[高三数学第一轮复习课件]函数的概念及其表示
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高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件
2
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2(x≥2).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).
(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
②-①,得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数
的 值域
.
(2)如果两个函数的
定义域
两个函数是同一个函数.
相同,并且 对应关系 完全一致,那么这
微点拨对函数概念的理解
(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;
(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))
则 f(f(26))等于(
log 5 (-1), ≥ 4,
1
A.
5
1
B.
e
C.1
D.2
)
答案 (1)ln 2
(2)C
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;
当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.
人教版高中数学高考一轮复习--函数的概念及其表示(课件)
202X
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π
2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第1节 函数的概念及其表示 课件(38张)
C )
g(x)=
C.f(x)= 与 g(x)=|x|
0
D.f(x)=1,x∈R 与 g(x)=x
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同
一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义
域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,
2
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -x+3.
义域.
求函数的解析式
1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)的解析式为
解析:令 +1=t(t>1),则 x=
所以 f(t)=lg
所以 f(x)=lg
(t>1),
-
(x>1).
-
答案:f(x)=lg
(x>1)
பைடு நூலகம்-
,
-
.
2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为
所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,
所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,
所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
函数概念及其表示课件-2025届高三数学一轮复习
四、教材升华：
例6、(多选）如图，∆0是边长为2的正三角形，记∆0位于直线
= （t > 0)左侧的图形的面积(), 则下列说法正确的是（C D）
、 = 1时，()的值最大.
、 ≥ 2时，()的值最大为 3.
3
、当1 < ≤ 2时() = −
（ − 2)2 + 3
和给定锐角A的Rt∆ABC的面积s是角A的邻边长的函数s =
= tanA)
1
1
2
分析：E= mv , v > 0, s = m 2 , > 0,
2
2
1
1
2
E= mv , v > 0, 与s = m 2 , > 0, 定义域和对应关系都相同，
2
2
所以是同一个函数。
三、回归教材：
练习1、下列各组中的函数是否是同一个函数？
∈ , = ()是否为函数？
分析： 2 = −, �� ∈ (−∞, 0], 当 = −1时,
2 = 1, = ±1. ∴ = ()不是函数.
(2)∀
∈ , = ()是否为函数？
分析： = − 2 , ∈ (−∞, +∞), 任意的都有唯一的与之对应
2.3.1 函数的概念
及其表示
第三章 函数的概念与性质
一、知识框图：（课前自主学习）
函数的概念
函数
的概
念及
其表
示
函数的定义域
函数的值域
函数的表示法
二、概念解读：
1.函数：
一般地，设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照
某种确定的对应关系,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称
函数的概念及表示课件-2024届高考数学一轮复习
f （2 x 2－2）的定义域是［－
≤ x ≤－
，－
或 ≤x≤
］∪［ ，
.所以函数
］.
Байду номын сангаас
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考点二
求函数的解析式
例3 （1） 已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，则 f （ x ）＝
≥1）
x 2－1（ x
.
（2） 已知 f （ x ）是二次函数，且 f （0）＝2， f （ x ＋1）－ f （ x ）＝ x
− > ，
＝lg[1－lg（1－ x ）].所以
解得－9＜ x ＜1，即
− （ − ） > ，
函数 f （ f （ x ））的定义域为（－9，1）.
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[拓展探究]
1.
−1
2
设函数 f （ x ）＝lg（1－ x ），则函数 y ＝ f （
）的定义域
为 （－1，3）
2
函数的单调性
式
适应性卷
第8题比较大小
八 第9题单调性、奇
省 偶性、切线、零
点
第8题对数比较大
山
小第12题抽象函
东
数的性质
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1. 重点：指对幂函数的图象与性质.
高考预测 2. 热点：抽象函数的性质；构造函数比较大小、不等式.
3. 关注点：抽象函数、指对幂函数与导数交汇.
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【课时目标】
理解函数的概念；理解函数的表示法；了解分段函数，
并能简单应用.
【考情概述】
函数的概念及表示是新高考考查的重点内容之一，常以
高三数学第一轮复习第二章《函数》课件
• 答案 (1)(－∞，－1)，(－1，＋∞) (2)(－1,1]
解析 (1)∵y＝11－ ＋xx＝－1＋1＋2 x ∴当 1＋x＞0 或 1＋x＜0 时，此函数均为减函数， 故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) (2)由11－ ＋xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减”．
• 2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且 x1<x2)→作差(f(x1)－f(x2))→变形→定号→结论．
• 3．对于函数f(x)的单调性，也可直接求f′(x)，当f′(x)>0时 为增函数，当f′(x)<0时为减函数．
• 4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,11<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝axx121x－2＋11x22x－2－1x 1. ∵x1xx212－＋11xx222－－1x1>0， ∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
D．y＝x－x 1
• 答案 D
• 3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数， 则b的取值范围是( )
• A．b≥0
B．b≤0
• C．b>0
D．b<0
• 答案 A
解析 由－b2≤0，得 b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区 间________．
解析 (1)∵y＝11－ ＋xx＝－1＋1＋2 x ∴当 1＋x＞0 或 1＋x＜0 时，此函数均为减函数， 故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) (2)由11－ ＋xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减”．
• 2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且 x1<x2)→作差(f(x1)－f(x2))→变形→定号→结论．
• 3．对于函数f(x)的单调性，也可直接求f′(x)，当f′(x)>0时 为增函数，当f′(x)<0时为减函数．
• 4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,11<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝axx121x－2＋11x22x－2－1x 1. ∵x1xx212－＋11xx222－－1x1>0， ∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
D．y＝x－x 1
• 答案 D
• 3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数， 则b的取值范围是( )
• A．b≥0
B．b≤0
• C．b>0
D．b<0
• 答案 A
解析 由－b2≤0，得 b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区 间________．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
第01讲 函数的概念及其表示(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为40，底边长 是腰长 的函数，则函
数的定义域为(
A． 10,20
)
B． 0,10
C． 5,1
【答案】A
对求函数定义域问题的思路是：
【解析】由题设有 = 40 − 2，
2024年上海卷第2题，5分
（2）在实际情景中，会根据 2024年I卷第8题，5分
不同的需要选择恰当的方法
2023年北京卷第15题，5分
（如图象法、列表法、解析法）2022年浙江卷第14题，5分
表示函数．
2021年浙江卷第12题，5分
（3）了解简单的分段函数，
并会简单的应用．
复习目标：
1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素
, ≥ 0
D． = ， =
−, < 0
【答案】D
【解析】对于A中，函数 = 2 的定义域为R， =
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
2
4 的定义域为 0, +∞ ，
对于B中，函数 = − 1的定义域为R， = − 1的定义域为 | ≠ 0 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数 = 1的定义域为R，与 = 0 = 1的定义域为{| ≠ 0}，
所以定义域不同，所以不是相同的函数，故C错误；
, ≥ 0
, ≥ 0
对于D中，函数 = =
与 =
的定义域均为R，
−, < 0
−, < 0
个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第1节函数及其表示课件
[0,1) 解析：因为 y＝f(x)的定义域为[0,2]， 所以，要使 g(x)有意义应满足0x－≤12≠x≤02，， 解得 0≤x<1．所以 g(x)的定义域是[0,1)．
常见函数类型的定义域 (1)分式中，分母不为 0． (2)偶次方根中，被开方数非负． (3)对于 y＝x0，要求 x≠0，负指数的底数不为 0． (4)抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围． (5)对数式中，真数大于 0．
考向 1 分段函数求值 x2－4，x>2，
(1)(2021·浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x－3|＋a，x≤2. 若 f(f( 6))＝3，则 a＝__________．
x2＋2x＋2，x≤0， (2)设函数 f(x)＝－x2，x>0. 若 f(f(a))＝2，则 a＝________．
AC 解析：对于 A，f(x)＝x2－2x－1 的定义域为 R，g(s)＝s2－ 2s－1 的定义域为 R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于 B，f(x)＝ －x3＝－x －x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x －x的 定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于 C，f(x)＝xx＝ 1 的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x10＝1 的定义域为{x|x≠0}，定义域相同， 对应关系也相同，是同一函数；对于 D，f(x)＝x 的定义域为 R，g(x) ＝ x2＝|x|的定义域为 R，对应关系不同，不是同一函数．故选 AC．
(√)
(5)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．
(×)
2．(2021·安阳模拟)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下 面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
常见函数类型的定义域 (1)分式中，分母不为 0． (2)偶次方根中，被开方数非负． (3)对于 y＝x0，要求 x≠0，负指数的底数不为 0． (4)抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围． (5)对数式中，真数大于 0．
考向 1 分段函数求值 x2－4，x>2，
(1)(2021·浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x－3|＋a，x≤2. 若 f(f( 6))＝3，则 a＝__________．
x2＋2x＋2，x≤0， (2)设函数 f(x)＝－x2，x>0. 若 f(f(a))＝2，则 a＝________．
AC 解析：对于 A，f(x)＝x2－2x－1 的定义域为 R，g(s)＝s2－ 2s－1 的定义域为 R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于 B，f(x)＝ －x3＝－x －x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x －x的 定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于 C，f(x)＝xx＝ 1 的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x10＝1 的定义域为{x|x≠0}，定义域相同， 对应关系也相同，是同一函数；对于 D，f(x)＝x 的定义域为 R，g(x) ＝ x2＝|x|的定义域为 R，对应关系不同，不是同一函数．故选 AC．
(√)
(5)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．
(×)
2．(2021·安阳模拟)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下 面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
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• 2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和 解析法，三者之间是可以互相转化的；求函 数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法 、待定系数法和方程法等，特别要注意将实 际问题转化为函数问题，通过设自变量，写 出函数的解析式并明确定义域．
• 教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【 典 例 】 (2013·新 课 标 全 国 Ⅰ 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
【 训 练 2 】 (2014·烟 台 诊 断 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2cos
π3x，x≤2 000，
则 f[f(2 013)]＝
2x－2 008，x＞2 000，
( )．
A. 3 C．1
B．－ 3 D．－1
解析 f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以 f[f(2 013)]＝f(32)＝ 2cos 323π＝2cos 23π＝－1.
0，则实数 a 的值等于
( )．
A．－3
B．－1 或 3
C．1
D．－3 或 1
•解析 因为f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0 得f(a)＝0.当a＞0时，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1.
•当a≤0时，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以实 数a的值为a＝1或a＝－3，选D.
4．函数解析式的求法
(7)已知 f(x)＝2x2＋x－1，则 f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
(×)
• [感悟·提升]
• 1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数 ．一是定义域是否相同，二是对应关系即解 析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如 (2)．
• 2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出 解析式的各个部分都有意义，如(3)；
• 二是分段函数求值时，一定要分段讨论， 注意验证结果是否在自变量的取值范围内， 如(6)；
• 三是用换元法求函数解析式时，一定要注
• 考点一 求函数的定义域与值域
【例 1】 (1)(2013·山东卷)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为
值范定围义域A叫做函数的
；与x的值相对应
的y值叫做值函域 数值，函数值的集合叫做函数的
．
定义域
值域
•(3)函数的三要素是：解析法 关系．
列表、法
和对应
•(4)表示函数的常用方法有：
、
和图象法．
•(5)分段函数
•若 函 数 在 其 定 义 域 的 不对应同关系子 集 上 ， 因
不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
• 以x为自变量的函数的图象为②④. (√)
• (2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．
2．函数的定义域、值域的求法 (3)(2013·江西卷改编)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为(0,1)．(×)
(4)(2014·杭州月考改编)函数 f(x)＝1＋1 x2的值域为(0,1]． (√)
3．分段函数求值
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 ．
•(2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
•此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
•f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－32. 不合题意，舍去．当 a＜0 时，1－a＞1,1＋a＜1， 此时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－34. 综上可知，a 的值为－34. 答案 (1)B (2)－34
实际问题
使实际问题有意义
• 3．函数值域的求法
方法
示例
示例答案
配方法 性质法
y＝x2＋x－2 y＝ex
y∈－94，＋∞ y∈ (0，＋∞)
单调性法
y＝x＋ x－2 y∈ [2，＋∞)
换元法 分离常数法
y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 34，3
y＝x＋x 1
y∈(－∞，1)∪
(1，＋∞)
•辨 析 感 悟 • 1．对函数概念的理解． • (1)(教材习题改编)如图： •
【训练 1】 (1)函数 y＝ln1＋1x＋ 1－x2的定义域为________． (2)函数 f(x)＝l2oxg，12xx，＜x1≥1， 的值域为________．
解析
(1)根据题意可知，1x≠＋01x，＞0， 1－x2≥0
⇒x＋x 1＞0， ⇒0 －1≤x≤1
＜x≤1，故定义域为(0,1]．
二审条件❷：|f(x)|≥ax，由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)．
(2)
•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
•即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥ －2.
－x2＋2x，x≤0， lnx＋1，x＞0.
❶若|f(x)|≥ax❷，则 a 的取值范围是
( )．
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
[审题]一审条件❶：f(x)＝－ lnxx2＋＋12x，，xx＞≤00，， 转化为一元二次函数 与对数函数的图象问题．如图(1)．
(1)
• 第1讲 函数的概念及其表示
• [最新考纲]
• 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数 的定义域和值域，了解映射的概念．
• 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰 当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函 数．
• 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
•知 识 梳 理
• 1．函数的基本概念
x2＋1，x≤1，
(5)(2013·济南模拟改编)设函数 f(x)＝2x，x＞1，
则 f(f(3))
＝193.
(√)
(6)(2014·浙 江 部 分 重 点 中 学 调 研 改 编 ) 函 数 f(x) ＝
x2－x＋34，x≥0， 2x＋1，x＜0
若 f(a)＝12，则实数 a 的值为12或－2. (√)
(3)方程法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条 件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
• 【 训 练 3】 (1) 若 f(x ＋ 1) ＝ 2x2 ＋ 1 ， 则 f(x) ＝
________.
• (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x) ．解析若 当(1)令0≤t＝xx≤＋11，时则 ，x＝ft－(x1)，＝ x(1 － x) ， 则 当 － 1所≤以xf≤(t)＝0时2(t－，1)f2(＋x)1＝＝2_t_2－__4t_＋_3_. _.
所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
• 答案 (1)A (2){y|y≠1}
•规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式 组，然后求出它们的解集即可．
•(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式 ，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数 法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当 函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．
•答案 D
(2)当 x≥1 时，log1x≤0；当 x＜1 时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－
2
∞，0]＝(－∞，2)．
• 答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)
• 考点二 分段函数及其应用
【例 2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)
＝lfoxg－241－－xf，x－x≤20，x＞0 ，则 f(3)的值为
( )．
A．－1
B．－2
C．1
D．2
(2)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a， 2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1
＋a)，则 a 的值为________．
•解析 (1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3 －2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－ f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝ －f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0) ＝－2.
数称为分段函数．
并集
•分段函数的定并义集 域等于各段函数的定义域的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
2n fx，n∈N*
f(x)≥0
f1x与[af(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集
( )．
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0，
解 (1)令2x＋1＝t，由于 x＞0，∴t＞1 且 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x＞1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又 f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2 ＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴44aa＝ ＋42， b＝2， ∴ab＝ ＝1－，1， ∴f(x)＝x2－x＋3.
• 教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【 典 例 】 (2013·新 课 标 全 国 Ⅰ 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
【 训 练 2 】 (2014·烟 台 诊 断 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2cos
π3x，x≤2 000，
则 f[f(2 013)]＝
2x－2 008，x＞2 000，
( )．
A. 3 C．1
B．－ 3 D．－1
解析 f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以 f[f(2 013)]＝f(32)＝ 2cos 323π＝2cos 23π＝－1.
0，则实数 a 的值等于
( )．
A．－3
B．－1 或 3
C．1
D．－3 或 1
•解析 因为f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0 得f(a)＝0.当a＞0时，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1.
•当a≤0时，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以实 数a的值为a＝1或a＝－3，选D.
4．函数解析式的求法
(7)已知 f(x)＝2x2＋x－1，则 f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
(×)
• [感悟·提升]
• 1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数 ．一是定义域是否相同，二是对应关系即解 析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如 (2)．
• 2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出 解析式的各个部分都有意义，如(3)；
• 二是分段函数求值时，一定要分段讨论， 注意验证结果是否在自变量的取值范围内， 如(6)；
• 三是用换元法求函数解析式时，一定要注
• 考点一 求函数的定义域与值域
【例 1】 (1)(2013·山东卷)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为
值范定围义域A叫做函数的
；与x的值相对应
的y值叫做值函域 数值，函数值的集合叫做函数的
．
定义域
值域
•(3)函数的三要素是：解析法 关系．
列表、法
和对应
•(4)表示函数的常用方法有：
、
和图象法．
•(5)分段函数
•若 函 数 在 其 定 义 域 的 不对应同关系子 集 上 ， 因
不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
• 以x为自变量的函数的图象为②④. (√)
• (2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．
2．函数的定义域、值域的求法 (3)(2013·江西卷改编)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为(0,1)．(×)
(4)(2014·杭州月考改编)函数 f(x)＝1＋1 x2的值域为(0,1]． (√)
3．分段函数求值
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 ．
•(2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
•此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
•f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－32. 不合题意，舍去．当 a＜0 时，1－a＞1,1＋a＜1， 此时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－34. 综上可知，a 的值为－34. 答案 (1)B (2)－34
实际问题
使实际问题有意义
• 3．函数值域的求法
方法
示例
示例答案
配方法 性质法
y＝x2＋x－2 y＝ex
y∈－94，＋∞ y∈ (0，＋∞)
单调性法
y＝x＋ x－2 y∈ [2，＋∞)
换元法 分离常数法
y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 34，3
y＝x＋x 1
y∈(－∞，1)∪
(1，＋∞)
•辨 析 感 悟 • 1．对函数概念的理解． • (1)(教材习题改编)如图： •
【训练 1】 (1)函数 y＝ln1＋1x＋ 1－x2的定义域为________． (2)函数 f(x)＝l2oxg，12xx，＜x1≥1， 的值域为________．
解析
(1)根据题意可知，1x≠＋01x，＞0， 1－x2≥0
⇒x＋x 1＞0， ⇒0 －1≤x≤1
＜x≤1，故定义域为(0,1]．
二审条件❷：|f(x)|≥ax，由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)．
(2)
•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
•即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥ －2.
－x2＋2x，x≤0， lnx＋1，x＞0.
❶若|f(x)|≥ax❷，则 a 的取值范围是
( )．
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
[审题]一审条件❶：f(x)＝－ lnxx2＋＋12x，，xx＞≤00，， 转化为一元二次函数 与对数函数的图象问题．如图(1)．
(1)
• 第1讲 函数的概念及其表示
• [最新考纲]
• 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数 的定义域和值域，了解映射的概念．
• 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰 当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函 数．
• 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
•知 识 梳 理
• 1．函数的基本概念
x2＋1，x≤1，
(5)(2013·济南模拟改编)设函数 f(x)＝2x，x＞1，
则 f(f(3))
＝193.
(√)
(6)(2014·浙 江 部 分 重 点 中 学 调 研 改 编 ) 函 数 f(x) ＝
x2－x＋34，x≥0， 2x＋1，x＜0
若 f(a)＝12，则实数 a 的值为12或－2. (√)
(3)方程法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条 件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
• 【 训 练 3】 (1) 若 f(x ＋ 1) ＝ 2x2 ＋ 1 ， 则 f(x) ＝
________.
• (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x) ．解析若 当(1)令0≤t＝xx≤＋11，时则 ，x＝ft－(x1)，＝ x(1 － x) ， 则 当 － 1所≤以xf≤(t)＝0时2(t－，1)f2(＋x)1＝＝2_t_2－__4t_＋_3_. _.
所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
• 答案 (1)A (2){y|y≠1}
•规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式 组，然后求出它们的解集即可．
•(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式 ，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数 法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当 函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．
•答案 D
(2)当 x≥1 时，log1x≤0；当 x＜1 时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－
2
∞，0]＝(－∞，2)．
• 答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)
• 考点二 分段函数及其应用
【例 2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)
＝lfoxg－241－－xf，x－x≤20，x＞0 ，则 f(3)的值为
( )．
A．－1
B．－2
C．1
D．2
(2)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a， 2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1
＋a)，则 a 的值为________．
•解析 (1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3 －2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－ f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝ －f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0) ＝－2.
数称为分段函数．
并集
•分段函数的定并义集 域等于各段函数的定义域的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
2n fx，n∈N*
f(x)≥0
f1x与[af(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集
( )．
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0，
解 (1)令2x＋1＝t，由于 x＞0，∴t＞1 且 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x＞1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又 f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2 ＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴44aa＝ ＋42， b＝2， ∴ab＝ ＝1－，1， ∴f(x)＝x2－x＋3.