σ为高斯分布方差.整个粗糙面上的切向接触载荷为将式(4)代入式(12),可得正则化之后的切向接触载荷定义为粗糙面同时受到切向和法向载荷作用,界面上微凸体的黏滑状态与切向变形和法向变形都有关,如图5所示.图5中,曲线上微凸体处于临界滑移状态; 曲线之上方的微凸体发生滑移,但是,法向接触变形增加将导致部分微凸体从滑移状态转化为黏着状态; 曲线之下方的微凸体都处于黏着状态.基于数理统计分析的方法,由式(7)计算整个粗糙面上卸载过程对应的切向恢复力为将式(12)代入式(15),可得同时,得到粗糙面在加载过程中的恢复力为由式(17)可知,粗糙界面恢复力也满足Masing映射准则.在一个循环加载过程中,单位周期的能量耗散可以表示为图5 粗糙面上黏着和滑移微凸体分布Fig.5 Distribution for stick and slip asperities of rough surface1.3 参数验证根据以上的推导过程,采用文献[42]中不同粗糙面参数预测切向恢复力,粗糙面参数与塑性指数关系如表1所示,预测的切向恢复力如图6所示.由图6可知,在微观黏滑阶段,随着切向变形增大,切向载荷曲线的斜率逐渐下降,表现为连接结构刚度的软化.由黏着作用产生的切向力先增大后减小,而由滑移产生的切向力逐渐增大,直到最后完全由滑移作用产生切向恢复力,表现为宏观滑移,那么连接结构产生切向力逐渐由黏着作用演化为滑移作用,能够较好反映连接结构的黏滑演化过程.随着塑性指数的增大,最大静摩擦力逐渐减小,量纲一化的滑动摩擦力接近于1,而连接界面上的摩擦系数满足由上式可知,微凸体局部库伦摩擦定律的摩擦系数等于粗糙面平均摩擦系数,那么对于微观尺度的摩擦定律在宏观尺度照样适用.表1 粗糙面特征参数和塑性指数关系Table 1 Surface properties and plasticity indexMaterial properties E=2.07 × 105,v1=v2=0.29,H=1.96 × 103 Roughness properties σ/R β ψ σ 1 0.000 160 0.033 9 0.7 0.822 5 2 0.000 302 0.041 4 1.0 0.884 9 3 0.000 658 0.047 6 1.5 0.914 3 4 0.001 144 0.054 1 2.0 0.934 3图6 塑性指数影响的切向恢复力与相对变形Fig.6 Tangential deformation versus total tangential load of rough surface with different plasticity index 由图7可知,切向接触载荷随着接触变形的增大而增大,但是曲线的斜率逐渐减小为0,表明界面刚度的非线性软化特征.随着平均接触距离的增大,相同的切向接触载荷将产生较小的接触变形.由式(13)可知,切向接触载荷由平均接触距离和切向变形共同决定的(d + ωs),当式 (13)给定切向接触载荷时,较大的平均接触距离将对应较小的切向变形.因此,在图中平均接触距离较大的曲线在接触距离较小之上,表现为更大的连接刚度,也更加容易进入宏观滑移阶段.由表 1 可知,塑性指数越大,σ 越大,切向接触载荷由(ω + d + ωs)/σ 决定,当式 (13)给定切向接触载荷时,较大的粗糙面参数使得 (ω + d)/σ 较小,将对应较大的切向变形.因此,在图中粗糙面参数较大的曲线在粗糙面参数较小之下.在周期循环加载过程中,恢复力与相对变形曲线围成区域的面积为单位周期的能量耗散,如图8所示.由式(13)、式(16)～式(18)计算相对变形与能量耗散的关系,如图9所示.由图9中能量耗散与切向变形幅值幂级数关系可知,随着塑性指数的增大,能量耗散的值偏低,这是由界面粗糙度增加造成的.界面粗糙度增大,塑性指数增大,临界接触接触变形减小,那么发生黏着的微凸体贡献将增大,造成能量耗散偏低,但是能量耗散与变形幅值的幂级数并不会减小,反而增大,因为黏着微凸体的幂级数是大于2的,而滑移微凸体的能量耗散那幂级数是等于2的.1.4 试验验证为了验证本文粗糙界面跨尺度建模方法正确性,将本文提出的模型与公开文献[40]中试验数据进行对比,文献中试验装置如图10所示,对比结果如图11所示.由图11可知,在法向界面接触载荷较小时,模型预测切向载荷与试验吻合较好,但是在接触载荷较大时,差异较大,最大的误差达到 100%,这种偏差是模型忽略了界面上塑性变形微凸体对切向载荷的贡献.在载荷较小时,界面上微凸体发生塑性变形较少,而在较大的界面接触载荷作用时,界面上的接触行为主要受到塑性变形的微凸体的影响.图7 粗糙面不同接触特征影响的切向恢复力与相对变形Fig.7 Tangential deformation versus total tangential load of rough surface affected by roughness parameters图8 迟滞曲线与能量耗散关系Fig.8 Relationship between hysteresis curve and energy dissipation图9 塑性指数对能量耗散的影响Fig.9 Energy dissipation versus total tangential deformation with different plasticity index图10 试验装置示意图[40]Fig.10 Profile of experimental equipment[40]2 基于唯象模型的降阶力学建模2.1 改进Iwan模型为了获得栓接结合部刚度软化的非线性特征[6-7,24],设计如图12(a)所示的搭接连接系统模型,模型中下连接件固定,上连接件考虑为一维运动的刚体.x,q分别为结合面的相对位移、对应的临界滑移力,连接界面的柔性采用Iwan模型进行描述.如图12(b)所示,Iwan模型采用n→∞个Jenkins单元并联组成的子系统描述结合面多尺度黏滑摩擦行为.考虑螺栓结构在发生宏观滑移后仍具有一定的刚度,所以再并联一个刚度kα=αk 的线性弹簧单元描述发生宏观滑动后的剩余刚度,如图13(a)所示.子系统中每个线性弹簧的刚度都为 ki=k/n,但每个滑块的临界滑移力qi并不相同.当系统切向受载时,临界滑移力小的滑块先发生滑动,随着相对位移增大,越来越多的滑块发生滑移,直至全部滑块都发生滑移,即结合界面出现了宏观滑动.因此,该模型能够复现连接界面上跨尺度黏滑摩擦过程.图11 与试验结果的对比Fig.11 Comparison of proposed model and experimental test under different normal contact load图12 搭接结构和 Iwan 模型Fig.12 Schematic of joint interface and Iwan model一种改进的Iwan模型被用来描述连接界面刚度非线性软化和能量耗散幂级数特性两个特征.与Song等[23-24]提出的改进Iwan相同,但是滑块临界滑移力的分布不是均匀的,采用一种指数形式的概率分布.图13 修正 Iwan 模型与迟滞曲线Fig.13 Schematic of modified Iwan model and hysteresis curve式中,fq为系统发生宏观滑动时对应的临界宏观滑移力,χ 为幂指数,χ < 0.滑块临界滑移的分布规律满足归“1”,即所有滑块的概率分布之和为1,概率分布函数的系数满足对处于初始平衡位置的Iwan模型受到单调载荷的情况,其恢复力的一般表达式为将式 (20)代入式 (22)中,可得上式中,第一部分为Jenkins单元贡献的连接恢复力,而第二部分为并联弹簧的贡献,αkx.对于式(23),如果参数χ=0,模型将退化为 Song 的修正Iwan 模型,当参数χ=–1 或 fq=0,模型都将退化为一线性模型,而此时的连接恢复力为为了使模型更加具有普适性,将式(23)改写为无量纲形式式中,r 为无量纲相对变形,r=x/xs.xs 宏观滑移变形,Fs 宏观滑移力,表示为对于式 (25),微观黏滑段 (r < 1)表达式与Segalman 四参数模型相同,当参数α=0 时,模型将退化为Segalman的四参数Iwan模型.本文模型在宏观滑移段(r > 1)描述的恢复力–变形存在非零的滑移刚度,而且本文提出的模型描述的恢复力–变形在黏滑过渡点 (r=1) 是光滑连续的,这也与Segalman四参数Iwan模型有所不同.根据式(25)可知,宏观滑移阶段的滑移刚度可以表示为在文献[1,13]中,并联 Jenkins 单元的 Iwan 模型是满足Masing映射准则的.在周期载荷作用下,将循环加载过程分为加载和卸载,根据加载激励的幅值,将两个过程恢复力定义为式中,x0为加载激励幅值对应的变形值,定义为将式(22)代入式(29)、式(30),可得再将式(20)、式(21)分别代入到式(32)、式 (33),可得与式(18)计算方法相同,恢复力–相对位移曲线的面积为单位周期的能量耗散.将式(34)和式(35)代入式(18)中,同时将能量耗散转化为无量纲形式.本文模型能量耗散的幂级数为(χ + 3),这与Song模型是不同的,Song模型的幂级数值为3.因此,由式 (25)和式 (36)可知,本文提出的修正Iwan模型是Segalman和Song模型的推广,即参数取特定值时,本文提出的模型将退化为Segalman 或 Song 的Iwan 模型.由这两式可知,恢复力和相对变形的关系可以由四参数{α,χ,xs,Fs}进行表示,本文提出的四参数可以描述连接界面刚度软化和能量耗散幂级数特征,这与文献[7,22]中六参数有所不同.参数xs为宏观滑移相对变形,由结合面材料属性、法向作用力、摩擦系数等决定. 参数Fs为宏观滑移恢复力,由结合面法向作用力和摩擦系数决定.参数χ决定能量耗散与切向相对位移的幂级数值,参数反映在周期激励作用下能量耗散和周期振荡作用力幅值(相对位移最大值)的幂级数特性,由结合面材料属性和接触条件决定.参数α为剩余刚度系数,决定发生宏观滑移的状态,参数反映切向宏观滑移力,由结合面法向作用力和摩擦系数决定.参数Fs和xs一起决定微观滑移向宏观滑移过渡的状态,以及振荡载荷作用下能量耗散的幅值特性,是反映切向黏滑过程的主要特征量一起决定微观滑移向宏观滑移过渡的状态,以及振荡载荷作用下能量耗散的幅值特性,是反映切向黏滑过程的主要特征量.由式(25)和式(36)可知,无量纲化恢复力和能量耗散只与参数α和χ有关.利用本文模型预测连接结构刚度软化和能量耗散幂级数特征,如图14所示,其中参数选取为: χ=–0.5,α=0.1,0.2,0.3,0.4.图14 改进 Iwan 模型参数验证结果Fig.14 Parameters investigation for proposed Iwan model由图14可知,剩余刚度系数越大预测宏观滑移阶段的滑移刚度越大,但在微观黏着阶段的刚度却更小.黏着阶段能量耗散与相对变形幅值的幂级数值为(χ + 3),在宏观滑移阶段斜率值有所下降.2.2 参数辨识方法由式 (25)、式 (29)、式 (30),可知,在周期载荷作用下,连接界面恢复力与相对变形的关系可由图15表示.图15 连接界面恢复力与相对变形Fig.15 Recycle force of joint interface for unloading and reloading process由图15可知,在单个循环周期内,恢复力和相对变形存在4个转折点,包括最大值、最小值点(x1,f1)/(x3,f3)和加载、卸载黏滑分界点 (x2,f2)/(x4,f4).加载和卸载阶段。
非线性理论在建筑设计中的应用
第３３卷第３６期２００７年１２月山西建筑ＳＨＡＮＸｌＡＲＣＨＩＴＥＣＩＺＩＲＥＶｄ．３３Ｎｏ．３６Ｄｅｃ．２００７２３·文章编号：１００９－６８２５（２００７）３６－００２３－０２非线性理论在建筑设计中的应用龚晓文王小凡摘要：对非线性理论进行了介绍，从突变、混沌、分形等方面进行了探讨，归纳了非线性思维作用于建筑的几种形式，以提高人们对非线性理论的了解，促进非线性理论在建筑设计中的应用。
关键词：线性，非线性，错位手法，自相似中图分类号：ｎＪ２０ｌ文献标识码：Ａ１非线性（Ｎｏｎ．１ｉｎｅａｒｉｔｙ）释义非线性的界定是相对线性而言的。
线性关系指物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量；而在非线性关系里，用于描述一个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变量或其他变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方。
比如一次函数关系表现为线性，多次函数就呈非线性。
非线性已在多个学科得到认同和应用，主要涉及耗散理论、协同学、突变论、混沌学及分形理论。
伴随着对它的深入挖掘，建筑及建筑设计也在多个方面被揭示出非线性的本质和特征。
特别是后现代主义时期以来，许多新锐建筑师采用的扭转、错位、激变、对抗等手法和理念，已经是自发地使用到了非线性理论中的核心思想，即建筑要素以不均匀、不连续的状态发生改变。
然而要做到能自觉地利用非线性理论解决建筑设计中的问题，首先要归纳和提取非线性思维作用于建筑的几种形式。
２突变（Ｃａｔ嬲ｔｍｐｈｅ）——对稳定与均衡的质疑突变论是研究客观世界非连续性突然变化现象的一门新兴。
学科，其内容简单地说，是探索从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。
突变论提出，高度优化的设计很可能有许多不理想的性质，因为结构上最优，常常联系着对缺陷的高度敏感性，容易产生特别难于对付的破坏，以致发生真正的“灾变”。
高速列车轮轨系统非线性动力学模型数值计算
高速列车轮轨系统非线性动力学模型数值计算高速列车轮轨系统非线性动力学模型数值计算是现代运输领域一个重要的研究课题，也是一个复杂的问题。
本文试图从多个角度来探讨这一问题，包括高速列车轮轨系统的研究背景、相关技术的介绍、常用的数值方法和模型分析等方面。
一、研究背景高速列车的轮轨系统是指列车轮子与铁轨之间的接触面，它是列车的运动控制和路面状况诊断的重要部分。
轮轨系统的非线性动力学模型数值计算是指对这一系统进行精确建模，并利用计算机模拟这一系统的运动和响应过程。
在这一领域，有关的研究内容包括车轮和铁轨的动力学特性、轮轨接触力的计算和分析、轮轨系统的振动问题等。
二、相关技术介绍在高速列车轮轨系统的研究中，有几项技术是非常重要的，它们分别是:1. 车轮铁轨滚动接触力的计算和分析技术：轮轨接触力是指列车在高速运行时轮子与铁轨之间所产生的力，这种力对列车的稳定性和安全性有很大的影响。
要精准地计算这种力，需要细致地研究车轮和铁轨的接触面形状、材料参数、载荷等因素。
2. 应力分析和振动分析技术：在高速列车行驶中，车轮和铁轨都会受到很大的压力和振动力，这些力会导致它们产生应力和振动。
要准确地模拟这些过程，需要运用有关的应力分析和振动分析技术，包括有限元分析、模态分析和频域分析等。
3. 数值计算方法：对于高速列车轮轨系统的非线性动力学模型数值计算，需要使用一系列数值计算方法，包括微分方程数值解法、偏微分方程数值解法、常微分方程数值解法和求解线性代数方程组的方法等。
三、常用的数值方法在高速列车轮轨系统的非线性动力学模型数值计算中，有几种常用的数值方法：1. 基于有限元理论的模拟方法：这种方法利用有限元分析的技术，将轮轨系统的各个部分离散化，然后建立数学模型进行模拟。
这种方法具有高效、精确、适用面广等优点，被广泛应用于车轮铁轨的接触力分析和振动分析中。
2. 先进的逆向设计技术：逆向设计技术是指通过反推物体的形状、轮廓、材质和运动特性等信息，来重新设计物体的技术。
模态级数理论的研究现状与展望
＝ ＋∑ ∑巩 ＋∑ ∑ ∑Ｄ ， ＋ Ａｊ ｓ ｙ ， Ｙ Ｙ
（） ３
统动态稳定性 的影响。参数 包含 了原系统 内部结 构的非线性成分 ， 描述了模式 和复合模式 （ ， 间的 ｋｚ ） 非线性相互作用。
式 中 ， 表 示 导致二 次 准谐 振 的所 有 三元 组 （ ， Ｒ Ｊ ｝
ｉＡ 寺＝＝ ＋ １１１ ＝ｔ ｆ ＋ １１ 巩 吉＝＝ Ｐ Ｖ ＯＲ Ｐ
Ｑ Ｒ ＋ …
．
ｌ）Ｙ ＝［１Ｙ ， Ｙ ｒ∈ 为 ｙ的初始状态。 ， ；ｏ Ｙ ，０…，＾ ｊ ０２ ｏ
５７０ ） ５ ６ ０
摘 要： 首先简单介绍常用的电力系统动 态分析方法 ， 接着介绍 了一种新的分析非线性 系统动态特性的方法一模 态级数 法 ， 其主 要研 究 内容 。 最后 总结 了文献 中的 主要 成果 ， 及 并对进 一步研 究提 出 了展 望 。
关 键词 ： 电力 系统 ； 线 Ｔ １ 文献 标识码 ： Ｂ
（ ． ｌｃ ｉ ｌ ｎ ｉｅｒ ｇＣ ｌ ｇ ｆ ｕｚｏ ｎｖｒｉ ， ｕｙｎ ５ ０ ３ Ｃ ｉａ ２ Ｅ ｓ Ｉｎ ｒ ｎ ｏｉ １ Ｅ ｅｔ ｃ ｇ ｅ ｎ ｏ ｅｅｏ ｉ ｕ Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｇ ｉａ ｇ５ ０ ０ ， ｈｎ ；． ａｔ ｎ ｅ ｇｌ ｒａＥ ｎ ｉ ｌ Ｇ ｈ ｔ Ｍｏ ａ
ｍｏ ａ ｅ ｅ ｎ ｉ ｅ ｅ ｃ ｏ ｔ ｎ ｓｏ ｄ ｌｓ ｒ ｓｉ ｉ ｔ ｅ ｉ． ｉ ａ ｌ ｅ ｍａｎ ｒ ｓ ｌ ｅ ｐ ｐ ｒ ｒ ｕ ｄ ｌ ｓ ｒ ｓ ａ ｄ ｍａｎ ｒ ｓ ａ ｈ ｃ ｎ ｅ ｔ ｆ ｉ ｒ ｍｏ ａ ｅ ｅ ｔ ｓｈ ｓ Ｆ ｎ ｙ ｔ ｉ ｅ ｕｔ ｉ ｔ ａ ｅ ｓａ ｅ ｓ ｍｍａ ｉ ｎｈ ｓ ｌ ｈ ｓ ｎｈ — ｒｚ ｄ， ｎ ｅ ｖ ｅ ｏｎ ｆｔ ｅ ａ ｔｏ ｒ ｔ ｅ ｆ ｒ ｅ ｏ ｋ ｉ ｒ ｓ ｎ ｅ ． ｉｅ ａ ｄ ｔ ｉｗｐ ｉ ｔｏ ｕ ｒｆ ｕ ｔ ｒｗ ｒ ｓ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｈ ｈ ｈ ｏ ｈ ｈ
非线性振动系统的模态识别与控制研究
非线性振动系统的模态识别与控制研究摘要：非线性振动系统的模态识别与控制是振动工程领域的重要研究方向。
本文概述了非线性振动系统的基本概念和特征，综述了非线性振动系统的模态识别和控制方法，并探讨了当前该领域的研究热点和挑战。
最后，展望了未来非线性振动系统模态识别与控制研究的发展方向。
1. 引言振动系统是一种常见的物理系统，其研究对于工程应用具有重要的意义。
然而，真实世界中的振动系统通常表现出非线性行为，这给其模态分析和控制带来了困难。
2. 非线性振动系统的特点非线性振动系统与线性振动系统相比具有以下特点：频率响应曲线的非线性形状、谐波失真、倍频分解、周期倍频、内共振、分岔现象等。
这些特征使得非线性振动系统的模态识别和控制变得复杂而困难。
3. 非线性振动系统的模态识别方法（1）小振动模态识别方法：基于线性模态分析的方法，如模型参数识别、频率响应法等。
（2）大振动模态识别方法：基于非线性特征的方法，如瞬态共振法、基频与倍频分析法等。
4. 非线性振动系统的模态控制方法（1）线性控制方法：采用传统的线性控制理论，如反馈控制、前馈控制、自适应控制等。
（2）非线性控制方法：针对非线性振动系统的特点，采用非线性控制理论进行控制设计，如滑模控制、逆优化控制等。
5. 非线性振动系统模态识别与控制的研究热点（1）非线性振动系统的特征提取方法：通过提取系统的非线性特征参数，实现模态识别和控制。
（2）非线性振动系统的建模方法：由于非线性振动系统的复杂性，建立准确的数学模型是非常困难的。
（3）非线性振动系统的多模式识别方法：考虑到振动系统可能存在多个模态，将传统的单模态识别方法拓展到多模态识别。
（4）非线性振动系统的智能控制方法：结合人工智能技术，发展智能化的非线性振动控制方法。
6. 非线性振动系统模态识别与控制的挑战（1）模态识别精度：由于非线性振动系统的复杂性，模态识别的精度还存在一定的提升空间。
（2）控制效果评价：非线性振动系统的控制效果评价指标相对于线性系统要更多样化和复杂化。
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x1 = u
y1 = v (7)
xi = Xi ( u , v)
yi = Y i ( ui , v) ( i = 2 , 3 , …, N )
(此处 x1 不是模态的结点 , 否则应取 x j = u , yj = v , j ∈{ 2 ,3 , …, N } . 将 ( 7) 代入 (6’) 的后 2 ( N - 1) 个方程 , 得到 Xi , Y i 关于 u , v 的偏微分方程组. 解出 Xi , Y i , 代入 (6 ’) 的前两式 , 得非线性模态上的动力学方程为
( 2 M ) 不变流形 (10) 上的运动.
x = X ( Z , Z)
(10)
该流形具有如下性质 : 通过系统的平衡点 , 并在该点处与相应线性化系统的 2 M 维线性特征 子空间相切. (10) 中 Z 为 M 维复变量
Z = ( Z1 , Z2 , …, ZM )
而 Z 则表示其复共轭 ,
Z = ( Z1 , Z2 , …, ZZM )
Nayfeh , Chin , Nayfeh (1994) [21 ]研究线性部分解耦的有限多自由度系统的内共振非线 性模态时 , 也使用了 Normal Form 方法 (原文称为复不变流形法) , 不过采用的是文 [ 20 ] 方法的一种特殊形式.
连续系统的非线性模态的研究 , 近来也日趋活跃. King 和 Vakakis 于 1993 提出了保守非 线性系统基于能量的非线性模态的计算公式[22 ] . Shaw 和 Pierre 于 1994 年将他们的构造非线 性模态的方法推广到一维连续系统[23 ] . 最近 , 他们又用理论分析和数值计算方法 , 考察了 非线性模态的不变性及模态动力学近似 , 表明系统作纯非线性模态运动时 , 该非线性模态的 三阶近似即能精度很高地反应系统的 ‘‘真实’’响应 , 而要得到相同程度的近似则要利用五 个线性模态来分析 , 说明利用非线性模态分析系统的响应可以大大减少工作量. Nayfeh[24 ] 用多种方法分析了连续系统的非线性模态. 最近 Nayfeh (1995) [25 ]又提出了构造非线性模态 的规范形方法 , 并对多尺度法 、规范形方法 、Shaw 和 Pierre 法[23 ] , King 和 Vakakis 法作了 比较[22 ] , 与此同时吴 (1996) [20 ]又将 [ 19 ] 的工作推广到连续系统的情形.
直到 1993 年 , Shaw 和 Pierre[18 ] 引用动力系统理论中不变流形的概念来定义非线性模 态 , 将非线性模态定义为系统相空间中二维不变流形上的运动. 这一开创性的工作 , 将该领 域的研究带入了新的发展阶段.
Shaw 和 Pierre 定义的非线性模态 , 不仅包含了相似模态及非相似模态 , 还包括了一类 更广泛的行波运动. 他们提出的构造非线性模态的方法 , 不仅可用于保守系统 , 还可用于非 保守系统 、陀螺系统.
(4)
(a) 相似模态 图 1 Rosenberg 非线性模态
(b) 非相似模态
式 (4) 中至少有一个 xs ( s ∈{ 1 ,2 , …, N } ) 是非线性函数. 这两种模态上的运动在系统
构型空间中投影分别为直线 (图 1a) 和曲线 (图 1b) . 而非线性模态上的动力学 , 则由单自
因而所有质点 x i 的位置都可用任一质点 (记为 x 0 ) 的位置确定 ,
xi = Xi ( x0)
(2)
在这种定义下 , 非线性模态分为 (1) 相似模态
x i = ci x 0 ( ci为实常数) ( i = 1 , 2 , …, N )
(3)
(2) 非相似模态
x i = X i ( x 0) ( i = 1 , 2 , …, N )
211 Rosenberg[ 1～5] 定义 Rosenberg 理论认为非线性保守自治系统
·290 ·
¨x + f i ( x ) = 0 , ( i = 1 , 2 , …, N )
(1)
的非线性模态是这样的一种运动 : ①所有质点都进行同一周期的运动 (不必是简谐的) , ②所有质点都在同一时刻通过其平衡位置 , ③所有质点同时达到位移最大.
u=v
u = - f 1 ( u , X2 ( u , v ) , …, X N ( u , v) ; v , Y 1 ( u , v ) , …, Y N ( u , v) )
(8) )
在 (6) 中 f i ( x , x ) 不一定为有势力 (与速度项 x 无关) , 因此 Shaw 和 Pierre 关于非线 性模态的这种定义 , 除适用于保守系统外 , 还适用于非保守系统. 然而 , 自然界中还存在大 量的系统 , 其运动方程
·292 ·
+
-
的共振项 Zm Zm ( m + , m - 分别为 Z , Z 的指数向量) 组成. 根据模态动力学方程 (11) 的
不同 , 非线性模态分为
(1) 非耦合模态 ( M = 1)
∞
Z = iωZ + ρ Ck ( Z Z) Z k =1
(11 a)
(2) 耦合模态 ( M Ε 2)
Zs = iωs Zs + f s ( Z1 Z1 , Z2 Z2 , …, ZM ZM ) Zs ( s = 1 , 2 , …, M )
(11 b)
(3) 内共振模态 ( M Ε 2)
Zs = iωs Zs + f s ( Z1 Z1 , …, ZM ZM ) Zs + f sr ( Z , Z) ( s = 1 , 2 , …, M ) (11 c)
最近 , 吴志强 、陈予恕 (1996) [19 ]将 Shaw 和 Pierre 的思想做了推广. 他们认为非线性 模态为系统模态空间中偶数维不变流形上的运动 , 并根据模态上的动力学方程 , 将非线性模 态分为 : 非耦合模态 、内共振模态. 他们将[20 ] 提出的直接求解非线性动力系统规范形 (Normal Form) 的方法用于非线性模态的构造 , 得到的模态上的动力学方程 (即模态振子) 具有 Normal Form 形式 , 这种形式最简的方程 , 不仅能反映系统在非线性模态上的动力学行 为 , 而且还易于得到模态上运动的非线性频率 、非线性稳定性等信息. 而 Shaw 的方法得到 模态振子是普通的单自由度非线性方程 , 要获得模态运动的非线性特征 , 如频率等 , 还须用 摄动方法作进一步的分析.
关键词 非线性模态 , 模态分岔 , 模态动力学
1 非线性模态研究的发展概况
非线性模态的研究始于 50 年代末 , 并且从一开始即与工程应用的需要密切相关. 当前 线性模态理论已经成熟 , 并且在工程应用中取得了重大成果. 然而 , 线性理论忽略了实际系 统固有的非线性 , 有时会导致定性的理论错误 , 特别是在共振情形下 , 出现了除线性模态以 外的模态. 正是在这种情况下 , 力学工作者开始了非线性模态的研究. 研究的兴趣 , 首先集 中在非线性共振方面 , 并且着眼于保守系统的非线性模态的研究. 这种研究还与数学家进行 的关于 Hamilton 系统的周期解数目和稳定性的研究密切相关 , 但为了保持合理的篇幅 , 也 为了不使所涉及的问题范围太大 , 我们的综述将不包含这方面的工作.
( 6′) ·291 ·
给出了基于动力系统理论中不变流形这一概念的非线性模态的定义.
212 Sha w 和 Pierre[ 18] 模态 Shaw 和 Pierre 理论认为 , 非线性自治系统 (6) 的非线性模态为发生在系统相空间中二
维不变流形上的运动. 该流形具有如下性质 : 通过系统稳定的平衡点 , 且在该点处与相应线 性化系统的二维特征子空间相切.
非线性模态的概念 , 最早由 Rosenberg 等 (1960 ～ 1965) [1～5 ] 引入 , 研究离散 、无阻尼 、 保守非线性系统的自由振动. 他们认为非线性模态是一种运动 , 并根据这种运动在系统构型 (configuration) 空间中 , 是对应通过平衡位置处的直线 (段) 还是曲线 (段) , 将非线性模 态分为相似的 (对应直线) 、非相似的 (对应曲线) .
第 27 卷 第 3 期 1997 年 8 月 25 日
力 学 进 展
ADVANCES IN M ECHAN ICS
Vol127 No13 Aug125 , 1997
非线性模态理论的研究进展 3
陈予恕 吴志强
天津大学力学系 , 天津 300072
摘 要 对非线性模态理论的研究进展做了较全面的综述 , 指出了该领域研究中存在的一些问 题和今后的研究方向
Rosenberg 关于非线性模态的理论 , 主导了该领域将近三十年的研究. 前面提到的工作
3 国家自然科学基金 、博士点基金资助项目
·289 ·
大都属于这一系列 , 并且主要针对保守系统进行分析. 然而这种理论有其局限性 , 比如相似 模态不是通有的 , 即是说相似模态实际存在的可能性很小 , 另外 , Rand , Pak 和 Vakakis 的工 作[11 ] , 证明了另一种周期运动 ( EO) 的存在 , 这种运动在构型空间的投影为包含原点的椭 圆 , 因而既不是相似模态 , 也不是非相似模态.
上述研究涉及到非线性模态的三种定义 、各种构造非线性模态的方法 、非线性模态分 岔 、非线性模态的稳定性等诸方面的问题. 下面我们分别从上述几方面 , 对我们所掌握的资 料作些分析.
2 三种非线性模态概念的比较
本节叙述三种非线性模态的定义 : Rosenberg[1～5 ] 、Shaw 和 Pierre[18 ] , 吴 、陈[19 ] , 并略 作比较.
x = f ( x) x ∈ Rn
(9)
不能化成二阶微分方程组 (6) 的形式 , 而其行为又经常表现出振荡性 , 如生命系统 , 化学 反应系统 , 机电系统等等 , 对这类系统 Shaw 和 Pierre 的定义 , 显然已不再成立.