3.1函数的概念及其表示法
【课题】 3.1 函数的概念及其表示法
【教学目标】
知识目标：
(1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示；
(3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：
(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；
(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；
(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．
【教学重点】
(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．
【教学难点】
(1) 对函数的概念及记号)(x f y =的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．
【教学设计】
（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.
【课时安排】2课时．(90分钟)
【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法
*创设情景 兴趣导入
学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？
设购买果汁饮料x 瓶，应付款为y ，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 2.5y x =．
因为x 表示购买果汁饮料瓶数，所以x 可以取集合{}0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则
2.5y x =，应付款y 有唯一的值与之对应．
两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知
在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数．
将上述函数记作()y f x =．
变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的定义域．
当0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数()y f x =在点0x 处的函数值．记作()00y f x =. 函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域．
函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素．
定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y =与s =表示的是同一个函数．
例如，函数2
x y x
=的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为R ．它们的定义域不同，因此不
是同一个函数；函数,0,
,0x x y x x ?=?-
x 与y x =的定义域相同，都是R ，但是它们的对应法则不
同，因此不是同一个函数. *巩固知识 典型例题
例１ 求下列函数的定义域：（１）()1
1
f x x =
+； （２）()f x 分析 如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．
解 （１）由10x +≠，得1x ≠-．因此函数的定义域为{}|1x x ≠-，
用区间表示为()(),11,-∞--+∞．
（２）由120x -…，得12x …
． 因此函数的定义域为1,2?
?-∞ ??
?．
代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零． 例2 设()21
3
x f x -=
，求()0f ，()2f ，()5f -，()f b ． 分析 本题是求自变量0x x =时对应的函数值，方法是将0x 代入函数表达式求值． 解()2011033f ?-=
=-，()221213f ?-==，()()25111533f ?---==-，()2121
33
b b f b ?--==
*运用知识 强化练习 教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（1）()2
4
f x x =
+；（2）()f x ． 2．已知()32f x x =-，求()0f ，()1f ，()f a ． 3．判定下列各组函数是否为同一个函数：
（1）()f x x =， ()f x =（2）()1f x x =+，21
()1
x f x x -=-．
*创设情景 兴趣导入
观察下面的三个例子，分别用什么样的形式表示函数： 1.观察某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表： 日 期
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
最高气温 29 29 28 30 25 28 29 28 29 30
由表中可以清楚地看出日期x 和最高气温y (C )之间的函数关系．
2. 某气象站用温度自动记录仪记录下来的2008年11月29日0时至14时的气温T （C ）随时间t （h ）变化的曲线如下图所示：
曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =?；当14t =时，气温12.5T C =?．
3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =． *动脑思考 探索新知
函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法
来表示函数关系的.
用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. (2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.
例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.
用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势. (3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
例如，s =60t 2
，A =πr 2
，S =2πrl ,y =2-x (x …2)等都是用解析式表示函数关系的.
用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. *巩固知识 典型例题
例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．
分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数． 解 设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6． （1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．
（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．
x /支 1 2 3 4 5 6
y /元 0.12
0.24 0.36 0.48
0.6
0.72
（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），
（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．
由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函数图像”的具体步骤：
（1）确定函数的定义域； （2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格； （3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；
（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法．
例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数
值时，精确到0.01) ．
解 （1）函数的定义域为),0[+∞．
（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：
x 0 1
2 3 4 5 …
y 0 1
1.41 1.73 2
2.24 …
（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于
(25)5f =，所以点(25,5)是图像上的点．
（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像. 软件链接
演示利用几何画板软件作例5图像，方法详见现代信息技术应用3. *运用知识 强化练习 教材练习3.1.2
1．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．
2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆数量x 的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数． *归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节3.1，学习与训练3.1； (2)书面作业： 学习与训练3.1训练题；
第一课时 补充练习
1． 下列四组函数中,表示同一函数的是 （ ）
A ．(),()f x x g x ==
．2
(),()f x x g x ==
C ．2
1(),()11
x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为 （ ） A ．必有一个 B ．1个或2个 C ．至多一个 D ．可能2个以上
3．已知函数1()1
f x x =
+，则函数[()]f f x 的定义域是 （ ）
A ．{}1x x ≠
B ．{}2x x ≠-
C ．{}1,2x x ≠--
D ．{}1,2x x ≠-
4．函数1()1(1)
f x x x =
--的值域是 （ ）
A ．5
[,)4
+∞ B ．5
(,]4
-∞ C ． 4[,)3
+∞ D ．4(,]3
-∞
5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是 ( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）
6．规定记号“?”表示一种运算，
即a b a b a b R +
?=+∈，、. 若13k ?=，则函数()f x k x =?的
值域是___________．
7．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ． 8．函数2
522
y x x =
-+的值域是 ．
9． 求下列函数的定义域 ： (1)()121
x f x x =-
- (2)0
(1)
()x f x x x
+=
-
10．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ．
（1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．
B
第二课时练习
相同函数
1．设函数)(x f y =，+∞∈,0(x )，则它的图像于直线a x =的交点个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 2．已知x x f =)(，下列函数于)(x f 表示同一函数的
①2
)(x x f =；②3
3
)(x x f =；③x
x x f 2
)(=；④x x f =)(；⑤11()(===x x x x f ；
⑥=)(x f 0
(,)
0(,{≥<-x x x x
3．求下列函数的定义域.
（1）①x x x y +-=2
； ②x
x y 23)1(0-+=
；
（2）等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则 （ ）
A.)100(10≤<-=x x y
B.)100(10<<-=x x y
C.)105(220≤≤-=x x y C.)105(220<<-=x x y 函数值
对函数值的考查方式一般是给定一个复合函数[])(x g f 或是分段函数)(x f ，求)(a f 或者是给定一个复合函数[])(x g f 或是分段函数)(x f 并已知)(a f 的值求a .涉及到的知识如下： 函数值——函数)(x y =在a x =时的函数值，记作)(a f .
例 ． 设函数
22,(2)
2,(2)(){
x x x x f x +≤>=，
（1）求)4(-f （2）若8)(0=x f ，求0x 的值.
值域
考查函数的值域一般有一下几种形式：
（1）给定定义域，求函数的值域.方法是判断函数在定义域范围的单调性，求最大值、最小值，然后写出函数的值域.
（2）求二次函数的值域.一般配方法求出最值，然后依据开口写出函数的值域.涉及到的知识如下： 函数的值域——所以自变量对应的函数值的集合.
例 ． 函数)05(322≤≤-+--=x x x y 的值域是 （ ）
A.]4,(-∞
B.[]12.3
C.[]4.12- D []12.4
知识点精练 （1）函数x
y -=
12
的定义域是 （ ） A.()1.8- B.).1[∞+ C.()() ∞+∞-.11. D.()∞+.1 (2)如果函数
1
.11.122{
)(≥+≤+-=x x x x x f ，那么函数值
)1(-f 为 （ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
（3）二次函数]3.0[,742
∈-+-=x x x y 的值域为
（4）函数x x x x f -+-=
21
)(的定义域为
（5）函数)
1(1
1-+
+=x x y 的定义域为
（6）函数2
1
-+=
x x y 的定义域是
（7）如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木材，如果矩形的边长为x 面积为y 把y 表示成
x 的函数的定义域。
函数的表示法
函数一般有三种表示方法
（1） 解析法：用等式（解析式）表示两个变量的关系，例如b ax y +=、c bx ax y ++=2、
x
k
y =
等.优点：函数关系清楚，由解析式可研究函数的性质. （2） 列表法：用表格表示两个变量的关系.优点：不必计算就可由自变量直接看出函数值. （3） 图像法：用图像表示两个变量的关系.优点：直观形象地表示函数的变化情况.
例1 ． 如图，有一边长为a 的正方形铁皮，将其四个角截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数是
，这个函数的定义域为
.
例2．已知函数)(),(x g x f 分别由下表给出
则][)1(g f 的值为 ，满足][][)()(x f g x g f >x 的值是 .
.
知识点精炼
1．下表是一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，弹跳高度b 与下落高度d （单位：cm ）之间的关系.试问：下面的哪个式子能表示这种关系 （ ）
2.d b A = d b B 2.= 2
.d
b C =
4.-=d b D 2．某学生骑自行车从家去学校，路上自行车坏了，只能推着自行车走到学校，如图纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，其中较符合这位学生的走法的图形是
（ ）
3．函数x
y 1
-
=的图像在 （ ） A .第一、二象限 B .第一、三象限 C.第三、四象限 D 第二、四象限
4．在函数221122)(2
≥<<--≤??
???+=x x x x x x x f 中，若3)(=x f ，则x 的值为
.
5．若函数)(x f y =的图像如图所示，则其解析式为
.
6．已知一次函数)(x f 满足3)0(=f ，图像过点（1，1），求)(x f .
7．已知正方形的边长为x ，它的外接圆半径为y ，求y 与x 的函数关系式并注明x 的取值范围.
8．某城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米.设小张乘坐出租车行驶路程为x （千米），需支付的出租费用为y （元），试写出x 与y 间的函数解析式，并画出该函数的图像.
一、选择题
1．下列四个函数中函数x y =表示同一个函数的是 （ ） A ．x y (=2
)
B ．x
x 2 C ．33x y = D ．2x y =
2．函数x x x f 2)(2
+=，则)2(-f 等于 （ ）
A ．2-
B ．0
C ．2
D ．8 3．已知一次函数)(x f 满足2)0(-=f 与4)3(=f ，则)1(f 等于 （ ） A ．0 B ．4- C ．2 D ．4 4．函数3
1
65)(2-+
+-=
x x x x f 的定义域为 （ ） A ．(2，3) B ．），（），（∞+∞-32 C ．(]()∞+∞-，，32 D ．(]）
，（，∞+∞-32 5．若函数()?
??-=x x x f 2200
≤>x x ，则()()12-+f f 的值等于 （ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．6- 二、填空题
6．若函数()x f 的图像如右图所示，则()x f 的解析表达式为 ．
7．函数()x
x x f -+
-=
311的定义域为 ．（用区间表示） 0 3 x
8．若函数()x x
x f +=-1
1，则()2f 的值为 ． 三、解答题 9．求函数()4
1
32-+
-=x x x f 的定义域．
10．解答下列问题：
（1）已知函数()x x x f +=+2
1，求()0f ，()1f ，()a f 和()1+x f ；
（2）设函数()2312
++=+x x x f ，求()x f ．
11．做出下列函数的图像：
（1）()322
++-=x x x f ；（2）()1+=
x x f ．
高一数学函数的概念及表示方法
全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：
函数的概念与表示法
函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =
函数的基本概念及表示法
题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+
函数的定义及表示方法
函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +
函数的概念与表示知识点与经典题型归纳
函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-.
函数的概念及其表示
一、函数的概念及其表示 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。 函数的共同特征： （1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。 事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。 一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。 我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。当A>0时，B=??????-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系
和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。
函数的概念及表示方法
函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ）
函数的概念与表示法
函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称 f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。 例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ ) ①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→ 3 x; ②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ ) ①②③④ 变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（) ①22 x y+=2 1= Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（） A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点 (x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同
A ．1个 B ．2个 C.３个 Ｄ.4个 变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例２． 下列哪个函数与相同( ） ①. x ②.y = ③． 2 y = ④ ⑤.33x y =；⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A ． y = B ． y =-y =- D ． y x = 变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
函数的概念与表示方法
函数的概念与函数收敛的定义 1、 在同一个自然现象和技术过程中，往往有几个同时变化的变量，而这几个变量并不是孤立的存在，而是相互联系并遵循一定的变化规律。 定义： 设x 和 y 是两个变量，D 是给定的一个数集，如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 为x 的函数,记作：Y=f(x) 数集D 称为函数y 的定义域。 当∈D 时，与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。当x 取遍x∈D 的各个数值时，对应的函数值全体组成的集合 0x 0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。 2、 定义1-1：数列收敛的定义： 若A x n n =∞→lim {亦称极限 n x
存在； 收敛；否则，称发散}： n x n x ?ε（无论其多么小）>0,?正整数N，当n>N 时，有 ε0,?正数X,当x>X 时， ε0，?正数δ>0,当 δ
（1） 有界性 （2） 单调性 （3） 奇偶性 图形关于Y 轴对称： )()(x f x f =? ……偶函数 曲线关于原点轴对称： )()(x f x f ?=? ……奇函数
3.1函数的概念及其表示法
【课题】 3.1 函数的概念及其表示法 【教学目标】 知识目标： (1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标： (1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力； (2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能； (3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力． 【教学重点】 (1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学难点】 (1) 对函数的概念及记号)(x f y =的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学设计】 （1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养. 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法 *创设情景 兴趣导入 学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？ 设购买果汁饮料x 瓶，应付款为y ，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 2.5y x =． 因为x 表示购买果汁饮料瓶数，所以x 可以取集合{}0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则 2.5y x =，应付款y 有唯一的值与之对应． 两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知
在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数． 将上述函数记作()y f x =． 变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的定义域． 当0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数()y f x =在点0x 处的函数值．记作()00y f x =. 函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y =与s =表示的是同一个函数． 例如，函数2 x y x =的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为R ．它们的定义域不同，因此不 是同一个函数；函数,0, ,0x x y x x ?=?-
122函数的概念及其表示法
§1.2.2 函数的概念及其表示法 1、写出下列函数的定义域和值域： （1）已知函数1=y ，则其定义域是_______值域是_______ （2）已知函数1 21++-=x x y ，则其定义域是_______值域是_______ （3）已知函数342+-=x x y ，则其定义域是_______值域是_______ （4）已知函数6 32---=x x x y ，则其定义域为__________； 2、已知f(2x+1)=x 2-2x ，则f(3)= __________. 3、设集合A={1,2，3},集合B={1，2}，从A 到B 的函数的个数是_______. 4、已知x x f 21=)(，x x g =)(，则)]([x f g =_______，)]([x g f =_______； 5、已知)(x f 的定义域为[)21,-，则)(12+-x f 的定义域是__________； 6、已知)(12+-x f 的定义域为[)21,-，则)(x f 的定义域是__________； 7、已知x x x f 212+=-)(，则)(x f =_______。 8、已知)()()(012≠=+x x x f x f ，则)(x f =_______ 9、已知函数?????>≤-=22242x x x x x f ,,)(，则f(2)=________;若f(x 0)=12，则x 0=________。 10、已知函数12++=ax x x f )(的定义域是实数集R ，则a 的取值范围是_______。 11、将函数y=|x-1|+|2x|写成分段函数的形式，并画出其图象。 12、设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式 13、求下列函数的值域： （1）x x x f 22-=)(，[)41,-∈x ； （2）x x x f --=1)(
函数的概念及表示法(学生版)
函数的概念及表示法 解答锦囊：解答“映射与函数的概念”一类试题，主要掌握以下几点： 1．象与原象是映射中的两个重要概念，常列方程，用方程的思想求解． 2．函数概念题主要考查对“对应法则厂’的理解，特别是分段函数的题型，要注重分类讨论、数形结合等重要数学思想的运用． 一、高考最新热门题 1、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2+n ， 则在映射f 下，象20的原象是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2、函数f(x)= ，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定 f(P)={y|y=f(x)， x ∈P},f(M)={y|y=f(x)，x ∈M}，给出下列四个判断： ①若P ∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ ②若P ∩M ≠φ，则f(P)∩f(M)= φ ③ 若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M ≠R ，则f(P)∪f(M)≠R ； 其中正确判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、已知函数f(x)= ，若f(a)=b ，则f(-a)等于（ ） A ．b B ．-b C ． D.- 4、判断下列各组函数是否表示同一个函数（ ） A ．y= 与y=x+1 B ．y=lgx 与y= C.y=-1 与y=x-1 D ．y=x 与y=log a a x (a>0且a ≠1) ?? ?∈-∈M x x P x x ,,x x +-11lg b 1b 111 2--x x 2lg 2 1x 2 x
二、题点经典类型题 1、设函数f(x)的定义域为R +,且满足条件f(4)=1，对于任意x 1，x 2∈R +，有f(x 1，x 2)=f(x 1)+ f(x 2)，当x 1>x 2时，有f(x 1)>f(x 2)． (1) 求f(l)的值； (2)如果f(3x+1)+f(2x-6)≤3，求x 的取值范围． 2、由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4 +b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4定义映射f ：(a 1， a 2，a 3，a 4，)→b 1+b 2+b 3+b 4，则f(4，3，1)等于 。 3、定义集合A*B 的一种运算：A*B={x|x=x 1 +x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B 中的所有元素数字之和为 （ ） A.9 B.14 C.18 D.21 4、定义符号函数sgnx= ，则不等式： x+2>(2x<0) sgnx 的解集是 _______________。 5、由关于x 的恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4 =(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4，定义 映射f(a 1、a 2、a 3,a 4)→(b 1．b 2、b 3,b 4)，则f(4，3，2．1)等于（ ） A ．10 B ．7 C ．-1 D ．0 6、设映射f ：x →-x+2x 是实数集M 到实数集N 的映射，若对于实数P ∈N ，在M 中不存在原象，则P 的取值范围是（ ） A ．(1，+∞) n ．[1，+∞] C ．(-∞，1) D ．(-∞，1) 三、新高考命题探究 1、已知映射f:A →B ，其中A=B=R ，对应法则f:y=x 2-2x+3， x ∈a,y ∈B ．对于集合B 中的元素1。下列说法正确的是（ ） A.在A 中有1个原象 B ．在A 中有2个原象 C ．在A 中有3个原象 D ．在A 中无原象 2、A 、B 两地相距150公里．某汽车以50)公里/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后．又以60公里/小时的速度返回A 地，写出该车离开A 地的距离S （公里）关于时间t(小时)的函数关系式。并画出图象． 3、已知(x ，y)在映射f 的作用下的象是(x+y ，xy)。求(-2，3)在f 作用下的象和(2．-3)在f 作用 下的原象． ?? ? ??<-=>)0(,1)0(,0)0(,1x x x
(完整)八年级数学函数概念及表示方法
第四章一次函数 一、函数相关概念及表示方式 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 例1： 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 注：确定函数自变量的取值范围有两点，第一是要使含有自变量的式子有意义，第二是要使实际问题有意义。 例2： 例3： 例4： 已知等腰三角形的周长为20，设底边长为y，腰长为x，则y与x的函数关系式为________，自变量的取值范围是_________ 例5： 的取值范围是（） 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析式法/关系式法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
例6： 用解析式表示下列函数关系． （1）某种苹果的单价是1.6元/kg，当购买x（kg）苹果时，花费y（元），y（元）与x （kg）之间的函数关系．______； （2）汽车的速度为20km/h，汽车所走的路程s（km）和时间t（h）之间的关系．______．例7： 均匀的向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图像是（） 例8： 小明400米/分的速度匀速汽车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地，下列函数图像能表达这一过程的是（） 例9： 小明骑自行车上学，开始以正常的速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误课，加快汽车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t的函数图像，那么符合小明行驶情况的图像大致是（） 例10： 甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）
函数的概念及其表示
函数的概念及其表示 一、什么是函数？ 1、函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 注意： 1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。 2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的 是对应关系。（用集合关系讲解） 2、映射与函数 函数的特殊的映射 二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。函数=定义域+对应关系+值域 2、比喻理解： 定义域f ?? →值域 等价于 原材料f ??→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程 3、举例说明：2 1,y x x R =+∈ 问：定义域？值域是？对应关系是？
三、求函数定义域 主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1 例题讲解： 1、1()f x x x =- 2、1()11f x x =+ 3 、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5 、()1 f x x = - 四、求函数解析式 1、函数的三种表达方法 解析式法+图像法+列表法 因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。 2、函数解析式求法 1) 配凑法 由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知22 22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法 如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法 例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式 3) 换元法 若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知22 22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法 已知关于()f x 与1()f x 或者()f x -与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解 例题：已知()f x +21 ()f x =3x ，则求()f x 的解析式。
函数的的概念及其表示方法基础训练题
1．2 函数的的概念及其表示方法 （一）基础训练题 1、判断下列函数是否表示同一函数？ ⑴2)()(,)(x x g x x f == ⑵33)(,)(x x g x x f == ⑶2 )(,)(x x g x x f == ⑷1)(,11)(2+=--=x x g x x x f ⑸3)(,)3()(2-=-=x x g x x f 2、设{}{}31 ,15,7,3,1,5,4,3,2,1==B A 下列对应法则B A f →:是从A 至B 的函数是： (A)1:2+-→x x x f (B)2)1(:-+→x x x f (C)12:1-→-x x f (D)12:-→x x f 二、知识点讲解 1、函数的定义： 设A ，B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从集合A 至集合B 的一个函数，记作：A x x f y ∈=),(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f 的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。 注意：函数的值域{}A x x f ∈)(与集合B 不一定相等。 2、函数的三要素：一个函数由定义域，对应法则和值域三个要素构成。 3、函数相等，当函的定义域及其对应关系确定后，函数的值域也随之确定。如果两个函的的三要素相同，称两个函数相等。 4、区间的表示方法： 区间是集合的一种表示方法： ⑴{}b x a x ≤≤用区间],[b a 表示；⑵{}b x a x <<用开区间),(b a 表示；
函数的概念及其表示练习试题.doc
人教 A 版必修 1 函数的概念及其表示练习题 1．下列说法中正确的为 ( ) A ． y ＝f ( x ) 与 y ＝ f ( t ) 表示同一个函数 B ． y ＝f ( x ) 与 y ＝ f ( x ＋ 1) 不可能是同一函数 C ． f ( x ) ＝ 1 与 f ( x ) ＝ x 表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 2．下列函数完全相同的是 () A ． ( ) ＝ | x | ， ( ) ＝ ( x ) 2 f x g x B ． f ( x ) ＝ | x | ，g ( x ) ＝ x 2 x 2 C ． f ( x ) ＝ | x | ，g ( x ) ＝ x x 2－ 9 D ． f ( x ) ＝ x － 3 ，g ( x ) ＝ x ＋3 3．函数 y ＝ 1－ x ＋ x 的定义域是 ( ) A ． { x | x ≤1} B ． { x | x ≥0} C ． { x | x ≥1或 x ≤0} D ． { x |0 ≤ x ≤1} 4．图中 (1)(2)(3)(4) 四个图象各表示两个变量 x ， y 的对应关系，其中表示 y 是 x 的 函数关系的有 ________． 1．下列各图中，不能是函数 f ( x ) 图象的是 ( ) 5．如果二次函数的二次项系数为 1 且图象开口向上且关于直线 x ＝ 1 对称，且过点 (0,0) ，则此二次函数的解析式为 ( ) A ． f ( x ) ＝ x 2－ 1 B ． f ( x ) ＝－ ( x －1) 2＋ 1 C ． f ( x ) ＝ ( x － 1) 2＋ 1 D ． f ( x ) ＝( x － 1) 2－ 1 7．已知 f ( x ) ＝2x ＋ 3，且 f ( m ) ＝6，则 m 等于 ________． 3．设函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ 3，g ( x ) ＝ f ( x ) ，则 g ( x ) 的表达式是 ( ) A ． 2x ＋ 1 B ． 2x － 1 C ． 2 x +3 D ． 2 ＋ 7 x 2 将函数 y ＝x 2 的图象向下平移 2 个单位，得函数 ________，再将得到函数向右平移 1 个单位，得函数 ， ________ 1 ) ： 1．函数 y ＝ 的定义域是 ( x A ． R B ． {0} C ． { x | x ∈ R ，且 x ≠0} D ． { x | x ≠1} 2．下列式子中不能表示函数 y ＝ f ( x ) 的是 ( ) A ． x ＝y 2＋ 1 B ．y ＝ 2x 2＋ 1 C ． x －2y ＝ 6 D ． x ＝ y 5．下列各组函数表示相等函数的是 ( ) A ． y x 2 － 3 与 y ＝x ＋ 3( x ≠3) ＝ x － 3 B ． y ＝ x 2－ 1 与 y ＝ x － 1 C ． y ＝x 0( x ≠0) 与 y ＝ 1( x ≠0) D ． y ＝2x ＋ 1， x ∈ Z 与 y ＝2x － 1， x ∈ ZX k b 1 . c o m 6．设 f ： x → x 2 是集合 A 到集合 B 的函数，如果 B ＝ {1,2} ，则 A ∩B 一定是 ( ) A ． ? B ． ?或 {1} C ． {1} D ． ?或 {2}
函数概念及表示方法
第二讲 函数的概念及表示方法 【基础知识回顾】 1. 函数的概念：设A B 、是非空的数集 ，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数.记作 ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {}()|f x x A ∈叫做函数的 . 2. 构成函数的三要素： 、 和 . 3. 函数定义域的常见求法： （1）分式的分母 ； （2）偶次根式的被开方数 ； （3）对数的真数大于零，底数 ；（若未学习到可先删去） （4）零次幂的底数 ；（若未学习到可先删去） （5） 已知函数)(x f 的定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需求满足D x g ∈)(的x 的取值范围. （6）复合函数与抽象函数的定义域 4. 函数的值域：常见方法（常见函数、观察、配方、图像、换元、判别式、对勾） 5. 函数解析式的常见求法（待定系数、换元、配凑、赋值、加减消元）： （1）待定系数法： 若已知函数的类型，比如二次函数可设为()()20f x ax bx c a =++≠，其中a 、b 、c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a 、b 、c 即可. （2）换元法： 已知()()f h x g x =????，求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，代入()g x 进行换元，便可求解. 【例题精讲】 【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数. （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x | |，g （x ）=???<-≥. 01,01x x （3）()2f x =()( ()21 2n g x n N -* = ∈； （4）f （x ）= x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.
1.函数的概念及其表示方法
函数的概念及其表示方法 编写： 审核： 行政审查： 【教学目标】 1、会用映射的观点理解函数的概念； 2、熟悉函数的常用表示方法——列表法、图象法、解析式法 3、会选择恰当的方法表示简单情境中的函数. 【教学重点】函数概念，函数的三种表示方法； 【教学难点】函数的概念的理解 【前置作业】 1．设2 f x x →：是从集合A 到集合B 的映射，如果{1,2}B =，则B A ?=_______________． 2．下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号) （1）)1()(,1)(+=+?=x x x g x x x f ；（2）24 (),()22 x f x g x x x -= =+-； （3）2 2 ()21,()21f x x x g t t t =--=--；（4）()21(),()21()f n n n Z g n n n Z =-∈=+∈． 3．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 4．设f (x )＝????? 1，x >0，0，x ＝0，1，x <0， g (x )＝????? 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________． 5．已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = ． 6．已知函数21,0, 2,0,x x y x x ?+≤=?->? 则使函数值为5的x 的值是__________． 7．设函数f (x )＝? ???? x 3，0≤x <5 f (x －5)，x ≥5，那么f (2 014)＝ ． 【教学过程】 一、知识梳理： 1．函数的基本概念： （1）函数的定义：设,A B 是两个非空的________，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有___________()f x 和它对应，那么就称_______________为集合A 到 集合B 的一个函数，记作____________，其中， x 叫做_______，x 的取值范围A 叫做函数的__________，与x 的值对应的y 值叫做函数的__________，函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈叫做函数的_________，显然，值域是集合B 的____________． （2）函数的三要素：______________，________________，_______________．
高一函数的概念及其表示法
函数的概念及其表示
4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 5．区间的概念 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 说明：① 对于a,b ，a,b ，a，b ，a,b 都称数a和数 b 为区间的端点，其中a为左端点， b 为右端点，称b-a 为区间长度； ②引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法： 不等式表示法：3 解析：由函数的定义，对定义域内的每一个 x 对应着唯一一个y，据此排除①④，③中值域为｛ y|0≤y≤3｝不 合题意．答案：② 例2、下列函数中哪个与函数y = x 是同一个函数？ (1) y ( x)2；(2) y 3x3；(3) y x2 〖解析〗解：( 1) y = x，x≥0，y ≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数； (2) y=x ，x ∈R，y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函数； x(x 0) (3)y=| x|= ，y ≥0；值域不同，不是同一个函数。 x(x 0) 例3、下列各组，函数f (x)与g(x) 表示同一个函数的是( ) x2 A．f (x)=1，g(x)= x0B．f (x)=x0，g(x) = x C．f (x)=x 2，g(x)=( x)4D．f(x)= x3，g(x)=(3x)9 答案：D 例4、已知函数f (x) =2 x － 3 ，求： (1) f (0)，f (2)，f (5)； (2) f[f (x)] ； (3)若x ∈{0，1，2，3} ，求函数的值域。 答案：( 1) f(0) =－3，f (2)=1，f (5) =7； (2) f[ f (x)] =4x－9； 例5、已知a、b为实数，集合M＝{ a b，1} ，N＝{ a, 0} ， f ：x→ x 表示把M中的元素x映射到集合N中仍 为x，a 则a＋b等于( ) A．－ 1 B ．0 C．1 D ．±1 解析：a＝1，b＝0，∴ a＋b＝1. 答案：C 3）f（x）=2n 1x2n 1，g（x）=（2n 1x）2n－1（n∈N*）； 同步练习： 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ (1)f(x)= x2，g(x)= x3；2)f(x) |x|，g(x) x x 0, x 0;