1.2函数及其表示法(复习课)
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人教A版高中数学必修1 .2函数的表示法课件
且 有 fx2f 1 x x1， 求 fx.
解 :因
为f
x
2
f
1 x
x 1，(1)用 x替 换 1 ，1 xx
替换
x，
又得f
1 x
2
f
x
1 1，( 2 ) x
将
( 2 ) 代 入 (1)消 去 f
1 x
，
得
f
x
4
f
x
2
f x 2 x 1 ， 又 因 为 x 1， ,
3、配凑法：已 知 f g x 的 解 析 式 ， 求 fx 的 解 析 式 .
例 5 、 f 已 x 1 x 知 2 x ， fx 的 求 .解
解:f
2
x1 x2 x x 2 x11
x12 1，
f xx2 1x1.
技巧：拆项、添项
人教A版高中数学必修1第一章1.2.2函 数的表 示法课 件
1.2.2函数的表示法
1、函数的常用表示方法:
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系。（1.2.1 实例1 P15）
（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对 应关系。（1.2.1 实例2 P15）
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系。（1.2.1 实例 P16）
叫 做 A到 B的 函 数 ， 记 作 yfx.
判 A 求 正 弦 B 断
那 些
30 0
是
45 0
1 2
2 2
映
60 0
3
射
90 0
2 1
:
A 求 平 方 B
3
9
－324源自－211－1
A 开 平 方 B
1.2 函数及其表示
1 0.5 -2 -1 O -1 -2
1
2
x
练习: (课本23页) 1. 如图, 把截面半径为 25 cm 的 圆形木头据成矩形木料, 如果矩形的 一边长为 x cm, 面积为 y cm2, 把 y 表示为 x 的函数. 解: 由勾股定理得矩形的宽为 502 - x 2 , 则矩形面积的函数为 y = x 502 - x 2 , (0<x<50)
5 公里的分段. 设里程为 x, 票价为 y, 则解析式为:
2, 0<x≤5, y= 3, 5<x≤10, 4, 10<x≤15, 5, 15<x≤20. 其图象为:
y 5 4 3 2 1 o
5
10 15 20
x
练习: (补充题) 画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域:
1 (0 x 1) ; (1) y = x x ( x 1)
笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10
y 25 20 15 10 5
3 15
4 20
(直接反 25 映函数值)
5
(3) 图象表示: 问: 三种表示 方法各有什么优点?
(直观反映 出定义域, 值域及大 O 1 2 3 4 5 x小关系)
· · · · ·
例4. 下表是某校高一 (1) 班三名同学在高一学 年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
1.2.2 函数的表示法
第一课时
函数的表示
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1. 函数有哪三种表示方法? 2. 函数的各种表示方法各自最能反映函数的 哪些特性? 3. 函数的各种表示方法怎样互相联系, 互相 转化?
问题1. 初中我们学了一次函数, 二次函数, 反 比例函数等, 这些函数可以用哪些方法进行表示? 函数的表示一般有三种方法: 解析法、图象法和 列表法. 解析法, 就是用数学表达式表示两个变量之间的 对应关系, 这个表达式又称解析式. 图象法, 就是用图象表示两个变量之间的对应关 系. 列表法, 就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系.
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
高中数学复习提升-1.2.2函数的表示法
1.2.2函数的表示法（一）【学习目标】（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；【学习重难点】重点：(1)会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
(2)求函数的解析式。
难点：对函数解析式方法的掌握。
【预习自测】1、已知(3)f x x -=，则(1)f = （ ）A.4B.3C.2D.12、已知2()2f x x x =+，则(21)f x +的解析式为 。
3、已知21(),()2f x g x x x ==+，求()()f g x 的解析式。
4、已知2(1)f x x -=，求函数()f x 的解析式。
【新课讲授】引例：1.某种笔记本的单价是5元,买x(x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元,试用三种表示法表示函数y=f(x).解：①解析法：{}5,1,2,3,4,5y x x =∈②列表法③图象法知识点归纳：1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
2.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
3.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
辨析：优点缺点联系解析法①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出在定义域内的任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情景时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系图象法能形象、直观地反映出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大求函数的解析式例1、求下列函数的解析式：已知f(x)为一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数()f x的解析式。
【练习】1.1、若一次函数()y f x=满足(())94f f x x=+，求函数()f x的解析式。
1.2函数及其表示3课时
法2： 拼凑法
例3、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式
解：[另解]令x+1=t
则x=t-1 (t属于R) 注意：换元时紧
f(t)=4(t-1)2 +8(t-1) +7
=4t2-8t+4+8t-8+7 =4t2+3
∴f(x)=4x2+3
跟定义域
习惯用x作为自变量
说明：这一方法是将x+1看作一个变量t，称代 换法或换元法.
8
★作业
1.已知 f(x) 是一次函数, 且 f[f(x)]=4x-1, 求 f(x) 的解析式. 4x+6 2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. 2+1 16x
3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). 4.任意x都有 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x). 5.任意X都有 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x). 1 x , x∈(-∞, 0),求 f(x+1) . x2, x∈[0, +∞),
1 解得：a 3
法五 ：待定系数法
1 2 所求的解析式为：y (x 2) 1 3
1
x 1(1 x 0) f ( x) 1 2 x(0 x 2)
2 －1 －1
例6．把长为a的铁丝折成矩形，设矩形的一边长 为x ，面积为专题：函数解析式的一般求法
？函数表示法的三种方法是什么？最常用的方法是什么？
答：函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三 种。解析式法是最常用的表示方法。（精确） [内容提要]函数解析式一般如何求呢？
例3、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式
解：[另解]令x+1=t
则x=t-1 (t属于R) 注意：换元时紧
f(t)=4(t-1)2 +8(t-1) +7
=4t2-8t+4+8t-8+7 =4t2+3
∴f(x)=4x2+3
跟定义域
习惯用x作为自变量
说明：这一方法是将x+1看作一个变量t，称代 换法或换元法.
8
★作业
1.已知 f(x) 是一次函数, 且 f[f(x)]=4x-1, 求 f(x) 的解析式. 4x+6 2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. 2+1 16x
3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). 4.任意x都有 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x). 5.任意X都有 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x). 1 x , x∈(-∞, 0),求 f(x+1) . x2, x∈[0, +∞),
1 解得：a 3
法五 ：待定系数法
1 2 所求的解析式为：y (x 2) 1 3
1
x 1(1 x 0) f ( x) 1 2 x(0 x 2)
2 －1 －1
例6．把长为a的铁丝折成矩形，设矩形的一边长 为x ，面积为专题：函数解析式的一般求法
？函数表示法的三种方法是什么？最常用的方法是什么？
答：函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三 种。解析式法是最常用的表示方法。（精确） [内容提要]函数解析式一般如何求呢？
必修1课件：1.2.2函数的表示法
2010年12月26日星期日5 48分16秒 2010年12月26日星期日5时48分16秒 日星期日
云在漫步
§1.2.2 函数的表示方法
学习目标
第一课时
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。 体会三种表示方法的特点。 2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。 在图形的变化中感受数学的直观美。
2010年12月26日星期日5 48分16秒 2010年12月26日星期日5时48分16秒 日星期日 云在漫步
图象法
列表法
二、由实际问题引入分段函数的概念 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 公里以内(含 公里），票价 公里），票价2元 （1）5公里以内 含5公里），票价 元； ） 公里以内 公里以上， 公里， （2）5公里以上，每增加 公里，票价增加 元（不足 ） 公里以上 每增加5公里 票价增加1元 5公里的按 公里计算）。 公里的按5公里计算 公里的按 公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里 请根据题意， 公里， 如果某条线路的总里程为 公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
1、正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？ 正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？
y = kx( k ≠ 0)
k y = (k ≠ 0) x
S = 100t
C = 2πr
云在漫步
§1.2.2 函数的表示方法
学习目标
第一课时
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。 体会三种表示方法的特点。 2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。 在图形的变化中感受数学的直观美。
2010年12月26日星期日5 48分16秒 2010年12月26日星期日5时48分16秒 日星期日 云在漫步
图象法
列表法
二、由实际问题引入分段函数的概念 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 公里以内(含 公里），票价 公里），票价2元 （1）5公里以内 含5公里），票价 元； ） 公里以内 公里以上， 公里， （2）5公里以上，每增加 公里，票价增加 元（不足 ） 公里以上 每增加5公里 票价增加1元 5公里的按 公里计算）。 公里的按5公里计算 公里的按 公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里 请根据题意， 公里， 如果某条线路的总里程为 公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
1、正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？ 正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？
y = kx( k ≠ 0)
k y = (k ≠ 0) x
S = 100t
C = 2πr
高一数学1.2函数及其表示巩固提升课
高一年级 第一章 1.2 课题: 课题
数学
函数及其表示法 复习巩固课
知识回顾
(传统概念 传统概念) 传统概念
函数的概念
(现代概念 现代概念) 现代概念
函数
定义： 定义： f：A→B 定义域 三要素 对应关系 值域 解析法 列表法 图像法
区间 三种表示法 函数的表示法 分段函数 映射
请同学们看下面的例子: 请同学们看下面的例子
下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况: 例(1).下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况 下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况
X (次) 次 Y(环数) 1 9 2 8 3 5 4 7 5 8 6 9
请同学们描述3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7
区间 三种表示法 函数的表示法 分段函数 映射
y(环数 环数) 环数
走到一半发现课本没有带,匀速 例2：老师从家道去学校 走到一半发现课本没有带 匀速 ：老师从家道去学校,走到一半发现课本没有带 返回家去拿,为了赶时间 再一路小跑(比走路快两倍 为了赶时间,再一路小跑 比走路快两倍)赶 返回家去拿 为了赶时间 再一路小跑 比走路快两倍 赶到 学校.( 设老师家到学校240m,平时走路 平时走路1m/s) S=360(m), 学校 附:设老师家到学校 设老师家到学校 平时走路 1.老师这次到学校用了多少时间?路程是多少? t=360(s) 2.老师的运动情况能否以路程S和时间t建立函数关系? 3.请同学们借助图像描述老师的变化情况. 4.写出老师运动情况的函数解析式.
S(m)
240
120
0
60 120 180 240 300 360 t(s)
例1 已知函数
(1)求 (1)求
数学
函数及其表示法 复习巩固课
知识回顾
(传统概念 传统概念) 传统概念
函数的概念
(现代概念 现代概念) 现代概念
函数
定义： 定义： f：A→B 定义域 三要素 对应关系 值域 解析法 列表法 图像法
区间 三种表示法 函数的表示法 分段函数 映射
请同学们看下面的例子: 请同学们看下面的例子
下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况: 例(1).下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况 下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况
X (次) 次 Y(环数) 1 9 2 8 3 5 4 7 5 8 6 9
请同学们描述3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7
区间 三种表示法 函数的表示法 分段函数 映射
y(环数 环数) 环数
走到一半发现课本没有带,匀速 例2：老师从家道去学校 走到一半发现课本没有带 匀速 ：老师从家道去学校,走到一半发现课本没有带 返回家去拿,为了赶时间 再一路小跑(比走路快两倍 为了赶时间,再一路小跑 比走路快两倍)赶 返回家去拿 为了赶时间 再一路小跑 比走路快两倍 赶到 学校.( 设老师家到学校240m,平时走路 平时走路1m/s) S=360(m), 学校 附:设老师家到学校 设老师家到学校 平时走路 1.老师这次到学校用了多少时间?路程是多少? t=360(s) 2.老师的运动情况能否以路程S和时间t建立函数关系? 3.请同学们借助图像描述老师的变化情况. 4.写出老师运动情况的函数解析式.
S(m)
240
120
0
60 120 180 240 300 360 t(s)
例1 已知函数
(1)求 (1)求
1.2函数及其表示4课时
2 2 而1。 x 1 x 1
2
（直接法——用不等式性质、非负数性质）
即函数的值域为 1,1)。 [
例题2
求下列函数的值域：
1) y 2 x 4 1 x；
方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。 ——常用于部分根式函数。
一次函数 函 数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) a＞0 a＜0 反比例函数
y＝ax＋b (a≠0)
k y (k 0) x k x→ x
对应关系 定义域
值 域
x→ax＋b R
R
x→ R
ax2＋bx＋c
R
{x|x≠0} {y|y≠0}
b 2a
4ac - b 2 4ac - b 2 {y|y≥ } {y|y≤ } 4a 4a
方法一
直接法
根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观 察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。 ——常用于一些解析式结构比较简单的函数。
题组1：求下列函数的值域：（抢答）
1) y x 1;
1)1,
3)0,
2) y 2 x ;
2
2) , 2
5 故所求函数的值域为 y y R且y 。 4
解析：
ax b y 的定义域和值域 cx d
d a x ,,,y 其实就是两条渐进线 c c
例题1
求下列函数的值域：
5x 1 1) y ; 方法二 4x 2
分离常数法
把已知函数分离成一个常数与另一个函数 的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。
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函数的概念（复习课）
一、请完成下列问题：
1、下列图象中表示函数y f ( x) 关系的关系的是（）
y y y y x ③ x
O
x
O ②xΒιβλιοθήκη OO ④①
A.① B. ①③
C. ①②④ D. ③④
设A，B是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系f , 使对于A中的任意一个数x, 在集合B中都有惟一确定的
④y=x其中表示同一个函数的是（ A. ①②③ B. ①② C. ③④
） D. ①②④
函数三要素: 定义域、对应关系、值域
判定两个函数是否相同的依据:
定义域和对应关系是否完全一致
3.已知函数f(x),g(x)分别由下 表给出:
x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1
数 f (x) 与之对应, 那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数（function）.
记作: y= f (x) x∈A.
x叫做自变量, 与x的值相对应的y值叫做函数值, x的取值范围A叫做定义域, 函数值的集合C={f(x) x∈A}叫做值域.
值域集合C是集合B的子集
2 x 2 2.有下列函数,① y x ; ② y | x | ; ③y | x|
1 (1)求 f (2), f ( ) 的值; 2
(2)若f(a)=3,求a的值.
1 例1已知函数f ( x) x 4 2 , x 3x 2 (1)求函数的定义域 (2)作出函数y f ( x)(x (4 , 1)且x Z )的图象， 并求出它值域 .
小结：1、确定函数哪几方面，才能确定函数？ 2、求函数定义域的注意方面。 3、作图的步骤。
例2： 已知f ( x)关系式如下表
x f ( x) 1 x 0 1 0 2 0 x 1 3 1 4
则函数f ( x)的定义域为
引申：作出上述函数的图象。
， 值域为
。
例3：根据图象求出函数定义域，值域，和解析式。 小结：观察函数的图象 应注意什么？
范例分析
x 2 ( x 1) 2 (1 x 2) 例1 已知函数 f ( x) x 2 x ( x 2)
求满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值.
函数的表示方法
解析法 图像法 列表法 简明全面,任意代求. 形象直观,便于研究. 不需计算,直接取值.
4.已知集合A={a,b},B={0,1},试问从A到B的 所有映射有 几个？并表示出来。
1 例1已知函数f ( x) x 4 2 , x 3x 2 (1)求函数的定义域 (2)作出函数y f ( x)(x (4 , 1)且x Z )的图象， 并求出它值域 .
一、请完成下列问题：
1、下列图象中表示函数y f ( x) 关系的关系的是（）
y y y y x ③ x
O
x
O ②xΒιβλιοθήκη OO ④①
A.① B. ①③
C. ①②④ D. ③④
设A，B是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系f , 使对于A中的任意一个数x, 在集合B中都有惟一确定的
④y=x其中表示同一个函数的是（ A. ①②③ B. ①② C. ③④
） D. ①②④
函数三要素: 定义域、对应关系、值域
判定两个函数是否相同的依据:
定义域和对应关系是否完全一致
3.已知函数f(x),g(x)分别由下 表给出:
x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1
数 f (x) 与之对应, 那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数（function）.
记作: y= f (x) x∈A.
x叫做自变量, 与x的值相对应的y值叫做函数值, x的取值范围A叫做定义域, 函数值的集合C={f(x) x∈A}叫做值域.
值域集合C是集合B的子集
2 x 2 2.有下列函数,① y x ; ② y | x | ; ③y | x|
1 (1)求 f (2), f ( ) 的值; 2
(2)若f(a)=3,求a的值.
1 例1已知函数f ( x) x 4 2 , x 3x 2 (1)求函数的定义域 (2)作出函数y f ( x)(x (4 , 1)且x Z )的图象， 并求出它值域 .
小结：1、确定函数哪几方面，才能确定函数？ 2、求函数定义域的注意方面。 3、作图的步骤。
例2： 已知f ( x)关系式如下表
x f ( x) 1 x 0 1 0 2 0 x 1 3 1 4
则函数f ( x)的定义域为
引申：作出上述函数的图象。
， 值域为
。
例3：根据图象求出函数定义域，值域，和解析式。 小结：观察函数的图象 应注意什么？
范例分析
x 2 ( x 1) 2 (1 x 2) 例1 已知函数 f ( x) x 2 x ( x 2)
求满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值.
函数的表示方法
解析法 图像法 列表法 简明全面,任意代求. 形象直观,便于研究. 不需计算,直接取值.
4.已知集合A={a,b},B={0,1},试问从A到B的 所有映射有 几个？并表示出来。
1 例1已知函数f ( x) x 4 2 , x 3x 2 (1)求函数的定义域 (2)作出函数y f ( x)(x (4 , 1)且x Z )的图象， 并求出它值域 .