题型带电粒子在交变电场和磁场中的运动

题型17 带电粒子在交变电场和磁场中的运动1．如图1所示，在xOy 平面存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y 轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示．以垂直于xOy 平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y 轴正方向电场的电场强度为正．t ＝0时，带负电粒子从原点O 以初速度v 0沿y 轴正方向运动，t ＝5t 0时，粒子回到O 点，v 0、t 0、B 0已知，粒子的比荷q m ＝πB 0t 0，不计粒子重力．(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期； (2)求电场强度E 0的值；(3)保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t ＝0时刻，前述带负电粒子仍由O 点以初速度v 0沿y 轴正方向运动，求粒子在t ＝9t 0时的位置坐标．图2答案 (1)2t 0(2)B 0v 0π(3)(2v 0t 0π，－v 0t 0)2．如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U 构成偏转电场，一束比荷为qm＝106C/kg带正电的粒子流(重力不计)，以速度v 0＝104m/s 沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O 为圆心，区域直径AB 长度为L＝1 m，AB与水平方向成45°角．区域有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5 T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°斜向下射入磁场．求：甲乙图3(1)两金属极板间的电压U是多大？(2)若T0＝0.5 s，求t＝0 s时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置．(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．答案(1)100 V(2)2π×10－6 s 射出点在OB间离O点225m(3)T0<π3×10－5 s3．如图4甲所示，宽度为d的竖直狭长区域(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．图4(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．答案(1)mgE02E0v(2)d2v＋πvg(3)(2π＋1)v2g4．如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动．若小球刚经过D点时(t＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ连线左下方60°角再次通过D点．已知D、Q间的距离为(3＋1)L，重力加速度为g，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响．求：图5(1)电场强度E的大小；(2)t0与t1的比值；(3)小球过D点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B0的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹．答案(1)mg/q(2)43π9(3)mv0/qL题型17 带电粒子在交变电场和磁场中的运动1．如图1所示，在xOy 平面存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y 轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示．以垂直于xOy 平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y 轴正方向电场的电场强度为正．t ＝0时，带负电粒子从原点O 以初速度v 0沿y 轴正方向运动，t ＝5t 0时，粒子回到O 点，v 0、t 0、B 0已知，粒子的比荷q m ＝πB 0t 0，不计粒子重力．图1(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期； (2)求电场强度E 0的值；(3)保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t ＝0时刻，前述带负电粒子仍由O 点以初速度v 0沿y 轴正方向运动，求粒子在t ＝9t 0时的位置坐标．图2答案 (1)2t 0(2)B 0v 0π(3)(2v 0t 0π，－v 0t 0) 解析 (1)粒子在磁场中运动时，qv 0B 0＝m v 20r 1T ＝2πr 1v 0q m ＝πB 0t 0得T ＝2t 0.(2)粒子在t ＝5t 0时回到原点，轨迹如图所示，由牛顿第二定律qv 0B 0＝m v 20r 1由几何关系得：r 2＝2r 1 得v 2＝2v 0由运动学公式：v 2＝v 0＋at 0 由牛顿第二定律：E 0q ＝ma 得E 0＝B 0v 0π.(3)t 0时刻粒子回到x 轴，t 0～2t 0时间，粒子位移x 1＝2(v 0·t 02＋12a (t 02)2)2t 0时刻，粒子速度为v 03t 0时刻，粒子以速度v 0到达y 轴，3t 0～4t 0时刻，粒子运动的位移x 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤v 0·t 02－12a (t 02)25t 0时刻粒子运动到点(2r 1，x 2－x 1)根据粒子的周期性运动规律可知，t ＝9t 0时刻的位置坐标为[]2r 1，2(x 2－x 1)，代入数值为(2v 0t 0π，－v 0t 0)． 2．如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U 构成偏转电场，一束比荷为qm＝106C/kg带正电的粒子流(重力不计)，以速度v 0＝104m/s 沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O 为圆心，区域直径AB 长度为L ＝1 m ，AB 与水平方向成45°角．区域有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B 0＝0.5 T ，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O 点与水平方向成45°斜向下射入磁场．求：甲 乙图3(1)两金属极板间的电压U 是多大？(2)若T 0＝0.5 s ，求t ＝0 s 时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t 和离开磁场的位置． (3)要使所有带电粒子通过O 点后的运动过程中不再从AB 两点间越过，求出磁场的变化周期T 0应满足的条件．答案 (1)100 V(2)2π×10－6s 射出点在OB 间离O 点225 m(3)T 0<π3×10－5 s解析 (1)粒子在电场中做类平抛运动，从O 点射出时速度v ＝2v 0q U 2＝12m (2v 0)2－12mv 20 代入数据得U ＝100 V. (2)T ＝2πm Bq Bqv ＝mv 2RT 2＝πm Bq ＝2π×10－6s<T 02R ＝mv Bq ＝250 m<L 4粒子在磁场中经过半周从OB 中穿出，粒子在磁场中运动时间t ＝T2＝2π×10－6s ，射出点在OB 间离O 点225m.(3)粒子运动周期T ＝2πm Bq＝4π×10－6s ，粒子在t ＝0、t ＝T 02…时刻射入时，粒子最可能从AB 间射出．如图，由几何关系可得临界时 θ＝5π6要不从AB 边界射出，应满足T 02<θ2πT得T 0<π3×10－5s.3．如图4甲所示，宽度为d 的竖直狭长区域(边界为L 1、L 2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E 0，E >0表示电场方向竖直向上．t ＝0时，一带正电、质量为m 的微粒从左边界上的N 1点以水平速度v 射入该区域，沿直线运动到Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N 2点．Q 为线段N 1N 2的中点，重力加速度为g .上述d 、E 0、m 、v 、g 为已知量．图4(1)求微粒所带电荷量q 和磁感应强度B 的大小； (2)求电场变化的周期T ；(3)改变宽度d ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T 的最小值．答案 (1)mg E 02E 0v (2)d 2v ＋πv g (3)(2π＋1)v2g解析 (1)根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡，则mg ＝qE 0①因为微粒水平向右做直线运动， 所以竖直方向合力为0. 则mg ＋qE 0＝qvB ② 联立①②解得：q ＝mgE 0③ B ＝2E 0v.④(2)设微粒从N 1运动到Q 的时间为t 1，做圆周运动的周期为t 2， 则d2＝vt 1⑤ qvB ＝m v 2R⑥2πR ＝vt 2⑦联立③④⑤⑥⑦解得t 1＝d2v ，t 2＝πv g⑧电场变化的周期T ＝t 1＋t 2＝d 2v ＋πvg.⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d ≥2R ⑩联立③④⑥得R ＝v 22g设N 1Q 段直线运动的最短时间t 1min ， 由⑤⑩得，t 1min ＝v2g因t 2不变，T 的最小值T min ＝t 1min ＋t 2＝(2π＋1)v2g.4．如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)．一个质量为m 、电荷量为q 、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v 0沿PQ 向右做直线运动．若小球刚经过D 点时(t ＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ 连线左下方60°角再次通过D 点．已知D 、Q 间的距离为(3＋1)L ，重力加速度为g ，t 0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响．求：图5(1)电场强度E 的大小； (2)t 0与t 1的比值；(3)小球过D 点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B 0的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹． 答案 (1)mg /q (2)43π9(3)mv 0/qL 轨迹见解析解析 (1)小球在电场中做匀速直线运动，根据二力平衡，有mg ＝qE 得E ＝mg q.(2)小球能再次通过D 点，其运动轨迹如图所示，设圆弧半径为r .x ＝v 0t 1①由几何关系得x ＝rtan 30°②设小球做圆周运动的周期为T ，则 T ＝2πr v 0③t 0＝23T ④由①②③④式得t 0t 1＝439π.(3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN 相切，如图所示． 由几何关系，有R ＋Rtan 30°＝(3＋1)L ⑤ 由牛顿第二定律，有qv 0B 0＝m v 20R⑥由⑤⑥式得B 0＝mv 0qL小球运动一个周期的轨迹如图所示．。