高中平面解析几何 全一册
新教材高中数学第2章平面解析几何2-1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
x1＋x2
y1＋y2
(2)x＝ 02 _____2____，y＝ 03 ______2______.
知识点三 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代
数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
1．对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点 A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB| ＝ x1－x22＋y1－y22. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推 广. (3)若 B 点为原点，则|AB|＝|OA|＝ x21＋y21.
x1＋x2 _____|x_2_－__x_1_| ____；x＝ 02 ______2______.
知识点二 平面直角坐标系中的基本公式
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段 AB 的中点．
(1)|AB|＝|A→B|＝ 01 ___x_2_－__x1__2＋___y_2_－__y_1_2；
例 1 已知数轴上三点 A(－1)，B(5)，C(x)． (1)当|AB|＋|BC|＝8 时，求 x； (2)若 B 是 AC 的中点，求 x. [解] (1)由 A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|. 当|AB|＋|BC|＝8 时，有 6＋|x－5|＝8，解得 x＝3 或 x＝7.
(4)若 A，B 两点在 x 轴上，或在与 x 轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－ x1|.
(5)若 A，B 两点在 y 轴上，或在与 y 轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－ y1|.
注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． (6)在数轴上，点 A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为 d(A， B)＝|x1－x2|.若 A，B，C 是数轴上任意三点，则 d(A，B)≤d(A，C)＋d(B， C)． 2．中点公式的两个应用 (1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可 求第三个量． (2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
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高中平面解析几何 全一册第一章 直线第三单元 两条直线的位置关系一.教法建议【抛砖引玉】本单元主要研究的内容是两直线的平行与垂直；两条直线所成的角；两条直线的交点以及点到直线的距离 .本单元是在前一单元研究了直线的倾斜角，斜率和直线方程的基础上，研究两条直线的位置关系，即用代数方法研究几何图形的性质 .教学中要采用“数，形结合”的方法，找出数与形之间关系，使学生初步掌握解析几何的研究方法，为今后学好解析几何这门学科打下良好基础 .在两条直线都有斜率的条件下，两条直线的平行垂直都转化成了两条直线斜率之间的关系 .这是本单元的重点并在今后学习中有重要应用 .为了研究两条直线l l 12与相交构成的四个角，引入了直线l l 12到角与直线l l 12和的夹角两种角的概念 .并给出了求角的计算公式 .教学中要结合图形，讲清两种角的概念的区别，联系及如何运用求角的公式 .用直线l l 12和的一般式直线方程，从研究两条直线交点入手研究了两条直线相交，平行和重合与直线方程的系数之间的关系 .它是判定和讨论两直线位置关系的依据 .教学时要加强练习 .使学生熟练掌握 .点到直线的距离公式是一个基本公式，必须要熟记 .并能灵活运用 .【指点迷津】两条直线的位置关系学生在初中平面几何的学习中已经有了比较深的认识,对各种不同位置的图形也很清楚.本单元的重点是使学生掌握用代数方法来研究两条直线的各种位置关系.在研究两条直线平行时,若它们的斜率都存在.先画出图形(在直角坐标系中画出两条不与x 轴垂直的平行线).根据初中所学两条直线平行的性质.引导学生找出它们的斜率相等,反之,若两条直线的斜率相等,即它们倾斜角的正切值相等,由于倾斜角的范围是大于或等于0°而小于180°.所以倾斜角相等,根据平行线的判定得到两条直线平行.注意,这里一定要指出倾斜角的范围,否则不能得到倾斜角相等.如果两条直线的斜率都不存在.即两条直线都垂直于x 轴.显然两直线平行.两直线垂直的情况可以类似于平行的情况,由图形引导学生得出结论.两直线垂直时,若有一条斜率不存在,另一条斜率一定是0.两条直线平行与垂直的充分必要条件是重点,要求学生必须熟练掌握,灵活运用.两条直线所成的角是一个难点,对于“直线l l 12到的角”与“直线l l 12和的夹角”这两种不同的角的概念.不仅要弄清它们的联系和区别.更要在解决问题时判断出求的是哪种角.因为有些问题并没有明确指出求哪种角.如已知三角形的三条边,求三角形的内角.两条直线的交点一节的重点应放在根据两条直线方程的一般形式来讨论两条直线的相交、平行和重合，容易混淆的是平行和重合两种位置，学生往往从A A B B 1212=就得出两条直线平行的结论，而没有考虑C C 12.对此要通过适当练习,引起重视.二.学海导航【思维基础】1.两条直线的平行与垂直当两条直线有斜率时,如何判断它们平行与垂直?如果两条直线平行或垂直,那么它们的斜率有什么关系?你能判定当直线的斜率不存在时,两直线的平行或垂直吗?例:已知三条直线l x y l x y l x y 123253052402520:::-+=+-=--=试判断它们之间的平行或垂直关系?解:把三直线方程都化为斜截式可知l y x k b l y x k b l y x k b 1112223332535253552252225252525:,:,:,=+===-+=-==-==- k k b b l l k k k l l l l 13131213212321=≠∴==-∴且∥⊥⊥ 又如：l 1：x=3l 2：x=－5l 3：y=4因为l l 12,斜率都不存在,它们都垂直于x 轴,所以l 1∥l 2.因为l 3的斜率为0,l 3与x 轴平行,所以l 1⊥l 3,l 2⊥l 3.2.两直线所成的角“从直线l l 12到的角”与“直线l l 12和的夹角”有什么区别和联系？它们的计算公式各是什么？例：直线l x y l x y l l l l 1212123100230:,:--=-+=试求到的角及和的夹角. 解:由l l 12,的方程知它们的斜率分别是k k 12312== l l 12到的角θ为tg θ112311231=-+⨯=- ∵0°≤θ1＜180°∴θ1＝135°l l 12和的夹角θ2为tg θ212311231=-+⨯= ∵0°≤θ2＜90° ∴θ2＝45°当夹角90°时,1012+=k k .不能用求角公式,但由k k 12与互为负倒数即可知两直线互相垂直.3.两直线的交点.若直线l A x B y C l A x B y C 1111222200::++=++= 设A 1、A 2、B 1、B 2全不为零.它们在什么条件不相交?怎么求交点?它们平行或重合的条件是什么?你知道当l 1⊥l 2时,A 1、A 2、B 1、B 2的关系吗?例如:l 1:2x+By+5=0l 2:4x-6y+ C=0当2465310=-≠=-≠B CB C ,,即时l 1∥l 2. 当2465310=-==-=B CB C ,,即时l 1与l 2重合. 当2463≠-≠-B B ,即时,l l 12与相交. 当2×4+B(－6)=0时,即B =43时,l 1⊥l 2. 用直线方程的一般形式讨论两直线的垂直关系,因为k A B k A B 111222=-=-,当 .k k k k A B A B A A B B 1212112212121110=-⋅=---=-+=时即也就是整理得,,()(),因此A 1A 2+B 1B 2=0也是两直线互相垂直的充要条件.4.点到直线的距离点到直线的距离公式是什么?用此公式怎么求两平行线的距离.例如已各A(－1,5)、B(－3,0)、C(1、3)求△ABC 中BC 边的高.解:根据两点式得过B 、C 两点直线方程是3x-4y+9=0.点A 到BC 的距离是BC 边上的高.即.所求高h 是h =⨯--⨯++-=314593414522()()这个公式要注意的是:分母根号下是A 2+B 2即直线方程一般形式中的x 、y 的系数的平方和.【学法指要】例1.求与直线7x+24y －5=0平行,并且距离等于3的直线方程.分析:你掌握了几种列直线方程的方法?根据题意,此题用什么方法解比较好?显然根据平行关系可以直接求出直线的斜率.直接列方程的另一个条件就不太好求了,因此这题可以用待定系数法列出直线方程.解:已知直线7x+24y －5=0的斜率k =-724设所求直线方程为y x b =-+724即7x+24y －24b=0在已知直线7x+24y －5=0上任取一点A (,)570 根据题意:点A (,)570到所求直线距离等于3,所以 7572402472435247510370242212⨯+⨯-+=-===-b b b b 解得或所求直线方程是7x+24y ＋80=0或7x+24y －70=0说明:此题若根据所求直线与已知直线平行.设所求直线为7x+24y+c=0解题更简单些.例2.在直线3x －5y+8=0上求一点,使它与点A(2,1)和B(1,2)距离相等?分析:和A 、B 两点距离相等的点的轨迹是什么?怎么求这个轨迹的方程?和A 、B 两点距离相等的点的轨迹是线段AB 的垂直平分线,因此,所求的点是AB 垂直平分线与已知直线的交点.想一想:此题是否可以用两点的距离公式求解呢?解法一线段AB 中点为C (,)3232AB 所在直线斜率为k AB =--=-21121 AB 的垂直平分线的斜率为k=1AB 垂直平分线的方程是y x x y -=--=32320即 解方程组 35800x y x y -+=-= 所求的点是(4,4)解法二：设所求3x －5y+8=0上一点是M(x 0,y 0)则3x 0－5y 0+8=0整理得y x AM BM x y x y 00020202023852112=+=∴-+-=-+- ()()()()整理得代入得所求的点是x y y x x y 00000003854444-=+==,(,)例3.已知等腰直角三角形的斜边AB 所在直线的方程是3x-y+2=0,直角顶点是C (,)22525,求两条直角边所在直线的方程. 分析:由于直角等腰三角形的两个锐角都是45°,因此两条直角边所在直线都是过直角顶点且与斜边的夹角是45°的直线.由两条直线的夹角公式一次可求得两直角边所在直线的斜率.解:由斜边AB 所在直线方程为3x-y+2=0知其斜率k AB =3.设直角边所在直线的斜率为k,且直角边与斜边的夹角是45°,所以tg k kk k C y x 4531312122252525222512︒=-+==-=-=--解得又因为直角边过直角顶点所以所求直线方程为和(,)() y x x y x y l x m y m l m x m y -=-+-=--=+-+=--++=2512225105260510804720216012():.:():()()即和例已知两条直线试求m 为何值时直线l 1与l 2(1)相交;(2)平行;(3)重合.分析:在什么条件下两直线相交,平行重合?此题两直线方程都带有字母系数,因此必须根据不同的位置关系满足的条件列出等式或不等式,而后求出m 的值. 解:根据题意:A A mB B m mC C m m A A B B m m m m m A A C C m m m m 12121212121212127126312713512331=-=--+===-=--+===-===-,(),,(),当时解得或当时即解得或所以,当m ≠3且m ≠5时,两直线相交当m=5时,两直线平行.当m=3时,两直线重合.【思维体操】例1.如果点P(2,3)是从原点向一直线所作的垂线的垂足,求这条直线的方程. 解法一:过点O,P 的直线的斜率为k OP k OP ==-3223所求直线与垂直斜率, 又点P(2,3)在所求直线上.所以所求直线为y x x y -=--+-=323223130()即解法二:因为所求直线过点P(2,3).设直线方程是y-3=k(x-2)即kx y k OP O k k k y x x y --+==∴-++==--=--+-=2301323113233232231302 是点到直线的距离解得所求直线方程是即()点评:点P(2,3)是从原点向一直线所作垂线的垂足.这一条件就隐含着如下几个条件:点P 在所求直线上;直线垂直于OP;O 、P 两点的距离是点O 到直线的距离.想到这些,问题可以得到解决.解法一,利用垂直关系直接求出了直线的斜率,用点斜式列出了直线方程,解法二:用待定系数法,利用经过点P(2,3)设所求方程是含待定系数k 的点斜式方程,再根据OP 是点O 到直线的距离,求出k 值. 例2:求点P(4,5)关于直线l y x :=+33的对称点的坐标.解法一:直线l 的斜率为k=3.设点P(4,5)关于直线l 的对称点为P '(x 0,y 0)则PP '⊥l ,PP '的斜率为k PP '=-13直线PP '的方程为y x -=--5134(),即x+3y-19=0 解方程组 x y y x +-==+319033得 x y ==16即两直的交点是C(1,6) 又∵C(1,6)是PP '的中点.∴ 421252670000+==-+==x x y y ∴P(4,5)关于直线y=3x+3时对称点是P '(－2,7)解法二:设点P(4,5)关于直线l y x :=+33的对称点是P '(x 0,y 0).且PP '⊥l ,l 的斜率k=3.则PP '的斜率为k PP '=y x 005413--=- 整理得:x 0+3y 0-19=0又PP '的中点C 在直线l 上.且C 点坐标为(,)x y 004252++ ∴y x 00523423+=⨯++ 即3x 0-y 0+13=0解方程组x y x y 000031903130+-=-+=得 x y 0027=-= ∴P(4,5)关于直线的对称点是P '（－2,7）点评:根据点P 关于直线l 对称点P '的概念可知PP '⊥l ,且PP '与l 的交点是PP '的中点,而互相垂直转化为斜率互为负倒数;两直线的交点是两直线方程组成方程组的解;点在直线上点的坐标满足方程;中点有中点坐标公式.我们的两种解法都是把这些解析几何的基础知识有机地联系起来.例3.已知直线l x y l x y ::++=++=103301和直线.求直线l 1关于直线l 对称的直线的方程.解法一:设所求直线为l k 22,,斜率为l l l l l l l k l k k k 1212112231111313与关于对称和的夹角相等的斜率的斜率根据两直线夹角公式∴∴=-=----=-++,解得或显然是的斜率因此k k l k 2212133313=-=--=-,解方程组:x y x y ++=++=10330得 x y =-=10即 l l 与1的交点是(－1,0)所求直线方程是y x x y -=-+++=0131310()即解法二(略解)求l l 与1的交点是C(－1,0)在l 1上取交点外的任意一点，如A(0,－3)求点A 关于l 的对称点是A '(2,－1)经过A '(2,－1)、C(－1,0)的直线是.x+3y+1=0是所求的直线方程.点评:此题类似于例2,是将几何性质转化为代数方法.直线l l 12,关于l 对称时,l l l 12,与的夹角相等,可用夹角公式列出方程求出直线的斜率.l l l ..12必相交于一点,有两条直线方程可求交点坐标,又l l 12.关于关于l 对称时,l 1.上各点关于l 的对称点都在l 2上.学生自己练习以下各题1.已知直线ax+4y －2=0与直线2x －5y+c=0互相垂直,它们的交点是(1,m),求a,c,m 的值.2.如果一光线自点A(－3,5)射出,经直线l x y :3440-+=上某一点反射后,其反射线过点B(2,15),求光线入射线和反射线所在直线的方程.答案:1.a=10、c=－12、m=－22.入射线所在直线是6x+17y －67=0 －反射线所在直线是18x －y －51=0三.智能显示【心中有数】本单元主要学习了两直线平行与垂直时它们斜率之间的关系.两直线交角的概念和公式,又从研究两直线的交点入手;得到由两直线方程的系数之间的关系来判定和讨论两条直线相交、平行和重合的情况,最后给出了点到直线的距离公式.这些知识都是解析几何最基础的知识,它将贯穿于全学科的学习中,这里的重点是两直线的平行和垂直关系.这一节还使学生初步掌握了用方程来研究图形的性质的方法.也就是解析几何的研究思想和方法.为下边的学习打好基础.【动脑动手】1.三角形的两条高所在直线方程是2x －3y+1=0和x+y=0,点C(1,2)是它的一个顶点,求三角形各边所在直线方程.2.已知等腰直角三角形的一直角边在直线y=2x 上,斜边中点是D(4,2),求此三角形另外两边所在直线的方程.3.△ABC 两个顶点的坐标是B(1,4)和C(6,2),顶点A 在直线x －y+3=0上,已知△ABC 的面积是21,求项点A 的坐标.解答以上各题1.解:如图把点C(1,2)的坐标分别代入两条高的方程得2×1－3×2+1＝－3≠0 1+2=3≠0知点C 不在两条高上,因此已知两条高线分别过A 、B 两点.直线2x －3y+1=0的斜率为k BC 123=,边所在直线斜率为k BC =-32. 直线x+y=0的斜率为K 2=－1,AC 边所在直线斜率为k AC =1.∴BC 边所在直线的方程是y x -=--2321()即 3270x y +-=AC 边所在直线的方程是y x -=⨯-211()即x y -+=10解方程组x y x y -+=-+=102310得 x y =-=-21 即 A 点坐标是(－2,－1)解方程组32700x y x y +-=+=得 x y ==-77即 B 点坐标为(7,－7)边AB 所在直线的方程分别是y x x y +-+=++++=1712722370即所求三角形的三条边所在直线的方程分别是2x+3y+7=03x+2y －7=0x －y+1=02.解:如图设斜边斜率为k.已知一直角边y=2x 的斜率为2,由直角等腰三角形的性质知斜边和一直角边的夹角是45°.因此k ktg k k k y x x y -+=︒===-=-=--+=212451133132134320解得或当时斜边所在直线的方程是即解方程组,() x y y x -+==3202 得 x y ==2545一个锐角顶点是A(2545,) 设另一个锐角顶点是B(x,y).因为D(4,2)是AB 的中点.∴+==+==x x y y 25247354522315即B 点坐标为(,)735315因为两直角边互相垂直,所以直角边BC 的斜率为-12,BC 所在直线的方程为 y x x y -=--+-=315127352140()即当k=－3时,斜边所在直线的方程是y －2=－3(x －4) 即3x+y －14=0类似于k =13时的作法.得到另一直角边的方程是x+2y －2=0 所以此题有两组解:斜边为x －3y+2=0时,另一直角边是x+2y-2=0斜边为3x+y －14=0时，另一直角边是x+2y －2=03.解:BC BC h h A BC BC y x x y =-+-=⋅=∴=--=--+-=()()612429122142294241612522022是点到的距离的方程为即设A(x 0,y 0),因为A 点在x －y+3=0上得x 0－y 0+3=0,y 0=x 0+3 所以A(x 0,x 0+3)到BC 的距离. 253222542290022x x ++-+=()解得x x y y 000075102==-==-或或∴A 点坐标为(7,10)或(－5,－2) 【创新园地】1.求直线2x+3y+1=0和x －2=0的夹角.2.说明:不论m 取何实数值,直线mx －y －3m －4=0,都过一个定点,并求出这个定点.3.已知直线l x y :+-=80和定点A(－4,0),B(4,0),试在直线l 上求一点M,使MA MB +最小.创新园地答案 1.如图因为x=2斜率不存在不能用两直线夹角公式求直线2x+3y+1=0的斜率为-23,则倾斜角α满足[)tg ααπ=-∈230,所以απ=-arctg 23设2x +3y+1=0与x-2=0的夹角是θ.则θ=∂ππ-=-2223arctg2.直线方程mx －y －3m －4=0可整理为m(x －3)－(y+4)=0,当x=3,y=－4时,方程总能适合,所以不论m 取任何实数值这条直线总经过一个定点(3,－4),事实上,原方程可写为y+4=m(x －3),是经过(3,－4)且斜率为m 的直线.3.如图(略解)过B 垂直于直线l 的直线方程为x －y －4=0.它与l 的交点为C(6,2),点B 关于l 的对称点为B '(8,4)过A(－4,0)和B '(8,4)的直线方程为 x －3y+4=0过AB '的直线与l 的交点为M(5,3)为所求之点.四、同步题库 一、选择题1.)(a ,02y x 302y 2ax 等于则系数平行与直线若直线=--=++32)D (3)C (23)B (6)A (---06y )5m (x )m 21(07y )1m 2(x )m 3(.2=-++-=+-+-与直线若直线互相垂直,则m 的值是( )32)D (3)C (1)B (21)A (--：3b ,32k )D (3b ,32k )C (3b ,23k )B (3b ,23)A ()(b ,k ,x y ,06y 3x 2b kx y .824)D (6)C (6)B (24)A ()(m ,y 012my x 0m y 3x 2.70x y )D (1y x )C (1y x )B (0y x )A ()(l ,)b ,a (Q )1a ,1b (P .6)8,6)(D ()8,6)(C ()6,8)(B ()8,6)(A ()(A 021y 4x 5)0,4(A .510)D (22)C (6)B (2)A ()(OP ,O ,010y 4x 3)y ,x (P .43)D (4)C (6)B (8)A ()(01y 3x 02y 2x .3-======-===+-+=-=+-=-+=-=-=+=++------'=++=-+ππππ=--=-+的值是则对称关于直线与直线直线的值是则轴上的交点在和直线若直线的方程为则直线关于直线对称与不重合的两点的坐标是的对称点关于直线点的最小值是则为原点上在直线若点所成的角等于和直线直线 9.ABC ),2,1(C )0,2(B )1,0(A ABC ∆∆则的顶点分别是的过顶点A 的高线所在的直线方程是( )10a 0)D (10a 0)C (10a 0a )B (10a 0a )A ()(a ,301y 3x 4)a ,4(.1001x y 2)D (01y x 2)C (02y 2x )B (022x )A (<<≤≤><≥≤=--=+-=+-=+-=-+或或的取值范围是则的距离不大于到直线点二、填空题的和经过两直线05y 2x 303y 2x .1=--=--交点,且平行于4x+y-2=0的直线的方程是 .2.直线4x+y-4=0到直线4x+3y +5=0的距离是 .3.经过两直线3x+y-4=0与x-y +5=0 的交点,且与直线x-3y =0的夹角是45°的直线的方程是 .4.两直线2x+my +4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m 的取值范围是 .5.若直线l 平行于直线2x-y +3=0,且与它的距离是53,则直线l 的方程是.三、解答题1.已知斜率为l 的直线与直线(2x+y-1)-0和直线x+2y-2=0分别交于A 、B 两点，求线段AB 的中 点组成的直线的方程。
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
高中数学必修二平面解析几何
高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。
高中平面解析几何全一册
高中平面解析几何全一册第二章圆锥曲线第二单元圆一、教法建议【抛砖引玉】本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。
在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。
由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。
【指点迷津】这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。
对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。
由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。
圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y－b) = r2圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k=±+12对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式A x2 +B xy +C y2 +D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件：(1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0(2)不含xy项，即B = 0(3)D2 + E2－4F > 0才能表示一个圆。
高中数学 平面解析几何共45页
61、辍学如磨刀之远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
新教材高中数学第2章平面解析几何圆的一般方程课件新人教B版选择性必修第一册
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则 其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 06 _外__ 点 M 在圆 07 _上__ 点 M 在圆 08 _内__
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
89＋8D＋5E＋F＝0， 由题意知73＋3D＋8E＋F＝0，
9＋3E＋F＝0，
D＝－8， 解得E＝－8，
解
(3)两边同除以 2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径 r＝12
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
解
题型二 求圆的一般方程
例 2 已知 Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为 B(3,8)，顶点 C 在 y 轴 上，求：
半径长．
[跟踪训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半 径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)．
判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0；或直接配方变 形，判断等号右边是否为大于零的常数．
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高中平面解析几何全一册第二章圆锥曲线第二单元圆一、教法建议【抛砖引玉】本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。
在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。
由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。
【指点迷津】这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。
对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。
由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。
圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y －b) = r2圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k12=±+对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式A x2 +B xy +C y2 +D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件：(1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0(2)不含xy项，即B = 0(3)D 2 + E 2－4F > 0 才能表示一个圆。
也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。
而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数，因此确定一个圆需要三个独立条件。
用待定系数法求圆的方程时，就要把三个条件转化为三个方程（含a 、b 、r 三个未知数或含D 、E 、F 三个未知数）通过解三元方程组求出未知数而得出圆的方程，一般来说，条件中和圆心有关时用圆的标准方程比较简单。
二、学海导航【思维基础】本单元的知识比较单一，它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程，因此熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。
而解题又有一定的综合性，它要用到平面几何中有关圆的知识，前一章的直线方程中的有关知识，所以学好本单元还要掌握一定解题方法。
1.求圆的方程和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：根据下列条件求圆的方程1.已知直径的两端点是A （－3，5）和B （1，－3）2.圆心在A （3，－5）且与直线x －7y + 2 = 0相切3.经过点A （2、2）和B （4，－2），圆心在y 轴上 显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。
1.圆心为AB 中点C （－1，1）半径r AB ==1225||，圆的方程是(x + 1)2 + (y －1)2 = 202.半径r 是圆心A （3、－5）到直线x －7y + 2 = 0的距离42，圆的方程是(x －3)2 + (y + 5)2 = 323.圆心是线段AB 的垂直平分线与y 轴交点，AB 的垂直平分线是x －2y －3 = 0，圆心是C （0、－32），半径|AC| =1265，圆的方程是x y 2232654++=() 而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b ），圆的方程是x 2 + (y －b )2 = r 2因为经过点A （2、2）和B （4、－2），所以有2242222222+-=+--=⎧⎨⎪⎩⎪()()b rb r 解方程组得 b r =-=326542，此题也可设圆的方程是x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0，它的圆心坐标为（--D 2E 2，），又由于圆心在y 轴上，故-D2= 0，即D = 0，圆的方程化为： x 2 + y 2 + E y + F = 0因为经过点A （2，2）和B （4，－2），所以有222E F 04(2)(2)E F 02222+++=+-+-+=⎧⎨⎪⎩⎪ 解方程组得：E = 3，F =－14 圆的方程是x 2 + y 2 + 3y －14 = 0 配方得x y 2232654++=() 2.求圆的切线的方程圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系，初中平面几何中已经学习了它的定义，判定和性质，在这里我们利用已经学过的知识，求圆的切线的方程，在第一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法，并不要求死记硬背，重要的是掌握求圆的切线方程的方法，切线是直线，因此求切线方程就是求直线方程，要用切线的性质找出列直线方程的条件。
例如：已知圆x 2 + y 2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程： 设切线方程是y =－x + b 即x + y －b = 0根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x 2 + y 2 = 1的圆心（0，0）到切线x + y －b =0的距离等于1，即||00111222+-+==±b b切线方程是x y x y ++=+-=2020与3.圆与直线的问题 圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？如判断圆x y x y 222410+-++=和直线3x －4y + 5 = 0的位置关系。
除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d 与半径r 的关系来判定，若d < r ，则直线和圆相交；若d = r ，则直线和圆相切；若d > r ，则直线和圆相离。
x y x y 222410+-++=配方得 (x －1)2 + (y + 2)2 = 4它的圆心是(1、－2) 半径r = 2d =+++-==>||()38534165315222所以直线和圆相离4.两个圆的位置关系我们知道两个圆有五种不同位置关系：即外离、外切、相交、内切、内含，用解方程组的方法讨论时，只能判定相离，相切或相交，但分不出内切还是外切，外离还是内含，若用圆心距与两圆半径之间的关系就能判断出准确的位置关系：如果圆心距用d 表示，两圆半径分别是R ，r （R > r ），若d < R + r ，且d > R －r ，则两圆相交；若d = R －r ，则两圆相内切；若d < R －r ，则两圆相内含。
如：已知两圆的方程分别是x 2 + y 2 = 4和x y x y 2268240+-+-=。
试判断它们的位置关系。
圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径r = 2 圆x y x y 2268240+-+-=，配方化为()()x y -++=344922，圆心为（3，－4），半径为R = 7圆心距d = 5，又R －r = 5 即d = R －r所以两圆相内切【学法指要】例1.求圆心是C （2、－1），且截直线x －y －1 = 0所得弦长是22的圆的方程。
分析：此题的圆心是已知，列圆的方程只须求出半径长，怎样求半径长呢？如图，弦心距、弦的12和半径构成直角三角形，若求出弦心距，可求出半径。
解：如图：圆心C （2，－1）到直线x －y －1 = 0的距离是|CD||211|1(1)2|AB|22|AD|2|AC||CD||AD|4 (2)(1)4222222=+-+-=====+=-++=∵∴∴半径所求圆的方程是r x y例2.已知一个圆的圆心在直线l 1:x －y －1 = 0上，该圆和直线l 2:4x + 3y + 14 = 0相切，并且直线l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，试求此圆的方程。
分析：此题直接求圆心坐标和半径比较困难。
一般应选择待定系数法求圆的方程，设标准方程还是一般程呢？因为已知条件与圆心有关，设标准方程比较好，我们知道三个独立条件确定一个圆的方程，以下的问题是如何将题目中已知的三个条件转化为三个含a 、b 、r 的方程。
解：如图：设所求圆的圆心是（a 、b ），半径是r ，圆的方程是(x －a )2 + (y －b )2 = r 2 由于圆心（a 、b ）在直线x －y －1 = 0上，有a －b －1 = 0 (1) 由于圆与直线4x + 3y + 14 = 0相切，有||43143422a b r +++= (2)由l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，有圆心到l 3的距离是r 223-||3410343222a b r +++=- (3)解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得 a = 2，b = 1，r = 5 所求圆的方程是 ()()x y -+-=212522例3.已知圆x 2 + y 2－2x －3 = 0，求过点A （5，0）的圆的切线方程分析：首先应判定点A 在圆上还是在圆外。
想一想，若点在圆上可以有几条切线？若点在圆外有几条切线？怎么求它们的切线方程呢？切线是直线，现已知过一个点，若能求出斜率或直线上另一点即可求出方程，也可用待定系数法求。
解法一：如图圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是（1、0），半径是2 点（5、0）在圆外，设切线方程是 y = k (x －5)即kx －y －5k = 0因为圆心（1、0）到切线的距离等于半径2所以||k k k -+=5122解得k =±33所求圆的切线是：335330335330x y x y --=--+=和 化简得x y x y --=+-=350350和为所求切线方程 解法二：如图：圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是C （1、0）半径是2。
点A （5，0）在圆外。
设切点为P （x 1、y 1） 直线AP 的斜率为y x 115-。
CP 的斜率为yx 111- ∵AP ⊥CP ∴y x yx 1111511-⋅-=- 即x y x 12121650+-+= (1) ∵切点P （x 1、y 1）在圆上∴x y x 12121230+--= (2)解(1)、(2)组成的方程组，得两组解x y x y 11112323==⎧⎨⎩⎪==-⎧⎨⎩⎪和 即有两个切点 P (2 ,3) P (2 ,3)12和-则两条切线的斜率分别为-33和33，所求切线方程是y x y x =--=-335335()()和 化简得x y x y +-=--=350350和 说明：当求出切点后也可以用两点式写出切线方程例4.圆x 2 + y 2 = 4，求经过点P （0，－4）且与圆相交的直线的斜率k 的取值范围。