高中平面几何讲义(上) 叶中豪
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
叶中豪平面几何讲座1.
5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
叶仲豪平面几何讲义
平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。
2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。
3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。
求证：E、P、F三点共线。
5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。
求证：E、P、F三点共线。
6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。
求证：S四边形AMIN＝S△IBC。
7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。
求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。
10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。
求证：A、F、M三点共线。
11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。
求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。
12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。
平面几何研究 平面几何新思索 叶中豪
A F
E
P
KQ
O
B
D
C
2004年 2月 27日 晚 探 索 得 � 垂 三 角 形 DEF的 垂 心 P与 Spieker点 Q� 都 在 原 三 角 形 ABC的 外 心 � 与 类 似 重 心 � 的 连 线 � Brocard轴 � 上 。
结论 7 切点三角形 DEF 的九点圆心�图中标为 P��与垂心 H 及 Gergonne 点 Ge 三点共线。
题目 设 P 是△ABC 外接圆上任一点�作 PA� PB�PC 的垂线�分别与对边 BC�CA�AB 交于 D� D E�F 点�则 D�E�F 和外心 O 四点共线。
此题看来并非显然�今上午给田廷彦做�田看
出这实际上是 Pascal 定理�对自交型圆内接六边形 而言�。
A
F
O
B
P
E C
A
田说他近日得到如下简单结论�
EF 包络所形成的圆具体位置还值得继续探索�预感还会产生一些新的东西。
B
D
A
E
I C
【040227】当天晚上收到钟建国的一封 E-mail�使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论 1 三角形的 Fermat 点与它的等角共轭点的连线�必平行于 Euler 线。
A H
F
G J
O
B
C
注�图中 F 是 Fermat 点�又称“等角中心”��它对于△ABC 三边的视角都是 120°� 其等角共轭点 J 是△ABC 的“等力点”�isodynamic point��其特性如下�它的垂足三角 形是正△�它对于△ABC 三边的视角分别是 60°�A�60°�B�60°�C�它是三个 Apollonius 圆所共之点�它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比�它在外心 O 和 类似重心 K 的连线上�Brocard 轴�。
高中数学竞赛平面几何讲义
高中平面几何(叶中豪话题几何问题的联系和转化解题和编题的一些规律调和点列,反演与配极,调和四边形完全四边形及其 Miquel 点例题和习题1. △ ABC 中, AB =AC , BD ⊥ AC 于 D , E 在 AC 延长线上,且 CE =CD , F 在CA 延长线上,且 AF = 12CD 。
求证:BE ⊥ BF 。
2. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点,由 C 引 AB 的垂线, D 为垂足。
分别在半圆上截取 AE =AD , BF =BD 。
求证:CD 平分 EF 。
3. 已知半圆的直径 AB 的长为 2r ,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为T ,AT =2a (2a <2r , 半圆上有相异两点 M 、 N , 它们与直线 l 的距离 MP 、 NQ 满足 MP AM=NQAN=1。
求证:AM +AN =AB 。
l PQ T4. 在△ ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D ,使 CD =AC ,△ ACD 的外接圆与以BC边为直径的圆交于 C 、 G 两点,直线 BG 、 AC 交于 E ,直线 CG 、 AB 交于F 。
求证:D 、 E 、 F 三点共线。
B5. △ ABC 内心为 I ,内切圆切 AB 、 AC 边于 E 、 F ,延长 BI 、 CI 分别交直线EF 于 M 、N 。
求证:S 四边形 AMIN =S △ IBC 。
B6. AC 是与 BD 垂直于 E 的直径, G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF ∥ DG 交DA 延长线于 F ,作 CH ⊥ GF 于 H 。
求证:B 、 E 、 F 、 H 四点共圆。
7. 如图,圆 O 1和圆 O 2相交于 E 、 F ,过 E 作割线 AB ,使 AE =EB ,过 F 作割线CD , 联 AD 、 BC ,并过 A 作 AD 的垂线、过 B 作 BC 的垂线,设两条垂线相交于 P 点。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
平面几何入门(6)
平面几何入门（6）叶中豪（老封）证题术如何证明线段的和差关系——欲证两条线段的和（或差）等于另一线段，可先作一线段等于这两段的和（或差），然后证明它与另一线段相等（补短法）；也可在另一线段上截取一段等于两线段之一，然后证明剩下线段等于另外一段（截长法）。
例题和习题1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝40°，延长BC至D，使AB＝CD，求∠D的度数。
2．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠B的平分线。
求证：BC＝AB＋AD。
3．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，且BC＝AB＋AD。
°。
求证：∠A＝904．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，且BC＝AB＋CD。
求：∠A。
5．如图，已知AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBC＝∠EBA。
求证：AB＝AD＋BC。
6．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，分别过B、C作AD的垂线，垂足为E、F。
求证：EF＝CF－BE。
E7．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A的平分线交CD于E，且E是CD中点。
求证：AB＝AD＋BC。
8．已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠A的平分线。
求证：AB＋BD＝AC。
9．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠B的平分线。
求证：BC＝AD＋BD。
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠B的平分线交AC于E，∠C的平分线交AB于F。
求证：BC＝BF＋CE。
思考题1．已知：在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，∠ABD＝60°，∠ADB＝90°－1∠BDC。
求证：AB＝BD＋DC。
22．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AP、BQ、CR是三条内角平分线。
求证：AB＋AQ＋CP＝AC＋AR＋BP。
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高中平面几何（上）
知识要点
几何问题的联系和转化
比例线段与相似图形
共点线与共线点（梅涅劳斯定理和塞瓦定理）
三角形的“五心”
四点共圆及其判定
正弦定理和余弦定理
几何变换及相似理论
完全四边形与Miquel点
位似及其应用
例题和习题
1．已知H是△ABC的垂心，M、N分别是BC和AH的中点，直线MN交以AH 为直径的圆于点S、T。
求证：AT、AS平分∠BAC及其外角。
（10040601-2.gsp）
2．已知：ABCD是正方形，AE＝AD，BF＝BC，且∠EAD＋∠FBC＝90°，联结BE、EF，分别交AD于P、Q。
求证：PQ＝QD。
（08012304.gsp）
3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、CD上的点，满足∠AED＝∠BEC，∠AFD＝∠BFC，对角线AC、BD交于O。
求证：OE＝OF。
（07112501.gsp）
4．已知四边形ABCD中，∠B＝90°对角线AC＝BD，P是对边BC、AD中垂线的交点，Q是对边AB、CD中垂线的交点。
求证：B、P、Q三点共线。
（10041302.gsp）
5．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，
垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
6．如图，设N是△ABC的弧BAC的中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。
求证：∠ANI＝2∠IMC。
（09021701.gsp）
7．已知O是△ABC的外心，D、E、F分别是各边中点，R、r 为外接圆和内切圆的半径。
求证：OD＋OE＋OF＝R＋r。
（10040601-9.gsp）
8．已知：P是△ABC内任一点，EH∥BC，FI∥AB，GD∥AC，且三线共点于P，
AP交△ABC的外接圆于另一点Q。
求证：AP×PQ=EP×PH+FP×PI+GP×PD。
（10022801.gsp）
9．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。
求证：AO平分O1O2。
（10030801.gsp）
2
10．已知：G、O分别是△ABC的重心和外心，自A、B、C各作GA、GB、GC的垂线，围成△DEF，设G’是△DEF的重心。
求证：G、O、G’三点共线。
（10030801-3.gsp）（09101301.gsp）。