内蒙古自治区呼和浩特市回民区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

内蒙古自治区呼和浩特市回民区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根3．如果将抛物线232y x =+向右平移1个单位，那么所得新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)- 4．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）A ．每2次必有一次正面朝上B ．必有5次正面朝上C ．可能有7次正面朝上D ．不可能有10次正面朝上 5．如图，在半径为50mm 的O 中，弦AB 长50mm ，则点O 到AB 的距离为（ ）A ．50mmB ．C ．25mmD ． 6．设()12,A y -，()21,B y ,()32,C y 是抛物线22(1)y a x k =++（a ，k 为常数，且0a ≠）上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 7．如图，直线y mx =与双曲线k y x=交于A 、B 两点，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM ，若2ABM S ∆=，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-48．一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．239．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点.如40APB ∠=︒，则COD ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．75︒10．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别是（x 1，0），（x 2，0），且12x x <. 图象上有一点()00M x y ，在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A ．0a >B ．240b ac -≥C ．102x x x <<D ．()()01020a x x x x --<二、填空题11．一元二次方程x 2＝2x 的解为________．12．反比例函数y =31k x-的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是_______． 13．如图，如果将半径为10cm 的圆形纸片剪去一个圆心角为120︒的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为______．14．如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为4，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是______．15．圆的半径为1，AB 是圆中的一条弦，AB 则弦AB 所对的圆周角的度数为____． 16．已知0m ≥，0n ≥．且1m n +=，设22y m n =+，则y 的取值范围是______．三、解答题17．解下列方程（1）23640x x +-= （2）3(21)42x x x +=+18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB ∆的顶点均在格点上，点A ，B 的坐标分别是(3,3)A ，(1,2)B ，AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后得到11A OB ∆．（1）画出11A OB ∆，直接写出点1A ，1B 的坐标；（2）求在旋转过程中，点B 经过的路径的长；（3）求在旋转过程中，线段AB 所扫过的面积．19．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，写出表示x 和y 关系的表达式．（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为12，求x 和y 的值． 20．如图，直线y ＝x +b 与双曲线y ＝k x（k 为常数，k ≠0）在第一象限内交于点A （1，2），且与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P 在x 轴上，且△BCP 的面积等于2，求P 点的坐标．21．如图是二次函数y=（x+m ）2+k 的图象，其顶点坐标为M （1，﹣4）（1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △PAB =54S △MAB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2m ＋3）x ＋m 2＋2＝0。

（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为12x x ，，且满足221212x x 31x x +=+，求实数m 的值。

23．如图，AB 是O 的直径，点F ，C 是O 上两点，且AF FC CB ==，连接AC ，AF ，过点C 作CD AF ⊥交AF 延长线于点D ，垂足为D ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若CD =O 的半径． 24．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．参考答案1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可.【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故此选项错误．故选C．【点睛】考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形2．A【详解】解:∵a=2，b=-5，c=3，∴△=b2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点睛】本题考查根的判别式，熟记公式正确计算是解题关键，难度不大．3．C【分析】根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，即可得出答案．【详解】解：由将抛物线y=3x2+2向右平移1个单位，得y=3（x-1）2+2，顶点坐标为（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．4．C【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，进而得出答案．【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，所以掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有7次正面向上；故选：C．【点睛】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．B【分析】过点O作OC⊥AB于点C，由在半径为50cm的⊙O中，弦AB的长为50cm，可得△OAB 是等边三角形，继而求得∠AOB的度数，然后由三角函数的性质，求得点O到AB的距离．【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：∵OA=OB=AB=50cm，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∵OC⊥ABsin6050OC OA︒∴=⋅==故选：B【点睛】此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数,熟练掌握垂径定理，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键．6．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y=a 2（x+1）2+k （a ，k 为常数，且a ≠0）的开口向上，对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线抛物线y=a 2（x+1）2+k （a ，k 为常数，且a ≠0）的开口向上，对称轴为直线x=-1，而A （-2，y 1）离直线x=-1的距离最近，C （2，y 3）点离直线x=-1最远，∴y 1＜y 2＜y 3．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．7．A【解析】【分析】由题意得:2ABM AOM SS =，又1||2AOM S k =,则k 的值即可求出. 【详解】设(,)A x y , ∴直线y mx =与双曲线k y x=交于A 、B 两点, (,)B x y ∴--,1||2BOM Sxy ∴=，1||2AOM S xy = , BOM AOM S S ∴=,122||12ABM AOM BOM AOM AOM S S S S S k ∴=+====,则2k =±. 又由于反比例函数位于一三象限,0k >,故2k =.故选A.【点睛】本题主要考查了反比例函数k y x=中k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为||k ,是经常考查的一个知识点.8．B【解析】列表得：∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况， ∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：41123=．故选B ． 9．C【分析】连接OA 、OB 、OE ，由切线的性质可求出∠AOB ，再由切线长定理可得出∠COD=12∠AOB ，可求得答案．【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=12∠AOB，∵∠APB=40°，∴∠AOB=140°，∴∠COD=70°．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．10．D【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2-4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0-x1＞0，x0-x2＜0，所以，（x0-x1）（x0-x2）＜0，∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，若a＜0，则（x0-x1）与（x0-x2）同号，∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，综上所述，a（x0-x1）（x0-x2）＜0正确，故本选项正确．11．x1＝0，x2＝2【解析】试题分析：移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2．考点：解一元二次方程12．13 k<【解析】【分析】根据k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案．【详解】∵反比例函数y=31kx-的图象位于第二、四象限，∴3k−1<0，解得：13 k<.故答案为13 k<.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质.根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键.13．203cm【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到240102180rππ⋅⋅=，然后解方程即可．【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得24010 2180rππ⋅⋅=解得：203 r=,即这个圆锥的底面圆半径为203cm故答案为：203cm【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．4π【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．【详解】解：∵正方形的边长为4，∴正方形的面积S正方形=16，内切圆的半径r=2，因此，内切圆的面积为S内切圆=πr2=4π，可得米落入圆内的概率为：内切圆正方形4== 164S pS ππ=故答案为：4π【点睛】本题考查几何概率、正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，属于中档题．15．60°或120°【解析】试题解析：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，∵OH ⊥AB ，∴AH=BH=12AB=2，在Rt △OAH 中，∵cos ∠OAH=2AH OA =， ∴∠OAH=30°， ∴∠AOB=180°-60°=120°， ∴∠C=12∠AOB=60°， ∴∠C′=180°-∠C=120°， 即弦AB 所对的圆周角为60°或120°． 点睛：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 16．112y ≤≤ 【分析】先根据已知得出n=1-m ，将其代入y 中，得出y 关于m 的二次函数即可得出y 的范围【详解】解：∵1m n +=∴n=1-m ， ∴22222211(1)2212()22y m n m m m m m =+-=+--=+=+ ∵0m ≥，0n ≥∴0m ≥，10m -≥∴01m ≤≤当m=12时，y 有最小值12， 当m=0时，y=1当m=1时，y=1 ∴112y ≤≤故答案为：112y ≤≤ 【点睛】 本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键17．（1）123333x x -+-==;（2）1212,23x x =-= 【分析】（1）先找出方程中a ，b 和c 的值，求出b 2-4ac 的值，即可利用求根公式解答． （2）提取公因式（2x+1）得到（2x+1）（3x-2）=0，再解两个一元一次方程即可；【详解】解：（1）a=3，b=6，c=-4=24b ac -=36-4×3×(-4) =84>0∴x ==∴12x x == （2）3x(2x+1)=2(2x+1)∴(2x+1)(3x-2)=02x+1=0或3x-2=01212,23x x =-= 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．（1）见解析，()()113,3,2,1A B --；（2；（3）134π 【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 绕点O 逆时针旋转90°后的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）利用勾股定理列式求出OB 的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；（3）根据AB 扫过的面积等于以OA 、OB 为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解． 【详解】解：（1）△A 1OB 1如图所示，A 1（-3，3），B 1（-2，1）；（2）由勾股定理得，OB ==∴弧BB 1的长===（3）由勾股定理得，OA ==∴129093602AA O S ππ︒︒⋅⋅==扇形∴154OBB S π==扇形 ∴线段AB 所扫过的面积为：9513244πππ-= 【点睛】 本题考查利用旋转变换作图，弧长计算，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）判断出AB 扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 19．（1）关系式38x x y =+；（2）x=15，y=25． 【解析】【分析】（1）根据盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，得出袋中共有（x+y ）个棋，再根据概率公式列出关系式即可；（2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x ，y 的值即可．【详解】（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，∴袋中共有（x+y）个棋，∵黑棋的概率是38，∴可得关系式38xx y=+；（2）如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为12，又可得101102xx y+=++；联立求解可得x=15，y=25．【点睛】考查概率的求法,如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n.20．（1）y＝2x；y＝x+1；（2）P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【解析】【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y＝x+b，分别可得k，b的值；（2）先根据直线解析式得到BO＝CO＝1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．【详解】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y＝kx，可得k＝2，∴双曲线的解析式为y＝2x；把A（1，2）代入直线y＝x+b，可得b＝1，∴直线的解析式为y＝x+1；（2）设P点的坐标为（x，0），在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1；令x＝0，则y＝1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO＝1＝CO，∵△BCP的面积等于2，∴12BP×CO＝2，即12|x﹣（﹣1）|×1＝2，解得x ＝3或﹣5，∴P 点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．21．（1）A （﹣1，0），B （3，0）;（2）存在合适的点P ，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．【解析】试题分析：（1）由二次函数y=（x+m ）2+k 的顶点坐标为M （1，﹣4）可得解析式为：2(1)4y x =--，解方程：2(1)4=0x --可得点A 、B 的坐标；（2）设点P 的纵坐标为P y ，由△PAB 与△MAB 同底，且S △PAB =54S △MAB ，可得：554544P M y y ==⨯=，从而可得P y =5±，结合点P 在抛物线2(1)4y x =--的图象上，可得P y =5，由此得到：2(1)45x --=，解方程即可得到点P 的坐标.试题解析：（1）∵抛物线解析式为y=（x+m ）2+k 的顶点为M （1，﹣4）∴2(1)4y x =--，当y=0时，（x ﹣1）2﹣4=0，解得x 1=3，x 2=﹣1，∴A （﹣1，0），B （3，0）；（2）∵△PAB 与△MAB 同底，且S △PAB =54S △MAB ， ∴554544P M y y ==⨯=，即P y =5±， 又∵点P 在y=（x ﹣1）2﹣4的图象上，∴y P ≥﹣4，∴P y =5，则2(1)45x --=，解得：1242x x ==-，，∴存在合适的点P ，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．22．（1）1m 12≥-；（2）2 【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=2m+3，x 1•x 2=m 2+2，结合x 12+x 22=31+x 1x 2即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）∵方程x 2-（2m+3）x+m 2+2=0有实数根，∴△=[-（2m+3）]2-4（m 2+2）=12m+1≥0， 解得：1m 12≥-． （2）∵方程x 2-（2m+3）x+m 2+2=0的两个根分别为x 1、x 2，∴x 1+x 2=2m+3，x 1•x 2=m 2+2，∵x 12+x 22=31+x 1x 2，∴(x 1+x 2)2-2x 1•x 2=31+x 1x 2，即m 2+12m-28=0，解得：m 1=2，m 2=-14（舍去），∴实数m 的值为2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．23．（1）见解析；（2）圆O 的半径为8【分析】（1）连结OC ，由FC CB =根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC ，而∠OAC=∠OCA ，则∠FAC=∠OCA ，可判断OC ∥AF ，由于CD ⊥AF ，所以OC ⊥CD ，然后根据切线的判定定理得到CD 是⊙O 的切线；（2）连结BC ，由AB 为直径得∠ACB=90°，由AF FC CB ==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt △ADC 中，利用含30度的直角三角形三边的关系得2AC CD ==，在Rt △ACB 中，利用含30度的直角三角形三边的关系得4BC AC == AB=2BC=8，从而求出⊙O 的半径． 【详解】解：（1）证明：连结OC ，如图∵弧FC=弧BC∴∠FAC=∠BAC,∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∴∠FAC=∠OCA ，∴0C // AF ，∵CD ⊥AF ，∴0C ⊥CD ，∴CD 是圆O 的切线；（2）连结BC ，如图，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AF FC CB ==，∴∠BOC= 13×180°=60°，∴∠BAC=30˚，∴∠DAC=30˚，在RtΔADC 中，CD=∴AC=2CD=RtΔACB 中∴AB=2BC=16,∴圆O 的半径为8．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．24．解：（1）一次函数的表达式为120y x =-+（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元（3）销售单价x 的范围是7087x ≤≤．【解析】【分析】（1）列出二元一次方程组解出k 与b 的值可求出一次函数的表达式．（2）依题意求出W 与x 的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润． （3）由w=500推出x 2﹣180x+7700=0解出x 的值即可．【详解】(1)根据题意得：65557545k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得k=﹣1，b=120．所求一次函数的表达式为120y x =-+；（2）2(60)(120)1807200w x x x x =--+=-+-=2(90)900x --+，∵抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，∴当x=87时，W=2(8790)900--+=891，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）令w=500，解方程21807200500x x -+-=，解得170x =，2110x =，又∵60≤x≤87 ，所以当w≥500时，70≤x≤87．考点：1．二次函数的应用；2．应用题．。