函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法考点一:由函数的概念判断是否构成函数函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。

例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ )①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→3x;②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ;③, 对应法则f:x→2x;变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ )①②③④变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（)①22x y+=2 1=Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（）A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点(x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( )①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同A ．1个B ．2个 C.３个 Ｄ.4个变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( )A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。

例２． 下列哪个函数与相同( ）①.x ②.y = ③．2y =④⑤.33x y =；⑥.2x y =变式1.下列函数中哪个与函数y )A ．y = B ． y =-y =- D ． y x =变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ）A. 293x y x -=-与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =-C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0）D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y（3)21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f考点三:求函数的定义域(１）当f(x ）是整式时,定义域为R;（2）当f （ｘ)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值集合;（3）当f （x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值集合; （4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数不为0的x 取值集合; （5)当ｆ(x)是对数式时,定义域是使真数大于0且底数为不等于１的正数的ｘ取值集合；已学函数的定义域和值域１．一次函数y ax b =+)0(≠a :定义域Ｒ, 值域R; ２.反比例函ky x=)0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}|0y y ≠；3.二次函数2y ax bx c =++)0(≠a :定义域R值域：当0>a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2;当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 例3.①函数y =的定义域是( ）A ． {}1,1- B. ( -1 , 1 ） C. ［ －1 , １ ] Ｄ. (-∞ 1 )∪( １ ∞ )②函数ｙ＝+的定义域是(用区间表示)． 变式1. 求下列函数的定义域 (1)21)(-=x x f ； (2）23)(+=x x f ; (3)xx x f -++=211)(.(4)1x y +=(５)y ＝x +;(6)y ＝； (7)y ＝＋(x -１)0.求复合函数的定义域例5. 已知函数ｆ(21x -)定义域为[]1,3-, 求f(ｘ）的定义域变式1. 已知函数f[0，3 ]，求ｆ（ｘ)的定义域变式2. 已经函数f （ｘ）定义域为［ 0 , ４］， 求f ()2x 的定义域考点四:求函数的值域① 31y x =+ , x ∈{１，2 ,3,4,５ } ( 观察法 )②246y x x =-+ ，ｘ∈[)1,5 （ 配方法 ：形如2y ax bx c =++ ) ②2y x =-( 换元法：形如y ax b =+±)④21xy x =+ ( 分离常数法:形如cx dy ax b+=+ ) ④ 221y x xx =++（ 判别式法:形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++ )变式1. 求下列函数的值域① 2243y x x =-+ ②y x =+② 2()234f x x x =++ ④2()234f x x x =++ (12)x -≤≤⑤ y =213x x +- ⑥2224723x x y x x +-=++考点五:求函数的解析式 例7 . 已知f （ｘ)= 22x x -,求ｆ(1x -)的解析式 ( 代入法 / 拼凑法／换元法 ）变式1． 已知f(ｘ）= 21x -, 求f(2x )的解析式变式２. 已知f(1)= 233x x ++,求ｆ(x ）的解析式变式3． 已知1)f x =+，试求()f x 的解析式.例８． 若f [ f （x ）] = ４3,求一次函数f （ｘ)的解析式 ( 待定系数法 )变式１． 已知f （x)是二次函数,且()()211244f x f x x x ++-=-+，求ｆ(x).变式2.一次函数()f x 满足[()]45f f x x =+,求该函数的解析式．变式３.已知多项式7)(+=ax x f ,222)(b x x x g ++=，且922)()(2++=+x x x g x f .试求a 、b 的值.变式4.已知f(x)是二次函数,且f （０)=2，f(1）－f(x)-1,求f(ｘ)的解析式.变式5．已知二次函数f （x ）＝ｘ2-+c 满足f(1+x)=f(1-ｘ）, 且f(0）=3,求f(x ）的解析式.变式6.已知函数f （x)是一次函数，且满足3f （x+1)-2ｆ(x －1）=2x+17,求ｆ（x ）.例9. 已知f （x)-２ f(-x)= x ,求函数f （x ）的解析式 ( 消去法／ 方程组法 ）变式1. 已知2 f （x ）- f （-x)= 1 ,求函数ｆ(x)的解析式变式2． 已知２ f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭= 3x ,求函数ｆ(x ）的解析式例１0. 设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f(x)的解析式.变式１. 已知对一切x,y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立,且f(０）=1，求f （ｘ）的解析式.考点六：函数的求值例11. 已经函数ｆ（x)= 32x x +，求ｆ（２）和f （ａ) （-a)的值变式1. 已知f(２x)= 21x x+，求f(2)的值例12. 已知函数()510320x x x x f x ⎧+ ≥⎪⎨-+ <=,求f(１）(1-)的值变式１. 已知函数()()2122111f x x x x x x f x ⎧+ , ≤-⎪⎪+ , -<<⎨⎪2-4 , ≥ ⎪⎩= ,求f ［f （4-）]的值变式2． 已知函数()1(2)2n f n n fn *⎧1 , (= 1)⎪=⎨1+- , (∈N )⎪⎩，求f （５）的值例13 . 设函数()812l ,1]og (1,)(,xf x x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩∈-∞ ∈+∞ , ,求满足f （ｘ)=12的x 值变式1. 已知函数()11xf x x x x 3⎧⎪=⎨⎪⎩≤- , > , ，若f(ｘ)=2,求x 的值考点七：映射变式1．下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合Ａ到集合B 的映射? (1）设{1，2,３，4},{3,4,5,6,7，8，9}，对应法则12:+→x x f （２）设}1,0{,*==B N A ,对应法则得的余数除以2:x x f → （３）N A =，}2,1,0{=B ,:3f x x →被除所得的余数 （4）设111X {1,2,3,4},Y {1,,,}234==取倒数x x f →: （5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:考点八:函数的表示方法：（1）解析法;（2)列表法;(3)图象法例１某种笔记本每个5元,买 x ∈{1,2，3,4}个笔记本的钱数记为ｙ(元)，试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例２ 国内投寄信函(外埠),每封信函不超过２0g 付邮资８0分,超过20g 而不超过４０g 付邮资1６0分,依次类推,每封x g(0＜ｘ≤１０0)的信函应付邮资为(单位:分）,试写出以x 为自变量的函数y 的解析式,并画出这个函数的图像．例3 画出函数00xx xx ≥⎧⎨-<⎩的图象.例４求下列函数的最大值、最小值与值域. ①142+-=x x y ; ③ ]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④ ]5,0[,142∈+-=x x x y函数的单调性与最值增函数与减函数单调性与单调区间 例1 如图，是定义在闭区间［-５，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上,函数)(x f y =例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0∞)上是减函数．练习1．函数2２单调减区间是( )A 、1[,)2-+∞B 、(-1,+∞)C 、1(,]2-∞- D 、（－∞，+∞) ２.下面说法正确的选项ﻩ（ )A.函数的单调区间可以是函数的定义域Ｂ.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象３．函数f(ｘ)=2x ２－3,当ｘ∈[2,)-+∞时，增函数,当x ∈(]2,-∞-时,是减函数, 则f（1）等于( ）A ．-3 B.１３ C.7 D ．由m 而定的其它常数4.如果函数f(x)＝ｘ2＋2(a －１)ｘ+2在区间(,4]-∞上是减函数,那么实数ａ的取值范围是( ）A.a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤５ Ｄ．a ≥3 5. 函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则 ﻩ（ )A ．21->k B ．21-<k ﻩＣ．0>b D.0>b6． 已知函数2122y x x =- 求:1(ﻫ） 当03x <≤时， 函数的最值;(2) 当35x ≤<时， 函数的最值．函数的奇偶性观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.2()f x x =()||1f x x =- 21()f x x =偶函数：奇函数: 例１.判断下列函数的奇偶性 (1)2()[1,2]f x x x =∈-(2)32()1x x f x x -=-（3)2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例2.判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = (２)5()f x x = (３）1()f x x x =+ （４)21()f x x =例3.已知()f x 是奇函数,在（0，+∞)上是增函数． 证明:()f x 在(－∞，0)上也是增函数.练习1．判断下列函数的奇偶性,并说明理由.①()0,[6,2][2,6]f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++2．设()f x R x 在上是奇函数,当>0时，()(1)f x x x =-,试问：当x <0时,()f x 的表达式是什么？学案(6）反函数(一）(选讲）观图回答:: f A Ba b→ 的意义是什么?1.试求函数231x y x +=-的值域． (提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2．反函数的定义：试利用定义填写下表:3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：４.试求(1)21 (2)２11()2x ≥-的反函数,并对比有何不同.A BAB5．求解反函数的步骤:例 求下列函数的反函数（１）)(13R x x y ∈-= （２)212x y x +=- (3))(13R x x y ∈+= (４))0(1≥+=x x y练习１.已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且,那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 Ｄ、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2.函数2(0)1(0)2x x yx x 的反函数是( )A 、2(0)0x x y x xB 、2(0)0x x y x xC 、102x x yx x D 、1020x x yx x3．已知点（)在(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ） A 、))(,(1a f a - Ｂ、()()b b f ,1- C 、()()a a f ,1- D 、()()b f b 1,- 4.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ) A 、5B 、5-C 、15D 、35．函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为213+-=x x y ,求a 的值6.已知132)(1≥-=-x x x f ，,求ｆ（x)学案(7）反函数（二）(选讲）目标:1.了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明; 2．会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 复习:1.反函数的定义：2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=间的关系：3．反函数的求法:一反解、二互换、三标明; ４. 原函数与其反函数的图象关于 对称．新课：例1．求函数2(0)y x x =<的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例２.求函数2385-+=x x y 的值域.例3 已知)(x f =211x - (x<-１),求)31(1--f ．例４若点A(1,2)既在函数)(x f =bax +的图象上,又在)(x f 的反函数的图象上，求a 的值.例5若)0(2)1(≥+=+x x x x f ,试求反函数)(1x fy -=.练习:1．求下列函数的反函数: （１）)3(32-≤-=x x y ; （2）2x 612(ｘ≤3); （３）2--x （ｘ≤-2).2. 已知函数a 2的反函数是３,求a 的值.３.函数f(x)2916x -=是否有反函数? ;当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ,定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ,定义域为 。